Bab 2 Persamaan Kuadratik

Posted on July 1, 2016 by user

2.2b Penyempurnaan Kuasa Dua

(A) Penyempurnaan Kuasa Dua

1. Ungkapan x ² + 2x + 1 boleh ditulis dalam bentuk (x + 1)² yang dikenali sebagai ‘kuasa dua sempurna’. Sebagai contoh x ² + 2x + 1 = (x + 1)² .

Contoh:
Selesaikan setiap persamaan kuadratik yang berikut

(a) (x + 1)² = 25

(b) x² − 8x + 16 = 49

Penyelesaian:

(a)

(x + 1)² = 25

(x + 1)² = ±√25

x = −1 ± 5

x = 5 atau x = −6

(b)

x ² − 8x + 16 = 49

(x − 4)² = 49

(x − 4) = ±√49

x = 4 ± 7

x = 11 atau x = −3

(B) Selesaikan Persamaan Kuadratik dengan Cara Penyempurnaan Kuasa Dua

1. Untuk menyelesaikan persamaan kuadratik, kita membuat persamaan di sebelah kiri sebagai suatu kuasa dua sempurna.

2. Untuk membentuk sebarang ungkapan kuadratik x² + px kepada suatu kuasa dua sempurna, kita menambahkan

{(\frac{p}{2})}^{2}

ke dalam ungkapan itu untuk menjadikan

x^{2} + p x = x^{2} + p x + {(\frac{p}{2})}^{2} = {(x + \frac{p}{2})}^{2}

3. Langkah-langkah berikut diambil untuk menyelesaikan persamaan kuadratik ax² + bx = – c dengan menggunakan cara penyempurnaan kuasa dua.

(a) Tulis semula persamaan ax ² + bx + c = 0 dalam bentuk ax² + bx = – c.

(b) Jika pekali a ≠ 1, tukarkannya kepada 1 (dengan pembahagian).

(c) Tambah

{(\frac{p}{2})}^{2}

iaitu

{(\frac{pekali bagi x}{2})}^{2}

pada kedua-dua belah persamaan.

(d) Tulis ungkapan pada sebelah kiri sebagai kuasa dua sempurna.

(e) Selesaikan persamaan itu .

Contoh:

Selesaikan persamaan kuadratik x ² – 6x – 3 = 0 dengan cara penyempurnaan kuasa dua.

Penyelesaian:

x ² – 6x – 3 = 0 ← (pekali bagi x ² = 1)

x ² – 6x = 3 ← (pekali bagi x = b = –6)

x ² – 6x + [½ × (–6)]² = 3 + [½ × (–6)]² ← [tambah

{(\frac{pekali bagi x}{2})}^{2}

iaitu (½ × (–6)², pada kedua-dua belah persamaan]

x ² – 6x + (–3)² = 3 + (–3)²

(x – 3)² = 12

x – 3 = ±√12

x = 3 ± √12

x = 3 + √12 atau 3 – √12

x = 6.464 atau –0.464

Bab 2 Persamaan Kuadratik

Posted on June 30, 2016 by user

2.2a Pemfaktoran

1. Secara amnya, jika

(x – p)(x – q) = 0

Maka

x – p = 0 atau x – q = 0

x = p atau x = q

p dan q adalah punca-punca persamaan.

Perhatian:
1. Pastikan persamaan ditulis dalam bentuk amnya ax² + bx+ c = 0 sebelum pemfaktoran.

2. Kaedah ini hanya boleh digunakan sekiranya ungkapan kuadratik itu boleh difaktorkan sepenuhnya.

Contoh 1:
Cari punca-punca persamaan kuadratik berikut:
(a) x (2x− 8) = 0
(b) x² −16x = 0
(c) 3x² − 75x = 0
(d) 5x² − 100x = 25x

Penyelesaian:

(a)

x (2x − 8) = 0

x = 0 atau 2x − 8 = 0

2x − 8 = 0

2x = 8

x = 4

x = 0 atau x = 4

(b)

x² −16x = 0

x (x − 16) = 0

x = 0 atau x − 16 = 0

x = 0 atau x = 16

(c)

3x² − 75x = 0

3x (x− 25) = 0

3x = 0 atau x − 25 = 0

x = 0 atau x = 25

(d)

5x² − 100x = 25x

5x² − 100x − 25x = 0
5x²− 125x = 0

x (5x − 125) = 0

x = 0 atau 5x − 125 = 0

5x = 125

x = 25

x = 0 atau x = 25

Contoh 2:

Selesaikan persamaan kuadratik yang berikut
(a) x ² − 4x – 5 = 0
(b) 1 − 5x + 2x ² = 4

Penyelesaian:

(a)

x ² − 4x – 5 = 0
(x – 5) (x + 1) = 0

x – 5 = 0 atau x + 1 = 0

x = 5 atau x = –1

(b)

1 − 5x + 2x ² = 4

2x ² − 5x + 1 – 4 = 0

2x ² − 5x – 3 = 0

(2x + 1) (x – 3) = 0

2x + 1= 0 atau x – 3 = 0

2x = –1 atau x = 3

x = –½ atau x = 3

Bab 2 Persamaan Kuadratik

Posted on June 30, 2016 by user

2.2 Penyelesaian Persamaan Kuadratik

1.Menyelesaikan sesuatu persamaan kuadratik bermakna mencari punca-punca persamaan itu.

Contoh:
Cari punca-punca persamaan kuadratik berikut:
(a) x ² = 9
(b) 2x ² – 98 = 0

Penyelesaian:

(a) x ² = 9

x= ±√9

x= ±3

(b) 2x ² – 98 = 0

2x ² = 98

x ² = 98/2 = 49

x= ±√49 = ±7

2. Persamaan kuadratik boleh diselesaikan dengan salah satu kaedah berikut:
(a) pemfaktoran,

(b) penyempurnaan kuasa dua,

(c) penggunaan rumus

Bab 2 Persamaan Kuadratik

Posted on June 30, 2016 by user

2.1.1 Persamaan Kuadratik

1. Persamaan Kuadratik (misalnya, 2x² + 5x + 6 = 0) adalah persamaan yang memenuhi syarat-syarat berikut:

(a) Ia mengandungi tatatanda kesamaan, ‘=’

(b) Ia melibatkan hanya satu pembolehubah x.

(c) Kuasa tertinggi bagi x ialah 2.

Contoh Persamaan Kuadratik

Berikut adalah contoh-contoh persamaan kuadratik

· 2x² + 3x + 4 = 0

· t² = 24

· y (6y − 3) = 5

Contoh Persamaan Bukan Kuadratik

· 2x + 1 = 0, (Sebab: Kuasa tertinggi bagi x ≠ 2.)

· 2x³ + 1 = x, (Sebab: Kuasa tertinggi bagi x ≠ 2.)

• t^{2} + \frac{5}{t} = 3, (Sebab: \frac{5}{t} = 5 t^{- 1})

Bentuk Am Persamaan Kuadratik
Bentuk am persamaan kuadratik ialah

ax² + bx + c = 0

dengan a, b, dan c ialah pemalar dan a ≠ 0.

Contoh 1 (Cari nilai bagi a, b dan c):
Tulis semula setiap persamaan kuadratik berikut dalam bentuk am. Cari nilai a, b, dan c.
(a) (3x − 5)² = 0
(b) (x − 8) (x + 8) = 10

Penyelesaian:

Bab 2 Ungkapan dan Persamaan Kuadratik

Posted on June 29, 2016 by user

2.2 Pemfaktoran Ungkapan Kuadratik

(A) Pemfaktoran ungkapan kuadratik yang berbentuk ax²+ bx + c, b = 0 atau c = 0

1. Pemfaktoran ungkapan kuadratik ialah proses mencari dua ungkapan linear yang hasil darabnya sama dengan ungkapan kuadratik itu.

2. Ungkapan-ungkapan kuadratik ax² + c dan ax² + bx yang mengandungi dua sebutan boleh difaktorkan dengan mencari faktor sepunya bagi kedua-dua sebutan itu.

Contoh 1:

Faktorkan setiap yang berikut:

(a) 2x² + 6

(b) 7p² – 3p

Penyelesaian:

(a) 2x² + 6 = 2(x² + 3) ← (2 ialah faktor sepunya)

(b) 7p² – 3p = p(7p – 3) ← (p ialah faktor sepunya)

(B) Memfaktorkan ungkapan kuadratik yang berbentuk ax²– c , a dan c adalah nombor kuasa dua sempurna

Contoh 2:

(a) 9p² – 16

(b) 25x² – 1

(c)

\frac{1}{4} - \frac{1}{25} x^{2}

Penyelesaian:

(a) 9p² – 16 = (3p)² – 4² = (3p – 4) (3p + 4)

(b) 25x² – 1 = (5x)² – 1² = (5x – 1) (5x + 1)

(c)

\begin{array}{l} \frac{1}{4} - \frac{1}{25} x^{2} = {(\frac{1}{2})}^{2} - {(\frac{1}{5} x)}^{2} \\ = (\frac{1}{2} - \frac{1}{5} x) (\frac{1}{2} + \frac{1}{5} x) \end{array}

(C) Memfaktorkan ungkapan kuadratik berbentuk ax²+ bx + c, di mana a ≠ 0, b ≠ 0 dan c ≠ 0

Contoh 3:

Faktorkan setiap yang berikut:

(a) 3y² + 2y – 8

(b) 4x² – 12x + 9

Penyelesaian:

Pemfaktoran dengan kaedah darab silang.

(a)

3y²+ 2y – 8 = (3y – 4) (y + 2)

(b)

4x²– 12x + 9 = (2x – 3) (2x – 3)

Bab 2 Ungkapan dan Persamaan Kuadratik

Posted on June 29, 2016 by user

2.1 Ungkapan Kuadratik

(A) Mengenal pasti ungkapan kuadratik

1. Ungkapan kuadratik ialah ungkapan yang berbentuk ax²+ bx + c, dengan a, b dan c sebagai pemalar, a ≠ 0 dan x sebagai pemboleh ubah.

2. Ciri-ciri ungkapan kuadratik dalam satu pemboleh ubah:

(a) Kuasatertinggi bagi x ialah 2.

(b) Hanya mengandungi satu pemboleh ubah.

Contoh 1:

Nyatakan sama ada setiap ungkapan yang berikut adalah ungkapan kuadratik atau tidak. Berikan alasan untuk jawapan anda.

(a) x² – 5x + 3

(b) 8p² + 10

(d) 2x² + 4y + 14

(e)

2 p + \frac{1}{p} + 6

(f) y³ – 3y + 1

Penyelesaian:

(a) Ya, x² – 5x + 3 satu ungkapan kuadratik yang mengandungi satu pemboleh ubah x dan kuasa tertinggi x ialah 2.

(b) Ya, 8p² + 10 satu ungkapan kuadratik yang mengandungi satu pemboleh ubah p dan kuasa tertinggi pialah 2.

(d) Tidak2x² + 4y + 14 bukan satu ungkapan kuadratik kerana mengandungi dua pemboleh ubah x dan y.

(e) Tidak,

2 p + \frac{1}{p} + 6

bukan satu ungkapan kuadratik kerana kuasa tertinggi p bukan 2,

\frac{1}{p} = p^{- 1}

(f) Tidak, y³ – 3y + 1 bukan satu ungkapan kuadratik kerana kuasa tertinggi y bukan 2.

3. Suatu ungkapan kuadratik dihasilkan dengan pendaraban dua ungkapan linear.

Misalnya, (2x + 3)(x – 3) = 2x² – 3x – 9

Contoh 2:

Darabkan pasangan ungkapan linear yang berikut.

(a) (4x + 3)(x – 2)

(b) (y – 6)²

Penyelesaian:

(a) (4x + 3)(x – 2)

= (4x)(x) + (4x)( –2) +(3)(x) + (3)( –2)

= 4x²– 8x + 3x – 6

= 4x²– 5x – 6

(b) (y – 6)²

= (y – 6)(y – 6)

= (y)(y) + (y)( –6) + (–6)(y) + (–6)( –6)

= y²– 6y – 6y + 36

= y²– 12y + 36

(c) 2x (x– 5)

= 2x(x) + 2x(–5)

= 2 x²– 10x

Bab 21 Pelan dan Dongakan

Posted on June 28, 2016 by user

10.2 Pelan dan Dongakan

1. Pelan adalah imej yang terbentuk apabila pepejal itu dilihat dari bahagian atas. Unjuran ortogonnya adalah pada satah mengufuk.

2. Dongokan adalah imej yang terbentuk apabila pepejal itu dilihat dari bahagian depan atau dari bahagian sisinya. Unjuran ortogonnya adalah pada satah mencancang.

3. Semasa melukis pelan dan dongakan bagi pepejal,
(a) Garis penuh yang tebal ( ──) digunakan untuk mewakili sisi objek yang dapat dilihat daripada arah pandangannya.
(b) Garis putus-putus ( - - - - -) digunakan untuk mewakili sisi objek yang terlindung daripada arah pandangan.

Contoh:

Bab 21 Pelan dan Dongakan

Posted on June 28, 2016 by user

10.3.1 Pelan dan Dongakan, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 1:

Rajah di atas menunjukkan sebuah pepejal yang terdiri daripada sebuah prisma tegak dan sebuah separuh silinder yang dicantumkan pada satah EFGH. EF ialah diameter kepada separuh silinder dan berukuran 3cm. Tapak ABCD terletak di atas satu satah mengufuk dan AB = 6cm, BC = 4cm. Satah mencancang ABFE ialah keratan rentas seragam prisma itu.

Lukis dengan skala penuh, Plan pepejal itu.

Penyelesaian:

Soalan 2:

Rajah di atas menunjukkan sebuah pepejal berbentuk prisma tegak dengan tapak segi empat tepat ABCD atas sebuah meja mengufuk. Satah mencancang ABEHIL ialah keratan rentas seragam prisma itu. Segi empat tepat LIJK, IHGJ dan HEFG adalah satah condong. Tepi AL, DK, BE dan CF adalah tegak.

Diberi BC = 4cm, AB = 6cm. EB = FC = LA = KD = 4cm, dan tinggi mencancang bagi I dan J dari tapak segi empat tepat ABCD = 3cm, manakala tinggi mencancang bagi H dan G dari tapak segi empat tepat ABCD = 5cm.

Lukis dengan skala penuh, dongakan pepejal itu pada satah mencancang yang selari dengan BC sebagaimana dilihat dari X.

Penyelesaian:

Bab 21 Pelan dan Dongakan

Posted on June 28, 2016 by user

10.3.3 Pelan dan Dongakan, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 4:

Rajah di atas menunjukkan sebuah pepejal yang terdiri daripada sebuah prisma tegak dan sebuah separuh silinder yang dicantumkan pada satah HICB. Tapak ABCDEF terletak di atas satu satah mengufuk. Segi empat tepat LKJG ialah satah condong. Satah mencancang JDEK ialah keratan rentas seragam prisma itu. AB = CD = 2cm. BC = 4cm. CM = 12cm.

Lukis dengan skala penuh,

(a) Plan pepejal itu,

(b) dongakan gabungan pepejal itu pada satah mencancang yang selari dengan ABCD sebagaimana dilihat dari X.

Penyelesaian:

(a)

(b)

(c)

Bab 21 Pelan dan Dongakan

Posted on June 28, 2016 by user

10.3.2 Pelan dan Dongakan, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 3:

Rajah di atas menunjukkan pepejal berbentuk prisma tegak dicantumkan kepada sebuah kuboid pada satu satah. ABCG, CDEF, IJNH dan KLMJ adalah satah mengufuk. ABIH, AGNH dan GCJN adalah satah mencancang dan IBCJ ialah satah condong. HA = 3cm, BC = 3cm, CD = 1.5cm, HI = NJ = 3cm.

Lukis dengan skala penuh,

(a) dongakan gabungan pepejal itu pada satah mencancang yang selari dengan AB sebagaimana dilihat dari X.

(b) Sebuah pepejal berbentuk separuh silinder dicantumkan kepada pepejal pada rajah (a) seperti ditunjukkan pada rajah di atas. JPON adalah satah mencancang dan JP = 1.5cm.

Lukis dengan skala penuh,

i. plan gabungan pepejal itu,

ii. dongakan gabungan pepejal itu pada satah mencancang yang selari dengan BCD sebagaimana dilihat dari Y.

Penyelesaian:

(a)

(b)(i)

(b)(ii)