Bab 13 Hukum Linear

Posted on October 18, 2016 by user

2. Ulangkaji Konsep Penting (Garis Lurus)

(A) Persamaan Garis lurus

Rajah 1

(B) Kecerunan Garis Lurus

Rajah 2

Dalam rajah 2, kecerunan garis lurus, m, melalui titik A (x₁, y_l) dan titik B (x₂, y₂) ialah

m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}

(C) Titik Tengah Garis lurus

Dalam rajah 2, titik tengah, M bagi titik A (x_l, y₁) dan titik B (x₂, y₂) ialah

M = (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}, \frac{y_{1} + y_{2}}{2})

(D) Jarak antara Dua Titik atas Garis Lurus

Dalam rajah 2, jarak antara titik A dan titik B

= \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}

Bab 1 Fungsi

Posted on October 17, 2016 by user

1.2.2 Fungsi

(C) Domain, Kodomain, Objek, Imej, dan Julat bagi Suatu Fungsi

Contoh 3:

Gambar rajah anak panah di atas mewakili satu fungsi f : x → 2 x² – 5. Nyatakan

(a) domain,

(b) julat,

(d) objek bagi,

(i) –3,

(ii) –5.

Penyelesaian:

(a) Domain = {–2, –1, 0, 1, 2}.

(b) Julat = {–5, –3, 3}.

(d) (i) Objek bagi –3 ialah 1 dan –1.

(ii) Objek bagi –5 ialah 0.

(D) Fungsi Nilai Mutlak

1. Tanda | | menandakan nilai mutlak bagi suatu nombor. Secara amnya, nilai mutlak bagi nombor x, iaitu | x|, ditakrifkan seperti berikut.

| x | = {\begin{cases} x jika x \geq 0 \\ - x jika x < 0 \end{cases}

2. Ini bermakna tanda bagi suatu nilai mutlak sentiasa positif.

3. | x | dibaca sebagai modulus bagi x.

4. Nilai mutlak bagi fungsi f( x) ialah nilai berangka bagi f(x) dan ditandakan sebagai | f(x)|.

| f (x) | = {\begin{cases} f (x) jika f (x) \geq 0 \\ - f (x) jika f (x) < 0 \end{cases}

Contoh 4:

Diberi fungsi f: x → |x + 2|.

(a) Cari imej bagi –4, –3, 0, dan 2.

(b) Lakarkan graf bagi f (x) bagi domain –4 ≤ x ≤ 2.

Seterusnya, nyatakan nilai julat f (x) berdasarkan domain yang diberi.

Penyelesaian:

(a)

Diberi f (x) = |x + 2|

Imej bagi –4 ialah f(–4) = | –4 + 2| = | –2| = 2

Imej bagi –3 ialah f(–3) = | –3 + 2| = | –1| = 1

Imej bagi 0 ialah f(0) = | 0 + 2| = | 2 | = 2

Imej bagi 2 ialah f(2) = | 2 + 2| = | 4 | = 4

(b)

Daripada (a),

f(–4) = 2

f(–3) = 1

f(0) = 2

f(2) = 4

Tentukan titik supaya graf menyentuh paksi-x.

Pada paksi-x,f (x) = 0

|x + 2| = 0

x+ 2 = 0

x= –2

Oleh itu, julat bagi nilai f (x) ialah 0 ≤ f(x) ≤ 4.

Bab 1 Fungsi

Posted on October 17, 2016 by user

1.2.1 Fungsi

(A) Fungsi Sebagai Sejenis Hubungan Khas

1. Dalam sesuatu fungsi, semua objek dalam domain mesti dipadankan dengan hanya satu unsur dalam kodomain. Tetapi, semua unsur dalam kodomain tidak semestinya dipadankan dengan unsur dalam domain.

2. Fungsi ialah hubungan khas dengan setiap objek dalam domain mempunyai hanya satu imej. Bukan semua hubungan ialah fungsi.

3. Hubungan satu kepada satu dan hubungan banyak kepada satu ialah fungsi.

Contoh:

(B) Tatatanda Fungsi
Dalam tatatanda fungsi, sesuatu fungsi boleh diwakili oleh huruf abjad seperti f, g, h dan sebagainya. Misalnya, fungsi f yang memetakan objek x dalam domain kepada imej y dalam julat doleh ditulis sebagai

f : x → y atau f (x) = y

Seperti yang ditunjukkan dalam rajah di atas, fungsi f : X → Y, setiap unsur x dalam domain X mempunyai satu imej yang unik dalam kodomain Y.

Contoh 1:

Diberi fungsi f : x → 5x + 1, cari nilai bagi

(a) f (2)

(b) f (–3)

(c) f (\frac{2}{5})

Penyelesaian:

(a)

f (x) = 5x + 1

f (2) = 5(2) + 1 = 11

(b)

f (x) = 5x + 1

f (–3) = 5 (–3) + 1 = –14

(c)

f (x) = 5x + 1

f (\frac{2}{5}) = 5 (\frac{2}{5}) + 1 = 3

Contoh 2:

Suatu fungsi x ditakrifkan sebagai

f : x \to \frac{5}{2 x - 1}, x \neq k .

Cari nilai k.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} f (x) = \frac{5}{2 x - 1}, x \neq k \\ \Rightarrow f (x) tidak tertakrif apabila 2 x - 1 = 0 \\ oleh itu, 2 x - 1 \neq 0 \\ 2 x \neq 1 \\ x \neq \frac{1}{2} \\ Maka k = \frac{1}{2} \end{array}

Bab 8 Bulatan III

Posted on October 16, 2016 by user

8.4.3 SPM Praktis, Bulatan III (Kertas 1)

Soalan 9:

Dalam rajah di atas, ABC ialah tangen kepada bulatan berpusat O , di titik B.

Cari nilai y.

Penyelesaian:

∠ABO = 90^o

∠BOE = 2 × 40^o= 80^o

Dalam segi empat AEOB,

∠AEO = 360^o– ∠ABO– ∠BOE– 35^o

= 360^o– 90^o – 80^o – 35^o= 155^o

y^o+ ∠AEO = 180^o

y^o+ 155^o = 180^o

y^o= 180^o– 155^o

y^o = 25

Soalan 10:

Dalam rajah di atas, ABC ialah tangen kepada bulatan berpusat O, di titik B.

Nilai x ialah

Penyelesaian:

∠OBC = 90^o

∠BOD = 2 × 50^o= 100^o

Dalam segi empat BODC,

x^o= 360^o– ∠BOD – ∠OBC – 120^o

= 360^o– 100^o – 90^o – 120^o

= 50

Bab 2 Persamaan Kuadratik

Posted on October 16, 2016 by user

2.6 Persamaan Kuadratik, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 4:

Diberi 3t dan (t – 7) ialah punca-punca persamaan kuadratik 4x² – 4x + m= 0 dengan m sebagai pemalar.

(a) Cari nilai t dan nilai m.

(b) Seterusnya, bentuk satu persamaan kuadratik dengan punca-punca 4t dan 2t + 6.

Penyelesaian:

(a)

Diberi 3t dan (t – 7) ialah punca-punca persamaan kuadratik 4x² – 4x + m= 0

a = 4, b = – 4, c = m

\begin{array}{l} Hasil tambah punca = - \frac{b}{a} \\ 3 t + (t - 7) = - \frac{- 4}{4} \end{array}

3t + t– 7 = 1

4t = 8

t = 2

\begin{array}{l} Hasil darab punca = \frac{c}{a} \\ 3 t (t - 7) = \frac{m}{4} \end{array}

4 [3(2) (2 – 7)] = m ← (gantikan t = 2)

4 [3(2) (2 – 7)] = m

4 (–30) = m

m = –120

(b)

t = 2

4t = 4(2) = 8

2t + 6 = 2(2) + 6 = 10

Hasil tambah punca = 8 + 10 = 18

Hasil darab punca = 8(10) = 80

Guna rumus, x²– (hasil tambah punca)x + hasil darab punca = 0

Oleh itu, persamaan kuadratik ialah

x ² – 18x + 80 = 0

Bab 2 Persamaan Kuadratik

Posted on October 16, 2016 by user

2.6 Persamaan Kuadratik, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 3:

Jika α dan β ialah punca-punca persamaan kuadratik 3x² + 2x– 5 = 0, bentukkan persamaan kuadratik yang mempunyai punca-punca yang berikut.

\begin{array}{l} (a) \frac{2}{α} dan \frac{2}{β} \\ (b) (α + \frac{2}{β}) dan (β + \frac{2}{α}) \end{array}

Penyelesaian:

3x² + 2x – 5 = 0

a = 3, b = 2, c = –5

Punca adalah α dan β.

\begin{array}{l} α + β = - \frac{b}{a} = - \frac{2}{3} \\ α β = \frac{c}{a} = \frac{- 5}{3} \end{array}

(a)

\begin{array}{l} Punca-punca yang baru ialah \frac{2}{α} dan \frac{2}{β} . \\ Hasil tambah punca-punca baru \\ = \frac{2}{α} + \frac{2}{β} = \frac{2 β + 2 α}{α β} \\ = \frac{2 (α + β)}{α β} = \frac{2 (- \frac{2}{3})}{- \frac{5}{3}} = \frac{4}{5} \end{array}

\begin{array}{l} Hasil darab punca-punca \\ = (\frac{2}{α}) (\frac{2}{β}) = \frac{4}{α β} \\ = \frac{4}{- \frac{5}{3}} = - \frac{12}{5} \end{array}

Guna rumus, x² – (hasil tambah punca)x + hasil darab punca = 0

Persamaan kuadratik yang baru ialah

x^{2} - (\frac{4}{5}) x + (- \frac{12}{5}) = 0

5x² – 4x– 12 = 0

(b)

\begin{array}{l} Punca-punca yang baru ialah (α + \frac{2}{β}) dan (β + \frac{2}{α}) . \\ Hasil tambah punca-punca baru \\ = (α + \frac{2}{β}) + (β + \frac{2}{α}) \end{array}

\begin{array}{l} = α + β + (\frac{2}{α} + \frac{2}{β}) = α + β + \frac{2 α + 2 β}{α β} \\ = α + β + \frac{2 (α + β)}{α β} \\ = \frac{4}{5} + \frac{2 (\frac{4}{5})}{- \frac{12}{5}} \\ = \frac{4}{5} - \frac{2}{3} = \frac{2}{15} \end{array}

\begin{array}{l} Hasil darab punca-punca \\ = (α + \frac{2}{β}) (β + \frac{2}{α}) \\ = α β + 2 + 2 + \frac{4}{α β} \end{array}

\begin{array}{l} = - \frac{12}{5} + 4 + \frac{4}{- \frac{12}{5}} \\ = - \frac{12}{5} + 4 - \frac{5}{3} = - \frac{1}{15} \end{array}

Persamaan kuadratik yang baru ialah

x^{2} - (\frac{2}{15}) x + (- \frac{1}{15}) = 0

15x² – 2x– 1 = 0

Bab 5 Indeks dan Logaritma

Posted on October 15, 2016 by user

5.6 Indeks dan Logaritma, SPM Praktis (Soalan Panjang)

Soalan 3:

Diberi bahawa p= 3^r dan q = 3^t, ungkapkan yang berikut dalam sebutan rdan/ atau t.

(a) \log_{3} \frac{p q^{2}}{27},

(b) log₉p – log₂₇ q.

Penyelesaian:

(a)

Diberi p = 3^r, log₃ p = r

q= 3^t, log₃ q =t

\log_{3} \frac{p q^{2}}{27}

= log₃ pq² – log₃27

= log₃ p + log₃ q² – log₃ 3³

= r + 2 log₃ q – 3 log₃ 3

= r + 2 log₃ q – 3(1)

= r + 2t – 3

(b)

log₉ p– log₂₇ q

\begin{array}{l} = \frac{\log_{3} p}{\log_{3} 9} - \frac{\log_{3} q}{\log_{3} 27} \\ = \frac{r}{\log_{3} 3^{2}} - \frac{t}{\log_{3} 3^{3}} \\ = \frac{r}{2 \log_{3} 3} - \frac{t}{3 \log_{3} 3} \\ = \frac{r}{2} - \frac{t}{3} \end{array}

Soalan 4:

(a) Permudahkan:

log₂(2x + 1) – 5 log₄ x²+ 4 log₂ x

(b) Seterusnya, selesaikan persamaan:

log₂(2x + 1) – 5 log₄ x²+ 4 log₂ x= 4

Penyelesaian:

(a)

log₂ (2x + 1) – 5 log₄ x²+ 4 log₂ x

\begin{array}{l} = \log_{2} (2 x + 1) - \frac{5 \log_{2} x^{2}}{\log_{2} 4} + 4 \log_{2} x \\ = \log_{2} (2 x + 1) - \frac{5}{2} \log_{2} x^{2} + \log_{2} x^{4} \\ = \log_{2} (2 x + 1) - \log_{2} {(x^{2})}^{(\frac{5}{2})} + \log_{2} x^{4} \end{array}

\begin{array}{l} = \log_{2} (2 x + 1) - \log_{2} x^{5} + \log_{2} x^{4} \\ = \log_{2} \frac{(2 x + 1) (x^{4})}{x^{5}} \\ = \log_{2} \frac{2 x + 1}{x} \end{array}

(b)

log₂ (2x + 1) – 5 log₄ x²+ 4 log₂ x= 4

\begin{array}{l} \log_{2} \frac{2 x + 1}{x} = 4 \\ \frac{2 x + 1}{x} = 2^{4} \\ \frac{2 x + 1}{x} = 16 \\ 2 x + 1 = 16 x \\ 14 x = 1 \\ x = \frac{1}{14} \end{array}

Bab 15 Matriks

Posted on October 13, 2016 by user

4.9 SPM Practis (Kertas 1)

Soalan 5:

Diberi bahawa

(3 x) (\begin{array}{l} x \\ - 1 \end{array}) = (18),

cari nilai x.

Penyelesaian:

(3 x) (\begin{array}{l} x \\ - 1 \end{array}) = (18)

[3 × x + x (–1)] = (18)

3x – x = 18

2x = 18

x = 9

Soalan 6:

(\begin{matrix} 3 & 4 \\ - 2 & 3 \end{matrix}) (\begin{array}{l} 5 \\ - 2 \end{array}) =

Penyelesaian:

\begin{array}{l} (\begin{matrix} 3 & 4 \\ - 2 & 3 \end{matrix}) (\begin{array}{l} 5 \\ - 2 \end{array}) = (\begin{array}{l} (3) (5) + (4) (- 2) \\ (- 2) (5) + (3) (- 2) \end{array}) \\ = (\begin{array}{l} 15 - 8 \\ - 10 - 6 \end{array}) \\ = (\begin{array}{l} 7 \\ - 16 \end{array}) \end{array}

Soalan 7:

(\begin{matrix} 2 & 4 \\ \begin{array}{l} - 3 \\ 4 \end{array} & \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \end{matrix}) (\begin{array}{l} 1 \\ - 3 \end{array}) =

Penyelesaian:

Peringkat hasil darab dua matriks

= (3 \times 2) (2 \times 1) = (3 \times 1)

\begin{array}{l} (\begin{matrix} 2 & 4 \\ \begin{array}{l} - 3 \\ 4 \end{array} & \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \end{matrix}) (\begin{array}{l} 1 \\ - 3 \end{array}) = (\begin{array}{l} 2 (1) + 4 (- 3) \\ (- 3) (1) + 0 (- 3) \\ (4) (1) + 1 (- 3) \end{array}) \\ = (\begin{array}{l} 2 - 12 \\ - 3 + 0 \\ 4 - 3 \end{array}) \\ = (\begin{array}{l} - 10 \\ - 3 \\ 1 \end{array}) \end{array}

Soalan 8:

(1 - 1 2) (\begin{matrix} 5 & 1 \\ \begin{array}{l} - 3 \\ 2 \end{array} & \begin{array}{l} 0 \\ 4 \end{array} \end{matrix}) =

Penyelesaian:

Peringkat hasil darab dua matriks

= (1 \times 3) (3 \times 2) = (1 \times 2)

(1 - 1 2) (\begin{matrix} 5 & 1 \\ \begin{array}{l} - 3 \\ 2 \end{array} & \begin{array}{l} 0 \\ 4 \end{array} \end{matrix}) =

= (1×5 + (–1)(–3) + (2)(2) 1×1 + (–1)(0) + (2)(4))

= (5 + 3 + 4 1 + 0 + 8)

= (12 9)

Bab 18 Kebarangkalian II

Posted on October 12, 2016 by user

7.5 Kebarangkalian II, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 3:

Rajah di bawah menunjukkan dua kad huruf dalam kotak A dan tiga kad nombor di dalam kotak B.

Satu kad dipilih secara rawak daripada kotak A dan kemudian satu kad pula dipilih secara rawak daripada kotak B.

Dengan menyenaraikan sampel bagi semua kesudahan peristiwa yang mungkin, cari kebarangkalian

(a) satu kad berlabel M dan kad nombor genap dipilih,

(b) satu kad berlabel Q atau kad nombor gandaan 2 dipilih.

Penyelesaian:

Ruang sampel, S

= {(M, 2), (M, 3), (M, 6), (Q, 2), (Q, 3), (Q, 6)}

n(S) = 6

(a)

{(M, 2), (M, 6)}

P (M dan nombor genap) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}

(b)

{(Q , 2), (Q, 3), (Q , 6), (M, 2), (M , 6)}

P (Q atau gandaan 2) = \frac{5}{6}

Soalan 4:

Jadual di bawah menunjukkan nama peserta daripada dua sekolah menengah yang menghadiri satu program latihan pengucapan awam.

	Lelaki	Perempuan
Sekolah A	Karim	Rosita Sally Linda
Sekolah B	Ahmad Billy	Nancy

Dua peserta dikehendaki memberi ucapan di akhir program itu.

(a) Seorang peserta dipilih secara rawak daripada Sekolah Adan kemudian seorang peserta lagi dipilih secara rawak juga daripada Sekolah A.

(i) Senaraikan semua kesudahan peristiwa yang mungkin dalam ruang sampel ini.

(ii) Seterusnya, cari kebarangkalian bahawa seorang lelaki dan seorang perempuan dipilih.

(b) Seorang peserta dipilih secara rawak daripada kumpulan lelaki dan kemudian seorang peserta lagi dipilih secara rawak daripada daripada kumpulan perempuan.

(i) Senaraikan semua kesudahan peristiwa yang mungkin dalam ruang sampel ini.

(ii) Seterusnya, cari kebarangkalian bahawa kedua-dua peserta yang dipilih adalah daripada Sekolah B.

Penyelesaian:

(a)(i)

Ruang sampel, S

= {(Karim, Rosita), (Karim, Sally), (Karim, Linda), (Rosita, Sally), (Rosita, Linda), (Sally, Linda)}

n(S) = 6

(a)(ii)

{(Karim, Rosita), (Karim, Sally), (Karim, Linda}

P (seorang lelaki dan seorang perempuan)

= \frac{3}{6} = \frac{1}{2}

(b)(i)

Ruang sampel, S

= {(Karim, Rosita), (Karim, Sally), (Karim, Linda), (Karim, Nancy), (Ahmad, Rosita), (Ahmad, Sally), (Ahmad, Linda), (Ahmad, Nancy), (Billy, Rosita), (Billy, Sally), (Billy, Linda), (Billy, Nancy)}

n(S) = 12

(b)(ii)

{(Ahmad, Nancy), (Billy, Nancy)}

P (kedua-dua peserta daripada Sekolah B)

= \frac{2}{12} = \frac{1}{6}

Bab 5 Garis Lurus

Posted on October 12, 2016 by user

5.6.2 Garis Lurus, SPM Praktis (Soalan Pendek)

Soalan 6:

Rajah di bawah menunjukkan suatu garis lurus RS dengan persamaan 3y = –px– 12, dengan p sebagai pemalar.

Diberi bahawa OR: OS = 3 : 2.

Cari nilai p.

Penyelesaian:

Kaedah 1:

Gantikan x = –6 dan y = 0 ke dalam 3y = –px– 12:

3(0) = –p (–6) – 12

0 = 6p – 12

–6p = –12

p = 2

Kaedah 2:

OR: OS = 3 : 2

\begin{array}{l} \frac{O R}{O S} = \frac{3}{2} \\ \frac{6}{O S} = \frac{3}{2} \\ O S = 6 \times \frac{2}{3} = 4 units \end{array}

Koordinat titik S = (0, –4)

Kecerunan garis lurus RS =

- \frac{- 4}{- 6} = - \frac{2}{3}

Diberi 3y = –px – 12

Menyusun semula persamaan dalam bentuk y = mx+ c

\begin{array}{l} y = - \frac{p}{3} x - 4 \\ Kecerunan garis lurus R S = - \frac{P}{3} \\ ∴ - \frac{P}{3} = - \frac{2}{3} \\ P = 2 \end{array}

Soalan 7:

Rajah di atas menunjukkan dua garis lurus, KL dan LM, pada satah Cartesan. Jarak KL ialah 10 unit dan kecerunan bagi LM ialah 2. Cari pintasan-x bagi LM.

Penyelesaian:

Katakan koordinat titik N ialah = (0, 2).

Guna rumus Pythagoras,

LN = √10² – 6² = 8

Titik L = (0, 2 + 8) = (0, 10)
pintasan-y bagi LM = 10

\begin{array}{l} Guna rumus kecerunan, m = - \frac{pintasan-y}{pintasan-x} \\ 2 = - (\frac{10}{pintasan-x}) \\ pintasan-x bagi L M = - \frac{10}{2} = - 5 \end{array}