Bab 3 Fungsi Kuadratik

Posted on September 30, 2016 by user

3.7 Fungsi Kuadratik, SPM Praktis (Soalan Panjang)

Soalan 3:

Rajah di atas menunjukkan graf fungsi kuadratik y = f(x). Garis lurus y = –4 ialah tangen kepada lengkung y = f(x).

(a) Tulis persamaan paksi simetri untuk fungsi f(x).

(b) Ungkapakan f(x) dalam bentuk (x + p)² + q , dengan keadaan p dan q ialah pemalar.

(i) f(x) < 0, (ii) f(x) ≥ 0.

Penyelesaian:

(a)

Koordinat-x titik minimum = titik tengah bagi (–2, 0) dan (6, 0)

= \frac{- 2 + 6}{2} = 2

Maka, persamaan paksi simetri untuk fungsi f(x) ialah x = 2.

(b)

Gantikan x = 2 dalam x + p = 0,

2 + p = 0

p = –2

dan q = –4 (nilai f(x) yang paling kecil)

Maka, f(x) = (x + p)² + q

f(x) = (x – 2)² – 4

(c)(i) Daripada graf, bagi f(x) < 0, julat nilai x ialah –2 < x < 6 ← (bahagian graf di bawah paksi-x).

(c)(ii) Daripada graf, bagi f(x) ≥ 0, julat nilai x ialah x ≤ –2 atau x ≥ 6 ← (bahagian graf di atas paksi-x).

Soalan 4:

Cari julat nilai k supaya persamaan x² – kx + 3k – 5 = 0 tidak mempunyai punca.
Buktikan bahawa punca-punca persamaan kuadratik hx² – (h + 3)x + 1 = 0 adalah nyata dan berbeza untuk semua nilai h.

Penyelesaian:
(a)

\begin{array}{l} x^{2} - k x + (3 k - 5) = 0 \\ Jika persamaan di atas tidak mempunyai punca, \\ maka b^{2} - 4 a c < 0. \\ k^{2} - 4 (3 k - 5) < 0 \\ k^{2} - 12 k + 20 < 0 \\ (k - 2) (k - 10) < 0 \end{array}

Graf fungsi y = (k – 2)(k – 10) memotong paksi ufuk di k = 2 dan k = 10.
Graf melekung ke bawah untuk b² – 4ac < 0.

Julat nilai k yang memuaskan ketaksamaan di atas ialah 2 < k < 10.

(b)

\begin{array}{l} h x^{2} - (h + 3) x + 1 = 0 \\ b^{2} - 4 a c = {(h + 3)}^{2} - 4 (h) (1) \\ = h^{2} + 6 h + 9 - 4 h \\ = h^{2} + 2 h + 9 \\ = {(h + \frac{2}{2})}^{2} - {(\frac{2}{2})}^{2} + 9 \\ = {(h + 1)}^{2} - 1 + 9 \\ = {(h + 1)}^{2} + 8 \end{array}

Nilai minimum bagi (h + 1) + 8 ialah 8, satu nilai positif. Oleh itu, b² – 4ac > 0 untuk semua nilai h.
Maka, punca-punca persamaan kuadratik hx² – (h + 3)x + 1 = 0 adalah nyata dan berbeza untuk semua nilai h.

Bab 12 Janjang

Posted on September 29, 2016 by user

1.4 Janjang, SPM Praktis (Soalan Panjang)

Soalan 2:

Satu bulatan, jejari 10 cm dibahagikan kepada 4 sektor dengan keadaan luas sektor-sektor itu adalah dalam janjang geometri. Diberi bahawa luas sector yang paling besar ialah 8 kali luas sektor yang paling kecil. Cari luas sektor yang paling besar itu.

Penyelesaian:

Katakan luas yang terkecil

= ½ (10)²θ ← (Luas sektor = ½ j² θ)

= 50 θ

nisbah sepunya = r

janjang geometri ialah 50 θ, 50 θr, 50 θr², 50 θr³.

diberi bahawa luas sektor yang paling besar ialah 8 kali luas sektor yang paling kecil,

50 θr³= 8 (50 θ)

r³ = 8

r= 2

Jumlah luas semua sektor

= luas bulatan = πj²

= π (10)² = 100π

S₄ = 100π

\begin{array}{l} \frac{50 θ (r^{4} - 1)}{r - 1} = 100 π \\ \frac{50 θ (2^{4} - 1)}{2 - 1} = 100 π \\ 50 θ (15) = 100 π \\ θ = \frac{2 π}{15} \end{array}

T₄ = 50 θr³

T_{4} = 50 (\frac{2 π}{15}) {(2)}^{3}

T₄ = 167.6 (π = 3.142)

Luas sektor terbesar = 167.6 cm²

Bab 12 Janjang

Posted on September 29, 2016 by user

1.4 Janjang, SPM Praktis (Soalan Panjang)

Soalan 1:

Rajah di bawah menunjukkan sebahagian daripada susunan batu-bata yang sama saiz dalam suatu tapak pembinaan.

Bilangan bata pada garis yang paling bawah ialah 100 ketul. Bagi baris-baris yang berikutnya, bilangan bata adalah 2 ketul kurang daripada baris yang di bawahnya. Tinggi setiap ketul bata itu ialah 7 cm.

Rahman membina sebuah tembok dengan mneyusun bata mengikut susunan itu. Bilangan bata pada garis yang paling atas ialah 4 ketul.

Hitungkan

(a) tinggi, dalam cm, tembok itu.

(b) jumlah harga bata yang digunakan jika harga seketul bata ialah 50 sen.

Penyelesaian:

100, 98, 96, …, 4 adalah satu janjang aritmetik

a= 100 dan d = –2

(a)

T_n= 4

a + (n – 1) d = 4

100 + (n – 1)(–2) = 4

100 – 2n + 2 = 4

2n = 98

n= 49

Maka, tinggi tembok = 49 × 7 = 343 cm

(b)

Jumlah bata yang digunakan

= S₄₉

= \frac{49}{2} (100 + 4) \leftarrow rumus, S_{n} = \frac{n}{2} (a + l)

= 2548

Maka, jumlah harga = 2548 × RM0.50

= RM1,274

Bab 2 Persamaan Kuadratik

Posted on September 29, 2016 by user

2.6 Persamaan Kuadratik, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 2:

Diberi α dan β ialah punca-punca bagi persamaan kuadratik (2x + 5)(x + 1) + p = 0 dengan keadaan αβ = 3 dan p ialah pemalar.

Cari nilai p, α dan β.

Penyelesaian:

(2x + 5)(x + 1) + p = 0

2x² + 2x + 5x + 5 + p = 0

2x² + 7x + 5 + p = 0

*Bandingkan dengan, x² – (hasil tambah dua punca)x + hasil darab dua punca = 0

x^{2} + \frac{7}{2} x + \frac{5 + p}{2} = 0 \leftarrow \begin{array}{l} bahagi kedua-dua \\ belah dengan 2 \end{array}

Hasil darab dua punca, αβ = 3

\frac{5 + p}{2} = 3

5 + p = 6

p = 1

Hasil tambah dua punca =

- \frac{7}{2}

\begin{array}{l} α + β = - \frac{7}{2} \to (1) \\ dan α β = 3 \to (2) \\ daripada (2), β = \frac{3}{α} \to (3) \\ Gantikan (3) ke dalam (1), \\ α + \frac{3}{α} = - \frac{7}{2} \end{array}

2α²+ 6 = –7α ← (darab kedua-dua belah dengan 2α)

2α²+ 7α + 6 = 0

(2α + 3)(α + 2) = 0

2α + 3 = 0 atau α + 2 = 0

α = - \frac{3}{2}

α = –2

\begin{array}{l} Gantikan α = - \frac{3}{2} dalam (3), \\ β = \frac{3}{- \frac{3}{2}} = 3 (- \frac{2}{3}) = - 2 \end{array}

Gantikan α = –2 dalam (3),

\begin{array}{l} β = - \frac{3}{2} \\ Oleh itu, p = 1, dan \\ apabila α = - \frac{3}{2}, β = - 2 dan α = - 2, β = - \frac{3}{2} . \end{array}

Bab 5 Indeks dan Logaritma

Posted on September 28, 2016 by user

5.6 Indeks dan Logaritma, SPM Praktis (Soalan Panjang)

Soalan 1

(a) Cari nilai bagi

i. 2 log₂ 12 + 3 log₂5 – log₂ 15 – log₂ 150.

ii. log₈32

(b) Tunjukkan bahawa 5ⁿ + 5ⁿ ⁺ ¹+ 5ⁿ ⁺ ² boleh dibahagi dengan 31 bagi semua nilai nyang merupakan integer positif.

Penyelesaian:

(a)(i)

2 log₂ 12 + 3 log₂ 5 – log₂15 – log₂ 150

= log₂ 12² + log₂ 5³– log₂ 15 – log₂ 150

= \log_{2} \frac{12^{2} \times 5^{3}}{15 \times 150}

= log₂ 8

= log₂ 2³

= 3

(a)(ii)

\begin{array}{l} \log_{8} 32 = \frac{\log_{2} 32}{\log_{2} 8} \\ = \frac{\log_{2} 2^{5}}{\log_{2} 2^{3}} = \frac{5}{3} \end{array}

(b)

5ⁿ + 5ⁿ ⁺ ¹ + 5ⁿ ⁺ ²

= 5ⁿ + (5 × 5ⁿ ) + (5² × 5ⁿ )

= 5ⁿ (1 + 5 + 5²)

= 31 × 5ⁿ

Oleh itu, 5ⁿ + 5ⁿ ⁺ ¹ + 5ⁿ ⁺ ² boleh dibahagi dengan 31 bagi semua nilai nyang merupakan integer positif.

Soalan 2:

(a) Diberi log₁₀ x = 3 dan log₁₀y = –2. Tunjukkan bahawa 2xy – 10000y² = 19.

(b) Selesaikan persamaan log₃ x = log₉(x + 6).

Penyelesaian:

(a)

log₁₀x = 3 → (x = 10³)

log₁₀y = –2 → (y = 10^-2)

2xy – 10000y² = 19

Sebelah kiri:

2xy – 10000y²

= 2 × 10³× 10^-2– 10000 (10^-2)²

= 20 – 10000 (10^-4)

= 20 – 1

= 19

= sebelah kanan

(b)

\begin{array}{l} \log_{3} x = \log_{9} (x + 6) \\ \log_{3} x = \frac{\log_{3} (x + 6)}{\log_{3} 9} \\ \log_{3} x = \frac{\log_{3} (x + 6)}{\log_{3} 3^{2}} \\ \log_{3} x = \frac{\log_{3} (x + 6)}{2} \end{array}

2log₃ x= log₃ (x + 6)

log₃ x²= log₃ (x + 6)

x² = x + 6

x² – x – 6 = 0

(x + 2) (x – 3) = 0

x = – 2 atau 3.

log₃(– 2) tidak wujud.

Jadi, x = 3.

Bab 3 Fungsi Kuadratik

Posted on September 28, 2016 by user

3.7 Fungsi Kuadratik, SPM Praktis (Soalan Panjang)

Soalan 1:

Tanpa menggunakan kaedah pembezaan atau melukis graf, cari nilai maksimum atau nilai minimum bagi fungsi y = 2 + 4x – 3x². Seterusnya, cari persamaan paksi simetri bagi graf fungsi itu.

Penyelesaian:

Menyempurnakan kuasa dua bagi fungsi y dalam bentuk y = a(x+ p)² + q untuk mencari nilai maksimum atau nilai minimum bagi fungsi y.

y = 2 + 4x – 3x²

y = – 3x²+ 4x + 2 ← (Tulis dalam bentuk am)

\begin{array}{l} y = - 3 [x^{2} - \frac{4}{3} x - \frac{2}{3}] \\ y = - 3 [x^{2} - \frac{4}{3} x + {(- \frac{4}{3} \times \frac{1}{2})}^{2} - {(- \frac{4}{3} \times \frac{1}{2})}^{2} - \frac{2}{3}] \\ y = - 3 [{(x - \frac{2}{3})}^{2} - {(- \frac{2}{3})}^{2} - \frac{2}{3}] \end{array}

\begin{array}{l} y = - 3 [{(x - \frac{2}{3})}^{2} - \frac{4}{9} - \frac{6}{9}] \\ y = - 3 [{(x - \frac{2}{3})}^{2} - \frac{10}{9}] \\ y = - 3 {(x - \frac{2}{3})}^{2} + \frac{10}{3} \leftarrow Bentuk a {(x + p)}^{2} + q \end{array}

Didapati a = –3 < 0,

maka fungsi y mempunyai nilai maksimum

\frac{10}{3} .

\begin{array}{l} x - \frac{2}{3} = 0 \\ x = \frac{2}{3} \end{array}

Persamaan paksi simetri bagi graf fungsi itu ialah

x = \frac{2}{3} .

Soalan 2:
Fungsi kuadratik f(x) = x² – 4px + 5p² + 1 mempunyai nilai minimum m² + 2p, dengan keadaan m dan p adalah pemalar.
(a) Dengan menggunakan kaedah menyempurnakan kuasa dua, tunjukkan bahawa m = p – 1.
(b) Seterusnya, atau dengan cara lain, carikan nilai p dan nilai m jika graf bagi fungsi itu bersimetri pada x = m² – 1.

Penyelesaian:
(a)

\begin{array}{l} f (x) = x^{2} - 4 p x + 5 p^{2} + 1 \\ = x^{2} - 4 p x + {(\frac{- 4 p}{2})}^{2} - {(\frac{- 4 p}{2})}^{2} + 5 p^{2} + 1 \\ = {(x - 2 p)}^{2} + p^{2} + 1 \\ Nilai minimum, \\ m^{2} + 2 p = p^{2} + 1 \\ m^{2} = p^{2} - 2 p + 1 \\ m^{2} = {(p - 1)}^{2} \\ m = p - 1 \end{array}

(b)

\begin{array}{l} x = m^{2} - 1 \\ 2 p = m^{2} - 1 \\ p = \frac{m^{2} - 1}{2} \\ Diberi m = p - 1 \Rightarrow p = m + 1 \\ m + 1 = \frac{m^{2} - 1}{2} \\ 2 m + 2 = m^{2} - 1 \\ m^{2} - 2 m - 3 = 0 \\ (m - 3) (m + 1) = 0 \\ m = 3 atau - 1 \\ Apabila m = 3, \\ p = \frac{3^{2} - 1}{2} = 4 \end{array}

Bab 2 Persamaan Kuadratik

Posted on September 28, 2016 by user

2.6 Persamaan Kuadratik, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 1:

(a) Cari nilai-nilai k supaya persamaan (1 – k) x²– 2(k + 5)x + k + 4 = 0 mempunyai punca yang sama.

Seterusnya, cari punca persamaan itu berdasarkan nilai-nilai k yang diperoleh.

(b) Diberi lengkung y = 5 + 4x – x²mempunyai persamaan tangen dalam bentuk y = px + 9. Hitung nilai-nilai p yang mungkin.

Penyelesaian:

(a)

Bagi punca-punca yang sama,

b²– 4ac = 0

[–2(k + 5)]² – 4(1 – k)( k + 4) = 0

4(k + 5)² – 4(1 – k)( k + 4) = 0

4(k² + 10k + 25) – 4(4 – 3k – k ² ) = 0

4k² + 40k + 100 – 16 + 12k + 4k²= 0

8k² + 52k + 84 = 0

2k² + 13k + 21 = 0

(2k + 7) (k + 3) = 0

k = - \frac{7}{2}, - 3

Jika

k = - \frac{7}{2}

, persamaan ialah

\begin{array}{l} (1 + \frac{7}{2}) x^{2} - 2 (- \frac{7}{2} + 5) x - \frac{7}{2} + 4 = 0 \\ \frac{9}{2} x^{2} - 3 x + \frac{1}{2} = 0 \end{array}

9x² – 6x + 1 = 0

(3x – 1) (3x – 1) = 0

x = ⅓

Jika k = –3, persamaan ialah

(1 + 3)x² – 2(–3 + 5)x – 3 + 4 = 0

4x² – 4x + 1 = 0

(2x – 1) (2x – 1) = 0

x = ½

(b)

y = 5 + 4x – x²----- (1)

y = px + 9 ---------- (2)

(1) = (2), 5 + 4x – x²= px + 9

x ² + px – 4x + 9 – 5 = 0

x ² + (p – 4)x + 4 = 0

Persamaan tangen mempunyai hanya satu titik persilangan, puncanya adalah sama.

b²– 4ac = 0

(p – 4)² – 4(1)(4) = 0

p ² – 8p + 16 – 16 = 0

p ² – 8p = 0

p (p – 8) = 0

Maka, p = 0 dan p = 8.

Bab 19 Taburan Kebarangkalian

Posted on September 27, 2016 by user

8.4 Taburan Kebarangkalian, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 1:

Dalam suatu peperiksaan, 2 daripada 5 pelajar yang mengambil peperiksaan itu gagal dalam kertas kimia.

(a) Jika 6 orang dipilih secara rawak daripada pelajar-pelajar, cari kebarangkalian bahawa tidak melebihi 2 orang pelajar gagal dalam kertas kimia.

(b) Jika terdapat 200 orang pelajar tingkatan 4 dalam sekolah itu, cari min dan sisihan piawai bilangan orang pelajar gagal kertas kimia.

Penyelesaian:

(a)

X ~ Bilangan pelajar gagal kertas kimia

X ~ B (n, p)

X ~ B (6, \frac{2}{5})

P (X = r) = ⁿC_r. p^r. q^n-r

P (X ≤ 2)

= P(X = 0) + P(X = 1) + P(X= 2)

= C_{0} {(\frac{2}{5})}^{0} {(\frac{3}{5})}^{6} + C_{1} {(\frac{2}{5})}^{1} {(\frac{3}{5})}^{5} + C_{2} {(\frac{2}{5})}^{2} {(\frac{3}{5})}^{4}

= 0.0467 + 0.1866 + 0.3110

= 0.5443

(b)

X ~ B (n, p)

\begin{array}{l} X ~ B (200, \frac{2}{5}) \\ Min bagi X \\ = n p = 200 \times \frac{2}{5} = 80 \\ Sisihan piawai bagi X \\ = \sqrt{n p q} \\ = \sqrt{200 \times \frac{2}{5} \times \frac{3}{5}} \\ = \sqrt{48} \\ = 6.93 \end{array}

Soalan 2:

5% daripada bekalan mangga diterima oleh sebuah supermarket adalah rosak.

(a) Jika suatu sampel yang terdiri daripada 12 biji mangga dipilih secara rawak, cari kebarangkalian bahawa sekurang-kurangnya 2 biji mangga adalah rosak.

(b) Cari bilangan minimum mangga yang perlu dipilih supaya kebarangkalian untuk mendapatkan sekurang-kurangnya sebiji mangga rosak adalah lebih daripada 0.85.

Penyelesaian:

(a)

X ~ B (12, 0.05)

1 – P(X ≤ 1)

= 1 – [P(X = 0) + P (X = 1)]

= 1 – [¹²C₀ (0.05)⁰ (0.95)¹² + ¹²C₁ (0.05)¹ (0.95)¹¹]

= 1 – 0.8816

= 0.1184

(b)

P (X ≥ 1) > 0.85

1 – P(X = 0) > 0.85

P (X = 0) < 0.15

ⁿC₀(0.05)⁰ (0.95)ⁿ< 0.15

nlg 0.95 < lg 0.15

n > 36.98

n = 37

Oleh itu, bilangan minimum mangga yang perlu dipilih ialah 37 sekiranya kebarangkalian lebih daripada 0.85.

Soalan 3:

Dalam suatu kajian di sebuah sekolah, didapati bahawa 20% daripada pelajar tingkatan 5 gagal dalam peperiksaan tengah tahun. Jika 8 orang pelajar daripada sekolah itu dipilih secara rawak, cari kebarangkalian bahawa

(a) tepat 2 orang pelajar gagal dalam peperiksaan tengah tahun,

(b) kurang daripada 3 orang pelajar gagal dalam peperiksaan tengah tahun.

Penyelesaian:

(a)

p = 20% = 0.2,

q = 1 – 0.2 = 0.8

X ~ B (8, 0.2)

P (X = 2)

= ⁸C₂ (0.2)² (0.8)⁶

= 0.2936

(b)

P (X < 3)

= P(X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2)

= ⁸C₀ (0.2)⁰ (0.8)⁸+ ⁸C₁ (0.2)¹ (0.8)⁷+ ⁸C₂ (0.2)²(0.8)⁶

= 0.16777 + 0.33554 + 0.29360

= 0.79691

Bab 19 Taburan Kebarangkalian

Posted on September 26, 2016 by user

8.2.3 Kebarangkalian Sesuatu Peristiwa

Contoh:

Jisim epal dalam sebuah gerai adalah bertaburan normal dengan min 220g dan varians 100g. Cari kebarangkalian bahawa sebiji epal dipilih secara rawak mempunyai jisim

(a) lebih daripada 230g.

(b) di antara 210g dengan 225g.

Seterusnya, cari nilai h supaya 90% daripada epal mempunyai jisim lebih daripada h g.

Penyelesaian:

μ = 220g

σ = √100 = 10g

Katakan X ialah jisim buah epal.

(a)

P (X > 230)

= P (Z > \frac{230 - 220}{10}) \leftarrow \begin{array}{l} Tukar kepada taburan normal \\ piawai ~ rumus Z = \frac{X - μ}{σ} \end{array}

= P (Z > 1)

= 0.1587

(b)

P (210 < X < 225)

= P (\frac{210 - 220}{10} < Z < \frac{225 - 220}{10}) \leftarrow \begin{array}{l} Tukar kepada taburan \\ normal piawai \end{array}

= P (–1 < Z < 0.5)

= 1 – P (Z > 1) – P (Z > 0.5)

= 1 – 0.1587 – 0.3085

= 0.5328

90% (kebarangkalian = 0.9) daripada epal mempunyai jisim lebih daripada h g,

P (X > h) = 0.9

P (X < h) = 1 – 0.9

= 0.1

Daripada sifir taburan normal piawai,

P (Z > 0.4602) = 0.1

P (Z < –0.4602) = 0.1

\frac{h - 220}{10} = - 0.4602

h – 220 = – 4.602

h = 215.4

Bab 19 Taburan Kebarangkalian

Posted on September 26, 2016 by user

8.2.2c Taburan Normal Piawai (Contoh 3)

Contoh 3:

Cari nilai bagi k jika

(a) P (Z > k) = 0.0480

(b) P (Z > k) = 0.8350

Penyelesaian:

(a)

Daripada sifir taburan normal piawai, k = 1.665

(b)

Daripada sifir taburan normal piawai,

k = –0.974 ← (nilai k adalah negatif kerana ia berada di sebelah kiri lengkung normal.