Bab 14 Pengamiran

Posted on May 22, 2016 by user

3.6 Pengamiran Sebagai Penghasiltambahan Isi padu

(1).

Isi padu yang dijanakan apabila rantau berlorek dikisarkan melalui 360° pada paksi-x

I_{x} = π \int_{a}^{b} y^{2} d x

(2).

Isi padu yang dijanakan apabila rantau berlorek dikisarkan melalui 360° pada paksi-y

I_{y} = π \int_{a}^{b} x^{2} d y

Contoh 1:

Hitung isi padu pepejal yang dijanakan apabila rantau berlorek di bawah dikisarkan melalui 360° pada paksi-x.

Penyelesaian:

Isi padu yang dijanakan, I_x

\begin{array}{l} I_{x} = π \int_{a}^{b} y^{2} d x \\ I_{x} = π \int_{2}^{4} {(3 x - \frac{8}{x})}^{2} d x \\ I_{x} = π \int_{2}^{4} (3 x - \frac{8}{x}) (3 x - \frac{8}{x}) d x \\ I_{x} = π \int_{2}^{4} (9 x^{2} - 48 + \frac{64}{x^{2}}) d x \\ I_{x} = π {[\frac{9 x^{3}}{3} - 48 x + \frac{64 x^{- 1}}{- 1}]}_{2}^{4} \\ I_{x} = π {[3 x^{3} - 48 x - \frac{64}{x}]}_{2}^{4} \\ I_{x} = π [(3 {(4)}^{3} - 48 (4) - \frac{64}{4}) - (3 {(2)}^{3} - 48 (2) - \frac{64}{2})] \\ I_{x} = π (- 16 + 104) \\ I_{x} = 88 π u n i t^{3} \end{array}

Contoh 2:

Hitung isi padu pepejal yang dijanakan apabila rantau berlorek di bawah dikisarkan melalui 360° pada paksi-y.

Penyelesaian:

Isi padu yang dijanakan, I_y

\begin{array}{l} I_{y} = π \int_{a}^{b} x^{2} d y \\ I_{y} = π \int_{1}^{2} {(\frac{2}{y})}^{2} d y \\ I_{y} = π \int_{1}^{2} (\frac{4}{y^{2}}) d y \\ I_{y} = π \int_{1}^{2} 4 y^{- 2} d y \\ I_{y} = π {[\frac{4 y^{- 1}}{- 1}]}_{1}^{2} = π {[- \frac{4}{y}]}_{1}^{2} \\ I_{y} = π [(- \frac{4}{2}) - (- \frac{4}{1})] \\ I_{y} = 2 π u n i t^{3} \end{array}

Bab 14 Pengamiran

Posted on May 22, 2016 by user

3.5 Pengamiran Sebagai Penghasiltambahan Luas

(A) Luas di bawah suatu lengkung dengan paksi-x

\begin{array}{l} Luas rantau berlorek, \\ L = \int_{a}^{b} y d x \end{array}

(B) Luas di bawah suatu lengkung dengan paksi-y

\begin{array}{l} Luas rantau berlorek, \\ L = \int_{a}^{b} x d y \end{array}

(C) Luas di bawah suatu lengkung dengan suatu garis lurus

\begin{array}{l} Luas rantau berlorek, \\ L = \int_{a}^{b} f (x) d x - \int_{a}^{b} g (x) d x \end{array}

Bab 14 Pengamiran

Posted on May 22, 2016 by user

3.4b Mencari Nilai Kamiran Tentu

Contoh:

Diberi

\int_{3}^{7} f (x) d x = 5

, cari nialai bagi setiap yang berikut:

\begin{array}{l} (a) \int_{3}^{7} 6 f (x) d x \\ (b) \int_{3}^{7} [3 - f (x)] d x \\ (c) \int_{7}^{3} 2 f (x) d x \\ (d) \int_{3}^{4} f (x) d x + \int_{4}^{5} f (x) d x + \int_{3}^{7} f (x) d x \\ (e) \int_{3}^{7} \frac{f (x) + 7}{2} d x \end{array}

Penyelesaian:

\begin{array}{l} (a) \int_{3}^{7} 6 f (x) d x = 6 \int_{3}^{7} f (x) d x \\ = 6 (5) = 30 \end{array}

\begin{array}{l} (b) \int_{3}^{7} [3 - f (x)] d x = \int_{3}^{7} 3 d x - \int_{3}^{7} f (x) d x \\ = {[3 x]}_{3}^{7} - 5 \\ = [3 (7) - 3 (3)] - 5 \\ = 7 \end{array}

\begin{array}{l} (c) \int_{7}^{3} 2 f (x) d x = - \int_{3}^{7} 2 f (x) d x \\ = - 2 \int_{3}^{7} f (x) d x \\ = - 2 (5) \\ = - 10 \end{array}

\begin{array}{l} (d) \int_{3}^{4} f (x) d x + \int_{4}^{5} f (x) d x + \int_{3}^{7} f (x) d x \\ = \int_{3}^{7} f (x) d x \\ = 5 \end{array}

\begin{array}{l} (e) \int_{3}^{7} \frac{f (x) + 7}{2} d x = \int_{3}^{7} [\frac{1}{2} f (x) + \frac{7}{2}] d x \\ = \int_{3}^{7} \frac{1}{2} f (x) d x + \int_{3}^{7} \frac{7}{2} d x \\ = \frac{1}{2} \int_{3}^{7} f (x) d x + {[\frac{7 x}{2}]}_{3}^{7} \\ = \frac{1}{2} (5) + [\frac{7 (7)}{2} - \frac{7 (3)}{2}] \\ = \frac{5}{2} + 14 \\ = 16 \frac{1}{2} \end{array}

Bab 14 Pengamiran

Posted on May 21, 2016 by user

3.4 Kamiran Tentu (Bahagian 1)

\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)

Contoh:

Nilaikan yang berikut.

\begin{array}{l} (a) \int_{- 1}^{0} (3 x^{2} - 2 x + 5) d x \\ (b) \int_{0}^{2} {(2 x + 1)}^{3} d x \end{array}

Penyelesaian:

\begin{array}{l} (a) \int_{- 1}^{0} (3 x^{2} - 2 x + 5) d x \\ = {[\frac{3 x^{3}}{3} - \frac{2 x^{2}}{2} + 5 x]}_{- 1}^{0} \\ = {[x^{3} - x^{2} + 5 x]}_{- 1}^{0} \\ = 0 - [{(- 1)}^{3} - {(- 1)}^{2} + 5 (- 1)] \\ = 0 - (- 1 - 1 - 5) \\ = 7 \end{array}

\begin{array}{l} (b) \int_{0}^{2} {(2 x + 1)}^{3} d x \\ = {[\frac{{(2 x + 1)}^{4}}{4 (2)}]}_{0}^{2} \\ = {[\frac{{(2 x + 1)}^{4}}{8}]}_{0}^{2} \\ = [\frac{{(2 (2) + 1)}^{4}}{8}] - [\frac{{(2 (0) + 1)}^{4}}{8}] \\ = \frac{625}{8} - \frac{1}{8} \\ = 78 \end{array}

Bab 14 Pengamiran

Posted on May 21, 2016 by user

3.3 Menentukan Persamaan Lengkung daripada Fungsi Kecerunan

1. Kita dapat mencari persamaan lengkung jika diberi fungsi kecerunan,

\frac{d y}{d x} .

\begin{array}{l} Jika \frac{d y}{d x} = g (x), maka persamaan lengkung ialah \\ y = \int g (x) d x \end{array}

Soalan 1:

Cari persamaan lengkung yang mempunyai fungsi kecerunan

\frac{d y}{d x} = 2 x + 8

dan melalui titik (2, 3).

Penyelesaian:

\begin{array}{l} y = \int (2 x + 8) \\ y = \frac{2 x^{2}}{2} + 8 x + c \end{array}

y= x² + 8x + c

3 = 2² +8(2) + c (2, 3)

c= –17

Maka, persamaan lengkung ialah: y = x² + 8x – 17

Soalan 2:

Fungsi kecerunan suatu lengkung ialah 2x – 4 dan lengkung itu mempunyai nilai minimum 3. Cari persamaan lengkung.

Penyelesaian:

Pada titik minimum,

\frac{d y}{d x} = 0

2x – 4 = 0

x = 2

Maka, titik minimum = (2, 3)

\begin{array}{l} \frac{d y}{d x} = 2 x - 4 \\ y = \int (2 x - 4) d x \\ y = \frac{2 x^{2}}{2} - 4 x + c \\ y = x^{2} - 4 x + c \end{array}

Apabila x= 2, y = 3.

3 = 2² – 4(2) + c

c= 7

Maka, persamaan lengkung ialah: y = x² – 4x + 7

Bab 14 Pengamiran

Posted on May 21, 2016 by user

3.2 Pengamiran Melalui Penggantian

1. Diberi bahawa

{\int (a x + b)}^{n} d x, n \neq - 1.

(A) Kaedah Penggantian,

\begin{array}{l} Katakan u = a x + b \\ Oleh itu, \frac{d u}{d x} = a \\ ∴ d x = \frac{d u}{a} \end{array}

Soalan 1:

Cari {\int (3 x + 5)}^{3} d x .

Penyelesaian:

\begin{array}{l} Katakan u = 3 x + 5 \\ \frac{d u}{d x} = 3 \\ d x = \frac{d u}{3} \\ {\int (3 x + 5)}^{3} d x \\ = \int u^{3} \frac{d u}{3} \leftarrow \begin{array}{l} gantikan 3 x + 5 = u \\ dan d x = \frac{d u}{3} \end{array} \\ = \frac{1}{3} \int u^{3} d u \\ = \frac{1}{3} (\frac{u^{4}}{4}) + c \\ = \frac{1}{3} (\frac{{(3 x + 5)}^{4}}{4}) + c \leftarrow \begin{array}{l} ganti balik \\ u = 3 x + 5 \end{array} \\ = \frac{{(3 x + 5)}^{4}}{12} + c \end{array}

(B) Kaedah Rumus

\begin{array}{l} \int {(a x + b)}^{n} = \frac{{(a x + b)}^{n + 1}}{(n + 1) a} + c \\ Oleh itu, \\ \int {(3 x + 5)}^{3} d x = \frac{{(3 x + 5)}^{4}}{4 (3)} + c \\ = \frac{{(3 x + 5)}^{4}}{12} + c \end{array}

Soalan 2:

Cari,

\begin{array}{l} (a) \int \frac{2}{7} {(5 - x)}^{- 4} d x \\ (b) \int \frac{2}{3 {(9 x - 2)}^{5}} d x \end{array}

Penyelesaian:

\begin{array}{l} (a) \int \frac{2}{7} {(5 - x)}^{- 4} d x = \frac{2 {(5 - x)}^{- 3}}{7 (- 3) (- 1)} + c \\ = \frac{2}{21 {(5 - x)}^{3}} + c \end{array}

\begin{array}{l} (b) \int \frac{2}{3 {(9 x - 2)}^{5}} d x = \int \frac{2 {(9 x - 2)}^{- 5}}{3} d x \\ = \frac{2 {(9 x - 2)}^{- 4}}{3 (- 4) (9)} + c \\ = - \frac{2}{108 {(9 x - 2)}^{4}} + c \\ = - \frac{1}{54 {(9 x - 2)}^{4}} + c \end{array}

Bab 12 Janjang

Posted on May 21, 2016 by user

1.2.5 Hasil Tambah Janjang Geometri Sehingga Ketakterhinggaan

(G) Mencari Hasil Tambah Janjang Geometri Sehingga Ketakterhinggaan

S \infty = \frac{a}{1 - r}, - 1 < r < 1

a = sebutan pertama

r = nisbah sepunya

S∞ = hasil tambah sehingga ketakterhinggaan

Contoh:

Cari hasil tambah setiap siri yang berikut sehingga ketakterhinggaan.

(a) 8, 4, 2, ...

(b)

\frac{2}{3}, \frac{2}{9}, \frac{2}{27}, .....

(c) 3, 1, ⅓, ….

Penyelesaian:

(a)

8, 4, 2, ….

a = 2, r = 4/8 = ½

S∞ = 8 + 4 + 2 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 + 0.03125 + …..

S \infty = \frac{a}{1 - r} = \frac{2}{1 - \frac{1}{2}} = 4

(b)

\begin{array}{l} \frac{2}{3}, \frac{2}{9}, \frac{2}{27}, ..... \\ a = \frac{2}{3}, r = \frac{2 / 9}{2 / 3} = \frac{1}{3} \\ S \infty = \frac{a}{1 - r} \\ S \infty = \frac{\frac{2}{3}}{1 - \frac{1}{3}} = 1 \end{array}

(c)

\begin{array}{l} 3, 1, \frac{1}{3}, ..... \\ a = 3, r = \frac{1}{3} \\ S \infty = \frac{a}{1 - r} \\ S \infty = \frac{3}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{3}{2 / 3} = \frac{9}{2} \end{array}

(H) Perpuluhan Jadi Semula

Contoh bagi perpuluhan jadi semula:

\begin{array}{l} \frac{2}{9} = 0.2222222222222..... \\ \frac{8}{33} = 0.242424242424..... \\ \frac{41}{333} = 0.123123123123..... \end{array}

Perpuluhan jadi semula boleh ditukar kepada pecahan dengan menggunakan rumus hasil tambah sehingga ketakterhinggaan

S \infty = \frac{a}{1 - r}

Contoh (Tukar perpuluhan jadi semula kepada pecahan)

Ungkapkan setiap perpuluhan jadi semula yang berikut sebagai suatu pecahan dalam bentuk yang paling ringkas.

(a) 0.8888 ...

(b) 0.171717...

(c) 0.513513513 ….

Penyelesaian:

(a)

0.8888 = 0.8 + 0.08 + 0.008 +0.0008 + ….. (perpuluhan jadi semula )

\begin{array}{l} J G, a = 0.8, r = \frac{0.08}{0.8} = 0.1 \\ S_{\infty} = \frac{a}{1 - r} \\ S_{\infty} = \frac{0.8}{1 - 0.1} \\ S_{\infty} = \frac{0.8}{0.9} \\ S_{\infty} = \frac{8}{9} \to \begin{array}{l} Semakan kalkulator \\ \frac{8}{9} = 0.888888.... \end{array} \end{array}

(b)

0.17171717 …..

= 0.17 + 0.0017 + 0.000017 + 0.00000017 + …..

\begin{array}{l} J G, a = 0.17, r = \frac{0.0017}{0.17} = 0.01 \\ S_{\infty} = \frac{a}{1 - r} \\ S_{\infty} = \frac{0.17}{1 - 0.01} = \frac{0.17}{0.99} = \frac{17}{99} \to \begin{array}{l} Peringatan: \\ semak jawapan \\ dengan kalkulator \end{array} \end{array}

(c)

0.513513513…..

= 0.513 + 0.000513 + 0.000000513 + …..

\begin{array}{l} J G, a = 0.513, r = \frac{0.00513}{0.513} = 0.001 \\ S_{\infty} = \frac{a}{1 - r} \\ S_{\infty} = \frac{0.513}{1 - 0.001} = \frac{0.513}{0.999} = \frac{513}{999} = \frac{19}{37} \end{array}

Bab 12 Janjang

Posted on May 21, 2016 by user

1.2.3 Hasil Tambah Suatu Janjang Geometri

(F) Hasil Tambah n sebutan pertama suatu Janjang Geometri

\begin{array}{l} S_{n} = \frac{a (r^{n} - 1)}{r - 1}, r > 1 \\ S_{n} = \frac{a (1 - r^{n})}{1 - r}, r < 1 \end{array}

a = sebutan pertama

r = nisbah sepunya

n = bilangan sebutan

S_n = hasil tambah n sebutan pertama

Contoh 1:

Cari hasil tambah bagi setiap janjang geometri yang berikut.

(a) 1, 2, 4, ... sehingga 7 sebutan pertama

(b) 9, 3, 1, ⅓, ... sehingga 6 sebutan pertama

(c) 12, 3, ....,

\frac{3}{64}

[Tip pintar: bilangan sebutan,n dalam suatu janjang aritmetik dapat dicari jika sebutan terakhir diketahui]

Penyelesaian:

Bab 12 Janjang

Posted on May 21, 2016 by user

1.2.3 Menetukan Sebutan Tertentu dan Bilangan Sebutan dalam Suatu Janjang Geometri (Contoh Soalan)

Contoh 1:

Sebutan ke-6 dan sebutan ke-3 dalam suatu janjang geometri masing-masing ialah 32 dan 4. Hitung sebutan pertama dan nisbah sepunya.

Penyelesaian:

T₆ = 32

ar⁵ = 32 ----- (1)

T₃ = 4

ar² = 4 ----- (2)

\frac{(1)}{(2)} = \frac{a r^{5}}{a r^{2}} = \frac{32}{4}

r³ = 8

r = 2

Gantikan r = 2 ke dalam (2),

a (2)²= 4

a = 1

Contoh 2:

Dalam suatu janjang geometri, hasil tambah sebutan ke-2 dan sebutan ke-3 ialah 12 dan hasil tambah sebutan ke-3 dan sebutan ke-4 ialah 4, cari sebutan pertama dan nisbah sepunya.

Penyelesaian:

T₂+ T₃= 12

ar + ar²= 12

ar (1 + r) = 12 ----- (1) ← (Pemfaktoran)

T₃+ T₄= 4

ar² + ar³= 4

ar² (1 + r) = 4 ----- (2)

Contoh 3:

Untuk janjang geometri 3, 12, 48, , ... Cari nilai terkecil n supaya sebutan ke-n melebihi 1 000 000.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} 3, 12, 48, ..... \\ J G, a = 3, r = \frac{T_{2}}{T_{1}} = \frac{12}{3} = 4 \\ T_{n} > 1000000 \\ (3) {(4)}^{n - 1} > 1000000 \\ {(4)}^{n - 1} > \frac{1000000}{3} \leftarrow [(3) {(4)}^{n - 1} \neq 12^{n - 1}] \\ \log 4^{n - 1} > \log \frac{1000000}{3} \leftarrow (L e t a k log di \\ kedua-dua belah) \\ (n - 1) \lg 4 > \lg \frac{1000000}{3} \leftarrow (\log_{a} m^{n} = n \log_{a} m) \end{array}

(n – 1)(0.6021) > 5.523

n – 1 > 9.17

n > 10.17

n = 11 ← (n ialah integer)

Semakan:

T₁₁= (3)(4)¹⁰

T₁₁= 3 145 728 > 1 000 000

Bab 12 Janjang

Posted on May 21, 2016 by user

1.2.2 Menetukan Sebutan Tertentu dan Bilangan Sebutan dalam Suatu Janjang Geometri

(C) Sebutan Tertentu dalam Suatu Janjang Geometri

a = sebutan pertama
r = nisbah sepunya

n = bilangan sebutan

T_n = sebutan ke-n

Contoh:

Cari sebutan yang diberi bagi setiap janjang geometri yang berikut.

(a) 8 ,4 ,2 ,...... T₈

(b)

\frac{16}{27}, \frac{8}{9}, \frac{4}{3}, .....

, T₆

Penyelesian:

T_n = arⁿ^-1

T₁ = ar^1-1 = ar⁰ = a ← (sebutan pertama)

T₂ = ar^2-1 = ar¹ = ar ← (sebutan kedua)

T₃ = ar^3-1 = ar² ← (sebutan ketiga)

T₄ = ar^4-1 = ar³ ← (sebutan keempat)

(a)

\begin{array}{l} 8, 4, 2, ..... \\ a = 8, r = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \\ T_{8} = a r^{7} \\ T_{8} = 8 {(\frac{1}{2})}^{7} = \frac{1}{16} \end{array}

(b)

\begin{array}{l} \frac{16}{27}, \frac{8}{9}, \frac{4}{3}, ..... \\ a = \frac{16}{27} \\ r = \frac{T_{2}}{T_{1}} = \frac{\frac{16}{27}}{\frac{8}{9}} = \frac{2}{3} \\ T_{6} = a r^{5} \\ = \frac{16}{27} {(\frac{2}{3})}^{5} = \frac{512}{6561} \end{array}

(D) Bilangan Sebutan dalam Suatu Janjang Geometri

Tip pintar: Bilangan sebutan dalam suatu janjang geometri dapat dicari jika sebutan terakhir
diketahui.

Contoh:

Cari bilangan sebutan bagi setiap janjang geometri yang berikut.

(a) 2, 4, 8, ….., 8192

(b)

\frac{1}{4}, \frac{1}{6}, \frac{1}{9}, ....., \frac{16}{729}

(c) –½, 1, –2, ….., 64

Penyelesian:

(a)

2, 4, 8, ….., 8192 ← (sebutan terakhir diberi)

a = 2

r = \frac{T_{2}}{T_{1}} = \frac{4}{2} = 2

T_n= 8192

arⁿ^-1= 8192 ← T_n = arⁿ^-1

(2)(2)ⁿ^-1 = 8192

2ⁿ^-1 = 4096

2ⁿ^-1 = 2¹²

n– 1 = 12

n = 13

(b)

\begin{array}{l} \frac{1}{4}, \frac{1}{6}, \frac{1}{9}, ....., \frac{16}{729} \\ a = \frac{1}{4}, r = \frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{4}} = \frac{2}{3} \\ T_{n} = \frac{16}{729} \\ a r^{n - 1} = \frac{16}{729} \\ (\frac{1}{4}) {(\frac{2}{3})}^{n - 1} = \frac{16}{729} \\ {(\frac{2}{3})}^{n - 1} = \frac{16}{729} \times 4 \\ {(\frac{2}{3})}^{n - 1} = \frac{64}{729} \\ {(\frac{2}{3})}^{n - 1} = {(\frac{2}{3})}^{6} \\ ∴ n - 1 = 6 \\ n = 7 \end{array}

(c)

\begin{array}{l} - \frac{1}{2}, 1, - 2, ....., 64 \\ a = - \frac{1}{2}, r = \frac{- 2}{1} = - 2 \\ T_{n} = 64 \\ a r^{n - 1} = 64 \\ (- \frac{1}{2}) {(- 2)}^{n - 1} = 64 \end{array}

T_n= 64

arⁿ^-1= 64

(–½)(–2)ⁿ^-1 = 64

(–2)ⁿ^-1 = 64 × –2

(–2)ⁿ^-1 = –128

(–2)ⁿ^-1 = (–2)⁷

n– 1 = 7

n = 8

(E) Tiga sebutan Berturutan dalam suatu janjang geometri (J.G.)

Jika e, f dan g adalah 3 sebutan berturutan dalam suatu janjang geometri (JG), maka

\frac{g}{f} = \frac{f}{e}

Contoh:

Jika p + 20, p − 4, p −20 adalah 3 sebutan berturutan dalam suatu janjang geometri, cari niali p.

Penyelesian:

\frac{p - 20}{p - 4} = \frac{p - 4}{p + 20}

(p + 20)(p – 20) = (p – 4)(p – 4)

p²– 400 = p² – 8p + 16

8p = 416

p = 52