Bab 8 Bulatan III

Posted on April 30, 2016 by user

8.3.1 Tangen Sepunya (Contoh Soalan)

Contoh 1:

Dalam rajah di atas, O dan F ialah pusat bagi dua bulatan yang bersilang. ABG dan CDG ialah tangen-tangen sepunya kepada bulatan-bulatan itu. Cari nilai
(a) x, (b) y, (c) z

Penyelesaian:

(a)

Dalam ∆ BFG,

∠BFG = ½× 56^o = 28^o

∠FBG= 90^o ← (jejari berserenjang dengan tangen)

x^o+ 28^o + 90^o = 180^o

x^o= 180^o – 118^o

x^o= 62^o

x = 62

(b)

∠AOF= x^o = 62^o ← (AO // BF)

y^o= 2 × 62^o

y^o= 124^o

y = 124

(c)

Sudut luaran bagi AOC = 360^o – 124^o = 236^o

∠EOC = ½ × 236^o = 118^o

z^o= (180^o – 118^o) × ½ ← (∆ EOC ialah segitiga kaki sama, ∠OEC = ∠OCE)

z^o= 31^o

z = 31

Bab 8 Bulatan III

Posted on April 30, 2016 by user

Soalan 5:

Dalam rajah di atas, PAQ ialah tangen kepada bulatan ABCD di titik A. AEC dan BED ialah garis lurus. Nilai bagi y ialah

Penyelesaian:

∠ABD = ∠ACD = 40^o

∠ACB = ∠PAB = 60^o

y = 180^o– ∠ACB – ∠CBD – ∠ABD

y = 180^o– 60^o – 25^o– 40^o = 55^o

Soalan 6:

Dalam rajah di atas, KPL ialah tangen kepada bulatan PQRS di titik P. Nilai bagi x ialah

Penyelesaian:

∠PQS = ∠SPL= 55^o

∠SPQ = 180^o– 30^o – 55^o= 95^o

Dalam sisi empat kitaran,

∠SPQ + ∠SRQ = 180^o

95^o+ x^o = 180^o

x = 85^o

Soalan 7:

Dalam rajah di atas, APB ialah tangen kepada bulatan PQR di titik P. QRB ialah garis lurus.
Nilai bagi x ialah

Penyelesaian:

∠PQR = ∠RPB= 45^o

∠QPR = (180^o– 45^o) ÷ 2 = 67.5^o

∠PQR + ∠BPQ + x^o = 180^o

45^o+ (67.5^o + 45^o) + x^o = 180^o

x = 22.5^o

Soalan 8:

Rajah di atas menunjukkan dua bulatan berpusat di O dan V. AB ialah tangen sepunya kepada bulatan-bulatan itu. OPRV ialah garis lurus. Panjang PR, dalam cm, ialah

Penyelesaian:

\begin{array}{l} \cos 86^{o} = \frac{O M}{O V} \\ 0.070 = \frac{1}{O V} \\ O V = \frac{1}{0.070} \\ O V = 14.29 c m \\ ∴ P R = 14.29 - 5 - 4 \\ = 5.29 c m \end{array}

Bab 8 Bulatan III

Posted on April 30, 2016 by user

Soalan 1:

Dalam rajah di atas, FAD ialah tangen kepada bulatan berpusat O. AEB dan OECD ialah garis lurus. Nilai bagi y ialah

Penyelesaian:

∠OAD = 90^o

∠AOD= 180^o– 90^o – 34^o= 56^o

y^o= 56^o÷ 2 = 28^o

Soalan 2:

Dalam rajah di atas, PQR ialah tangen kepada bulatanQSTU di Q dan TUPV ialah garis lurus. Nilai bagi y ialah

Penyelesaian:

\begin{array}{l} ∠ Q T S = ∠ R Q S = 40^{o} \\ ∠ S Q T = ∠ Q T S = 40^{o} (Segitiga kaki sama) \\ ∠ P Q T = 180^{o} - 40^{o} - 40^{o} = 100^{o} \\ ∠ T P Q = 180^{o} - 115^{o} = 65^{o} \\ y^{o} = 180^{o} - 100^{o} - 65^{o} = 1 5^{o} \end{array}

Soalan 3:

Dalam rajah di atas, ABC ialah tangen kepada bulatan BDE berpusat O, di B.

Cari nilai bagi y.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} ∠ B O D = 2 \times ∠ B E D \\ = 2 \times 35^{o} = 70^{o} \\ ∠ O D B = ∠ O B D \\ = (180^{o} - 70^{o}) \div 2 = 55^{o} \\ ∠ E D B = ∠ E B A = 75^{o} \\ ^{} \\ y^{o} + ∠ O D B = 75^{o} \\ y^{o} + 55^{o} = 75^{o} \\ y = 20 \end{array}

Soalan 4:

Dalam rajah di atas, ABCD ialah tangen kepada bulatan CEF di titik C. EGC ialah garis lurus. Nilai bagi y ialah

Penyelesaian:

\begin{array}{l} ∠ C E F = ∠ D C F = 70^{\circ} \\ ∠ A E G + 70^{\circ} + 210^{\circ} = 360^{\circ} \\ ∠ A E G = 80^{\circ} \\ Dalam sisi empat kitaran A B G E, \\ ∠ A B G + ∠ A E G = 180^{\circ} \\ y^{\circ} + 80^{\circ} = 180^{\circ} \\ y = 100 \end{array}

Bab 15 Matriks

Posted on April 30, 2016 by user

4.10 SPM Practis (Soalan Panjang)

Soalan 1:

Diberi bahawa matriks A =

(\begin{matrix} 3 & - 1 \\ 5 & - 2 \end{matrix})

(a) Cari matriks songsang bagi A.

(b) Tulis persamaan linear serentak berikut dalam persamaan matriks:

3u – v = 9

5u – 2v = 13

Seterusnya, menggunakan kaedah matriks, hitung nilai u dan nilai v.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} (a) \\ A^{- 1} = \frac{1}{3 (- 2) - (5) (- 1)} (\begin{matrix} - 2 & 1 \\ - 5 & 3 \end{matrix}) \\ = - 1 (\begin{matrix} - 2 & 1 \\ - 5 & 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 & - 1 \\ 5 & - 3 \end{matrix}) \end{array}

\begin{array}{l} (b) \\ (\begin{matrix} 3 & - 1 \\ 5 & - 2 \end{matrix}) (\begin{array}{l} u \\ v \end{array}) = (\begin{array}{l} 9 \\ 13 \end{array}) \\ (\begin{array}{l} u \\ v \end{array}) = - 1 (\begin{matrix} - 2 & 1 \\ - 5 & 3 \end{matrix}) (\begin{array}{l} 9 \\ 13 \end{array}) \\ (\begin{array}{l} u \\ v \end{array}) = - 1 (\begin{array}{l} (- 2) (9) + (1) (13) \\ (- 5) (9) + (3) (13) \end{array}) \\ (\begin{array}{l} u \\ v \end{array}) = - 1 (\begin{array}{l} - 5 \\ - 6 \end{array}) \\ (\begin{array}{l} u \\ v \end{array}) = (\begin{array}{l} 5 \\ 6 \end{array}) \\ ∴ u = 5, v = 6 \end{array}

Soalan 2:

Diberi bahawa matriks A =

(\begin{matrix} 2 & - 5 \\ 1 & 3 \end{matrix})

dan matriks B =

m (\begin{matrix} 3 & k \\ - 1 & 2 \end{matrix})

dengan keadaan AB =

(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})

(a) Cari nilai m dan nilai k.

(b) Tulis persamaan linear serentak berikut dalam persamaan matriks:

2u – 5v = –15

u+ 3v = –2

Seterusnya, menggunakan kaedah matriks, hitung nilai u dan nilai v.

Penyelesaian:

(a)

AB=

(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})

, Songsang bagi matriks A ialah B.

m = \frac{1}{(2) (3) - (- 5) (1)} = \frac{1}{11}

k= 5

(b)

\begin{array}{l} (\begin{matrix} 2 & - 5 \\ 1 & 3 \end{matrix}) (\begin{array}{l} u \\ v \end{array}) = (\begin{array}{l} - 15 \\ - 2 \end{array}) \\ (\begin{array}{l} u \\ v \end{array}) = \frac{1}{11} (\begin{matrix} 3 & 5 \\ - 1 & 2 \end{matrix}) (\begin{array}{l} - 15 \\ - 2 \end{array}) \\ (\begin{array}{l} u \\ v \end{array}) = \frac{1}{11} (\begin{array}{l} (3) (- 15) + (5) (- 2) \\ (- 1) (- 15) + (2) (- 2) \end{array}) \\ (\begin{array}{l} u \\ v \end{array}) = \frac{1}{11} (\begin{array}{l} - 55 \\ 11 \end{array}) \\ (\begin{array}{l} u \\ v \end{array}) = (\begin{array}{l} - 5 \\ 1 \end{array}) \\ ∴ u = - 5, v = 1 \end{array}

Bab 15 Matriks

Posted on April 30, 2016 by user

Soalan 3:

Diberi bahawa

Q (\begin{matrix} 3 & 2 \\ 6 & 5 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})

, dengan keadaan Q ialah matriks 2 × 2.

(a) Cari matriks Q.

(b) Tulis persamaan linear serentak berikut dalam persamaan matriks:

3u + 2v = 5

6u + 5v = 2

Seterusnya, menggunakan kaedah matriks, hitung nilai u dan nilai v.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} (a) \\ Q = {(\begin{matrix} 3 & 2 \\ 6 & 5 \end{matrix})}^{- 1} \\ Q = \frac{1}{3 (5) - 2 (6)} (\begin{matrix} 5 & - 2 \\ - 6 & 3 \end{matrix}) \\ Q = \frac{1}{3} (\begin{matrix} 5 & - 2 \\ - 6 & 3 \end{matrix}) \\ Q = (\begin{matrix} \frac{5}{3} & - \frac{2}{3} \\ - 2 & 1 \end{matrix}) \end{array}

\begin{array}{l} (b) \\ (\begin{matrix} 3 & 2 \\ 6 & 5 \end{matrix}) (\begin{array}{l} u \\ v \end{array}) = (\begin{array}{l} 5 \\ 2 \end{array}) \\ (\begin{array}{l} u \\ v \end{array}) = \frac{1}{3} (\begin{matrix} 5 & - 2 \\ - 6 & 3 \end{matrix}) (\begin{array}{l} 5 \\ 2 \end{array}) \\ (\begin{array}{l} u \\ v \end{array}) = \frac{1}{3} (\begin{array}{l} (5) (5) + (- 2) (2) \\ (- 6) (5) + (3) (2) \end{array}) \\ (\begin{array}{l} u \\ v \end{array}) = \frac{1}{3} (\begin{array}{l} 21 \\ - 24 \end{array}) \\ (\begin{array}{l} u \\ v \end{array}) = (\begin{array}{l} 7 \\ - 8 \end{array}) \\ ∴ u = 7, v = - 8 \end{array}

Soalan 4:

Diberi bahawa

Q (\begin{matrix} 3 & - 2 \\ 5 & - 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})

, dengan keadaan Q ialah matriks 2 × 2.

(a) Cari matriks Q.

(b) Tulis persamaan linear serentak berikut dalam persamaan matriks:

3x – 2y = 7

5x – 4y = 9

Seterusnya, menggunakan kaedah matriks, hitung nilai x dan nilai y.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} (a) \\ Q = \frac{1}{3 (- 4) - (5) (- 2)} (\begin{matrix} - 4 & 2 \\ - 5 & 3 \end{matrix}) \\ = - \frac{1}{2} (\begin{matrix} - 4 & 2 \\ - 5 & 3 \end{matrix}) \\ = (\begin{matrix} 2 & - 1 \\ \frac{5}{2} & - \frac{3}{2} \end{matrix}) \end{array}

\begin{array}{l} (b) \\ (\begin{matrix} 3 & - 2 \\ 5 & - 4 \end{matrix}) (\begin{array}{l} x \\ y \end{array}) = (\begin{array}{l} 7 \\ 9 \end{array}) \\ (\begin{array}{l} x \\ y \end{array}) = - \frac{1}{2} (\begin{matrix} - 4 & 2 \\ - 5 & 3 \end{matrix}) (\begin{array}{l} 7 \\ 9 \end{array}) \\ (\begin{array}{l} x \\ y \end{array}) = - \frac{1}{2} (\begin{array}{l} (- 4) (7) + (2) (9) \\ (- 5) (7) + (3) (9) \end{array}) \\ (\begin{array}{l} x \\ y \end{array}) = - \frac{1}{2} (\begin{array}{l} - 10 \\ - 8 \end{array}) \\ (\begin{array}{l} x \\ y \end{array}) = (\begin{array}{l} 5 \\ 4 \end{array}) \\ ∴ x = 5, y = 4 \end{array}

Bab 15 Matriks

Posted on April 30, 2016 by user

4.9 SPM Practis (Soalan Pendek)

Soalan 1:

(\begin{matrix} 1 & 4 \\ 6 & 2 \end{matrix}) + 3 (\begin{matrix} 2 & 0 \\ 4 & - 3 \end{matrix}) - (\begin{matrix} - 3 & 0 \\ - 2 & - 5 \end{matrix}) =

Penyelesaian:

\begin{array}{l} (\begin{matrix} 1 & 4 \\ 6 & 2 \end{matrix}) + 3 (\begin{matrix} 2 & 0 \\ 4 & - 3 \end{matrix}) - (\begin{matrix} - 3 & 0 \\ - 2 & - 5 \end{matrix}) \\ = (\begin{matrix} 1 & 4 \\ 6 & 2 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 6 & 0 \\ 12 & - 9 \end{matrix}) - (\begin{matrix} - 3 & 0 \\ - 2 & - 5 \end{matrix}) \\ = (\begin{matrix} 7 & 4 \\ 18 & - 7 \end{matrix}) - (\begin{matrix} - 3 & 0 \\ - 2 & - 5 \end{matrix}) \\ = (\begin{matrix} 7 - (- 3) & 4 - 0 \\ 18 - (- 2) & - 7 - (- 5) \end{matrix}) \\ = (\begin{matrix} 10 & 4 \\ 20 & - 2 \end{matrix}) \end{array}

Soalan 2:

Cari nilai mdalam persamaan matriks berikut:

(\begin{matrix} 9 & - 4 \\ 5 & 0 \end{matrix}) + \frac{1}{2} (\begin{matrix} 8 & m \\ 6 & - 10 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 13 & - 7 \\ - 2 & 1 \end{matrix})

Penyelesaian:

\begin{array}{l} (\begin{matrix} 9 & - 4 \\ 5 & 0 \end{matrix}) + \frac{1}{2} (\begin{matrix} 8 & m \\ 6 & - 10 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 13 & - 7 \\ - 2 & 1 \end{matrix}) \\ - 4 + \frac{1}{2} m = - 7 \\ \frac{1}{2} m = - 3 \\ m = - 6 \end{array}

Soalan 3:

\begin{array}{l} Diberi \\ (\begin{array}{l} 2 x \\ 3 y \end{array}) - 4 (\begin{array}{l} - 2 \\ 3 \end{array}) = (\begin{array}{l} - 2 \\ 6 \end{array}) \\ Cari nilai x dan y . \end{array}

Penyelesaian:

2x + 8 = –2

2x = –10

x= –5

3y – 12 = 6

3y = 18

y= 6

Soalan 4:

Diberi bahawa persamaan matriks 3(6 m) + n(3 4) = (12 7),

Cari nilai m+ n.

Penyelesaian:

3(6 m) + n(3 4) = (12 7)

18 + 3n = 12

3n = –6

n= –2

3m + 4n = 7

3m + 4(–2) = 7

3m = 15

m= 5

Maka m + n = 5 + (–2) = 3

Bab 2 Ungkapan dan Persamaan Kuadratik

Posted on April 29, 2016 by user

2.4 Punca Persamaan Kuadratik

1. Punca persamaan kuadratik ialah nilai bagi anu yang memuaskan persamaan kuadratik itu.

2. Punca persamaan juga dikenali sebagai penyelesaianbagi persamaan tertentu.

3. Menyelesaikan persamaan kuadratik dengan kaedah pemfaktoran.

Langkah 1: Tulis persamaan kuadratik dalam bentuk am ax²+ bx + c = 0.

Langkah 2: Faktorkan ungkapan kuadratik ax² + bx + c= 0 dalam bentuk (mx + p)
(nx+ q) = 0.

Langkah 3: Nyatakan mx + p= 0 atau nx + q = 0.

Langkah 4: Selesaikan dua persamaan dalam langkah 3.

\begin{array}{l} m x + p = 0 atau n x + q = 0 \\ x = - \frac{p}{m} atau x = - \frac{q}{n} \end{array}

Contoh 1:

Selesaikan persamaan kuadratik,

\frac{2 x^{2} - 5}{3} = 3 x

Penyelesaian:

\frac{2 x^{2} - 5}{3} = 3 x

2x²– 5 = 9x

2x²– 9x – 5 = 0

(x – 5) (2x + 1) = 0

x – 5 = 0 atau 2x + 1 = 0

x = 5 x = – ½

Contoh 2:

Selesaikan persamaan kuadratik, 4x² – 12 = –13x.

Penyelesaian:

4x²– 12 = –13x

4x²+ 13x – 12 = 0

(4x – 3) (x + 4) = 0

4x – 3 = 0 atau x + 4 = 0

x= ¾ x = – 4

Contoh 3:

Selesaikan persamaan kuadratik, 5x² = 3(x + 2) – 4.

Penyelesaian:

5x²= 3(x + 2) – 4

5x²= 3x + 6 – 4

5x² – 3x – 2 = 0

(x – 1) (5x + 2) = 0

x – 1 = 0 atau 5x + 2 = 0

x= 1

x = - \frac{2}{5}

Contoh 4:

Selesaikan persamaan kuadratik,

\frac{3 x (x - 3)}{4} = - x + 3.

Penyelesaian:

\frac{3 x (x - 3)}{4} = - x + 3

3x²– 9x = –4x + 12

3x² – 5x – 12 = 0

(x – 3) (3x + 4) = 0

x – 3 = 0 atau 3x + 4 = 0

x = 3

x = - \frac{4}{3}

Bab 2 Ungkapan dan Persamaan Kuadratik

Posted on April 29, 2016 by user

2.3 Persamaan Kuadratik

1. Persamaan Kuadratik adalah persamaan yang memenuhi syarat-syarat berikut:

(a) Ia mengandungi tatatanda kesamaan, ‘=’

(b) Ia melibatkan hanya satu anu.

(c) Kuasa tertinggi anu terlibat ialah 2.

Contoh,

2. Bentuk am bagi sesuatu persamaan kuadratik boleh ditulis sebagai:

(a) ax² + bx + c = 0 ,

di mana a ≠ 0, b ≠ 0 dan c ≠ 0,

contoh: 4x² + 13x – 12 = 0

(b) ax² + bx = 0 ,

di mana a ≠ 0, b ≠ 0 tetapi c = 0,

contoh: 7x² + 9x = 0

(c) ax² + c = 0 ,

di mana a ≠ 0, c ≠ 0 tetapi b = 0,

contoh: 9x² – 3 = 0

Contoh 1:

Tulis setiap persamaan kuadratik berikut dalam bentuk am.

(a) x² – 5x = 12

(b) –2 + 5x² – 6x = 0

(d) (x – 2)(x + 6) = 0

(e) 3 – 13x = 4 (x² + 2)

\begin{array}{l} (f) 2 - y = \frac{1 - 3 y}{y} \\ (g) \frac{p}{4} = \frac{2 p^{2} - 3}{10} \\ (h) \frac{y^{2} + 5}{4} = \frac{y - 1}{2} \\ (i) \frac{4 p}{7} = p (7 p - 6) \end{array}

Penyelesaian:

Bentuk am bagi sesuatu persamaan kuadratik ialah ax² + bx + c = 0

(a) x² – 5x = 12

x² – 5x -12 = 0

(b) –2 + 5x² – 6x = 0

5x² – 6x –2 = 0

(c) 7p² – 3p = 4p² + 4p – 3

7p² – 3p – 4p² – 4p + 3 = 0

3p² – 7p + 3 = 0

(d) (x – 2)(x + 6) = 0

x² + 6x – 2x – 12 = 0

x² + 4x – 12 = 0

(e) 3 – 13x = 4 (x² + 2)

3 – 13x = 4x² + 8

–4x²– 8 + 3 – 13x = 0

–4x² – 13x – 5 = 0

4x² + 13x + 5 = 0

(f) 2 - y = \frac{1 - 3 y}{y}

2y – y²= 1 – 3y

2y – y²– 1 + 3y = 0

– y²+ 3y – 1 = 0

y² – 3y + 1 = 0

(g) \frac{p}{4} = \frac{2 p^{2} - 3}{10}

10p = 8p² – 12

–8p² + 10p +12 = 0

8p² – 10p – 12 = 0

(h) \frac{y^{2} + 5}{4} = \frac{y - 1}{2}

2y² + 10 = 4y – 4

2y² – 4y + 10 + 4 = 0

2y² – 4y + 14 = 0

(i) \frac{4 p}{7} = p (7 p - 6)

4p = 7p (7p – 6)

4p = 49p² – 42p

– 49p² + 42p + 4p = 0

49p² – 46p = 0

Bab 2 Ungkapan dan Persamaan Kuadratik

Posted on April 29, 2016 by user

2.1 Ungkapan Kuadratik (Contoh Soalan)

Contoh 1:

Bentukkan suatu ungkapan kuadratik dengan mendarab setiap yang berikut.

(a) (6p – 2)(2p – 1)

(b) (m + 5)(4 – 7m)

Penyelesaian:

(a) (6p – 2)(2p – 1)

= (6p)(2p) + (6p)( –1) + (–2)(2p) + (–2)( –1)

= 12p²– 6p – 4p + 2

= 12p²– 10p + 2

(b) (m + 5)(4 – 7m)

= (m)(4) + (m)(-7m) + (5)(4) + (5)(-7m)

= 4m – 7m² + 20 – 35m

= –7m²– 31m + 20

(c) (x + 2) (2x – 3)

= (x)(2x) + (x)( –3) + (2)(2x) + (2)( –3)

= 2x²– 3x + 4x – 6

= 2x² + x - 6

Bab 3 Set

Posted on April 29, 2016 by user

3.5.2 SPM Practis (Soalan Panjang)

Soalan 3:

(a) Gambar rajah Venn di ruang jawapan menunjukkan set P dan set Q dengan keadaan set
semesta,

ξ = P \cup Q

Lorek set P ∩ Q.

(b) Gambar rajah Venn di ruang jawapan menunjukkan set X, set Y dan set Z dengan
keadaan set semesta,

ξ = X \cup Y \cup Z

Lorek set

(X \cup Z) \cap Y .

Penyelesaian:

(a)

· P ∩ Q menunjukkan persilangan rantau P dengan rantau Q.

(b)

(X \cup Z)

bermaksud kesatuan rantau X dengan rantau Z.
· Persilangan rantau ini dengan rantau Y untuk membentuk

(X \cup Z) \cap Y .

Soalan 4:

Gambar rajah Venn di ruang jawapan menunjukkan set P, set Q dan set R dengan keadaan set semesta,

ξ = P \cup Q \cup R

Pada rajah di ruang jawapan, lorekkan

(a) P ∩ R’,

(b)

P' \cup (Q \cap R) .

Penyelesaian:

(a) P ∩ R’

(b)

P' \cup (Q \cap R) .