Home › 2016 › May › Page 14

Monthly Archives: May 2016

Bab 15 Matriks

Posted on by
4.4 Pendaraban Matriks dengan Nombor
Pendaraban suatu matriks dengan suatu nombor ialah pendaraban setiap unsur matriks dengan nombor itu.

Contoh:
Diberi A=( −2 4 5 −6 )  , cari setiap yang berikut sebagai satu matriks tunggal.
(a)  3A
(b)  -2A

Penyelesaian:
(a) 3A=3( −2 4 5 −6 ) =( 3×(−2) 3×4 3×5 3×(−6) ) =( −6 12 15 −18 )

(b) −2A=−2( −2 4 5 −6 ) =( −2×(−2) −2×4 −2×5 −2×(−6) ) =( −4 −8 −10 12 )

Bab 15 Matriks

Posted on by
4.3 Penambahan dan Penolakan Matriks (Contoh Soalan)
Contoh 1:
Cari hasil tambah bagi matriks yang berikut:
(a) ( 18   −7 )+( 3   6 ) (b) ( −13 0 7 −1 )+( −1 3 5 6 )

Penyelesaian:
(a) ( 18   −7 )+( 3   6 ) =( 18+3   −7+6 )=( 21   −1 ) (b) ( −13 0 7 −1 )+( −1 3 5 6 ) =( −13+( −1 ) 0+3 7+5 −1+6 )=( −14 3 12 5 )
 


Contoh 2:
Cari setiap yang berikut sebagai satu matriks tunggal.
(a)( 9 6 )−( 7 −2 ) (b) ( 3 −4 0 5 )−( −7 −3 −6 1 )

Penyelesaian:
(a)( 9 6 )−( 7 −2 )=( 9−7 6−(−2) )=( 2 8 ) (b) ( 3 −4 0 5 )−( −7 −3 −6 1 ) =( 3−( −7 ) −4−(−3) 0−(−6) 5−1 ) =( 3+7 −4+3 0+6 5−1 )=( 10 −1 6 4 )


(B) Menentukan nilai unsur yang tidak diketahui dalam persamaan matriks yang melibatkan operasi tambah dan tolak
Contoh 3:
Diberi   ( p q )+( 5p 9 )=( −12 3q+1 ), cari nilai bagi p dan q.

Penyelesaian:
( p q )+( 5p 9 )=( −12 3q+1 ) ( p+5p q+9 )=( −12 3q+1 ) p+5p=−12 6p=−12 p=−2
q+9=3q+1 q−3q=1−9 −2q=−8 q=4


Contoh 4:
Cari nilai m dan n bagi persamaan matriks yang berikut:
( 7 6 n 1 )−( −1 m −4 −2 )=( 5 12 6 11 )

Penyelesaian:
( 7 6 n 1 )−( −1 m −4 −2 )=( 5 12 6 11 ) 6−m=12 −m=6 m=−6 n−(−4)=6 n+4=6 n=2

Bab 15 Matriks

Posted on by
4.2 Matriks Sama (Contoh Soalan)
Contoh 1:
( 1 x+2 4−y −1 )=( 1 3 2 −1 )

Penyelesaian:
( 1 x+2 4−y −1 )=( 1 3 2 −1 ) x+2=3 x=1 4−y=2 −y=−2 y=2


Contoh 2:
Hitung nilai p dan nilai q dalam setiap persamaan matriks yang berikut:
(a) ( 3 2p+q p −3 )=( 3 1 8−2q −3 ) (b) ( 10 0 5p−8 1 )=( p−2q 0 −4q 1 )

Penyelesaian:
(a) ( 3 2p+q p −3 )=( 3 1 8−2q −3 )
2p + q = 1
q= 1 – 2p ----(1)
p= 8 – 2q ----(2)
Gantikan (1) ke dalam (2),
p= 8 – 2 (1 – 2p)
p= 8 – 2 +  4p
p– 4p = 6
–3p = 6
p= –2
Gantikan p= –2 ke dalam (1),
q= 1 – 2(–2)
q= 5

(b) ( 10 0 5p−8 1 )=( p−2q 0 −4q 1 )
10 = p – 2 q
p= 10 + 2q ----(1)
5p – 8 = –4q ----(2)
Gantikan (1) ke dalam (2),
5 (10 + 2q) – 8 = –4q
50 + 10q – 8 = –4q
14q = –42
q= –3

Gantikan q= –3 ke dalam (1),
p= 10 + 2(–3)
p= 4

Bab 14 Penjelmaan

Posted on by

3.1d Menghuraikan Gabungan Dua Penjelmaan
 
Contoh 1:

 
Dalam rajah di atas, segi tiga KLM, ialah imej bagi segi tiga ABC di bawah gabungan penjelmaan VW. Huraikan selengkapnya penjelmaan W dan penjelmaan V.
 
Penyelesaian:


Segi tiga ABC → W→ Segi tiga KB’C’ → V → Segi tiga KLM
W = Translasi ( 0 4 )  
V = Pembesaran pada pusat K (1, 1) dengan faktor skala 3.


Contoh 2:


Dalam rajah di atas, segi tiga CKL, ialah imej bagi segi tiga ABC di bawah gabungan penjelmaan UY. Huraikan selengkapnya penjelmaan Y dan penjelmaan U.


Penyelesaian:

 
Segi tiga ABC → Y→ Segi tiga AB’C → U→ Segi tiga CKL
Y = Pantulan pada garis lurus y = 6
U = Pembesaran pada pusat C (12, 6) dengan faktor skala 2.


Contoh 3:

 
Dalam rajah di atas, segi tiga PQR, ialah imej bagi segi tiga ABC di bawah gabungan penjelmaan TW.
Huraikan selengkapnya penjelmaan W dan penjelmaan T.


Penyelesaian:



Segi tiga ABC → W→ Segi tiga PBC’ → T→ Segi tiga PQR
W = Putaran ikut arah jam melalui 90o pada pusat B (5, 5).
T = Pembesaran pada pusat P (1, 5) dengan faktor skala 2.

Bab 14 Penjelmaan

Posted on by

3.1c Menyatakan Koordinat-koordinat Imej bagi suatu Titik di bawah Gabungan Dua

1.  Koordinat-koordinat bagi imej satu titik, K, di bawah suatu gabungan penjelmaan AB, boleh ditentukan dengan langkah-langkah berikut:
Step 1: Menentukan koordinat-koordinat K’, imej bagi K, di bawah penjelmaan pertama, B.
Step 2: Menentukan koordinat-koordinat K”, imej bagi K’, di bawah penjelmaan kedua, A. K” ialah imej bagi K, di bawah gabungan penjelmaan AB.


Contoh:
T, P, R dan E adalah empat penjelmaan yang ditakrifkan seperti berikut:
P = pantulan pada paksi-y.
R = Putaran 90o ikut arah jam pada asalan.
E = Satu pembesaran pada asalan dengan faktor skala 3.

Cari koordinat-koordinat bagi imej titik A (3, –2) di bawah setiap gabungan penjelmaan berikut.
(a) TT  
(b) PT
(c) ET 
(d) ER
(e) EP
 
Penyelesaian:
(a)


A(3, –2) → T → A’(–1, 1) → T → A”(–5, 4).



(b)

 
A(3, –2) → T → A’(–1, 1) → P → A”(1, 1).


(c)


A(3, –2) → T → A’(–1, 1) → E → A”( –3, 3).


(d)


A(3, –2) → R → A’(–2, 3) → E → A”( –6, –9).



(e)


A(3, –2) → P → A’(–3, –2) → E → A”( –9, –6).

Bab 14 Penjelmaan

Posted on by
3.1 Gabungan Dua Penjelmaan

3.1a Menentukan Imej suatu Objek bagi Gabungan Dua Penjelmaan Isometri
1.      Translasi, pantulan dan putaranadalah penjelmaan isometri.
2.      Dalam suatu penjelmaan isometri, bentukdan saiz bagi imej adalah sama dengan objek.
3.      Bagi dua penjelmaan, A dan B,
(a)  Gabungan penjelmaan AB bermaksud penjelmaan B diikuti dengan penjelmaan A.
(b)  Gabungan penjelmaan BA bermaksud penjelmaan A diikuti dengan penjelmaan B.
(c)   Gabungan penjelmaan A2 = AA bermaksud penjelmaan A dijalankan dua kali berturut-turut.

Bab 14 Penjelmaan

Posted on by

3.1b Menentukan Imej suatu Objek bagi Gabungan Penjelmaan yang Melibatkan (a) Dua Pembesaran, (b) Satu Pembesaran dengan Satu daripada Penjelmaan Isometri

Pembesaran ialah suatu penjelmaan di mana semua titik objek bergerak dari satu titik tetap, mengikut suatu nisbah tertentu.

1.   Titik tetap tersebut adalah pusat pembesaran manakala nisbah tertentu dikenali sebagai faktor skala.

Faktor skala, k = jarak titik pada imej dari pusat pembesaran jarak titik yang sepadan pada objek dari pusat pembesaran

2.   Bagi pembesaran, objek dan imej adalah serupa.
3.   Luas imej = (Faktor skala)2× Luas objek
= k2 × Luas objek


Contoh:

 
E, P dan T ialah tiga penjelmaan yang ditakrifkan seperti berikut:
E = Pembesaran pada pusat V (0, –1) dengan factor skala 2.
P = Pantulan pada garis lurus y = –1 .
T = T r a n s l a s i ( 3 − 3 )

Berdasarkan rajah di atas, tentukan imej bagi trapezium berlorek di bawah gabungan penjelmaan
(a) E2  
(b) ET  
(c) EP
 
Penyelesaian:


(a)
Trapezium berlorek → (E) trapezium III → (E) trapezium D.
Maka, imej bagi trapezium berlorek di bawah gabungan penjelmaan E2 = EE ialah trapezium D.

(b)
Trapezium berlorek → (T) trapezium II → (E) trapezium A.
Maka, imej bagi trapezium berlorek di bawah gabungan penjelmaan ET ialah trapezium A.

(c)
Trapezium berlorek → (P) trapezium I → (E) trapezium B.
Maka, imej bagi trapezium berlorek di bawah gabungan penjelmaan EP ialah trapezium B.

Bab 14 Penjelmaan

Posted on by

3.2 Menyelesaikan Masalah yang Melibatkan Penjelmaan
 
Contoh:
Rajah di bawah menunjukkan segi tiga ABC, SQT dan PQR.



(a)  Penjelmaan T ialah translasi ( 5 − 2 )
Penjelmaan P ialah pantulan pada garis lurus y = 7.
Nyatakan koordinat imej bagi titik A di bawah setiap penjelmaan berikut:
(i) Penjelmaan T,
(ii) Gabungan penjelmaan PT.

(b)  (i) PQR ialah imej bagi segi tiga ABC di bawah gabungan penjelmaan MN. Huraikan selengkapnya penjelmaan N dan penjelmaan M.
(ii) Diberi bahawa luas bagi rantau berlorek PSTR ialah 200 m2. Hitungkan luas segi tiga SQT.


Penyelesaian:


(a)(i) A(3, 11) → T → A’(8, 9).
(a)(ii) A(3, 11) → T → A’(8, 9) → P → A”(8, 5).


(b)(i)

 
N = Putaran lawan arah jam melalui 90o pada pusat B (5, 10).


(b)(ii)

 
M = Pembesaran pada pusat (5, 12) dengan faktor skala 3.


(c)
Luas imej = (factor skala)2 × Luas objek
Luas PQR = 32 × Luas SQT
Luas SQT  + Luas PSTR = 9 × Luas SQT
Luas SQT  + 200 = 9 × Luas SQT
200 = (9 × Luas SQT) – Luas SQT
200 = 8 × Luas SQT
Luas S Q T = 200 8
Luas SQT = 25 m2

3.4.2 SPM Praktis, Penjelmaan (Soalan Panjang)

Posted on by

3.4.2 SPM Praktis, Penjelmaan (Soalan Panjang)
 
Soalan 2:
(a)  Penjelmaan P ialah pantulan pada garis lurus x = m.
Penjelmaan T ialah translasi ( 4 − 2 )  
Penjelmaan R ialah putaran 90o ikut arah jam pada pusat (0, 4).
(i) Titik (6, 4) adalah imej bagi titik ( –2, 4) di bawah penjelmaan P.
(ii) Cari koordinat imej bagi titik (2, 8) di bawah gabungan penjelmaan berikut:
(a)  T2,
(b)   TR.

(b)  Rajah di bawah menunjukkan trapezium CDFE dan trapezium HEFG dilukis pada suatu satah Cartesian.

 
(i) HEFG ialah imej bagi CDEF di bawah gabungan penjelmaan WU.
  Huraikan selengkapnya penjelmaan:
(a) U
(b) W

(ii) Diberi bahawa CDEF mewakili suatu kawasan yang mempunyai luas 60 m2.
 Hitungkan luas, dalam m2, kawasan yang diwakili oleh rantau berlorek.


Penyelesaian:
(a)(i)
( 6 , 4 ) → P → ( − 2 , 4 ) m = 6 + ( − 2 ) 2 = 2

(a)(ii)

(a) (2, 8) → T → (6, 6) → T → (10, 4)
(b) (2, 8) → R → (4, 2) → T → (8, 0)


(b)(i)(a)
U: Putaran lawan arah jam melalui 90o pada pusat A (3, 3).


(b)(i)(b)
Faktor skala = H E C D = 4 2 = 2
W: Satu pembesaran pada pusat B (3, 5) dengan faktor skala 2.

(b)(ii)
Luas HEFG = (factor skala)2 × Luas objek
= 22 × luas CDEF
= 4 × 60
 = 240 m2
Oleh itu,
Luas rantau berlorek
= Luas HEFG – luas CDEF
= 240 – 60
= 180 m2


3.4.1 SPM Praktis, Penjelmaan (Soalan Panjang)

Posted on by

SPM Praktis, Penjelmaan (Soalan Panjang)

Soalan 1:
(a) Penjelmaan T ialah translasi ( − 4 2 )  dan penjelmaan P ialah putaran 90o lawan arah jam pada pusat (1, 0).
Nyatakan koordinat imej bagi titik (5, 1) di bawah setiap penjelmaan berikut:
(i) Translasi T,
(ii) Putaran P,
(iii) Gabungan penjelmaan T2.

(b) Rajah di bawah menunjukkan tiga sisi empat, ABCD, EFGH dan JKLM, dilukis pada suatu satah Cartesian.


(i) JKLM ialah imej bagi ABCD di bawah gabungan penjelmaan VW.
Huraikan selengkapnya penjelmaan:
(a) W   (b) V
(ii) Diberi bahawa sisi empat ABCD mewakili suatu kawasan yang mempunyai luas 18 m2.
Hitungkan luas, dalam m2, kawasan yang diwakili oleh rantau berlorek.


Penyelesaian:
(a)

(b)

 
(i)(a)
W: Satu pantulan pada garis lurus x = –2

(i)(b)
V: Satu pembesaran pada pusat (0, 4) dengan faktor skala 3.

(b)(ii)
Luas EFGH = luas ABCD = 18 m2
Luas JKLM = (factor skala)2 × Luas objek
= 32 × luas EFGH
 = 32 × 18
= 162 m2
Oleh itu,
Luas rantau berlorek
= Luas JKLM – luas EFGH
= 162 – 18
= 144 m2