Bab 12 Asas Nombor

Posted on June 13, 2016 by user

1.1 Asas Nombor (Bahagian 4)

(F) Membuat pengiraaan melibatkan operasi tambah atau tolak bagi dua nombor dalam asas dua

1. Dalam operasi penambahan dua nombor dalam asas dua, peraturan-peraturan berikut terpakai:

0₂+ 0₂= 0₂

0₂+ 1₂= 1₂

1₂+ 0₂= 1₂

1₂+ 1₂= 10₂

1₂+ 1₂+ 1₂= 10₂+ 1₂= 11₂

2. Dalam operasi penolakan dua nombor dalam asas dua, peraturan-peraturan berikut terpakai:

0₂– 0₂= 0₂

1₂– 0₂= 1₂

1₂– 1₂= 0₂

10₂– 1₂= 1₂

Contoh 1:

Cari nilai bagi setiap yang berikut:

(a) 1101₂+ 110₂

(b) 11001₂+ 11100₂

(d) 1000₂– 101₂

Penyelesaian:

(a)

(b)

(c)

(d)

Pengiraan Kalkulator

Anda boleh mendapatkan jawapan terus daripada kalkulator saintifik dengan menekan:

[MODE] [MODE] [3 (BASE)]

Masukkan yang berikut:

(a)

[ BIN ] 1101 [ + ] 110 [ = ]

Paparan skrin ialah: [ 10011 ]

(b)

[ BIN ] 11001 [ + ] 11100 [ = ]

Paparan skrin ialah: [ 110101 ]

(c)

[ BIN ] 11011 [ – ] 1101 [ = ]

Paparan skrin ialah: [ 1110 ]

(d)

[ BIN ] 1000 [ – ] 101 [ = ]

Paparan skrin ialah: [ 11 ]

Bab 12 Asas Nombor

Posted on June 13, 2016 by user

1.1 Asas Nombor (Bahagian 3)

(E) Menukar nombor dalam sesuatu asas kepada asas yang lain

1. Langkah-langkah untuk menukar nombor dalam sesuatu asas kepada asas yang lain.

(a) Tukar nombor itu kepada nombor dalam asas 10 dengan menggunakan bentuk

pendaraban.

(b) Melakukan pembahagian berturut-turut untuk menukarkan nombor dalam asas

10 kepada asas-asas baru.

Contoh 1:

Tukarkan

(a) 110101₂kepada nombor dalam asas lima

(b) 43₅kepada nombor dalam asas dua

(d) 422₅kepada nombor dalam asas lapan

(e) 100111₂kepada nombor dalam asas lapan

(f) 157₈kepada nombor dalam asas dua

Penyelesaian:

(a)

110101₂

= 1 × 2⁵ + 1 × 2⁴ + 0 × 2³+ 1 × 2² + 0 × 2¹ + 1 × 2⁰

= 53₁₀← (tukar daripada asas 2 kepada asas 10)

(b)

43₅

= 4 × 5¹ + 3 × 5⁰

= 23₁₀← (tukar daripada asas 5 kepada asas 10)

(c)

313₈

= 3 × 8² + 1 × 8¹ + 3 × 8⁰

= 203₁₀← (tukar daripada asas 8 kepada asas 10)

(d)

422₅

= 4 × 5² + 2 × 5¹ + 2 × 5⁰

= 112₁₀← (tukar daripada asas 5 kepada asas 10)

(e)

100111₂

= 1 × 2⁵ + 0 × 2⁴ + 0 × 2³+ 1 × 2² + 1 × 2¹ + 1 × 2⁰

= 39₁₀← (tukar daripada asas 2 kepada asas 10)

(f)

157₈

= 1 × 8² + 5 × 8¹ + 7 × 8⁰

= 111₁₀← (tukar daripada asas 8 kepada asas 10)

Pengiraan Kalkulator

1. Menetapkan kalkulator kepada mod ‘ASAS’ dengan menekan:

[MODE] [MODE] [3 (BASE)]

2. Menetapkan kalkulator kepada asas nombor yang dikehendaki dengan menekan:

[BIN] → untuk asas 2

[DEC] → untuk asas 10

[OCT] → untuk asas 8

Masukkan yang berikut:

(e)

[ BIN ] 100111 [ = ] [ OCT ]

Paparan skrin ialah: [47₈]

Oleh itu 100111₂ = 47₈

(f)

[ OCT ] 157 [ = ] [ BIN ]

Paparan skrin ialah: [1101111]

Oleh itu 157₈ = 1101111₂

Bab 12 Asas Nombor

Posted on June 13, 2016 by user

1.1 Asas Nombor (Bahagian 2)

(D) Menukar nombor dalam asas dua, asas lapan dan asas lima kepada nombor dalam asas sepuluh dan sebaliknya.

1. Langkah-langkah untuk menukar nombor dalam asas 2, 8 dan 5 kepada nombor dalam asas 10 adalah seperti berikut:

(a) Tulis nombor itu dalam bentuk pendaraban.

(b) Permudahkan bentuk pendaraban kepada satu nombor tunggal.

Contoh 1:

Tukarkan setiap nombor yang berikut kepada nombor dalam asas 10.

(a) 10101₂ (b) 1423₈ (c) 324₅

Penyelesaian:

(a) 10101₂= 1 × 2⁴ + 0 × 2³ + 1 × 2² + 0 × 2¹+ 1 × 2⁰ = 21₁₀

(b) 1423₈= 1 × 8³ + 4 × 8² + 2 × 8¹ + 3 × 8⁰= 787₁₀

(c) 324₅= 3 × 5² + 2 × 5¹ + 4 × 5⁰ = 89₁₀

Gunakan Kalkulator

1. Menetapkan kalkulator kepada mod ‘ASAS’ dengan menekan:

[MODE] [MODE] [3 (BASE)]

2. Menetapkan kalkulator kepada asas nombor yang dikehendaki dengan menekan:

[BIN] → untuk asas 2

[DEC] → untuk asas 10

[OCT] → untuk asas 8

Masukkan yang berikut:

(a)

[BIN] 10101 [=] [ DEC ]

Paparan skrin ialah: [21]

Oleh itu 10101₂ = 21₁₀

(b)

[OCT] 1423 [=] [ DEC ]

Paparan skrin ialah: [787]

Oleh itu 1423₈ = 787₁₀

2. Langkah-langkah untuk menukar nombor dalam asas 10 kepada nombor dalam asas 2, 8 dan 5 adalah seperti berikut:

(a) Membahagikan nombor itu secara berturut-turut sehingga hasil bahaginya adalah
sifar.

(b) Tulis nombor dalam asas baru dengan merujuk kepada baki nombor itu dari

bawah ke atas .

Contoh 2:

Tukar 61₁₀kepada satu nombor dalam

(a) asas dua (b) asas lapan (c) asas lima

Penyelesaian:

(a)

(b)

(c)

Gunakan Kalkulator

1. Menetapkan kalkulator kepada mod ‘ASAS’ dengan menekan:

[MODE] [MODE] [3 (BASE)]

2. Menetapkan kalkulator kepada asas nombor yang dikehendaki dengan menekan:

[BIN] → untuk asas 2

[DEC] → untuk asas 10

[OCT] → untuk asas 8

Masukkan yang berikut:

(a)

[DEC] 61 [=] [ BIN ]

Paparan skrin ialah: [111101₂]

Oleh itu 61₁₀ = 111101₂

(b)

[DEC] 61 [=] [ OCT ]

Paparan skrin ialah: [75]

Oleh itu 61₁₀ = 75₈

Bab 12 Asas Nombor

Posted on June 13, 2016 by user

1.1 Asas Nombor (Bahagian 1)

(A) Nombor dalam Asas Dua, Asas Lapan dan Asas Lima

1. Nombor-nombor yang kita gunakan setiap hari adalah dalam asas sepuluh. Sepuluh digit yang digunakan dalam asas sepuluh ialah 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 dan 9.

2. Nombor dalam asas dua dinyatakan dengan menggunakan hanya dua digit sahaja iaitu 0 dan 1. Misalnya: 101101₂.

3. Nombor dalam asas lapan dinyatakan dengan menggunakan hanya lapan digit sahaja iaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 dan 7. Misalnya: 675₈.

4. Nombor dalam asas lima dinyatakan dengan menggunakan hanya lima digit sahaja iaitu 0, 1, 2, 3 dan 4. Misalnya: 134₅.

(B) Nilai Sesuatu Digit bagi suatu Nombor dalam Asas 2, 8 dan 5

1. Jadual yang di bawah menunjukkan nilai tempat bagi setiap digit dalam suatu nombor.

(a) Dalam asas 2

Nilai tempat

2⁶= 64

2⁵= 32

2⁴= 16

2³= 8

2²= 4

2¹= 2

2⁰= 1

(b) Dalam asas 8

Nilai tempat

8⁴= 4096

8³= 512

8²= 64

8¹= 8

8⁰= 1

(c) Dalam asas 5

Nilai tempat

5⁴= 625

5³= 125

5²= 25

5¹= 5

5⁰= 1

Nilai suatu digit = Digit itu × Nilai tempat digit itu

Contoh 1:

Nyatakan nilai bagi digit yang bergaris dalam setiap nombor yang berikut.

(a) 1011101₂ (b) 3651₈ (c) 3241₅

Penyelesaian:

(a)

Nilai tempat	2⁶= 64	2⁵= 32	2⁴= 16	2³= 8	2²= 4	2¹= 2	2⁰= 1
Nombor	1	0	1	1	1	0	1

Nilai bagi digit 1 yang bergaris

= 1 × 2⁶

= 1 × 64

= 64

(b)

Nilai tempat	8³= 512	8²= 64	8¹= 8	8⁰= 1
Nombor	3	6	5	1

Nilai bagi digit 6 yang bergaris

= 6 × 8²

= 6 × 64

= 384

(c)

Nilai tempat	5³= 125	5²= 25	5¹= 5	5⁰= 1
Nombor	3	2	4	1

Nilai bagi digit 3 yang bergaris

= 3 × 5³

= 3 × 125

= 375

(C) Tulis suatu nombor dalam asas dua, asas lapan dan asas lima dalam bentuk pendaraban

1. Suatu nombor ditulis dalam bentuk pendaraban merujukkan kepada hasil tambah nilai bagi digit-digit yang membentuk nombor itu.

Contoh 2:

Tulis setiap yang berikut dalam bentuk pendaraban.

(a) 111011₂ (b) 475₈ (c) 2413₅

Penyelesaian:

(a)

Nilai empat	2⁵= 32	2⁴= 16	2³= 8	2²= 4	2¹= 2	2⁰= 1
Nombor	1	1	1	0	1	1

111011₂= 1 × 2⁵+ 1 × 2⁴+ 1 × 2³+ 0 × 2²+ 1 × 2¹+ 1 × 2⁰

(b)

Nilai tempat	8²= 64	8¹= 8	8⁰= 1
Nombor	4	7	5

475₈= 4 × 8²+ 7 × 8¹+ 5 × 8⁰

(c)

Nilai tempat	5³= 125	5²= 25	5¹= 5	5⁰= 1
Nombor	2	4	1	3

2413₅= 2 × 5³+ 4 × 5²+ 1 × 5¹+ 3 × 5⁰

Bab 6 Statistik III

Posted on June 12, 2016 by user

6.5 Kekerapan Longgokan

Kekerapan longgokan bagi suatu data atau selang kelas dalam jadual kekerapan adalah diperoleh dengan menentukan hasil tambah kekerapannya dengan jumlah kekerapan semua data atau selang kelas sebelumnya.

(A) Ogif

Ogif ialah graf kekerapan longgokan yang diperoleh dengan memplotkan kekerapan longgokan bertentangan dengan sempadan atas setiap kelas.

Contoh:

Data di bawah menunjukkan bilangan buku yang dibaca oleh sekumpulan 60 orang murid dalam setahun.

Buku	Kekerapan
6-10	3
11-15	7
16-20	11
21-25	16
26-30	11
31-35	8
36-40	4

(a) Bina satu jadual kekerapan longgokan bagi data di atas.

(b) Dengan menggunakan skala 2cm kepada 5 buku pada paksi mengufuk dan 2cm kepada 10 orang murid pada paksi mencancang, lukiskan satu ogif bagi data tersebut.

Penyelesaian:

(a)

· Tambah satu kelas dengan kekerapan sifar sebelum kelas pertama.

· Cari sempadan atas bagi setiap selang kelas.

Buku	Kekerapan	Kekerapan longgokan	Sempadan atas
1-5	0	0	5.5
6-10	3	0 + 3 = 3	10.5
11-15	7	3 + 7 = 10	15.5
16-20	11	10 + 11 = 21	20.5
21-25	16	21 + 16 = 37	25.5
26-30	11	37 + 11 = 48	30.5
31-35	8	48 + 8 = 56	35.5
36-40	4	56 + 4 = 60	40.5

(b)

Bab 6 Statistik III

Posted on June 12, 2016 by user

6.4 Poligon Kekerapan

1. Poligon kekerapan ialah graf yang menyambungkan titik tengah selang kelas pada hujung setiap segi empat tepat dalam sebuah histogram.

2. Poligon kekerapan boleh dilukis daripada
(a) Histogram,
(b) Jadual kekerapan

3. Langkah-langkah melukis poligon kekerapan:

Step 1: Menambah satu kelas dengan kekerapan sifar sebelum kelas pertama dan selepas kelas terakhir.

Step 2: Tentukan titik tengah bagi setiap kelas.

Step 3: Sambungkan titik-titik itu dengan garis lurus.

Contoh:

Jadual kekerapan yang berikut menunjukkan jarak yang dilalui oleh 38 orang remaja yang
bermotosikal dalam satu hari.

Jarak (km)	Kekerapan
55 – 59	4
60 – 64	4
65 – 69	7
70 – 74	8
75 – 79	9
80 – 84	6

Lukis poligon kekerapan berdasarkan jadual kekerapan di atas.

Penyelesaian:

Jarak (km)	Kekerapan	Titik tengah
50 – 54	0	52
55 – 59	4	57
60 – 64	4	62
65 – 69	7	67
70 – 74	8	72
75 – 79	9	74
80 – 84	6	82
85 – 89	0	87

Bab 10 Sudut Dongakan dan Sudut Tunduk

Posted on June 12, 2016 by user

10.2 Menyelesaikan Masalah yang Melibatkan Sudut Dongakan dan sudut Tunduk

Contoh:

Sudut tunduk bagi seorang kanak-kanak yang berbasikal dari suatu bukit dengan ketinggian 10.9m ialah 52^o. Apabila kanak-kanak itu mengayuh basikal di sepanjang lereng bukit dan berhenti sebentar, sudut tunduk menjadi 25.3^o. Apakah jarak yang dilalui oleh kanak-kanak itu?

Penyelesaian:

Langkah 1: Lukis sebuah gambar rajah untuk mewakili situasi yang diterangkan dalam masalah itu.

Langkah 2: Merangka satu pelan .

Cari jarak QSdan QR. Lepas itu, QS – QR= jarak yang dilalui oleh kanak-kanak itu.

\begin{array}{l} \tan 52^{o} = \frac{10.9}{Q R} \\ Q R = \frac{10.9}{\tan 52^{o}} \\ Q R = 8.5 m \end{array}

\begin{array}{l} \tan {25.3}^{o} = \frac{10.9}{Q S} \\ Q S = \frac{10.9}{\tan {25.3}^{o}} \\ Q S = 23.1 m \end{array}

QS – QR = (23.1 – 8.5) m = 14.6 m

Oleh itu, jarak yang dilalui oleh kanak-kanak itu ialah 14.6 meter .

Bab 10 Sudut Dongakan dan Sudut Tunduk

Posted on June 12, 2016 by user

10.3 Sudut Dongakan dan Sudut Tunduk, SPM Praktis (Kertas 1)

Soalan 4:

Rajah di bawah menunjukkan tiga batang tiang tegak, JP, KNdan LM yang terletak pada suatu permukaan mengufuk.

Sudut dongakan bagi N dari P ialah 15^o.

Sudut tunduk bagi M dari N ialah 35^o.

Hitung jarak, dalam m, dari K ke L.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} \tan ∠ A P N = \frac{A N}{P A} \\ \tan 15^{o} = \frac{A N}{4} \end{array}

AN= 4 × 0.268

AN= 1.072 m

Panjang BN = 2 + 1.072 = 3.072 m

\begin{array}{l} \tan ∠ B M N = \frac{B N}{B M} \\ \tan 35^{o} = \frac{3.072}{B M} \\ B M = \frac{3.072}{0.700} = 4.389 \\ Jarak K L = 4.389 m \end{array}

Soalan 5:

Rajah di bawah menunjukkan dua batang tiang tegak, JM dan LN yang terletak pada permukaan mengufuk.

Sudut dongakan Mdari K ialah 70^o dan sudut tunduk K dari N ialah 40 ^o.

Cari jarak perbezaan, dalam m, antara JK dan KL.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} \tan ∠ J K M = \frac{14}{J K} \\ J K = \frac{14}{\tan 70^{o}} \\ J K = 5.096 m \\ \tan ∠ L K N = \frac{8}{K L} \\ K L = \frac{8}{\tan 40^{o}} \\ K L = 9.534 m \end{array}

Jarak perbezaan antara JK dan KL

= 9.534 – 5.096

= 4.438m

Bab 10 Sudut Dongakan dan Sudut Tunduk

Posted on June 12, 2016 by user

10.3 Sudut Dongakan dan Sudut Tunduk, SPM Praktis (Kertas 1)

Soalan 1:

Rajah di bawah menunjukkan dua batang tiang tegak yang terletak pada permukaan mengufuk. J, K, L, M dan N adalah lima titik yang terletak pada tiang-tiang itu dengan keadaan KL = MN.

Namakan sudut dongakan titik J dari titik M.

Penyelesaian:

Sudut dongakan titik J dari titik M = ∠KMJ

Soalan 2:

Rajah di bawah menunjukkan dua batang tiang tegak, JM dan KL yang terletak pada permukaan mengufuk.

Hitung sudut dongakan puncak K dari M .

Penyelesaian:

JN= 10 tan 42^o = 9.004 m

NM= 25 – 9.004 = 15.996 m

KL= NM = 15.996 m

\begin{array}{l} \tan ∠ K M L = \frac{K L}{M L} \\ = \frac{15.996}{10} \\ = 1.5996 \\ ∠ K M L = \tan^{- 1} 1.5996 \\ = 57^{o} 59^{'} \end{array}

Soalan 3:

Rajah di bawah menunjukkan satu batang tiang tegak, KMN yang terletak pada suatu permukaan mengufuk. Sudut dongakan M dari L ialah 20^o.

Hitung tinggi, dalam m, bagi tiang itu.

Penyelesaian:

tan 20 o = K M K L 0.3640 = K M 15

KM= 5.4m

Tinggi tiang = 9 + 5.4 = 14.4m

Bab 10 Sudut Dongakan dan Sudut Tunduk

Posted on June 11, 2016 by user

10.1 Sudut Dongakan dan Sudut Tunduk

1. Sudut dongakan ialah sudut tirus di antara garis mengufukyang melalui mata pencerap dengan garis lurus yang menyambungkan mata pencerap dengan objek yang berada di sebelah atas garis mengufuk itu.

Contoh 1:

Sudut dongakan bagi objek O dari P = ∠OPA

2. Sudut tunduk ialah sudut tirus di antara garis mengufukyang melalui mata pencerap dengan garis lurus yang menyambungkan mata pencerap dengan objek yang berada di sebelah bawah garis mengufuk itu.

Contoh 2:

Sudut tunduk bagi objek O dari P = ∠OPA

3. Sudut dongakan dan sudut tunduk adalah sentiasa diukur dari garisan mengufuk.

Contoh 3:

Rajah di bawah menunjukkan dua batang tiang tegak, JK dan NL yang terletak pada permukaan mengufuk. M adalah satu titik atas NLdengan keadaan JK = ML.

Sudut tunduk titik J dari titik N ialah

Penyelesaian:

Sudut tunduk titik J dari titik N ialah sudut di antara garis JN dengan garis mengufuk melalui N.

Sudut tunduk Jdari N

= sudut dongakan Ndari J

= ∠NJM