Bab 12 Janjang

Posted on May 21, 2016 by user

1.1.2a Menetukan Sebutan Tertentu dalam Suatu Janjang Aritmetik (Contoh Soalan)

Contoh 1:

Jika sebutan ke-20 dalam suatu janjang aritmetik ialah 14 dan sebutan ke-40 ialah – 6,

Cari

(a) sebutan pertama dan beza sepunya,

(b) sebutan ke-10.

Penyelesian:

(a)

T₂₀ = 14

a + 19d = 14 ----- (1) ← (T_n= a + (n– 1) d

T₄₀ = – 6

a + 39d = – 6 ----- (2)

(2) – (1),

20d = – 20

d = – 1

Gantikan d = – 1 ke dalam (1),

a + 19 (– 1) = 14

a = 33

(b)

T₁₀ = a + 9d

T₁₀ = 33 + 9 (– 1)

T₁₀ = 24

Contoh 2:

Sebutan ke-3 dan sebutan ke-7 dalam suatu janjang aritmetik ialah 20 dan 12 masing-masing.

(a) Hitung sebutan ke-20.

(b) Cari sebutan dengan nilainya ialah – 34.

Penyelesian:

(a)

T₃ = 20

a + 2d = 20 ----- (1) ← (T_n= a + (n – 1) d

T₇ = 12

a + 6d = 12 ----- (2)

(2) – (1),

4d = – 8

d = – 2

Gantikan d = – 2 ke dalam (1),

a + 2 (– 2) = 20

a = 24

T₂₀ = a + 19d

T₂₀ = 24 + 19 (– 2)

T₂₀ = –4

(b)

T_n = –34

a + (n – 1) d = –34

24 + (n – 1) (–2) = –34

(n – 1) (–2) = –58

n – 1 = 29

n = 30

Contoh 3:

Tiga sebutan pertama dalam suatu janjang aritmetik ialah 72, 65 dan 58.

Sebutan ke-n bagi janjang ini adalah negatif.

Cari nilai terkecil n.

Penyelesian:

72, 65, 58

JA, a = 72, d = 65 – 72 = –7

Sebutan ke-n adalah negatif,

T_n< 0

a + (n – 1) d < 0

72 + (n – 1) (–7) < 0

(n – 1) (–7) < –72

n – 1 > –72/ –7

n – 1 > 10.28

n > 11.28

n mestilah satu integer, n = 12, 13, 14, ….

Maka nilai terkecil n = 12.

Bab 12 Janjang

Posted on May 20, 2016 by user

(F) Hasil Tambah n Sebutan Pertama suatu Janjang Aritmetik

Hasil Tambah n Sebutan Pertama suatu Janjang Aritmetik

\begin{array}{l} S_{n} = \frac{n}{2} [2 a + (n - 1) d] \\ S_{n} = \frac{n}{2} (a + l) \end{array}

a = sebutan pertama

d = beza sepunya

n = bilangan sebutan

S_n = hasil tambah nsebutan pertama

Contoh:

Hitung hasil tambah bagi setiap janjang aritmetik yang berikut:

(a) –11, –8, –5, ... sehingga 15 sebutan pertama.

(b) 8, 10½, 13,... sehingga 15 sebutan pertama.

(c) 5, 7, 9,....., 75 [Tip pintar: bilangan sebutan,n dalam suatu janjang aritmetik dapat dicari jika sebutan terakhir diketahui]

Penyelesaian:

(a)

–11, –8, –5, ...Cari S₁₅

a = –11

d = –8 – (–11) = 3

\begin{array}{l} S_{15} = \frac{15}{2} [2 a + 14 d] \\ S_{15} = \frac{15}{2} [2 (- 11) + 14 (3)] = 150 \end{array}

(b)

8, 10½, 13,... Cari S₁₃

a = 8

\begin{array}{l} d = 10 \frac{1}{2} - 8 = \frac{5}{2} \\ S_{13} = \frac{13}{2} [2 a + 12 d] \\ S_{13} = \frac{13}{2} [2 (8) + 12 (\frac{5}{2})] = 299 \end{array}

(c)

5, 7, 9,..., 75 ← (sebutan terakhir l ialah 75)

a = 5

d = 7 – 5 = 2

sebutan terakhir l= 75

T_n = 75

a + (n – 1)d = 75

5 + (n – 1)(2) = 75

(n – 1)(2) = 70

n – 1 = 35

n = 36

\begin{array}{l} S_{n} = \frac{n}{2} (a + l) \\ S_{36} = \frac{36}{2} (5 + 75) = 1440 \end{array}

Bab 12 Janjang

Posted on May 20, 2016 by user

1.1.2 Menetukan Sebutan Tertentu dan Bilangan Sebutan dalam Suatu Janjang Aritmetik

(C) Menentukan Sebutan Tertentu dalam suatu Janjang Aritmetik (J.A.)

T_n= a + (n − 1) d

dengan keadaan

a = sebutan pertama

d = beza sepunya

n = bilangan sebutan

T_n = sebutan ke-n

(D) Bilangan Sebutan dalam suatu Janjang Aritmetik (J.A.)

Tip pintar: Bilangan sebutan dalam suatu janjang aritmetik dapat dicari jika sebutan terakhir diketahui.

Contoh 1:

Cari bilangan sebutan bagi setiap janjang aritmetik yang berikut.

(a) 5, 9, 13, 17... , 121

(b) 1, 1.25, 1.5, 1.75,..., 8

Penyelesaian:

(a)

5, 9, 13, 17... , 121

JA,

a = 5, d = 9 – 5 = 4

Sebutan terakhir, T_n = 121

a + (n – 1) d = 121

5 + (n – 1) (4) = 121

(n – 1) (4) = 116

(n – 1) =

\frac{116}{4}

= 29

n = 30

(b)

1, 1.25, 1.5, 1.75,..., 8

JA,

a = 1, d = 1.25 – 1 = 0.25

T_n = 8

a + (n – 1) d = 8

1 + (n – 1) (0.25) = 8

(n – 1) (0.25) = 7

(n – 1) = 28

n = 29

(E) Sebutan Berturutan dalam suatu Janjang Aritmetik (J.A.)

Jika a, b, c ialah tiga sebutan berturutan

dalam suatu janjang aritmetik, maka

c – b = b – a

Contoh 2:

Jika x + 1, 2x + 3 dan 6 ialah tiga sebutan yang berturutan dalam suatu janjang aritmetik, cari nilai x dan beza sepunya.

Penyelesaian:

x + 1, 2x + 3, 6

c – b = b– a

6 – (2x + 3) = (2x + 3) – (x + 1)

6 – 2x – 3 = 2x + 3 – x – 1

3 – 2x = x + 2

\begin{array}{l} x = \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} + 1, 2 (\frac{1}{3}) + 3, 6 \\ \frac{4}{3},  3 \frac{2}{3},  6 \\ d = 3 \frac{2}{3} - \frac{4}{3} = 2 \frac{1}{3} \end{array}

Bab 3 Fungsi Kuadratik

Posted on May 20, 2016 by user

3.2c Cari Titik Maksimum atau Titik Minimum suatu Fungsi Kuadratik dengan Kaedah Penyempurnaan Kuasa Dua (Contoh Soalan)

Contoh:

Dengan menggunakan kaedah penyempurnaan kuasa dua, nyatakan nilai maksimum atau nilai minimum bagi setiap fungsi kuadratik yang berikut.

Seterusnya, cari titik maksimum atau titik minimum dan nyatakan paksi simetri yang sepadan.

(a) f (x ) = x ² + 6x + 7

(b) f (x ) = 2x ² – 6x + 7

(d) f (x ) = 4 + 12x – 3x ²

Penyelesaian:

Bab 3 Fungsi Kuadratik

Posted on May 20, 2016 by user

3.2.2 Cari Titik Maksimum atau Titik Minimum suatu Fungsi Kuadratik dengan Kaedah Penyempurnaan Kuasa Dua

Langkah-langkah untuk menukarkan bentuk am fungsi kuadratik kepada bentuk penyempurnaan kuasa dua:

Bentuk am fungsi kuadratik: f (x) = ax² + bx + c

Bentuk penyempurnaan kuasa dua: f (x) = a (x + p)² + q.

Langkah 1: Pastikan pekali x² adalah 1, dan lakukan pemfaktoran jika pekali x² bukan 1.

Langkah 2: Tambah

+ {(\frac{pekali x}{2})}^{2} - {(\frac{pekali x}{2})}^{2}

Langkah 3: Menyempurnakan kuasa dua [tukar f (x) = ax² + bx + c kepada f (x) = a (x + p)²+ q].

Bab 3 Fungsi Kuadratik

Posted on May 20, 2016 by user

3.3a Lakaran Graf Fungsi Kuadratik (Contoh)

Contoh:

Ungkapkan y = 5 + 4x – x ² dalam bentuk y = a – (x + b )² , dengan a , b, dan c sebagai pemalar. Seterusnya, nyatakan nilai maksimum, y, dan nilai x. Lakarkan lengkung y = 5 + 4x – x ² .

Penyelesaian:

Bab 3 Fungsi Kuadratik

Posted on May 19, 2016 by user

3.3 Lakaran Graf Fungsi Kuadratik

Langkah-langkah melakar graf fungsi kuadratik f (x ) = ax ² + bx + c adalah seperti berikut:

(a) Tentukan nilai a untuk mengetahui bentuk graf.

(b) Cari titik maksimum/minimum graf

(d) Cari pintasan paksi-y graf

Contoh:

Lakar graf bagi fungsi kuadratik f (x ) = x ² – x – 12

Penyelesaian:

(a) Bentuk graf

Pekali x² adalah positif, maka graf adalah berbentuk parabola U dengan satu titik minimum.

(b) Titik minimum graf

Dengan penyempurnaan kuasa dua

\begin{array}{l} f (x) = x^{2} - x - 12 \\ f (x) = x^{2} - x + {(\frac{1}{2})}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2} - 12 \\ f (x) = {(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} - 12 \\ f (x) = {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 12 \frac{1}{4} \\ Titik minimum = (\frac{1}{2}, - 12 \frac{1}{4}) \end{array}

f (x ) = x ² – x – 12

0 = x ² – x – 12

(x + 5) (x – 6) = 0

x = – 5 atau x = 6

(d) ) Pintasan paksi-y, x = 0

f (0) = (0)² – (0) – 12 = – 12

Bab 3 Fungsi Kuadratik

Posted on May 19, 2016 by user

3.2.1 Cari nilai maksimum/ minimum dan paksi simetri suatu fungsi

Contoh:

Nyatakan nilai maksimum atau nilai minimum bagi setiap fungsi kuadratik berikut dan nilai x yang sepadan.

Seterusnya, cari titik maksimum atau titik minimum dan nyatakan paksi simetri yang sepadan.

(a) f (x) = –2(x – 3)² + 4

(b) f (x) = 3(x – 4)² + 10

(d) f (x) = –8 + 2(x + 5)²

Penyelesaian:

Pembetulan bagi bahagian (d),
apabila x + 5 = 0, x = -5.
Titik minimum = (-5, -8)
Paksi simetri, x = -5

Bab 3 Fungsi Kuadratik

Posted on May 19, 2016 by user

3.1b Graf Fungsi Kuadratik

1. Graf fungsi kuadratik berbentuk parabola.

2. Apabila pekali bagi x² ialah positif, a > 0, graf adalah parabola berbentuk U .

3. Apabila pekali bagi x² ialah negative, a < 0, graf adalah parabola berbentuk ∩.

(A) Paksi simetri

Paksi simetri adalah satu garis tegak lurus yang melalui titik maksimum atau titik minimum graf parabola.

Bab 3 Fungsi Kuadratik

Posted on May 19, 2016 by user

3.1 Bentuk Am Fungsi Kuadratik

Bentuk am fungsi kuadratik ialah

f (x) = ax² + bx + c

dengan a, b dan c sebagai pemalar dan a ≠ 0,

dan x adalah satu pembolehubah.

Contoh:
Tentukan sama ada setiap fungsi berikut ialah fungsi kuadratik.

(a) f (x) =(5x – 3) (3x + 8)

(b) f (x) =2(3x + 8)

(c) f (x) = \frac{5}{2 x^{2}}

Penyelesaian:

(a)

f (x ) = (5x – 3) (3x + 8)

f (x ) = 15x ² + 40x – 9x – 24

f (x ) = 15x ² + 31x – 24 → fungsi kuadratik

(b)

f (x ) = 2(3x + 8)

f (x ) = 6x + 16 → bukan fungsi kuadratik

(c) bukan fungsi kuadratik