5.6.4 Menyelesaikan Persamaan Trigonometri (Melibatkan Rumus Penambahan dan Rumus bagi Sudut Berganda)
Contoh 1 (Rumus penambahan):
Selesaikan persamaan yang berikut untuk 0o ≤ x ≤ 360o:
(a)
sin ( x – 25o) = 3 sin ( x + 25o)
(b)
3 kos (2x + 10o) = 2
Penyelesaian:
(a)
sin ( x – 25o) = 3 sin ( x + 25o)
sin x kos 25o – kos x sin 25o = 3 (sin x kos 25o + kos x sin 25o)
sin x kos 25o – kos x sin 25o = 3 sin x kos 25o + 3 kos x sin 25o
– sin x kos 25o = 4 kos x sin 25o
tan x = – 2 tan 25o
tan x = – 2 (0.4663)
tan x = – 0.9326
Sudut asas x = 43o
Sudut yang dirujuk x = 43o berada di sukuan kedua dan keempat.
Oleh itu, x = 180o – 43o, 360o – 43o
x = 137o , 317o
(b)
3 kos (2x + 10o) = 2 ← (Ambil julat sudut dalam 0o ≤ x ≤ 720o, bagi 2 putaran lengkap)
kos ( 2x + 10o) = ⅔
Sudut asas ( 2x + 10o) = 48.19o
2x + 10o = 48.19o, 360o – 48.19o , 360o + 48.19o, 720o – 48.19o
2x + 10o = 48.19o, 311.81o , 408.19o, 671.81o
2x = 38.19o, 301.81o , 398.19o, 661.81o
x
= 19.10o, 150.91o , 199.10o, 330.91oContoh 2 (Rumus sudut berganda):
Cari semua sudut yang memuaskan 5 kos 2A + 9 sin A = 7, 0°
< A < 360°.
Penyelesaian:
5 kos 2A + 9 sin A = 7
5 (1 – 2 sin2A) + 9 sin A = 7 ← (ganti kos 2A = 1 – 2sin2 A, seluruh persamaan sekarang dalam sebutan sin A)
5 – 10 sin2A + 9 sin A – 7 = 0
– 10 sin2A + 9 sin A – 2 = 0
10 sin2A – 9 sin A + 2 = 0
(2 sin A – 1)(5 sin A – 2) = 0
sin A = ½
= 0.5 atau sin A = =
0.4
Apabila sin A = 0.5,
Sudut asas A = 30º
A = 30º, 180º – 30º
A = 30º, 150º
Apabila sin A = 0.4,
Sudut asas A = 23.58º
A = 23.58º, 180º – 23.58º
A = 23.58º, 156.42º
Oleh itu A = 23.58º, 30º, 150º, 156.42º.
Contoh 3 (Rumus sudut berganda):
Cari semua sudut θ antara 0 dan 2π rad yang memuaskan persamaan sin 2θ = sin θ
Penyelesaian:
sin 2θ = sin θ
2 sin θ kos θ = sin θ ← (sin 2θ = 2 sin θ kos θ)
2 sin θ kosθ – sin θ = 0
sin θ (2 kos θ – 1) = 0 ← (Pemfaktoran)
sin θ = 0 atau 2 kos θ – 1 = 0
Apabila sin θ = 0
θ = 0, π, 2π
Apabila 2 kos θ – 1= 0
kos θ = ½