Bab 3 Set

Posted on April 29, 2016 by user

3.5.1 SPM Practis (Soalan Panjang)

Soalan 1:

Gambar rajah Venn di ruang jawapan menunjukkan set X, set Y dan set Z dengan keadaan set semesta,

ξ = X \cup Y \cup Z

Pada rajah di ruang jawapan, lorekkan

\begin{array}{l} (a) X' \cap Y, \\ (b) (X \cup Y') \cap Z \end{array}

Penyelesaian:

(a) X’ ∩ Y menunjukkan persilangan rantau di luar set X dengan rantau set Y.

(b)

· Cari rantau

(X \cup Y')

(X \cup Y')

bermaksud kesatuan rantau X dengan rantau di luar Y.

· Persilangan rantau ini dengan rantau Z untuk membentuk

(X \cup Y') \cap Z

Soalan 2:

Gambar rajah Venn di ruang jawapan menunjukkan set P, set Q dan set R dengan keadaan set semesta,

ξ = P \cup Q \cup R

Pada rajah di ruang jawapan, lorekkan

(a) Q ∩ R,

(b)

(P' \cap R) \cup Q .

Penyelesaian:

(a) Q ∩ R menunjukkan persilangan rantau Q dengan rantau R.

(b)

· Cari rantau (P’ ∩ R).

· (P’ ∩ R) bermaksud persilangan rantau di luar P dengan rantau R.

· Kesatuan rantau ini dengan rantau Q untuk membentuk

(P' \cap R) \cup Q .

Bab 3 Set

Posted on April 29, 2016 by user

3.4 SPM Practis (Soalan Pendek)

Soalan 1:

Senaraikan semua subset bagi set P = {r, s}.

Penyelesaian:

Terdapat 2 unsur dalam set P, jadi bilangan subset bagi set P ialah 2ⁿ = 2²= 4.

Set P = {r, s}

Maka subset bagi set P = {r}, {s}, {r, s}, { }

Soalan 2:

Rajah di atas menunjukkan gambar rajah Venn dengan set semesta, ξ = Q U P. Senaraikan semua subset bagi set P.

Penyelesaian:

Terdapat 3 unsur dalam set P, jadi bilangan subset bagi set P ialah 2ⁿ = 2³ = 8.

Set P = {2, 3, 5}

Maka subset bagi set P = { }, {2}, {3}, {5}, {2, 3}, {2, 5}, {3, 5}, {2, 3, 5}.

Soalan 3:

Diberi bahawa set semesta, ξ = {x : 30 ≤ x < 42, x ialah integer} dan set P= {x : x ialah nombor dengan keadaan hasil tambah dua digitnya ialah nombor genap}.

Carikan set P’.

Penyelesaian:

ξ = {30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41}

P = {31, 33, 35, 37, 39, 40}

Maka P’= {30, 32, 34, 36, 38, 41}

Soalan 4:

Diberi bahawa set semesta, ξ = {x : 3 < x ≤ 16, x ialah integer},

Set A = {4, 11, 13, 16},

Set B = {x : x ialah nombor ganjil} dan

Set C = {x : x ialah gandaan bagi 3}.

Unsur bagi set

(A \cup C)' \cap B

ialah

Penyelesaian:

ξ = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16}

A = {4, 11, 13, 16}

B = {5, 7, 9, 11, 13, 15}

C = {6, 9, 12, 15}

\begin{array}{l} (A \cup C)' = {5, 6, 7, 8, 10, 14} \\ M a k a (A \cup C)' \cap B = {5, 7} \end{array}

Bab 3 Set

Posted on April 28, 2016 by user

3.3b Kesatuan Set

1. Kesatuan dua set, A dan B, diwakilkan sebagai A∪ B, ialah satu set yang unsur-unsurnya terdiri daripada semua unsur dalam set A atau set B atau kedua-dua set itu.

Gambar rajah Venn di bawah menunjukkan A∪ B:

2. Kesatuan tiga set, A, B dan C, diwakilkan sebagai A∪ B ∪ C, ialah satu set yang unsur-unsurnya terdiri daripada semua unsur dalam set A, set B atau set C atau ketiga-tiga set itu.

Gambar rajah Venn di bawah menunjukkan A∪ B ∪ C:

Contoh 1:

Gambar rajah Venn di bawah menunjukkan bilangan unsur dalam set semesta, ξ, set P, set Q dan set R.

Diberi n(Q) = n(P∪ R)’, cari n (ξ).

Penyelesaian:

n(Q) = n(P∪ R)’

2x + 6 + 1 + 5 = 2x + 2x

2x + 12 = 4x

2x = 12

x = 6

n(ξ) = 2x + 2x + x + 7 + 6 + 1 + 5

= 5x + 19

= 5(6) + 19

= 30 + 19

= 49

Contoh 2:

Gambar rajah Venn di bawah menunjukkan set semesta, ξ = {Pelajar-pelajar tingkatan 3}, set A = {Pelajar-pelajar yang memain piano} dan set B = { Pelajar-pelajar yang memain biola}.

Diberi n (ξ) = 60, n (A) = 25, n (B) = 12 dan n (A ∩ B) = 8, cari bilangan pelajar yang tidak memain kedua-dua jenis alat muzik.

Penyelesaian:

Pelajar-pelajar yang tidak memain kedua-dua jenis alat muzik adalah diwakilkan oleh rantau berlorek, (A U B)’ di bawah.

Bilangan pelajar yang tidak memain kedua-dua jenis alat muzik

= n (A∪ B)’

= 60 – 17 – 8 – 4

= 31

Bab 3 Set

Posted on April 28, 2016 by user

3.3 Operasi ke Atas Set

3.3a Persilangan Set

1. Persilangan dua set, P dan Q, diwakilkan sebagai P ∩ Q, ialah satu set yang unsur-unsurnya terdiri daripada semua unsur sepunya set P dan set Q.

2. Persilangan bagi set P, set Q dan set R, diwakilkan sebagai P ∩ Q ∩ R, ialah satu set yang unsur-unsurnya terdiri daripada semua unsur sepunya set P, set Q dan set R.

3. Mewakilkan persilangan set dengan menggunakan gambar rajah Venn seperti berikut.

(a) P ∩ Q

(b) Q⊂P, maka P∩Q=Q

(c) P ∩ Q = ϕ

Tidak ada persilangan antara set P dan set Q.

(d) P ∩ Q ∩ R

Contoh 1:

Diberi A = {3, 4, 5, 6, 7}, B = {4, 5, 7, 8, 9, 12} dan C = {3, 5, 7, 8, 9, 10}.

(a) Cari A ∩ B ∩ C.

(b) Lukis sebuah gambar rajah Venn untuk mewakilkan A ∩ B ∩ C.

Penyelesaian:

(a) A ∩ B ∩ C = {5, 7}

(b)

4. Set pelengkap bagi persilangan dua set, P dan Q, diwakilkan sebagai (P ∩ Q)’, ialah satu set yang mengandungi semua unsur dalam set semesta, ξ, yang bukan unsur P ∩ Q.

5. Set pelengkap (P ∩ Q)’ diwakilkan oleh rantau berlorek yang ditunjukkan dalam
gambar rajah Venn di bawah.

Bab 3 Set

Posted on April 28, 2016 by user

3.2c Set Pelengkap

1. Set pelengkap bagi set B dalam set semesta, ξ ialah satu set yang mengandungi semua unsur dalam set semesta yang bukan unsur B.

2. Set pelengkap bagi set B diwakilkan dengan menggunakan symbol B’.

Contoh:

Jika ξ = {17, 18, 19, 20, 21, 22, 23} dan

B = {17, 20, 21}

B’ = {18, 19, 22, 23}

3. Gambar rajah Venn di bawah menunjukkan hubungan antara B, B’ dan set semesta, ξ.

Set pelengkap bagi set B diwakilkan oleh rantau berlorek dalam set semesta, ξ, tetapi di luar set B.

Bab 3 Set

Posted on April 28, 2016 by user

3.2b Set Semesta

1. Set semesta ialah set yang mengandungi semua unsur yang menjadi bahan perbincangan.

2. Set semesta diwakilkan dengan menggunakan symbol, ξ.

Contoh:

Diberi set semesta, ξ = {nombor bulat kurang daripada 9}, A = {nombor perdana} dan B = {gandaan bagi 4}.

(a) Senaraikan semua unsur bagi set A dan set B.

(b) Lukiskan gambar rajah Venn untuk mewakilkan hubungan antara set-set yang berikut.

(i) ξ dan A

(ii) ξ, A dan B

Penyelesaian:

(a) ξ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

A= {2, 3, 5, 7}

B= {4, 8}

(b)(i)

(b)(ii)

Bab 3 Set

Posted on April 28, 2016 by user

3.2 Subset, Set Semesta, dan Set Pelengkap

3.2a Subset

1. Set A ialah subset bagi set B jika semua unsur dalam set Aterdapat dalam set B.

2. Hubungan ‘set A ialah subset bagi set B’ ditulis sebagai

A \subset B .

Contoh:

A= {11, 12, 13} dan B = {10, 11, 12, 13, 14}

Semua unsur set Aterdapat dalam set B.

Oleh itu A \subset B .

A \subset B

boleh digambarkan dengan menggunakan gambar rajah Venn berikut:

4. Simbol

⊄

diguna untuk menandakan ‘bukan subset kepada’.

5. Set kosong adalah subsetbagi semua set.

Misalnya,

ϕ \subset A

6. Set itu sendiri adalah subset.

Misalnya,

B \subset B

7. Bilangan unsur, n bagi suatu subset adalah 2ⁿ.

Misalnya, jika A = {3, 7}

Maka n = 2, bilangan subset bagi set A = 2² = 4

Semua subset bagi set A ialah { }, {3}, {7} and {3, 7}.

Bab 5 Garis Lurus

Posted on April 28, 2016 by user

5.7 SPM Praktis (Soalan Panjang 2)

Soalan 4:

Dalam rajah di atas, PQRS ialah suatu segi empat selari. Cari

(a) kecerunan SR,

(b) persamaan QR,

Penyelesaian:

(a)

PQadalah selari dengan SR, kecerunan PQ = kecerunan SR.

Kecerunan S R = - \frac{6}{- 3} = 2

\begin{array}{l} (b) \\ Kecerunan Q R = \frac{8 - 6}{5 - 0} = \frac{2}{5} \\ Gantikan m = \frac{2}{5} dan R (5, 8) \\ ke dalam y = m x + c \\ 8 = \frac{2}{5} (5) + c \\ c = 6 \\ Oeh itu, persamaan Q R : \\ y = \frac{2}{5} x + 6 \end{array}

\begin{array}{l} (c) \\ Pada pintasan- x, y = 0 \\ 0 = \frac{2}{5} x + 6 \\ x = - 15 \\ Oleh itu, pintasan- x bagi Q R = - 15. \end{array}

Soalan 5:

Dalam rajah di atas, suatu garis lurus 5x +7y + 35 = 0 bersilang pada paksi-x di Rdan paksi-y di S. Tentukan

(a) Kecerunan garis lurus RS.

(b) pintasan-x bagi garis lurus RS.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} (a) \\ 5 x + 7 y + 35 = 0 \\ 7 y = - 5 x - 35 \\ y = - \frac{5}{7} x - 5 \\ ∴ Kecerunan garis lurus R S = - \frac{5}{7} . \end{array}

\begin{array}{l} (b) \\ Pada pintasan- x, y = 0 \\ 0 = - \frac{5}{7} x - 5 \\ \frac{5}{7} x = - 5 \\ x = - 7 \\ ∴ pintasan- x garis lurus R S = - 7. \end{array}

\begin{array}{l} (c) \\ Titik R = (- 7, 0) dan titik S = (0, - 5) \\ Jarak R S = \sqrt{{(- 7 - 0)}^{2} + {(0 - (- 5))}^{2}} \\ = \sqrt{49 + 25} \\ = \sqrt{74} unit \end{array}

Bab 5 Garis Lurus

Posted on April 27, 2016 by user

5.7 SPM Praktis (Soalan Panjang)

Soalan 1:

Rajah di bawah menunjukkan sebuah trapezium, ABCD yang dilukis pada satah Cartesan. . BC selari dengan AD dan O ialah asalan. Persamaan garis lurus BC ialah 3y = kx + 7 dan persamaan garis lurus AD ialah

y = \frac{1}{2} x + 3.

Cari

(a) nilai k,

(b) pintasan-x bagi garis lurus BC.

Penyelesaian:

(a)

Persamaan BC:

3y = kx + 7

\begin{array}{l} y = \frac{k}{3} x + \frac{7}{3} \\ ∴ Kecerunan B C = \frac{k}{3} \\ Persamaan A D : y = \frac{1}{2} x + 3 \\ ∴ Kecerunan A D = \frac{1}{2} \end{array}

\begin{array}{l} Kecerunan B C = kecerunan A D \\ \frac{k}{3} = \frac{1}{2} \\ ∴ k = \frac{3}{2} \end{array}

(b)

Persamaan,

3 y = \frac{3}{2} x + 7

Pada pintasan-x, y = 0

\begin{array}{l} 3 (0) = \frac{3}{2} x + 7 \\ \frac{3}{2} x = - 7 \\ x = - \frac{14}{3} \end{array}

Oleh itu, pintasan-x bagi garis lurus BC =

- \frac{14}{3}

Soalan 2:

Dalam rajah di bawah, O ialah asalan. Garis lurus MNadalah selari dengan garis lurus OK.

Cari

(a) persamaan bagi garis lurus MN,

(b) pintasan-x bagi garis lurus MN.

Penyelesaian:

(a) Kecerunan MN = kecerunan OK

\begin{array}{l} = \frac{5 - 0}{3 - 0} \\ = \frac{5}{3} \end{array}

Gantikan = 5/3 dan (–2, 5) ke dalam y = mx+ c

5 = \frac{5}{3} (- 2) + c

15 = –10 + 3c

3c = 25

c= 25/3

Oleh itu, persamaan MN:

y = \frac{5}{3} x + \frac{25}{3}

(b)

Pada pintasan-x, y = 0

\begin{array}{l} 0 = \frac{5}{3} x + \frac{25}{3} \\ \frac{5}{3} x = - \frac{25}{3} \end{array}

5x = –25

x= –5

Oleh itu, pintasan-x bagi MN = –5.

Soalan 3:

Rajah di bawah menunjukkan suatu garis lurus JK dan garis lurus ST dilukis pada satah Cartesan. JKadalah selari dengan ST.

Cari

(a) persamaan bagi garis lurus ST,

(b) pintasan-x bagi garis lurus ST.

Penyelesaian:

(a)

JKadalah selari dengan ST, kecerunan JK = kecerunan ST.

\begin{array}{l} = \frac{8 - 0}{0 - 4} \\ = - 2 \end{array}

Gantikan m= –2 dan S (5, 6) ke dalam y = mx+ c

6 = –2 (5) + c

c= 16

Oleh itu, persamaan ST: y = –2x + 16

(b)

Pada pintasan-x, y = 0

0 = –2x + 16

2x = 16

x = 8

Oleh itu, pintasan-x bagi ST = 8.

Bab 5 Garis Lurus

Posted on April 27, 2016 by user

5.6.1 SPM Praktis (Soalan Pendek)

Soalan 1:

Rajah di bawah menunjukkan suatu garis lurus RS yang dilukis pada satah Cartesan.

Cari kecerunan RS.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} Guna formula kecerunan \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} \\ Kecerunan R S = \frac{3 - 1}{5 - (- 1)} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \end{array}

Soalan 2:

Dalam rajah di bawah, PQ adalah suatu garis lurus dengan kecerunan –½.

Cari pintasan-x bagi garis lurus PQ.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} m = - \frac{pintasan- y}{pintasan- x} \\ - \frac{1}{2} = - (\frac{- 3}{pintasan- x}) \\ pintasan- x = 3 \times (- 2) = - 6 \end{array}

Soalan 3:

Rajah di bawah menunjukkan suatu garis lurus RS yang dilukis pada satah Cartesan.

Diberi jarak antara RS ialah 10 unit.

Cari kecerunan RS.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} R S = 10 unit, O S = 6 unit \\ O R = \sqrt{10^{2} - {(- 6)}^{2}} = 8 unit \\ pintasan- y bagi R S = - 6 \\ pintasan- x of R S = - 8 \end{array}

\begin{array}{l} m = - \frac{pintasan- y}{pintasan- x} \\ ∴ Kecerunan R S = - (\frac{- 6}{- 8}) = - \frac{3}{4} \end{array}

Soalan 4:

Kecerunan bagi garis lurus 3x – 4y = 24 ialah

Penyelesaian:

Menyusun semula persamaan dalam bentuk y = mx+ c

3x – 4y = 24

4y = 3x – 24

y = \frac{3}{4} x - 6

Oleh itu, kecerunan garis lurus =

\frac{3}{4} .

Soalan 5:

Tentukan pintasan-y bagi garis lurus 3x + 2y = 5

Penyelesaian:

Bagi pintasan-y, x = 0

3(0) + 2y = 5

\begin{array}{l} y = \frac{5}{2} \\ Oleh itu, pintasan- y = \frac{5}{2} . \end{array}