Bab 5 Indeks dan Logaritma

Posted on October 15, 2016 by user

5.6 Indeks dan Logaritma, SPM Praktis (Soalan Panjang)

Soalan 3:

Diberi bahawa p= 3^r dan q = 3^t, ungkapkan yang berikut dalam sebutan rdan/ atau t.

(a) \log_{3} \frac{p q^{2}}{27},

(b) log₉p – log₂₇ q.

Penyelesaian:

(a)

Diberi p = 3^r, log₃ p = r

q= 3^t, log₃ q =t

\log_{3} \frac{p q^{2}}{27}

= log₃ pq² – log₃27

= log₃ p + log₃ q² – log₃ 3³

= r + 2 log₃ q – 3 log₃ 3

= r + 2 log₃ q – 3(1)

= r + 2t – 3

(b)

log₉ p– log₂₇ q

\begin{array}{l} = \frac{\log_{3} p}{\log_{3} 9} - \frac{\log_{3} q}{\log_{3} 27} \\ = \frac{r}{\log_{3} 3^{2}} - \frac{t}{\log_{3} 3^{3}} \\ = \frac{r}{2 \log_{3} 3} - \frac{t}{3 \log_{3} 3} \\ = \frac{r}{2} - \frac{t}{3} \end{array}

Soalan 4:

(a) Permudahkan:

log₂(2x + 1) – 5 log₄ x²+ 4 log₂ x

(b) Seterusnya, selesaikan persamaan:

log₂(2x + 1) – 5 log₄ x²+ 4 log₂ x= 4

Penyelesaian:

(a)

log₂ (2x + 1) – 5 log₄ x²+ 4 log₂ x

\begin{array}{l} = \log_{2} (2 x + 1) - \frac{5 \log_{2} x^{2}}{\log_{2} 4} + 4 \log_{2} x \\ = \log_{2} (2 x + 1) - \frac{5}{2} \log_{2} x^{2} + \log_{2} x^{4} \\ = \log_{2} (2 x + 1) - \log_{2} {(x^{2})}^{(\frac{5}{2})} + \log_{2} x^{4} \end{array}

\begin{array}{l} = \log_{2} (2 x + 1) - \log_{2} x^{5} + \log_{2} x^{4} \\ = \log_{2} \frac{(2 x + 1) (x^{4})}{x^{5}} \\ = \log_{2} \frac{2 x + 1}{x} \end{array}

(b)

log₂ (2x + 1) – 5 log₄ x²+ 4 log₂ x= 4

\begin{array}{l} \log_{2} \frac{2 x + 1}{x} = 4 \\ \frac{2 x + 1}{x} = 2^{4} \\ \frac{2 x + 1}{x} = 16 \\ 2 x + 1 = 16 x \\ 14 x = 1 \\ x = \frac{1}{14} \end{array}

Bab 15 Matriks

Posted on October 13, 2016 by user

4.9 SPM Practis (Kertas 1)

Soalan 5:

Diberi bahawa

(3 x) (\begin{array}{l} x \\ - 1 \end{array}) = (18),

cari nilai x.

Penyelesaian:

(3 x) (\begin{array}{l} x \\ - 1 \end{array}) = (18)

[3 × x + x (–1)] = (18)

3x – x = 18

2x = 18

x = 9

Soalan 6:

(\begin{matrix} 3 & 4 \\ - 2 & 3 \end{matrix}) (\begin{array}{l} 5 \\ - 2 \end{array}) =

Penyelesaian:

\begin{array}{l} (\begin{matrix} 3 & 4 \\ - 2 & 3 \end{matrix}) (\begin{array}{l} 5 \\ - 2 \end{array}) = (\begin{array}{l} (3) (5) + (4) (- 2) \\ (- 2) (5) + (3) (- 2) \end{array}) \\ = (\begin{array}{l} 15 - 8 \\ - 10 - 6 \end{array}) \\ = (\begin{array}{l} 7 \\ - 16 \end{array}) \end{array}

Soalan 7:

(\begin{matrix} 2 & 4 \\ \begin{array}{l} - 3 \\ 4 \end{array} & \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \end{matrix}) (\begin{array}{l} 1 \\ - 3 \end{array}) =

Penyelesaian:

Peringkat hasil darab dua matriks

= (3 \times 2) (2 \times 1) = (3 \times 1)

\begin{array}{l} (\begin{matrix} 2 & 4 \\ \begin{array}{l} - 3 \\ 4 \end{array} & \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \end{matrix}) (\begin{array}{l} 1 \\ - 3 \end{array}) = (\begin{array}{l} 2 (1) + 4 (- 3) \\ (- 3) (1) + 0 (- 3) \\ (4) (1) + 1 (- 3) \end{array}) \\ = (\begin{array}{l} 2 - 12 \\ - 3 + 0 \\ 4 - 3 \end{array}) \\ = (\begin{array}{l} - 10 \\ - 3 \\ 1 \end{array}) \end{array}

Soalan 8:

(1 - 1 2) (\begin{matrix} 5 & 1 \\ \begin{array}{l} - 3 \\ 2 \end{array} & \begin{array}{l} 0 \\ 4 \end{array} \end{matrix}) =

Penyelesaian:

Peringkat hasil darab dua matriks

= (1 \times 3) (3 \times 2) = (1 \times 2)

(1 - 1 2) (\begin{matrix} 5 & 1 \\ \begin{array}{l} - 3 \\ 2 \end{array} & \begin{array}{l} 0 \\ 4 \end{array} \end{matrix}) =

= (1×5 + (–1)(–3) + (2)(2) 1×1 + (–1)(0) + (2)(4))

= (5 + 3 + 4 1 + 0 + 8)

= (12 9)

Bab 18 Kebarangkalian II

Posted on October 12, 2016 by user

7.5 Kebarangkalian II, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 3:

Rajah di bawah menunjukkan dua kad huruf dalam kotak A dan tiga kad nombor di dalam kotak B.

Satu kad dipilih secara rawak daripada kotak A dan kemudian satu kad pula dipilih secara rawak daripada kotak B.

Dengan menyenaraikan sampel bagi semua kesudahan peristiwa yang mungkin, cari kebarangkalian

(a) satu kad berlabel M dan kad nombor genap dipilih,

(b) satu kad berlabel Q atau kad nombor gandaan 2 dipilih.

Penyelesaian:

Ruang sampel, S

= {(M, 2), (M, 3), (M, 6), (Q, 2), (Q, 3), (Q, 6)}

n(S) = 6

(a)

{(M, 2), (M, 6)}

P (M dan nombor genap) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}

(b)

{(Q , 2), (Q, 3), (Q , 6), (M, 2), (M , 6)}

P (Q atau gandaan 2) = \frac{5}{6}

Soalan 4:

Jadual di bawah menunjukkan nama peserta daripada dua sekolah menengah yang menghadiri satu program latihan pengucapan awam.

	Lelaki	Perempuan
Sekolah A	Karim	Rosita Sally Linda
Sekolah B	Ahmad Billy	Nancy

Dua peserta dikehendaki memberi ucapan di akhir program itu.

(a) Seorang peserta dipilih secara rawak daripada Sekolah Adan kemudian seorang peserta lagi dipilih secara rawak juga daripada Sekolah A.

(i) Senaraikan semua kesudahan peristiwa yang mungkin dalam ruang sampel ini.

(ii) Seterusnya, cari kebarangkalian bahawa seorang lelaki dan seorang perempuan dipilih.

(b) Seorang peserta dipilih secara rawak daripada kumpulan lelaki dan kemudian seorang peserta lagi dipilih secara rawak daripada daripada kumpulan perempuan.

(i) Senaraikan semua kesudahan peristiwa yang mungkin dalam ruang sampel ini.

(ii) Seterusnya, cari kebarangkalian bahawa kedua-dua peserta yang dipilih adalah daripada Sekolah B.

Penyelesaian:

(a)(i)

Ruang sampel, S

= {(Karim, Rosita), (Karim, Sally), (Karim, Linda), (Rosita, Sally), (Rosita, Linda), (Sally, Linda)}

n(S) = 6

(a)(ii)

{(Karim, Rosita), (Karim, Sally), (Karim, Linda}

P (seorang lelaki dan seorang perempuan)

= \frac{3}{6} = \frac{1}{2}

(b)(i)

Ruang sampel, S

= {(Karim, Rosita), (Karim, Sally), (Karim, Linda), (Karim, Nancy), (Ahmad, Rosita), (Ahmad, Sally), (Ahmad, Linda), (Ahmad, Nancy), (Billy, Rosita), (Billy, Sally), (Billy, Linda), (Billy, Nancy)}

n(S) = 12

(b)(ii)

{(Ahmad, Nancy), (Billy, Nancy)}

P (kedua-dua peserta daripada Sekolah B)

= \frac{2}{12} = \frac{1}{6}

Bab 5 Garis Lurus

Posted on October 12, 2016 by user

5.6.2 Garis Lurus, SPM Praktis (Soalan Pendek)

Soalan 6:

Rajah di bawah menunjukkan suatu garis lurus RS dengan persamaan 3y = –px– 12, dengan p sebagai pemalar.

Diberi bahawa OR: OS = 3 : 2.

Cari nilai p.

Penyelesaian:

Kaedah 1:

Gantikan x = –6 dan y = 0 ke dalam 3y = –px– 12:

3(0) = –p (–6) – 12

0 = 6p – 12

–6p = –12

p = 2

Kaedah 2:

OR: OS = 3 : 2

\begin{array}{l} \frac{O R}{O S} = \frac{3}{2} \\ \frac{6}{O S} = \frac{3}{2} \\ O S = 6 \times \frac{2}{3} = 4 units \end{array}

Koordinat titik S = (0, –4)

Kecerunan garis lurus RS =

- \frac{- 4}{- 6} = - \frac{2}{3}

Diberi 3y = –px – 12

Menyusun semula persamaan dalam bentuk y = mx+ c

\begin{array}{l} y = - \frac{p}{3} x - 4 \\ Kecerunan garis lurus R S = - \frac{P}{3} \\ ∴ - \frac{P}{3} = - \frac{2}{3} \\ P = 2 \end{array}

Soalan 7:

Rajah di atas menunjukkan dua garis lurus, KL dan LM, pada satah Cartesan. Jarak KL ialah 10 unit dan kecerunan bagi LM ialah 2. Cari pintasan-x bagi LM.

Penyelesaian:

Katakan koordinat titik N ialah = (0, 2).

Guna rumus Pythagoras,

LN = √10² – 6² = 8

Titik L = (0, 2 + 8) = (0, 10)
pintasan-y bagi LM = 10

\begin{array}{l} Guna rumus kecerunan, m = - \frac{pintasan-y}{pintasan-x} \\ 2 = - (\frac{10}{pintasan-x}) \\ pintasan-x bagi L M = - \frac{10}{2} = - 5 \end{array}

Bab 3 Set

Posted on October 11, 2016 by user

3.4 Sets SPM Practis, Kertas 1 (Soalan Pendek)

Soalan 5:

Rajah di bawah menunjukkan sebuah gambar rajah Venn dengan bilangan unsur dalam set P, set Q dan set R.

Diberi bahawa set semesta,

ξ = P \cup Q \cup R and n (Q') = n (Q \cap R) .

Carikan nilai x.

Penyelesaian:

n(Q') = n(Q ∩ R)

3 + 8 + 5 = x– 3 + 9

16 = x + 6

x = 10

Soalan 6:

Rajah di bawah ialah gambar rajah Venn yang menunjukkan bilangan peserta kuiz dalam set P, set Q dan set R.

Diberi bahawa set semesta,

ξ = P \cup Q \cup R

, set P = { peserta kuiz Sains}, set Q = { peserta kuiz Matematik} dan set R = {peserta kuiz Sejarah}.

Jika bilangan peserta yang mengambil bahagian hanya satu kuiz sahaja ialah 76, cari jumlah semua peserta itu.

Penyelesaian:

Bilangan peserta yang mengambil bahagian hanya satu kuiz sahaja = 76

(5x – 2) + (x + 6) + (2x + 8) = 76

8x + 12 = 76
8x = 64
x = 8

Jumlah semua peserta

= 76 + 7 + 4 + 5 + 3(8)

= 116

Soalan 7:

Rajah di bawah ialah gambar rajah Venn yang menunjukkan bilangan murid bagi set K, set L dan set M.

Diberi bahawa set semesta,

ξ = K \cup L \cup M

, set K = {Kelab Karate}, set L = {Kelab Lumba Basikal} dan set M = {Kelab Menembak}.

Jika bilangan murid yang menyertai kedua-dua Kelab Lumba Basikal dan Kelab Menembak adalah 8 orang, cari bilangan murid yang menyertai dua kelab sahaja.

Penyelesaian:

Bilangan murid yang menyertai kedua-dua Kelab Lumba Basikal dan Kelab Menembak
= n(L∩ M) = 2 + 2x

2 + 2x = 8

2x = 6

x = 3

Bilangan murid yang menyertai dua kelab sahaja

= x + 4 + 2x

= 3 + 4 + 2(3)

= 13

Bab 4 Persamaan Serentak

Posted on October 10, 2016 by user

4.2 SPM Praktis, Persamaan Serentak, (Soalan panjang)

Soalan 5:

Selesaikan persamaan serentak.

5y – 6x= 2

\frac{4 y}{x} - \frac{3 x}{y} = 4.

Penyelesaian:

5y – 6x= 2 ----- (1)

\begin{array}{l} \frac{4 y}{x} - \frac{3 x}{y} = 4 ------- (2) \\ Daripada (1), \\ y = \frac{2 + 6 x}{5} ------- (3) \end{array}

Gantikan (3) dalam (2),

\begin{array}{l} \frac{4 (\frac{2 + 6 x}{5})}{x} - \frac{3 x}{(\frac{2 + 6 x}{5})} = 4 \\ \frac{8 + 24 x}{5 x} - \frac{15 x}{2 + 6 x} = 4 \\ \frac{(8 + 24 x) (2 + 6 x) - (15 x) (5 x)}{5 x (2 + 6 x)} = 4 \end{array}

16 + 48x + 48x + 144x² – 75x² = 20x (2 + 6x)

69x² + 96x + 16 = 40x + 120x²

51x² – 56x – 16 = 0

(3x – 4)(17x + 4) = 0

3x – 4 = 0 atau 17x + 4 = 0

x = \frac{4}{3} atau x = - \frac{4}{17}

\begin{array}{l} Gantikan x = \frac{4}{3} dalam persamaan (3), \\ y = \frac{2 + 6 (\frac{4}{3})}{5} = 2 \end{array}

\begin{array}{l} Gantikan x = - \frac{4}{17} dalam persamaan (3), \\ y = \frac{2 + 6 (- \frac{4}{17})}{5} = \frac{2}{17} \end{array}

Maka penyelesaian ialah (\frac{4}{3}, 2) dan (- \frac{4}{17}, \frac{2}{17}) .

Soalan 6:
Selesaikan persamaan serentak.

\begin{array}{l} x + 2 y = 1 \\ 2 x^{2} + y^{2} + x y = 5 \end{array}

Beri jawapan anda betul kepada tiga tempat perpuluhan.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} x + 2 y = 1.......... (1) \\ 2 x^{2} + y^{2} + x y = 5.......... (2) \\ x = 1 - 2 y .......... (3) \\ Gantikan (3) ke dalam (2), \\ 2 {(1 - 2 y)}^{2} + y^{2} + (1 - 2 y) y = 5 \\ 2 (1 - 4 y + 4 y^{2}) + y^{2} + y - 2 y^{2} = 5 \\ 2 - 8 y + 8 y^{2} - y^{2} + y - 5 = 0 \\ 7 y^{2} - 7 y - 3 = 0 \\ a = 7, b = - 7, c = - 3 \\ x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \\ y = \frac{- (- 7) \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 (7) (- 3)}}{2 (7)} \\ y = \frac{7 \pm \sqrt{133}}{14} \\ y = 1.324 atau - 0.324 \\ Dari x = 1 - 2 y \\ Apabila y = 1.324, \\ x = 1 - 2 (1.324) = 1.648 \\ Apabila y = - 0.324, \\ x = 1 - 2 (- 0.324) = 1.648 \\ ∴ Penyelesaian ialah (1.648, 1.324) dan (1.648, - 0.324) . \end{array}

Bab 2 Persamaan Kuadratik

Posted on October 10, 2016 by user

2.3d Pembentukan Persamaan Kuadratik Baru daripada Persamaan Kuadratik yang diberi (Contoh Soalan)

Contoh:

Dineri punca-punca bagi x ² – 3x – 7 = 0 ialah αdan β, cari persamaan yang mempunyai punca-punca α² β dan α β².

Penyelesaian:

Bahagian 1 : Cari HTP dan HDP bagi persamaan kuadratik yang diberi

x ² – 3x – 7 = 0

a = 1, b = –3, c = –7

HTP: α + β→ (α, β ialah punca-punca persamaan kuadratik ax ² + bx + c = 0)

\begin{array}{l} = - \frac{b}{a} \\ = - (\frac{- 3}{1}) = 3 \end{array}

\begin{array}{l} HDP : α β = \frac{c}{a} \\ = \frac{- 7}{1} = - 7 \end{array}

Bahagian 2 : Bentukkan persamaan kuadratik baru dengan mencari HTP dan HDP

Persamaan kuadratik baru mempunyai punca-punca α² β dan α β²

HTP = α² β + α β²

= αβ (α + β)

= –7 (3) = –21 → (Daripada bahagian 1, α + β = 3, αβ = –7)

HDP = α² β (α β²)

= α³β³= (α β)³

= (–7)³ = –343

Untuk membentuk persamaan kuadratik baru,

x ² – (HTP)x + HDP = 0

x ² – (–21)x + (–343) = 0

x ² + 21 x –343 = 0

Maka, persamaan yang mempunyai punca-punca α² β dan α β² ialah,

x ² + 21 x –343 = 0

Bab 2 Persamaan Kuadratik

Posted on October 10, 2016 by user

2.1.2 Punca Persamaan Kuadratik

Punca persamaan kuadratik ialah nilai bagi pembolehubah yang memuaskan persamaan kuadratik itu.

Contoh 1:
Tentukan sama ada 1, 2, dan 3 ialah punca-punca bagi persamaan kuadratik x² − 5x + 6 = 0.

Penyelesaian:

Apabila x = 1,
x² − 5x + 6 = 0

(1)²− 5(1) + 6 = 0

2 = 0 ← (tidak sama nilai di kedua-dua belah)

x = 1 bukan punca persamaan itu

Apabila x= 2,
x² − 5x + 6 = 0

(2)²− 5(2) + 6 = 0

0 = 0 ← (sama nilai di kedua-dua belah)

x = 2 ialah punca persamaan itu.

Apabila x= 3
x² − 5x + 6 = 0

(3)²− 5(3) + 6 = 0

0 = 0 ← (sama nilai di kedua-dua belah)

x = 3 ialah punca persamaan itu.

Kesimpulan:
1. 2 dan 3 memuaskan persamaan x² − 5x + 6 = 0, maka ia adalah punca-punca bagi persamaan itu.

2. 1 tidak memuaskan persamaan x² − 5x + 6 = 0, maka ia bukan punca-punca bagi persamaan itu.

Contoh 2 (Punca yang memuaskan suatu persamaan):

Peringatan: Punca persamaan kuadratik ialah nilai bagi pembolehubah yang memuaskan persamaan kuadratik itu.
(a) Diberi x= 3 adalah punca bagi persamaan kuadratik x ² + 2x + p = 0, cari nilai p.
(b) Punca-punca bagi persamaan kuadratik 3x ² + hx + k = 0 ialah −2 dan 4. Cari nilai h dan nilai k.

Penyelesaian:

(a)

x ² + 2x + p = 0

3²+ 2(3) + p = 0 → ganti x = 3 (punca persamaan)

p = –15

(b)

3x ² + hx + k = 0

x = − 2 dan 4 ialah punca-punca persamaan,

3 (− 2)²+ h (−2) + k = 0 → ambil x = −2

12 – 2h+ k = 0

2h – k = 12 ------ (1)

3 (4 )²+ h (4) + k = 0 → ambil x = 4

48 + 4h + k = 0

4h + k= –48 ----- (2)

(1) + (2),

6h = –36

h = –6

2 (–6) – k= 12

k = –24

Bab 13 Hukum Linear

Posted on October 9, 2016 by user

2.7 Hukum Linear, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 3:

Gunakan kertas graf untuk menjawap soalan ini.

Jadual di bawah menunjukkan nilai-nilai bagi dua pemboleh ubah x dan y, yang diperoleh daripada satu eksperimen. Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan

y = q x + \frac{p}{q x}

, dengan keadaan p dan q ialah pemalar.

x	2.5	3.0	3.5	4.0	4.5	5.0
y	1.0	2.7	4.1	6.5	6.8	8.0

Salah satu daripada nilai y salah direkodkan.

(a) Berdasarkan jadual di atas, bina satu jadual bagi nilai-nilai x² dan xy.

(b) plot xy melawan x² dengan menggunakan skala 2 cm kepada 5 unit pada kedua-dua paksi.

Seterusnya, lukis garis lurus penyuaian terbaik.

(i) Nyatakan nilai y yang salah direkodkan dan tentukan nilai sebenarnya.

(ii) Cari nilai p dan nilai q.

Penyelesaian:

(a)

(b)

(c)(i)

(c)(ii)

Bab 13 Hukum Linear

Posted on October 9, 2016 by user

2.7 Hukum Linear, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 2:

Gunakan kertas graf untuk menjawap soalan ini.

Jadual di bawah menunjukkan nilai-nilai bagi dua pemboleh ubah x dan y, yang diperoleh daripada satu eksperimen. Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan