3.7 Fungsi Kuadratik, SPM Praktis (Soalan Panjang)
Soalan 1:
Tanpa menggunakan kaedah pembezaan atau melukis graf, cari nilai maksimum atau nilai minimum bagi fungsi y = 2 + 4x – 3x2. Seterusnya, cari persamaan paksi simetri bagi graf fungsi itu.
Penyelesaian:
Menyempurnakan kuasa dua bagi fungsi y dalam bentuk y = a(x+ p)2 + q untuk mencari nilai maksimum
atau nilai minimum bagi fungsi y.
y = 2 + 4x – 3x2
y = – 3x2 + 4x + 2 ← (Tulis dalam bentuk am)
y=−3[x2−43x−23]y=−3[x2−43x+(−43×12)2−(−43×12)2−23]y=−3[(x−23)2−(−23)2−23]
y=−3[(x−23)2−49−69]y=−3[(x−23)2−109]y=−3(x−23)2+103←Bentuk a(x+p)2+q
Didapati a = –3 < 0,
maka fungsi y mempunyai nilai maksimum 103.
x−23=0x=23
Persamaan paksi simetri bagi graf fungsi itu ialah x=23.
Soalan 2:
Fungsi kuadratik f(x) = x2 – 4px + 5p2 + 1 mempunyai nilai minimum m2 + 2p, dengan keadaan m dan p adalah pemalar.
(a) Dengan menggunakan kaedah menyempurnakan kuasa dua, tunjukkan bahawa m = p – 1.
(b) Seterusnya, atau dengan cara lain, carikan nilai p dan nilai m jika graf bagi fungsi itu bersimetri pada x = m2 – 1.
Penyelesaian:
(a)
f(x)=x2−4px+5p2+1=x2−4px+(−4p2)2−(−4p2)2+5p2+1=(x−2p)2+p2+1Nilai minimum,m2+2p=p2+1m2=p2−2p+1m2=(p−1)2m=p−1
(b)
x=m2−12p=m2−1p=m2−12Diberi m=p−1⇒p=m+1m+1=m2−122m+2=m2−1m2−2m−3=0(m−3)(m+1)=0m=3 atau −1Apabila m=3,p=32−12=4
Fungsi kuadratik f(x) = x2 – 4px + 5p2 + 1 mempunyai nilai minimum m2 + 2p, dengan keadaan m dan p adalah pemalar.
(a) Dengan menggunakan kaedah menyempurnakan kuasa dua, tunjukkan bahawa m = p – 1.
(b) Seterusnya, atau dengan cara lain, carikan nilai p dan nilai m jika graf bagi fungsi itu bersimetri pada x = m2 – 1.
Penyelesaian:
(a)
f(x)=x2−4px+5p2+1=x2−4px+(−4p2)2−(−4p2)2+5p2+1=(x−2p)2+p2+1Nilai minimum,m2+2p=p2+1m2=p2−2p+1m2=(p−1)2m=p−1
(b)
x=m2−12p=m2−1p=m2−12Diberi m=p−1⇒p=m+1m+1=m2−122m+2=m2−1m2−2m−3=0(m−3)(m+1)=0m=3 atau −1Apabila m=3,p=32−12=4