Bab 5 Indeks dan Logaritma

Posted on May 13, 2016 by user

5.5 Indeks dan Logaritma, SPM Praktis (Soalan Pendek)

Soalan 1:

Selesaikan persamaan, log₃ [log₂(2x – 1)] = 2

Penyelesaian:

log₃ [log₂ (2x – 1)] = 2 ← (jika log _aN = x, N = a^x)

log₂ (2x – 1) = 3²

log₂ (2x – 1) = 9

2x – 1 = 2⁹

x = 256.5

Soalan 2

Selesaikan persamaan,

l o g_{16} [l o g_{2} (5 x - 4)] = l o g_{9} \sqrt{3}

Penyelesaian:

\begin{array}{l} l o g_{16} [l o g_{2} (5 x - 4)] = l o g_{9} \sqrt{3} \\ l o g_{16} [l o g_{2} (5 x - 4)] = \frac{1}{4} \leftarrow \begin{array}{l} \log_{9} \sqrt{3} = \log_{9} 3^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \log_{9} 3 \\ = \frac{1}{2} (\frac{1}{\log_{3} 9}) = \frac{1}{2} (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} \end{array} \\ l o g_{2} (5 x - 4) = 16^{\frac{1}{4}} \\ l o g_{2} (5 x - 4) = 2 \\ 5 x - 4 = 2^{2} \\ 5 x = 8 \\ x = \frac{8}{5} \end{array}

Soalan 3

Selesaikan persamaan,

5^{\log_{4} x} = 125

Penyelesaian:

\begin{array}{l} 5^{\log_{4} x} = 125 \\ \log_{5} 5^{\log_{4} x} = \log_{5} 125 \leftarrow \begin{array}{l} ambil log asas 5 \\ di kedua-dua belah \end{array} \\ (\log_{4} x) (\log_{5} 5) = 3 \\ (\log_{4} x) (1) = 3 \\ x = 4^{3} = 64 \end{array}

Soalan 4

Selesaikan persamaan,

5^{\log_{5} (x + 1)} = 9

Penyelesaian:

\begin{array}{l} 5^{\log_{5} (x + 1)} = 9 \\ \log_{5} 5^{^{\log_{5} (x + 1)}} = \log_{5} 9 \\ \log_{5} (x + 1) . \log_{5} 5 = \log_{5} 9 \\ \log_{5} (x + 1) = \log_{5} 9 \\ x + 1 = 9 \\ x = 8 \end{array}

Bab 5 Indeks dan Logaritma

Posted on May 13, 2016 by user

5.3 Persamaan yang Melibatkan Indeks (Contoh Soalan)

Contoh 4 (Persamaan Indeks (Asas Sama) – Penggantian):

Selesaikan setiap persamaan yang berikut.

(a) 3^x ⁻ ¹ + 3^x = 12
(b) 2^x + 2^x ⁺ ³ = 72
(c) 4^x ⁺ ¹ + 2²^x = 20

Penyelesaian:

Bab 5 Indeks dan Logaritma

Posted on May 13, 2016 by user

5.3 Persamaan yang Melibatkan Indeks (Contoh Soalan)

Contoh 3 (Persamaan Indeks – Asas Sama):

Selesaikan setiap persamaan yang berikut.

\begin{array}{l} (a) 27 (81^{3 x}) = 1 \\ (b) \sqrt{81^{n + 2}} = \frac{1}{3^{n} 27^{n - 1}} \\ (c) 8^{x - 1} = \frac{4}{\sqrt{2^{x + 3}}} \end{array}

Penyelesaian:

Bab 5 Indeks dan Logaritma

Posted on May 13, 2016 by user

5.3 Persamaan yang Melibatkan Indeks

Kaedah:
1. Perbandingan indeks dan asas

a. Jika asas adalah sama, apabila a^x = a^y, maka x = y

b. Jika indeks adalah sama, apabila a^x = b^x, maka a = b

2. Mengambil logaritma biasa (Jika asas dan indeks TIDAK sama)

\begin{array}{l} a^{x} = b \Rightarrow \lg a^{x} = \lg b \\ x = \frac{\lg b}{\lg a} \end{array}

Contoh 1 (Persamaan Indeks – Asas Sama):

Selesaikan setiap persamaan yang berikut.

\begin{array}{l} (a) 16^{x} = 8 \\ {(b) 9}^{x} {.3}^{x - 1} = 81 \\ (c) 5^{n + 1} = \frac{1}{125^{n - 1}} \end{array}

Penyelesaian:

Contoh 2 (Selesaikan Persamaan Indeks Serentak – Asas Sama):

Selesaikan persamaan serentak yang berikut.

\begin{array}{l} 2^{x} {.4}^{2 y} = 8 \\ \frac{3^{x}}{9^{y}} = \frac{1}{27} \end{array}

Penyelesaian:

Bab 5 Indeks dan Logaritma

Posted on May 13, 2016 by user

5.2b Penukaran Asas Logaritma (Contoh Soalan)

Contoh 5:

Diberi log₂3 = 1.585 dan log₂5 = 2.322, ungkapkan setiap yang berikut.

(a) log₈ 15

(b) log₅ 0.6

(d) log₁₆ 45

Penyelesaian:

Bab 5 Indeks dan Logaritma

Posted on May 13, 2016 by user

5.2b Penukaran Asas Logaritma (Contoh Soalan)

Contoh 3:

Diberi bahawa log_p3 = h dan log_p 5 = k , ungkapkan setiap yang berikut dalam sebutan h dan k.

\begin{array}{l} (a) \log_{p} \frac{5}{3} \\ (b) \log_{15} 75 \end{array}

Penyelesaian:

Contoh 4:

Diberi bahawa log₃ x = b , ungkapkan log_x 9x dalam sebutan b.

Penyelesaian:

Bab 5 Indeks dan Logaritma

Posted on May 13, 2016 by user

5.2b Penukaran Asas Logaritma

\begin{array}{l} \log_{a} b = \frac{\log_{c} b}{\log_{c} a} \\ dan \\ \log_{a} b = \frac{1}{\log_{b} a} \end{array}

Contoh 1:

Cari nilai-nilai yang berikut:

(a) log₂₅ 100

(b) log₃ 0.45

Penyelesaian:

\begin{array}{l} (a) \log_{25} 100 \\ = \frac{\log_{10} 100}{\log_{10} 25} = \frac{10}{1.3979} = 7.154 \\ (b) \log_{3} 0.45 \\ = \frac{\log_{10} 0.45}{\log_{10} 3} = \frac{- 0.3468}{0.4771} = - 0.727 \end{array}

Contoh 2:

Cari nilai-nilai yang berikut:
(a) log₄ 8
(b) log₁₂₅ 5
(c) log₈₁ 27
(d) log₁₆ 64

Penyelesaian:

Bab 5 Indeks dan Logaritma

Posted on May 13, 2016 by user

Contoh 2:

Cari nilai bagi setiap yang berikut.

\begin{array}{l} (a) \log_{2} 7 + \log_{2} 12 + \log_{2} 21 \\ (b) 3 \log_{10} 5 + 2 \log_{10} 2 - \log_{10} 5 \\ (c) 2 \log_{10} 3 - \log_{10} 3 + \log_{10} 3 \frac{1}{3} \\ (d) \log_{3} 3 p + \log_{3} 3 q - \log_{3} p q \end{array}

Penyelesaian:

Bab 5 Indeks dan Logaritma

Posted on May 13, 2016 by user

5.2a Hukum-hukum Logaritma (Contoh 3)

Contoh 3:

Diberi bahawa log₇4 = 0.712 dan log₇5 = 0.827, cari nilai bagi setiap yang berikut.

\begin{array}{l} (a) \log_{7} 20 \\ (b) \log_{7} 1 \frac{1}{4} \\ (c) \log_{7} 0.8 \\ (d) \log_{7} 28 \\ (e) \log_{7} 140 \\ (f) \log_{7} 100 \\ (g) \log_{7} 0.25 \\ (h) \log_{7} \frac{35}{64} \end{array}

Penyelesaian:

Bab 16 Ubahan

Posted on May 13, 2016 by user

5.1 Ubahan Langsung (Bahagian 1)

(A) Menentukan sama ada suatu kuantiti berubah secara langsung terhadap kuantiti yang lain

1. Jika suatu kuantiti y berubah secara langsung dengan suatu kuantiti x,

(a) y bertambah apabila x bertambah

(b) y berkurung apabila x berkurung

2. Suatu kuantiti y berubah secara langsung dengan suatu kuantiti x jika dan hanya jika

\frac{y}{x} = k

di mana k ialah pemalar.

3. yberubah secara langsung dengan x ditulis aebagai y α x.

4. Apabila y α x, maka graf y melawan x adalah satu garis lurusyang melalui asalan.

(B) Ungkapkan suatu ubahan langsung dalam bentuk persamaan yang melibatkan dua pemboleh ubah

Contoh 1:

Diberi bahawa yberubah secara langsung dengan x dan y = 20 apabila x = 36. Tulis ubahan langsung itu dalam bentuk persamaan.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} y \propto x \\ y = k x \\ 20 = k (36) \\ k = \frac{20}{36} = \frac{4}{9} \to (C a r i k terdahulu) \\ ∴ y = \frac{4}{9} x \end{array}

(C) Mencari nilai bagi suatu pemboleh ubah dalam ubahan langsung

Jika y berubah secara langsung dengan x dan maklumat yang mencukupi diberi, maka nilai y atau x dapat dicari dengan menggunakan

\begin{array}{l} (a) y = k x, or \\ (b) \frac{y_{1}}{x_{1}} = \frac{y_{2}}{x_{2}} \end{array}

Contoh 2:

Diberi bahawa yberubah secara langsung dengan x dan y = 24 apabila x = 8, cari

(a) Persamaan yang mengaitkan y kapada x

(b) nilai bagi y apabila x = 6

Penyelesaian:

Kaedah 1: Guna y = kx

(a)

yα x

y= kx

Apabila y= 24, x = 8

24 = k (8)

k = 3

(b)

Apabila x= 6,

y = 3(6)

y = 18

\begin{array}{l} Kaedah 2 : Guna \frac{y_{1}}{x_{1}} = \frac{y_{2}}{x_{2}} \\ (a) \\ L e t x_{1} = 8 dan y_{1} = 24 \\ \frac{y_{1}}{x_{1}} = \frac{y_{2}}{x_{2}} \to \frac{24}{8} = \frac{y_{2}}{x_{2}} \\ \frac{3}{1} = \frac{y_{2}}{x_{2}} \to y_{2} = 3 x_{2} \\ ∴ y = 3 x \end{array}

\begin{array}{l} (b) \\ x_{1} = 8 dan y_{1} = 24 dan x_{2} = 6; cari y_{2} . \\ \frac{y_{1}}{x_{1}} = \frac{y_{2}}{x_{2}} \to \frac{24}{8} = \frac{y_{2}}{6} \\ y_{2} = \frac{24}{8} (6) \\ y_{2} = 18 \end{array}

\begin{array}{l} (c) \\ x_{1} = 8 dan y_{1} = 24 {dan y}_{2} = 36; cari x_{2} . \\ \frac{y_{1}}{x_{1}} = \frac{y_{2}}{x_{2}} \to \frac{24}{8} = \frac{36}{x_{2}} \\ 24 x_{2} = 36 \times 8 \\ x_{2} = 12 \end{array}