Home › 2016 › May › Page 8

Monthly Archives: May 2016

Bab 2 Persamaan Kuadratik

Posted on by
2.3a Pembentukan Persamaan Kuadratik daripada Punca

Apabila diberi α dan β ialah punca-punca bagi persamaan ax 2 + bx + c = 0, maka


x = α                atau     x = β
x – α = 0         atau     x – β = 0
(x – α) (x – β) = 0
x 2 – ( α + β ) x + αβ = 0

Kesimpulan:
x 2 – (hasil tambah punca ) x + (hasil darab punca) = 0

Contoh:
Bentukkan persamaan kuadratik apabila punca-puncanya adalah seperti berikut:
(a)  3, −1
(b) −2, ¼
(c) ⅔, ¼
(d) 3m, −2m

Penyelesaian:





Bab 15 Vektor

Posted on by
4.7 Vektor, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 2:
Diberi AB → =( 10 14 ),  OB → =( 4 6 ), dan  CD → =( m 7 ), carikan
(a)  koordinat A,
(b)  vektor unit dalam arah OA →
(c)  nilai m jika CD selari dengan AB.       

Penyelesaian:  
(a)
AB → =( 10 14 ),  OB → =( 4 6 ) CD → =( m 7 ) AB → = AO → + OB → ( 10 14 )=( x y )+( 4 6 ) ( x y )=( 10 14 )−( 4 6 ) AO → =( 6 8 ) OA → =( −6 −8 ) A=( −6,−8 )

(b)
| OA → |= ( −6 ) 2 + ( −8 ) 2 | OA → |= 100 =10 the unit vector in the direction of  OA → = OA → | OA → | = ( −6 −8 ) 10 = 1 10 ( −6 −8 ) =( − 3 5 − 4 5 )

(c)
Given  CD →  parallel  AB → ∴  CD → =k AB → ( m 7 )=k( 10 14 ) ( m 7 )=( 10k 14k )
7 = 14k
k= ½
m = 10k = 10 (½) = 5

Bab 15 Vektor

Posted on by
4.6 Vektor, SPM Praktis (Kertas 1) 
Soalan 5:
  p=5 a ˜ −7 b ˜   q=−2 a ˜ +3 b ˜   r=( h−1 ) a ˜ +( h+k ) b ˜ ,    dengan keadaan h dan k adalah pemalar  
Gunakan maklumat di atas untuk mencari nilai h dan nilai k apabila r= 2p – 3q.

Penyelesaian:
r=2p−3q ( h−1 ) a ˜ +( h+k ) b ˜ =2( 5 a ˜ −7 b ˜ )−3( −2 a ˜ +3 b ˜ ) ( h−1 ) a ˜ +( h+k ) b ˜ =10 a ˜ −14 b ˜ +6 a ˜ −9 b ˜ ( h−1 ) a ˜ +( h+k ) b ˜ =16 a ˜ −23 b ˜

Bandingkan vektor,
h– 1 = 16
h = 17
h+ k = –23
17 + k = –23
k = –40



Soalan 6:
Titik-titik P, Qdan R adalah segaris. Diberi bahawa PQ → =4 a ˜ −2 b ˜  dan  QR → =3 a ˜ +( 1+k ) b ˜ , dengan keadaan kialah pemalar. Cari
(a)  nilai k,
(b)  nisbah PQ : QR.

Penyelesaian:
(a)
Jika P, Q dan R adalah segaris, PQ → =m QR → 4 a ˜ −2 b ˜ =m[ 3 a ˜ +( 1+k ) b ˜ ] 4 a ˜ −2 b ˜ =3m a ˜ +m( 1+k ) b ˜ Bandingan vektor: a ˜ : 4=3m         m= 4 3 b ˜ : −2=m( 1+k ) −2= 4 3 ( 1+k ) 1+k=− 6 4 k=− 3 2 −1 k=− 5 2

(b)
PQ → =m QR → PQ → = 4 3 QR → PQ → QR → = 4 3 ∴PQ:QR=4:3



Soalan 7:
Diberi bahawa x ˜ =3 i ˜ +m j ˜  dan  y ˜ =4 i ˜ −3 j ˜ ,, cari nilai m jika vektor x ˜  selari dengan vektor  y ˜ .

Penyelesaian:
Jika vektor  x ˜  selari dengan vektor  y ˜ x ˜ =h y ˜ ( 3 i ˜ +m j ˜ )=h( 4 i ˜ −3 j ˜ ) 3 i ˜ +m j ˜ =4h i ˜ −3h j ˜ Bandingkan vektor: i ˜ :  3=4h         h= 3 4 j ˜ :  m=−3h         m=−3( 3 4 )=− 9 4


Bab 15 Vektor

Posted on by

4.6.2 Vektor, SPM Praktis (Kertas 1)

Soalan 3:
Rajah di bawah menunjukkan sebuah segi empat tepat OABC dan titik D terletak pada garis lurus OB.


Diberi bahawa OD = 3DB. Ungkapkan O D → , dalam sebutan x ˜  dan  y ˜ .

Penyelesaian:
O B → = O A → + A B → = 3 x ˜ + 12 y ˜ O D → = 3 D B → O D → D B → = 3 1 O D → : D B → = 3 : 1 ∴ O D → = 3 4 O B → = 3 4 ( 3 x ˜ + 12 y ˜ ) = 9 4 x ˜ + 9 y ˜



Soalan 4:
Rajah di bawah menunjukkan sebuah segi empat selari ABCD dan BED ialah satu garis lurus.


Diberi bahawa  AB → =7 p ˜ ,  AD → =5 q ˜  dan DE=3EB,  ungkap dalam sebutan  p ˜  dan  q ˜ . (a)  BD → (b)  EC →

Penyelesaian:
(a)
Bagi segi empat selari, A B → = D C → = 7 p ˜ , A D → = B C → = 5 q ˜ . B D → = B A → + A D → B D → = − 7 p ˜ + 5 q ˜

(b)
D E → =3 E B → E B → D E → = 1 3 → E B : D E = 1 : 3 ∴ E B → = 1 4 D B → = 1 4 ( − B D → ) = 1 4 [ − ( − 7 p ˜ + 5 q ˜ ) ] ← Dari (a) = 7 4 p ˜ + 5 4 q ˜

E C → = E B → + B C → E C → = 7 4 p ˜ + 5 4 q ˜ + 5 q ˜ E C → = 7 4 p ˜ + 25 4 q ˜


Bab 15 Vektor

Posted on by
4.6 Vektor, SPM Praktis (Kertas 1)
Soalan 1:
Diberi bahawa O (0, 0), A(–3, 4) dan B(-9, 12), Cari dalam sebutan vektor unit i ˜  dan  j ˜  
(a) AB →  
(b)  vektor unit dalam arah AB →

Penyelesaian:  
(a)
A=(−3,4), dengan itu  OA → =−3 i ˜ +4 j ˜ B=(−9,12), dengan itu  OB → =−9 i ˜ +12 j ˜ AB → = AO → + OB → AB → =−( −3 i ˜ +4 j ˜ )+( −9 i ˜ +12 j ˜ ) AB → =3 i ˜ −4 j ˜ −9 i ˜ +12 j ˜ AB → =−6 i ˜ +8 j ˜  

(b)
Magnitud  | A B → | , | A B → | = ( − 6 ) 2 + ( 8 ) 2 = 10 Maka vektor unit dalam arah  A B → , A B → | A B → | = 1 10 ( − 6 i ˜ + 8 j ˜ ) = − 3 5 i ˜ + 4 5 j ˜



Soalan 2:
Diberi bahawa A(–3, 2), B(4, 6) dan C(m, n), cari nilai m dan n supaya 2 AB → + BC → =( 12 −3 ).

Penyelesaian:  
A=( −3 2 ), B=( 4 6 ) and C=( m n ) AB → = AO → + OB → AB → =−( −3 2 )+( 4 6 )=( 7 4 ) BC → = BO → + OC → BC → =−( 4 6 )+( m n )=( −4+m −6+n )

Given 2 AB → + BC → =( 12 −3 ) 2( 7 4 )+( −4+m −6+n )=( 12 −3 ) ( 14−4+m 8−6+n )=( 12 −3 )

10 + m = 12
m= 2

2 + n = –3
n= –5

Bab 14 Pengamiran

Posted on by

3.8.2 Pengamiran, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 4:
Rajah di bawah menunjukkan suatu lengkung x = y2 – 1 yang bersilang dengan garis lurus 3y = 2x pada titik Q.

Hitungkan isipadu janaan apabila rantau berlorek itu dikisarkan melalui 360opada paksi-y.


Penyelesaian:



x = y2 – 1 ---- (1)
3y = 2x
x = 3 2 y → ( 2 ) Gantikan (2) ke dalam (1), 3 2 y = y 2 − 1

2y2 – 3y – 2 = 0
(2y + 1) (y – 2) = 0
y = –½   atau   y = 2

apabila y=2,x= 3 2 ( 2 )=3, Q=( 3, 2 ) I 1 ( Isipadu kon ) = 1 3 π r 2 h= 1 3 π ( 3 ) 2 ( 2 ) =6π  unit 3

I 2 ( Isipadu lengkung ) = π ∫ 1 2 x 2 d y = π ∫ 1 2 ( y 2 − 1 ) 2 d y = π ∫ 1 2 ( y 4 − 2 y 2 + 1 ) d y = π [ y 5 5 − 2 y 3 3 + y ] 1 2 = π [ ( 2 5 5 − 2 ( 2 ) 3 3 + 2 ) − ( 1 5 5 − 2 ( 1 ) 3 3 + 1 ) ] = π ( 46 15 − 8 15 ) = 38 15 π unit 3

Maka isipadu janaan = I 1 − I 2 = 6 π − 38 15 π = 52 15 π unit 3


Bab 14 Pengamiran

Posted on by
3.8 Pengamiran, SPM Praktis (Kertas 2)
Soalan 3:
Fungsi kecerunan suatu lengkung melalui titik P(2, -14) ialah 6x2 – 12x.
Cari
(a)  persamaan lengkung itu,
(b)  koordinat titik-titik pusingan lengkung itu, dan tentukan sama ada setiap titik pusingan itu adalah maksimum atau minimum.                                                       

Penyelesaian:
(a)
Fungsi kecerunan suatu lengkung, dy/dx = 6x2 – 12x
persamaan lengkung,
y= ∫ ( 6 x 2 −12x )  dx y= 6 x 3 3 − 12 x 2 2 +c

y = 2x3 – 6x2 + c
–14 = 2(2)3 – 6(2)2 + c, di titik P (2, –14)
–14 = –8 + c
c = –6
y = 2x3 – 6x2 – 6

(b)
dy/dx = 6x2 – 12x
Di titik pusingan, dy/dx = 0
6x2 – 12x = 0
6(x – 2) = 0
x = 0, x = 2

x = 0, y = 2(0)3 – 6(0)2 – 6 = –6
x = 2, y = 2(2)3 – 6(2)2 – 6 = –14

d 2 y d x 2 =12x−12 When x=0,  d 2 y d x 2 =12( 0 )−12=−12 <0 ( 0,−6 ) adalah titik maksimum. When x=2,  d 2 y d x 2 =12( 2 )−12=12 >0 ( 2,−14 ) adalah titik minimum.


Bab 14 Pengamiran

Posted on by
3.8 Pengamiran, SPM Praktis (Kertas 2)
Soalan 1:
Suatu lengkung dengan fungsi kecerunan 5x− 5 x 2  mempunyai titik pusingan di (m, 9).
(a)  Cari nilai m.
(b)  Tentukan sama ada titik pusingan ini adalah titik maksimum atau titik minimum.
(c)  Cari persamaan lengkung itu.

Penyelesaian:
(a)
dy dx =5x− 5 x 2 Di titik pusingan ( m,9 ),  dy dx =0 5m− 5 m 2 =0 5 m 2 =5m m 3 =1 m=1 

(b)
dy dx =5x− 5 x 2 =5x−5 x −2 d 2 y d x 2 =5+ 10 x 3 Apabila x=1,  d 2 y d x 2 =15 (> 0)  
Dengan itu, (1, 9) adalah satu titik minimum.

(c)
y= ∫ ( 5x−5 x −2 )  dx y= 5 x 2 2 + 5 x +c Pada titik pusingan ( 1,9 ), x=1 dan y=9. 9= 5 ( 1 ) 2 2 + 5 1 +c c= 3 2 Persamaan lengkung: y= 5 x 2 2 + 5 x + 3 2



Soalan 2:
Suatu lengkung mempunyai fungsi kecerunan kx2– 7x, dengan keadaan k ialah pemalar. Tangen kepada lenkung itu pada titik (1, 3 ) adalah selari dengan garis lurus y + x – 4 = 0.
Cari
(a)  nilai k,
(b)  persamaan lengkung itu.

Penyelesaian:
(a)
y + x – 4 = 0
y = – x + 4
m = –1

f ’(x) = kx2– 7x
Diberi tangen kepada lenkung itu pada titik (1, 3 ) adalah selari dengan garis lurus
kx2 – 7x = –1
k (1)2– 7 (1) = –1
k – 7 = –1
k = 6

(b)
f'( x )=6 x 2 −7x f( x )= ∫ ( 6 x 2 −7x )  dx f( x )= 6 x 3 3 − 7 x 2 2 +c 3=2 ( 1 ) 3 − 7 ( 1 ) 2 2 +c    di titik ( 1,3 ) c= 9 2 ∴f( x )=2 x 3 − 7 x 2 2 + 9 2


Bab 14 Pengamiran

Posted on by

3.8.5 Pengamiran, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 6:
Rajah di bawah menunjukkan sebahagian daripada lengkung y = 2 ( 3 x − 2 ) 2  yang melalui B (1, 2).


(a)   Carikan persamaan tangen kepada lengkung itu pada titik B.
(b)   Suatu rantau dibatasi oleh lengkung itu, paksi-x, garis lurus x = 2 dan x = 3.
(i) Cari luas rantau yang berlorek.
(ii) Rantau itu dikisarkan melalui 360o pada paksi-x.
Carikan isipadu janaan, dalam sebutan π.


Penyelesaian:
(a)
y = 2 ( 3 x − 2 ) 2 = 2 ( 3 x − 2 ) − 2 d y d x = − 4 ( 3 x − 2 ) − 3 ( 3 ) d y d x = − 12 ( 3 x − 2 ) 3 d y d x = − 12 ( 3 ( 1 ) − 2 ) 3 , x = 1
y – 2 = –12 (x – 1)
y – 2 = –12x + 12
y = –12x + 14

(b)(i)
Area = ∫ 2 3 y d x = ∫ 2 3 2 ( 3 x − 2 ) 2 d x = ∫ 2 3 2 ( 3 x − 2 ) − 2 d x = [ 2 ( 3 x − 2 ) − 1 − 1 ( 3 ) ] 2 3 = [ − 2 3 ( 3 x − 2 ) ] 2 3 = [ − 2 3 [ 3 ( 3 ) − 2 ] ] − [ − 2 3 [ 3 ( 2 ) − 2 ] ] = − 2 21 + 1 6 = 1 14 unit 2

(b)(ii)
Isipadu janaan
= π ∫ y 2 d x = π ∫ 2 3 4 ( 3 x − 2 ) 4 d x = π ∫ 2 3 4 ( 3 x − 2 ) − 4 d x = π [ 4 ( 3 x − 2 ) − 3 − 3 ( 3 ) ] 2 3 = π [ − 4 9 ( 3 x − 2 ) 3 ] 2 3 = π [ − 4 9 [ 3 ( 3 ) − 2 ] 3 ] − [ − 4 9 [ 3 ( 2 ) − 2 ] 3 ] = π ( − 4 3087 + 4 576 ) = 31 5488 π unit 3


Bab 14 Pengamiran

Posted on by

3.8.3 Pengamiran, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 5
Dalam rajah di bawah, garis lurus WY ialah normal kepada lengkung y = 1 2 x 2 + 1  pada B (2, 4). Garis lurus BQ adalah selari dengan paksi-y.


Cari
(a) nilai t,
(b) luas rantau yang berlorek,
(c) Isipadu janaan, dalam sebutan π, apabila rantau yang dibatasi oleh lengkung itu, paksi-y dan garis lurus y = 4 dikisarkan melalui 360o pada paksi-y.


Penyelesaian:
(a)
y= 1 2 x 2 +1 Kecerunan tangen,  dy dx =2( 1 2 x )=x pada titik B,  dy dx =2 Kecerunan normal,  m 2 =− 1 2 4−0 2−t =− 1 2 8=−2+t t=10  

(b)
Luas rantau yang berlorek
= Luas di bawah lengkung + Luas segi tiga BQY
= ∫ 0 2 ( 1 2 x 2 + 1 ) d x + 1 2 ( 10 − 2 ) ( 4 ) = [ x 3 6 + x ] 0 2 + 16 = [ 8 6 + 2 ] − 0 + 16 = 19 1 3 unit 2

(c)
Pada paksi-y, x = 0, y = ½ (0) + 1 = 1
y = 1 2 x 2 + 1 → x 2 = 2 y − 2 Isipadu janaan = π ∫ x 2 d y = π ∫ 1 4 ( 2 y − 2 ) d y = π [ y 2 − 2 y ] 1 4 = π [ ( 16 − 8 ) − ( 1 − 2 ) ] = 9 π unit 3