Bab 6 Statistik III

Posted on June 10, 2016 by user

6.8.2 Statistik, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 3:

Data dalam rajah di bawah menunjukkan jisim, dalam kg, bagi 50 orang murid.

(a) Berdasarkan data dalam rajah, lengkapkan Jadual 2 di ruang jawapan.

Jadual 2

(b) Berdasarkan Jadual 2,
(i) nyatakan saiz selang kelas yang digunakan dalam jadual 2.
(ii) hitung min anggaran jisim bagi murid itu.

Untuk ceraian soalan ini, gunakan kertas graf.

(c) Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 5 kg pada paksi mengufuk dan 1 cm kepada 1 murid pada paksi mencancang, lukiskan satu poligon kekerapan bagi data tersebut.

Penyelesaian:

(a)

Jisim (kg)	Titik tengah	Kekerapan
40 – 44	42	4
45 – 49	47	9
50 – 54	52	7
55 – 59	57	9
60 – 64	62	18
65 – 69	67	3

(b)(i)

saiz selang kelas

= Sempadan atas – sempadan bawah

= 44.5 – 39.5

= 5

(b)(ii)

\begin{array}{l} Min anggaran jisim \\ = \frac{42 \times 4 + 47 \times 9 + 52 \times 7 + 57 \times 9 + 62 \times 18 + 67 \times 3}{50} \\ = \frac{2785}{50} \\ = 55.7 \end{array}

(c)

Soalan 4:
Rajah di bawah menunjukkan markah yang diperoleh sekumpulan 30 orang murid dalam suatu ujian Sains.

(a) Berdasarkan data pada Rajah di atas, lengkapkan Jadual di ruang jawapan.

(b) Berdasarkan Jadual lengkap di bahagian (a), hitung min anggaran markah bagi seorang murid.

Untuk ceraian soalan ini, gunakan kertas graf.
(c) Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 10 markah pada paksi mengufuk dan 2 cm kepada 1 murid pada paksi mencancang, lukiskan satu poligon kekerapan bagi data tersebut.

(d) Markah lulus ujian itu ialah 44. Menggunakan poligon kekerapan di bahagian (c), nyatakan bilangan murid yang lulus di dalam ujian itu.

Jawapan:

Penyelesaian:
(a)

(b)

\begin{array}{l} Min anggaran markah = \frac{1255}{30} \\ = 41 .83 \end{array}

Bab 6 Statistik III

Posted on June 10, 2016 by user

6.8.1 Statistik, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 1:
Data dalam rajah 1 menunjukkan umur, dalam tahun, bagi 25 orang pelancong yang melawat satu tempat pelancongan.

Rajah 1

(a) Berdasarkan data dalam rajah 1, lengkapkan jadual 1 pada ruang jawapan.

Jadual 1

(b) Berdasarkan Jadual 1,
(i) Nyatakan kelas mod.
(ii) Hitung min anggaran umur bagi seorang pelancong.

Dengan menggunakan skala 2cm kepada 5 tahun pada paksi mengufuk dan 2cm kepada 1 pelancong pada paksi mencancang, lukiskan satu histogram bagi data itu.

Penyelesaian:

(a)

Umur (tahun)	Kekerapan	Titik tengah
1 – 5	2	3
6 – 10	5	8
11 – 15	3	13
16 – 20	8	18
21 – 25	3	23
25 – 30	4	28

Pengiraan titik tengah bagi (umur 6 – 10) =

\frac{6 + 10}{2} = 8

(b)(i) Kelas mod = umur 16 – 20 (kekerapan tertinggi)

(b)(ii)

\begin{array}{l} Min umur \\ = \frac{3 \times 2 + 8 \times 5 + 13 \times 3 + 18 \times 8 + 23 \times 3 + 28 \times 4}{25} \\ = 16.4 \end{array}

(c)

Soalan 2:
Rajah di bawah menunjukkan markah yang diperoleh sekumpulan 24 orang murid dalam suatu kuiz matematik.

(a) Berdasarkan data di rajah di atas, lengkapkan Jadual di ruang jawapan.

(b) Nyatakan kelas mod.

(c) Hitung min anggaran bagi markah yang diperoleh seorang murid.

(d) Untuk ceraian soalan ini, gunakan kertas graf.
Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 5 markah pada paksi mengufuk dan 2 cm kepada 1 murid pada paksi mencancang, lukiskan satu histogram bagi data itu.

(e) Berdasarkan histogram yang dilukis di (d), nyatakan bilangan murid yang mendapat kurang daripada 32 markah dalam kuiz itu.

Jawapan:

Penyelesaian:
(a)

(b) Kelas mod = 27 – 31 (kekerapan tertinggi)

\begin{array}{l} (c) \\ Min anggaran \\ = \frac{4 \times 24 + 7 \times 29 + 6 \times 34 + 4 \times 39 + 2 \times 44 + 1 \times 49}{24} \\ = \frac{796}{24} \\ = 33.17 markah \end{array}

(d)

(e)
Bilangan murid yang mendapat kurang daripada 32 markah
= 4 + 7
= 11

Bab 6 Statistik III

Posted on June 9, 2016 by user

6.3 Histogram

(A) Melukis histogram daripada jadual kekerapan bagi data terkumpul

1. Histogram terdiri daripada segi empat tepat mencancang yang lebarnya sama dan tingginya berkadaran dengan kekerapan.

2. Langkah-langkah melukis suatu histogram:
(a) Tentukan sempadan bawah dan sempadan atas bagi setiap selang kelas.
(b) Pilih skala yang sesuai pada paksi mengufuk (paksi-x) untuk mewakili selang kelas dan pada paksi mencancang (paksi-y) untuk mewakili kekerapan.

Soalan:

Jadual kekerapan berikut menunjukkan jejari, dalam cm, pokok berlainan jenis dalam suatu taman.

Radii (cm)	Frequency
2.0 – 2.4	7
2.5 – 2.9	5
3.0 – 3.4	10
3.5 – 3.9	2
4.0 – 4.4	6
4.5 – 4.9	4

Berdasarkan jadual kekerapan di atas, lukis satu histogram.

Penyelesaian:

Jejari (cm)	Kekerapan	Sempadan bawah	Sempadan atas
2.0 – 2.4	7	1.95	2.45
2.5 – 2.9	5	2.45	2.95
3.0 – 3.4	10	2.95	3.45
3.5 – 3.9	2	3.45	3.95
4.0 – 4.4	6	3.95	4.45
4.5 – 4.9	4	4.45	4.95

Bab 6 Statistik III

Posted on June 9, 2016 by user

6.2 Mod dan Min bagi Data Terkumpul

(A) Kelas Mod

Kelas mod bagi data terkumpul ialah selang kelas yang mempunyai kekerapan tertinggi.

(B) Kelas Titik Tengah

Nilai titik tengah kelas = \frac{Had bawah + Had atas}{2}

(C) Menghitungkan Min bagi Data Terkumpul

Langkah-langkah untuk menghitung min bagi data terkumpul adalah seperti berikut:

Langkah 1: Hitung nilai titik tengah bagi setiap kelas.

Langkah 2: Hitung nilai (kekerapan × nilai titik tengah) bagi setiap kelass.

Langkah 3: Hitung jumlah nilai (kekerapan × nilai titik tengah) bagi semua kelas.

Langkah 4: Hitung jumlah kekerapan bagi semua kelas.

Langkah 5: Hitung nilai min dengan rumus berikut.

\begin{array}{l} Min data terkumpul, \bar{x} \\ = \frac{Jumlah (kekerapan \times titik tengah)}{Jumlah kekerapan} \\ = \frac{\sum f x}{\sum f} \end{array}

Dengan keadaan Ʃ ialah tanda mewakili jumlah, x ialah titik tengah dan k ialah kekerapannya.

Contoh:

Jadual kekerapan yang berikut menunjukkan bilangan majalah yang telah dijual di satu kedai buku bagi tempoh 30 hari pada bulan April 2013.

Bilangan majalah	Kekerapan
220 – 229	3
230 – 239	5
240 – 249	11
250 – 259	6
260 – 269	5

Berdasarkan data yang diberi,

(a) hitung kelas saiz,

(b) nyatakan kelas mod,

(c) hitung min bilangan majalah yang dijual.

Penyelesaian:

(a) Kelas saiz

= had atas – had bawah

= 229.5 – 219.5

= 10

(b) Kelas Mod = 240 – 249 (Kekerapan tertinggi)

(c)

Bilangan majalah	Kekerapan (k)	Titik tengah kelas (x)
220 – 229	3	224.5
230 – 239	5	234.5
240 – 249	11	244.5
250 – 259	6	254.5
260 – 269	5	264.5

\begin{array}{l} Titik tengah = \frac{220 + 229}{2} = 224.5 \\ min, \bar{x} = \frac{\sum k x}{\sum k} \\ = \frac{3 \times 224.5 + 5 \times 234.5 + 11 \times 244.5 + 6 \times 254.5 + 5 \times 264.5}{30} \\ = \frac{7385}{30} \\ = 246.2 \end{array}

Bab 9 Pembezaan

Posted on June 9, 2016 by user

9.8 Pembezaan, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 1:

Diberi

y = 15 x + \frac{24}{x^{3}}

(a) Cari nilai dy/dx apabila x = 2,

(b) Ungkapkan dalam sebutan k, perubahan kecil bagi y apabila x berubah daripada 2 kepada 2 + k, dengan keadaan k ialah satu nilai kecil.

Penyelesaian:

(a)

\begin{array}{l} y = 15 x + \frac{24}{x^{3}} \\ y = 15 x + 24 x^{- 3} \\ \frac{d y}{d x} = 15 - 72 x^{- 4} \\ \frac{d y}{d x} = 15 - \frac{72}{x^{4}} \\ Apabila x = 2 \\ \frac{d y}{d x} = 15 - \frac{72}{2^{4}} = 10.5 \end{array}

(b)

Perubahan kecil bagi ykepada x dalam sebutan k,

\begin{array}{l} \frac{δ y}{δ x} \approx \frac{d y}{d x} \\ δ y = \frac{d y}{d x} \times δ x \end{array}

δy = 10.5 × (2 + k – 2)

δy = 10.5k

Soalan 2:

Diberi y =3t + 5t²dan x = 5t -1.

(a) Cari

\frac{d y}{d x}

dalam sebutan x,

(b) Jika x menokok daripada 5 kepada 5.01, cari perubahan kecil dalam t.

Penyelesaian:

y = 3t + 5t²

\begin{array}{l} \frac{d y}{d t} = 3 + 10 t \\ x = 5 t - 1 \\ \frac{d x}{d t} = 5 \end{array}

(a)

\begin{array}{l} \frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d t} \times \frac{d t}{d x} \\ \frac{d y}{d x} = (3 + 10 t) \times \frac{1}{5} \\ \frac{d y}{d x} = \frac{3 + 10 (\frac{x + 1}{5})}{5} \leftarrow \begin{array}{l} x = 5 t - 1 \\ t = \frac{x + 1}{5} \end{array} \\ \frac{d y}{d x} = \frac{3 + 2 x + 2}{5} \\ \frac{d y}{d x} = \frac{5 + 2 x}{5} \end{array}

(b)

Perubahan kecil dalam t,

\begin{array}{l} δ t = \frac{d t}{d x} \times δ x \\ δ t = \frac{1}{5} \times (5.01 - 5) \\ δ t = 0.002 \end{array}

Bab 9 Pembezaan

Posted on June 8, 2016 by user

9.7 Pembezaan, SPM Praktis (Kertas 1)

Soalan 19:

Diberi

y = \frac{3}{4} x^{2}

, cari perubahan kecil dalam x yang akan menyebabkan ymenyusut daripada 48 kepada 47.7.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} y = \frac{3}{4} x^{2} \\ \frac{d y}{d x} = (2) \frac{3}{4} x = \frac{3}{2} x \\ δ y = 47.7 - 48 = - 0.3 \\ perubahan kecil dalam x kepada y \\ \frac{δ x}{δ y} \approx \frac{d x}{d y} \\ δ x = \frac{d x}{d y} \times δ y \\ δ x = \frac{2}{3 x} \times (- 0.3) \\ δ x = \frac{2}{3 (8)} \times (- 0.3) \leftarrow \begin{array}{l} y = 48 \\ \frac{3}{4} x^{2} = 48 \\ x^{2} = 64 \\ x = 8 \end{array} \\ δ x = - 0.025 \end{array}

Soalan 20:

Isipada air, Icm³, dalam satu bekas diberi oleh

I = \frac{1}{5} h^{3} + 7 h

, dengan keadaan h cm ialah tinggi air dalam bekas itu. Air dituang ke dalam bekas itu dengan kadar 15cm³s^-1. Cari kadar perubahan tinggi air, dalam cms^-1, pada ketika tingginya ialah 3cm.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} I = \frac{1}{5} h^{3} + 7 h \\ \frac{d I}{d h} = \frac{3}{5} h^{2} + 7 \\ = \frac{3 h^{2} + 35}{5} \end{array}

\begin{array}{l} Diberi \frac{d I}{d t} = 15, h = 3 \\ Kadar perubahan tinggi air = \frac{d h}{d t} \\ \frac{d h}{d t} = \frac{d h}{d I} \times \frac{d I}{d t} \leftarrow Petua rantai \\ \frac{d h}{d t} = \frac{5}{3 h^{2} + 35} \times 15 \\ \frac{d h}{d t} = \frac{75}{62} {cms}^{- 1} \end{array}

Soalan 21:

Jika jejari bagi suatu bulatan menokok daripada 4cm kepada 4.01cm, cari perubahan kecil dalam luas.

Penyelesaian:

Luas bulatan, L= πj²

\begin{array}{l} \frac{d A}{d r} = 2 π r \\ Perubahan kecil dalam luas kepada jejari, \\ \frac{δ A}{δ r} \approx \frac{d A}{d r} \\ δ A = \frac{d A}{d r} \times δ r \end{array}

δA = (2πj) × (4.01 – 4)

δA = [2π (4)] × (0.01)

δA = 0.08π cm²

Bab 9 Pembezaan

Posted on June 8, 2016 by user

9.6 Perubahan Kecil dan Penghampiran

δy = perubahan kecil dalam y
δx = perubahan kecil dalam x

1. Jika δx sangat kecil,

\frac{δ y}{δ x}

adalah penghampiran kepada

\frac{d y}{d x} .

\begin{array}{l} \frac{δ y}{δ x} \approx \frac{d y}{d x} \\ \Rightarrow δ y \approx \frac{d y}{d x} \times δ x \end{array}

Simbol ‘≈’ bermakna ‘hampir kepada’.

2. δx dan δy ialah dua kuantiti yang berasingan manakala

\frac{d y}{d x}

ialah satu kuantiti sahaja.

Contoh:

Diber bahawa y = 3x² + 2x – 4. Guna pembezaan untuk mencari perubahan kecil dalam y apabila x menokok daripada 2 kepada 2.02.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} y = 3 x^{2} + 2 x - 4 \\ \frac{d y}{d x} = 6 x + 2 \end{array}

Perubahan kecil dalam yditandakan dengan δy manakala perubahan kecil dalam kuantiti kedua x ditandakan dengan δx.

\begin{array}{l} \frac{δ y}{δ x} \approx \frac{d y}{d x} \\ δ y = \frac{d y}{d x} \times δ x \end{array}

δy = (6x +2) × (2.02 – 2)

↑

(δx = x baru – x asal)

= (6(2) +2) × 0.02

↑

(gantikan x dengan nilai asal x, iaitu 2)

δy = 0.28

Bab 9 Pembezaan

Posted on June 8, 2016 by user

9.5 Kadar Perubahan yang Terhubung

(A) Kadar Perubahan yang Terhubung

Jika dua pembolehubah x dan y dihubungkan dengan persamaan y = f(x)

\begin{array}{l} Kadar perubahan y = \frac{d y}{d t} \\ Kadar perubahan x = \frac{d x}{d t} \\ \frac{d y}{d t} = \frac{d y}{d x} \times \frac{d x}{d t} \end{array}

Perhatian:

1. Jika x berubah dengan kadar 5 cms ^-1⇒

\frac{d x}{d t} = 5

2. Menyusut/ membocor/ mengurang ⇒ nilai NEGATIF!!!

Contoh 1 (Kadar perubahan y dan x)

Dua pembolehubah, x dan y dihubungkan oleh persamaan

y = 4 x + \frac{3}{x} .

Diberi bahawa y betambah dengan kadar malar 2 unit sesaat, cari kadar perubahan x apabila x = 3.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} y = 4 x + \frac{3}{x} = 4 x + 3 x^{- 1} \\ \frac{d y}{d x} = 4 - 3 x^{- 2} = 4 - \frac{3}{x^{2}} \\ \frac{d y}{d t} = \frac{d y}{d x} \times \frac{d x}{d t} \\ 2 = (4 - \frac{3}{x^{2}}) \times \frac{d x}{d t} \\ apabila x = 3 \\ 2 = (4 - \frac{3}{3^{2}}) \times \frac{d x}{d t} \\ 2 = \frac{11}{3} \times \frac{d x}{d t} \\ \frac{d x}{d t} = \frac{6}{11} unit s^{- 1} \end{array}

(B) Kadar Perubahan isipada, luas, jejari, tinggi dan panjang

Bab 9 Pembezaan

Posted on June 8, 2016 by user

9.4 Pembezaan Peringkat Kedua, Titik Pusingan: Titik Maksimum dan Titik Minimum

(A) Pembezaan Peringkat Kedua

1. Apabila suatu fungsi y = x³+ x²– 3x + 6 dibezakan terhadap x, terbitannya

\frac{d y}{d x} = 3 x^{2} + 2 x - 3

2. Fungsi yang kedua

\frac{d y}{d x}

boleh dibeza lagi terhadap x. Proses pembezaan dua kali berturut-turut ini dikenali sebagai pembezaan peringkat kedua dan ditulis sebagai

\frac{d^{2} y}{d x^{2}}

3. Ambil perhatian bahawa

\frac{d^{2} y}{d x^{2}} \neq {(\frac{d y}{d x})}^{2}

Misalnya,

Jika y = 4x³ – 7x² + 5x – 1,

Terbitan pertama

\frac{d y}{d x} = 12 x^{2} - 14 x + 5

Terbitan kedua

\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 24 x - 14

(B) Titik Pusingan: Titik Maksimum dan Titik Minimum

(a) Di titik pusingan A dan B,

\frac{d y}{d x} = 0

(b) Di titik maksimum A,

\frac{d y}{d x} = 0 dan \frac{d^{2} y}{d x^{2}} < 0

(c) Di titik minimum B,

\frac{d y}{d x} = 0 dan \frac{d^{2} y}{d x^{2}} > 0

Bab 9 Pembezaan

Posted on June 7, 2016 by user

9.3 Kecerunan Tangen, Persamaan Tangen dan Persamaan Normal

Jika A (x₁, y₁) adalah titik pada garis y = f (x), kecerunan garis (untuk garis lurus) atau kecerunan tangen garis (untuk suatu lengkung) adalah nilai

\frac{d y}{d x}

apabila x = x₁.

(A) Kecerunan tangent di A (x₁, y₁):

\frac{d y}{d x} = kecerunan tangen

(B) Persamaan tangen:

y – y₁ = m_tangen (x– x₁)

(C) Kecerunan normal di A (x₁, y₁):

\begin{array}{l} m_{normal} = - \frac{1}{m_{tangen}} \\ maka, \\ \frac{1}{- \frac{d y}{d x}} = kecerunan normal \end{array}

(D) Persamaan normal:

y – y₁ = m_normal (x– x₁)

Contoh 1 (Cari persamaan tangen)

Diberi bahawa

y = \frac{4}{{(3 x - 1)}^{2}}

. Cari persamaan tangen pada titik (1, 1).

Penyelesaian:

\begin{array}{l} y = \frac{4}{{(3 x - 1)}^{2}} = 4 {(3 x - 1)}^{- 2} \\ \frac{d y}{d x} = - 2.4 {(3 x - 1)}^{- 3} .3 \\ \frac{d y}{d x} = \frac{- 24}{{(3 x - 1)}^{3}} \\ Di titik (1, 1), \\ \frac{d y}{d x} = \frac{- 24}{{[3 (1) - 1]}^{3}} = \frac{- 24}{8} = - 3 \end{array}

Persamaan tangen di titik (1, 1) ialah,

y – 1 = – 3 (x – 1)

y – 1 = –3x + 3

y = –3x + 4

Contoh 2 (Cari persamaan normal)

Cari kecerunan lengkung

y = \frac{7}{3 x + 4}

di titik (–1, 7). Seterusnya, cari persamaan normal lengkung di titik itu.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} y = \frac{7}{3 x + 4} = 7 {(3 x + 4)}^{- 1} \\ \frac{d y}{d x} = - 7 {(3 x + 4)}^{- 2} .3 \\ \frac{d y}{d x} = \frac{- 21}{{(3 x + 4)}^{2}} \\ Di titik (- 1, 7), \\ \frac{d y}{d x} = \frac{- 21}{{[3 (- 1) + 4]}^{2}} = - 21 \\ Persamaan normal = \frac{1}{21} \end{array}

Persamaan normal ialah,

y – y₁ = m (x – x₁)

y - 7 = \frac{1}{21} (x - (- 1))

21y – 147 = x + 1

21y – x – 148 = 0

9.6 Perubahan Kecil dan Penghampiran

δy = perubahan kecil dalam y δx = perubahan kecil dalam x

δy = perubahan kecil dalam y
δx = perubahan kecil dalam x