Bab 15 Vektor

Posted on July 5, 2016 by user

4.5 Vektor dalam Satah Cartes

1. Vektor unit mempunyai magnitud satu unit.

2. Vektor

\underset{˜}{i}

ialah vektor unit ke arah positif paksi-x.

Vektor

\underset{˜}{j}

ialah vektor unit ke arah positif paksi-y.

3. Suatu vektor dalam satah Cartes boleh ditulis dalam bentuk

x \underset{˜}{i} + y \underset{˜}{j} atau vektor lajur (\begin{array}{l} x \\ y \end{array}) .

4. Magnitud bagi vektor unit ialah

| \underset{˜}{i} | = | \underset{˜}{j} | = 1.

5. Magnitud bagi vektor

\vec{O A} = x \underset{˜}{i} + y \underset{˜}{j} diberi oleh | \vec{O A} | = \sqrt{x^{2} + y^{2}} .

Contoh 1:

Jika

\underset{˜}{r} = k \underset{˜}{i} - 8 \underset{˜}{j} dan | \underset{˜}{r} | = 10,

cari nilai k. Tentukan vektor unit dalam arah

\underset{˜}{r}

bagi setiap nilai k.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} Diberi | \underset{˜}{r} | = 10 \\ \sqrt{x^{2} + y^{2}} = 10 \\ \sqrt{k^{2} + {(- 8)}^{2}} = 10 \\ k^{2} + 64 = 100 \\ k = \pm 6 \end{array}

\begin{array}{l} Vektor unit, \hat{\underset{˜}{r}} = \frac{x \underset{˜}{i} + y \underset{˜}{j}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} \\ Apabila k = 6, Apabila k = - 6 \\ \hat{\underset{˜}{r}} = \frac{6 \underset{˜}{i} - 8 \underset{˜}{j}}{10} = \frac{3 \underset{˜}{i} - 4 \underset{˜}{j}}{5} \hat{\underset{˜}{r}} = \frac{- 6 \underset{˜}{i} - 8 \underset{˜}{j}}{10} = \frac{- 3 \underset{˜}{i} - 4 \underset{˜}{j}}{5} \\ \hat{\underset{˜}{r}} = \frac{1}{5} (3 \underset{˜}{i} - 4 \underset{˜}{j}) \hat{\underset{˜}{r}} = \frac{1}{5} (- 3 \underset{˜}{i} - 4 \underset{˜}{j}) \end{array}

Contoh 2:

Diberi bahawa

\underset{˜}{a} = (\begin{array}{l} 6 \\ 3 \end{array}) dan \underset{˜}{b} = (\begin{array}{l} 3 \\ 7 \end{array}) .

(a) Cari

\underset{˜}{b} - \underset{˜}{a} dan | \underset{˜}{b} - \underset{˜}{a} | .

(b) Seterusnya, cari vektor unit dalam arah

\underset{˜}{b} - \underset{˜}{a} .

Penyelesaian:

(a)

\begin{array}{l} \underset{˜}{b} - \underset{˜}{a} = (\begin{array}{l} 3 \\ 7 \end{array}) - (\begin{array}{l} 6 \\ 3 \end{array}) \\ = (\begin{array}{l} 3 - 6 \\ 7 - 3 \end{array}) \\ = (\begin{array}{l} - 3 \\ 4 \end{array}) \\ | \underset{˜}{b} - \underset{˜}{a} | = \sqrt{{(- 3)}^{2} + 4^{2}} \\ = \sqrt{9 + 16} \\ = \sqrt{25} = 5 \end{array}

(b)

\begin{array}{l} Vektor unit dalam arah \underset{˜}{b} - \underset{˜}{a} \\ = \frac{1}{5} (\begin{array}{l} - 3 \\ 4 \end{array}) \\ = (\begin{array}{l} - \frac{3}{5} \\ \frac{4}{5} \end{array}) \end{array}

Bab 15 Vektor

Posted on July 5, 2016 by user

4.1 Pengenalan Vektor

(A) Kuantiti Vektor dan Kuantiti Skalar

1. Vektor ialah kuantiti yang mempunyai maginitud dan arah.

2. Skalar ialah kuantiti yang mempunyai magnitud sahaja.

3. Misalnya, magnitud vektor

\vec{O A}

ialah panjang OA dan arahnya adalah dari O ke A.

\vec{O A}

boleh ditandakan sebagai

\underset{˜}{a}

dan magnitudnya pula ditandakan sebagai

| \vec{O A} | atau | \underset{˜}{a} | .

(B) Vektor sebagai Garis Terarah

1. Vektor

\vec{A B}

mewakili satu vektor yang mempunyai magnitud

\vec{A B}

dan menghala dari A ke B. Magnitud

\vec{A B}

ditulis sebagai

| \vec{A B} |

(C) Kesamaan Dua Vektor

1. Dua vektor adalah sama jika kedua-duanya mempunyai magnitud dan arah yang sama.
Misalnya,

\begin{array}{l} \underset{˜}{a} = \underset{˜}{b} \\ Jika (a) | \underset{˜}{a} | = | \underset{˜}{b} |, \\ (b) arah \underset{˜}{a} dan \underset{˜}{b} sama . \end{array}

2. Vektor negatif bagi

\vec{A B}

ialah vektor yang mempunyai magnitud yang sama dengan

\vec{A B}

tetapi dalam arah yang bertentangan dengan arah

\vec{A B}

. Vektor negatif bagi

\vec{A B}

boleh
ditulis sebagai

- \vec{A B} atau \vec{B A}

. Vektor negatif bagi

\underset{˜}{a} ditulis sebagai - \underset{˜}{a} .

3. Vektor sifar,

\underset{˜}{0}

, ialah vektor yang mempunyai magnitud sifar dan arahnya tidak tertakrif.

Bab 12 Janjang

Posted on July 5, 2016 by user

1.2.1 Janjang Geometri

(A) Ciri-ciri Janjang Geometri

Janjang Geometri (J.G.) ialah satu jujukan nombor yang setiap sebutan (kecuali sebutan pertama) diperoleh dengan mendarabkan satu pemalar kepada sebutan sebelumnya. Pemalar ini dikenal sebagai nisbah sepunya, r.

Contoh:

Tentukan sama ada jujukan nombor yang berikut ialah janjang geometri (J.G.) atau bukan janjang geometri.

(a) 1, 4, 16, 64, …..

(b) 10, –5, 2.5, –1.25, …..

(c) 2, 4, 12, 48, …..

[Tip pintar: Bagi suatu janjang geometri, sentiasa darab satu nombor tetap untuk mendapat nombor seterusnya]

Penyelesaian:

(a)

\begin{array}{l}  \end{array}

\begin{array}{l} Nisbah sepunya, r = \frac{T_{n}}{T_{n - 1}} \\ \frac{T_{3}}{T_{2}} = \frac{16}{4} = 4, \frac{T_{2}}{T_{1}} = \frac{4}{1} = 4 \\ \frac{T_{3}}{T_{2}} = \frac{T_{2}}{T_{1}} \end{array}

1, 4, 16, 64, …. ialah JG, a = 1, r = 4.

(b)

\begin{array}{l} Nisbah sepunya, \\ r = \frac{T_{2}}{T_{1}} = - \frac{5}{10} = - \frac{1}{2} \end{array}

10, –5, 2.5, –1.25, ….., ialah JG, a = 1, r = – ½.

(c)

\begin{array}{l} Nisbah sepunya, \\ r = \frac{T_{2}}{T_{1}} = \frac{4}{2} = 2 \\ r = \frac{T_{3}}{T_{2}} = \frac{12}{4} = 3 \\ \frac{T_{2}}{T_{1}} \neq \frac{T_{3}}{T_{2}} \end{array}

2, 4, 12, 48, …..Bukan JG.

kerana nisbah antara nombor-nombor yang berturutan tidak sama.

(B) Langkah-langkah untuk membuktikan sama ada jujukan nombor yang diberi ialah satu janjang geometri.

Langkah 1: Senaraikan tiga sebutan yang berturutan. [Contoh: T₁, T₂, T₃.]

Langkah 2: Hitung nilai bagi

\frac{T_{3}}{T_{2}} dan \frac{T_{2}}{T_{1}} .

Langkah 3: Jika

\frac{T_{3}}{T_{2}} = \frac{T_{2}}{T_{1}} = r

, maka jujukan nombor itu ialah satu janjang geometri.

Langkah 4: Jika

\frac{T_{3}}{T_{2}} \neq \frac{T_{2}}{T_{1}}

, maka jujukan nombor itu bukan satu janjang geometri.

Bab 12 Janjang

Posted on July 5, 2016 by user

1.1 Janjang Aritmetik

(A) Ciri-ciri Janjang Aritmetik

1. Jujukan ialah suatu set nombor yang mengikut suatu pola tertentu.Misalnya: 4, 7, 10, 13, … ialah satu jujukan.

2. Setiap nombor dalam suatu jujukan dikenali sebagai sebutan.

3. Janjang aritmetik (J.A.) ialah satu jujukan nombor yang setiap sebutan (kecuali sebutan pertama) diperoleh dengan menambahkan satu pemalar kepada sebutan sebelumnya. Pemalar ini dikenal sebagai beza sepunya, d.

Contoh:

Tentukan sama ada jujukan nombor yang berikut ialan janjang aritmetik (J.A.) atau bukan janjang aritmetik.

(a) –5, –3, –1, 1, …

(b) 10, 7, 4, 1, -2, …

(c) 2, 8, 15, 23, …

(d) 3, 6, 12, 24, …

Tip pintar: Bagi suatu janjang aritmetik, anda sentiasa tambah atau tolak satu nombor tetap.

Penyelesaian:

(B) Langkah-langkah untuk membuktikan sama ada jujukan nombor yang diberi ialah satu janjang aritmetik

Langkah 1: Senaraikan tiga sebutan yang berturutan. [Contoh: T₁ , T₂ , T₃.]

Langkah 2: Hitung nilai bagi T₃ − T₂ dan T₂ − T₁ .

Langkah 3: Jika T₃ − T₂ = T₂ − T₁ = d, maka jujukan nombor itu ialah satu janjang aritmetik.

Contoh:

Buktikan sama ada jujukan nombor yang berikut ialah satu janjang aritmetik (J.A.).

(a) 7, 10, 13, …

(b) –20, –15, –9, …

Penyelesaian:

(a)

7, 10, 13 ← (Langkah 1: Senaraikan T₁ , T₂ , T₃)

T₃– T₂ = 13 – 10 = 3 ← (Langkah 2: Cari T₃– T₂ dan T₂ – T₁)

T₂ – T₁ = 10 – 7 = 3 ← (Langkah 2: Cari T₃– T₂ dan T₂ – T₁)

T₃– T₂ = T₂ – T₁

Maka, 7, 10, 13, … ialah J.A.

(b)

–20, –15, –9

T₃– T₂ = –9 – (–15) = 6

T₂ – T₁ = –15 – (–20) = 5

T₃– T₂ ≠ T₂ – T₁

Maka. –20, –15, –9, … bukan satu J.A.

3.2 Nilai Maksimum dan Nilai Minimum Fungsi Kuadratik

Titik Maksimum dan Titik Minimum

1. Suatu fungsi kuadratik f ( x ) = ax ² + bx + c boleh diungkapkan dalam bentuk f ( x ) = a ( x + p ) ² + q dengan cara menyempurnakan kuasa dua.

2. Titik maksimum atau titik minimum boleh ditentukan daripada persamaan f (x ) = a (x + p )² + q .

(A) Titik Minimum

1. Fungsi kuadratik f (x ) mempunyai nilai minimum jika a ialah positif .

2. Fungsi kuadratik f (x ) mempunyai nilai minimum apabila (x + p) = 0.

3. Nilai minimum ialah q.

4. Titik minimum ialah (–p, q).

(B) Titik Maksimum

1. Fungsi kuadratik f (x ) mempunyai nilai maksimum jika a ialah negatif .

2. Fungsi kuadratik f (x ) mempunyai nilai maksimum apabila (x + p) = 0.

3. Nilai maksimum ialah q.

4. Titik maksimum ialah (–p, q).

Contoh:

Cari titik maksimum atau titik minimum bagi setiap persamaan kuadratik yang berikut.

(a) f (x ) = (x – 3)² + 7

(b) f (x ) = – 5 – 3(x + 15)²

Penyelesaian:

(a) f (x ) = (x – 3)² + 7

a = 1, p = – 3, q = 7

a > 0, fungsi kuadratik mempunyai titik minimum.

Titik minimum = (–p, q) = (3, 7)

(b) f (x ) = – 5 – 3(x + 15)²

a = – 3 , p = 15, q = – 5

a < 0, fungsi kuadratik mempunyai titik maksimum.

Titik maksimum = (– p, q) = ( –15 , – 5 )

Monthly Archives: July 2016

Bab 15 Vektor

Bab 15 Vektor

Bab 12 Janjang

Bab 12 Janjang

Bab 5 Indeks dan Logaritma

Bab 5 Indeks dan Logaritma

Bab 5 Indeks dan Logaritma

Bab 3 Fungsi Kuadratik

Titik Maksimum dan Titik Minimum

Bab 3 Fungsi Kuadratik

Bab 3 Fungsi Kuadratik