Bab 16 Ubahan

Posted on May 12, 2016 by user

5.2 Ubahan Songsang

Jika suatu kuantiti y berubah secara songsang dengan suatu kuantiti yang lain x, maka

(a) y bertambah apabila x berkurang,

(b) y berkurang apabila x bertambah.

(A) Menulis suatu ubahan songsang dalam bentuk persamaan

Suatu ubahan songsang dapat ditulis dalam bentuk persamaan,

y = \frac{k}{x}

di mana k ialah pemalar yang dapat ditentukan.

Contoh 1:

Diberi y berubah secara songsang dengan x dan y = 4 apabila x =10. Tulis satu persamaan yang mengaitkan x dan y.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} y \propto \frac{1}{x} \to y = \frac{k}{x} \\ 4 = \frac{k}{10} \to k = 40 \\ ∴ y = \frac{40}{x} \end{array}

Contoh 2:

Diberi bahawa y = 3 apabila x = 6, cari persamaan yang mengaitkan x dan y jika:

(a) y \propto \frac{1}{x^{2}} (b) y \propto \frac{1}{x^{3}} (c) y \propto \frac{1}{\sqrt{x}}

Penyelesaian:

\begin{array}{l} (a) \\ y \propto \frac{1}{x^{2}} \to y = \frac{k}{x^{2}} \\ 3 = \frac{k}{6^{2}} \\ k = 3 \times 36 = 108 \\ ∴ y = \frac{108}{x^{2}} \end{array}

\begin{array}{l} (b) \\ y \propto \frac{1}{x^{3}} \to y = \frac{k}{x^{3}} \\ 3 = \frac{k}{6^{3}} \\ k = 3 \times 216 = 648 \\ ∴ y = \frac{648}{x^{3}} \end{array}

\begin{array}{l} (c) \\ y \propto \frac{1}{\sqrt{x}} \to y = \frac{k}{\sqrt{x}} \\ 3 = \frac{k}{\sqrt{6}} \\ k = 3 \times \sqrt{6} = 3 \sqrt{6} \\ ∴ y = \frac{3 \sqrt{6}}{\sqrt{x}} \end{array}

Bab 16 Ubahan

Posted on May 12, 2016 by user

5.1 Ubahan Langsung (Bahagian 2)

(D) Menyelesaikan masalah yang melibatkan ubahan langsung

1. Jika y α xⁿ, di mana n = ½ , 2, 3, maka persamaannya ialah y = kxⁿ di mana k ialah pemalar.

2. Graf y melawan xⁿ adalah satu garis lurus yang melalui asalan.

3. Jika y α xⁿ, dan diberi dengan maklumat yang mencukupi, maka nilai xatau niali y dapat ditentukan.

Contoh:

y berubah secara langsung dengan x³dan y = 54 apabila x = 3, cari

(a) nilai bagi x apabila y = 16

(b) nilai bagi y apabila x = 4

Penyelesaian:

Diberi y α x³, y = kx³

Apabila y = 54, x = 3,

54 = k (3)³

54 = 27k

k = 2

maka y = 2x³

(a) Apabila y = 16

16 = 2x³

x³= 8

x= 2

(b) Apabila x = 4

y = 2(4)³ = 128

Bab 16 Ubahan

Posted on May 12, 2016 by user

5.1 Ubahan Langsung (Contoh Soalan)

Contoh 1:

Diberi bahawa p berubah secara langsung dengan punca kuasa dua q dan p=12 apabila q=36,cari

(a) nilai bagi p apabila q=16

(b) nilai bagi q apabila p=18

Penyelesaian:

\begin{array}{l} p \propto \sqrt{q}, p = k \sqrt{q} \\ 12 = k \sqrt{36} \\ 12 = k (6) \\ k = 2 \\ p = 2 \sqrt{q} \end{array}

\begin{array}{l} (a) \\ p = 2 \sqrt{q} \\ p = 2 \sqrt{16} = 2 (4) \\ p = 8 \end{array}

\begin{array}{l} (b) \\ p = 2 \sqrt{q} \\ 18 = 2 \sqrt{q} \to 9 = \sqrt{q} \\ 9^{2} = q \\ q = 81 \end{array}

Bab 16 Ubahan

Posted on May 12, 2016 by user

5.3 Ubahan Tercantum

(A) Mewakili suatu ubahan tercantum dengan menggunakan simbol ‘α’

1. Jika satu pemboleh ubah berubah secara langsung dan/atau secara songsang dengan pemboleh ubah yang lain, hubungan ini dikenali sebagai ubahan tercantum.

2. ‘y berubah secara langsung dengan x dan z’ ditulis sebagai y α xz.

3. ‘y berubah secara langsung dengan x dan secara songsang dengan z’ ditulis sebagai

y α \frac{x}{z} .

4. ‘y berubah secara songsang dengan x dan z’ ditulis sebagai

y α \frac{1}{x z} .

Contoh 1:

Cari hubungan bagi setiap ubahan yang berikut dengan menggunakan simbol ‘α’.

(a) x berubah secara langsung dengan y dan z.

(b) x berubah secara songsang dengan y dan

\sqrt{z} .

Penyelesaian:

\begin{array}{l} (a) x α y z \\ (b) x α \frac{1}{y \sqrt{z}} \\ (c) x α \frac{r^{3}}{y} \end{array}

(B) Menyelesaikan masalah yang melibatkan ubahan songsang

1. Jika

y α x^{n} z^{n}, maka y = k x^{n} z^{n}

, di mana k ialah pemalar dan n = 2, 3 dan ½.

2. Jika

y α \frac{1}{x^{n} z^{n}}, maka y = \frac{1}{k x^{n} z^{n}}

, di mana k ialah pemalar dan n = 2, 3 dan ½.

3. Jika

y α \frac{x^{n}}{z^{n}}, maka y = \frac{k x^{n}}{z^{n}}

, di mana k ialah pemalar dan n = 2, 3 dan ½.

Contoh 2:

Diberi bahawa

p α \frac{1}{q^{2} \sqrt{r}}

apabila p = 4, q = 2 and r = 16, hitungkan nilai r apabila p = 9 dan q = 4.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} Diberi bahawa, \\ p α \frac{1}{q^{2} \sqrt{r}}, p = \frac{k}{q^{2} \sqrt{r}} \\ Apabila p = 4, q = 2 dan r = 16, \\ 4 = \frac{k}{2^{2} \sqrt{16}} \\ 4 = \frac{k}{16} \\ k = 64 \\ ∴ p = \frac{64}{q^{2} \sqrt{r}} \end{array}

\begin{array}{l} Apabila p = 9 dan q = 4, \\ 9 = \frac{64}{4^{2} \sqrt{r}} \\ 9 = \frac{4}{\sqrt{r}} \\ \sqrt{r} = \frac{4}{9} \\ r = {(\frac{4}{9})}^{2} = \frac{16}{81} \end{array}

Bab 16 Ubahan

Posted on May 12, 2016 by user

Soalan 6:

Diberi bahawa R berubah secara langsung dengan punca kuasa dua S dan secara songsang dengan kuasa dua T. Cari hubungan antara R, S dan T.

Penyelesaian:

R α \frac{\sqrt{S}}{T^{2}}

Soalan 7:

Diberi bahawa P berubah secara langsung dengan kuasa dua Q dan secara songsang dengan punca kuasa dua R. Diberi k ialah pemalar, Cari hubungan antara P, Qdan R.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} P α \frac{Q^{2}}{\sqrt{R}} \\ P = \frac{k Q^{2}}{\sqrt{R}} \end{array}

Soalan 8:

Diberi bahawa P berubah secara songsang dengan punca kuasa tiga Q. Hubungan antara P dan Q ialah

Penyelesaian:

\begin{array}{l} P α \frac{1}{\sqrt[3]{Q}} \\ P α \frac{1}{Q^{\frac{1}{3}}} \end{array}

Soalan 9:

Diberi bahawa y berubah secara songsang dengan kuasa tiga x dan y = 16 apabila x = ½ . Ungkapkan y dalam sebutan x.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} y α \frac{1}{x^{3}} \\ y = \frac{k}{x^{3}} \\ Apabila y = 16, x = \frac{1}{2} \end{array}

\begin{array}{l} 16 = \frac{k}{{(\frac{1}{2})}^{3}} \\ 16 = \frac{k}{\frac{1}{8}} \\ k = 2 \\ y = \frac{2}{x^{3}} \end{array}

Soalan 10:

W berubah secara langsung dengan X dan secara songsang dengan punca kuasa dua Y. Diberi k ialah pemalar, Cari hubungan antara W, Xdan Y.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} W α \frac{X}{\sqrt{Y}} \\ W = \frac{k X}{\sqrt{Y}} \\ W = \frac{k X}{Y^{^{\frac{1}{2}}}} \end{array}

Bab 16 Ubahan

Posted on May 12, 2016 by user

5.4 Ubahan, SPM Praktis (Soalan Pendek)

Soalan 1:

Diberi bahawa yberubah secara langsung dengan kuasa tiga xdan y = 192 apabila x = 4. Hitungkan nilai x apabila y = –24.

Penyelesaian:

y α x³

y = kx³

192 = k (4)³

k = 3

y = 3x³

Apabila y = – 24

–24 = 3x³

x = –2

Soalan 2:

Diberi bahawa yberubah secara langsung dengan kuasa dua xdan y = 9 apabila x = 2. Hitungkan nilai x apabila y = 16.

Penyelesaian:

y α x²

y = kx²

9 = k (2)

\begin{array}{l} k = \frac{9}{4} \\ y = \frac{9}{4} x^{2} \\ Apabila y = 16 \\ 16 = \frac{9}{4} x^{2} \\ x^{2} = \frac{64}{9} \\ x = \frac{8}{3} \end{array}

Soalan 3:

Diberi bahawa y berubah secara songsang w dan x dan y = 45 apabila w = 2 dan x = 1/6. Hitungkan nilai xapabila y = 15 dan w = ⅓

Penyelesaian:

\begin{array}{l} y α \frac{1}{w x} \\ y = \frac{k}{w x} \\ 45 = \frac{k}{(2) (\frac{1}{6})} \\ k = 45 \times \frac{1}{3} = 15 \\ y = \frac{15}{w x} \end{array}

\begin{array}{l} apabila y = 15, w = \frac{1}{3} \\ 15 = \frac{15}{(\frac{1}{3}) x} \\ \frac{x}{3} = 1 \\ x = 3 \end{array}

Soalan 4:

Diberi bahawa

p α \frac{1}{q \sqrt{r}}

dan p= 3 apabila q = 2 dan r = 16, cari nilai bagi p apabila q = 3 dan r = 4.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} p α \frac{1}{q \sqrt{r}} \\ p = \frac{k}{q \sqrt{r}} \\ 3 = \frac{k}{(2) \sqrt{16}} \\ k = 24 \\ p = \frac{24}{q \sqrt{r}} \end{array}

\begin{array}{l} apabila q = 3, r = 4 \\ p = \frac{24}{3 \sqrt{4}} \\ p = \frac{24}{6} = 4 \end{array}

Soalan 5:

Diberi bahawa

P α \frac{1}{\sqrt{Q}} dan Q = 4 M + 1.

Jika P = 5 apabila M = 2, ungkapkan P dalam sebutan Q.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} Diberi P α \frac{1}{\sqrt{Q}} \\ Maka, P = \frac{k}{\sqrt{Q}} \\ P = \frac{k}{\sqrt{4 M + 1}} \\ 5 = \frac{k}{\sqrt{4 (2) + 1}} \\ 5 = \frac{k}{\sqrt{9}} \\ k = 15 \\ P = \frac{15}{\sqrt{Q}} \end{array}

Bab 5 Indeks dan Logaritma

Posted on May 12, 2016 by user

5.2a Hukum-hukum Logaritma

\begin{array}{l} Hukum 1: \\ {log}_{a} x y = {log}_{a} x + {log}_{a} y \\ Contoh: \\ \log_{5} 25 x = {log}_{5} 25 + {log}_{5} x \\ Berhati-hati!! \\ {log}_{a} x + {log}_{a} y \neq {log}_{a} (x + y) \end{array}

\begin{array}{l} Hukum 2: \\ {log}_{a} (\frac{x}{y}) = {log}_{a} x - {log}_{a} y \\ Contoh: \\ \log_{5} \frac{x}{25} = {log}_{5} x - {log}_{5} 25 \\ Berhati-hati!! \\ {log}_{a} \frac{x}{y} \neq \frac{{log}_{a} x}{{log}_{a} y} \end{array}

\begin{array}{l} Hukum 3: \\ {log}_{a} x^{m} = m {log}_{a} x \\ Contoh: \\ \log_{5} y^{5} = 5 {log}_{5} y \\ Berhati-hati!! \\ {({log}_{a} x)}^{2} \neq 2 {log}_{a} x \end{array}

Contoh 1:

Ungkapkan setiap yang berikut dalam bentuk log_ax dan log_a y.

\begin{array}{l} (a) \log_{a} 3 x \\ (b) \log_{a} \frac{x}{5} \\ (c) \log_{a} y^{5} \\ (d) \log_{a} x y^{3} \\ (e) \log_{a} \frac{x^{2}}{\sqrt{5}} \\ (g) \log_{a} \sqrt{\frac{y}{a^{2} x^{3}}} \end{array}

Penyelesaian:

Bab 5 Indeks dan Logaritma

Posted on May 11, 2016 by user

5.1 Indeks dan Hukum Indeks (Bahagian 2)

(C) Indeks Pecahan

\begin{array}{l} Secara amnya, bagi semua a . \\ a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a} \\ a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}} = {(\sqrt[n]{a})}^{m} \\ * \sqrt[n]{a} disebut punca kuasa n bagi a . \\ * {(\sqrt[n]{a})}^{m} disebut kuasa m bagi \\ punca kuasa n bagi a . \end{array}

Contoh 1:

Cari nilai-nilai yang berikut:

\begin{array}{l} {(a) 81}^{\frac{1}{2}} \\ {(b) 64}^{\frac{1}{3}} \\ {(c) 625}^{\frac{1}{4}} \end{array}

Penyelesaian:

\begin{array}{l} {(a) 81}^{\frac{1}{2}} = \sqrt{81} = 9 \\ {(b) 64}^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{64} = 4 \\ {(c) 625}^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{625} = 5 \end{array}

Contoh 2:

Cari nilai-nilai yang berikut:

\begin{array}{l} (a) 16^{\frac{3}{2}} \\ (b) {(\frac{27}{64})}^{\frac{2}{3}} \end{array}

Penyelesaian:

\begin{array}{l} (a) 16^{\frac{3}{2}} = {(16^{\frac{1}{2}})}^{3} = 4^{3} = 64 \\ (b) {(\frac{27}{64})}^{\frac{2}{3}} = {(\sqrt[3]{\frac{27}{64}})}^{2} = {(\frac{3}{4})}^{2} = \frac{9}{16} \end{array}

(D) Hukum-hukum Indeks

\begin{array}{l} a^{m} \times a^{n} = a^{m + n} \\ Contoh: \\ 3^{3} \times 3^{2} \\ = 3^{3 + 2} = 3^{5} = 243 \end{array}

\begin{array}{l} a^{m} \div a^{n} = a^{m - n} atau \frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n}, a \neq 0 \\ Contoh: \\ 3^{3} \div 3^{2} \\ = 3^{3 - 2} = 3^{1} = 3 \\ atau \\ \frac{3^{3}}{3^{2}} = 3^{3 - 2} = 3^{1} = 3 \end{array}

\begin{array}{l} {(a^{m})}^{n} = a^{m n} \\ Contoh: \\ {(7^{3})}^{4} = 7^{3 \times 4} = 7^{12} \end{array}

\begin{array}{l} {(a b)}^{n} = a^{n} b^{n} \\ Contoh: \\ {(15)}^{3} = {(5 \times 3)}^{3} = 2^{3} \times 3^{3} \end{array}

\begin{array}{l} {(\frac{a}{b})}^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}, b \neq 0 \\ Contoh: \\ {(\frac{3}{5})}^{4} = \frac{3^{4}}{5^{4}} = \frac{81}{625} \end{array}

Bab 5 Indeks dan Logaritma

Posted on May 11, 2016 by user

Indeks Integer Positif

Jika a ialah suatu nombor dan n ialah suatu integer positif, maka aⁿbermakna pendaraban asas a sebanyak n kali dan disebut a kuasa n.

Integer n adalah indeks dan a ialah asasnya.

Contoh: 5×5×5×5 = 5⁴, 5 ialah asas dan 4 ialah indeks.

5.1 Indeks dan Hukum Indeks (Bahagian 1)

(A) Indeks Sifar

Indeks sifar bagi semua nombor adalah sama dengan satu.

a ^o = 1, di mana a ≠ 0

Contoh 1:

Cari nilai-nilai yang berikut:

(a) 250⁰

(b)0.513⁰

\begin{array}{l} (c) {(\frac{2}{7})}^{0} \\ (d) {(- 11 \frac{1}{25})}^{0} \end{array}

Penyelesaian:

(a) 250⁰ = 1

(b)0.513⁰ = 1

\begin{array}{l} (c) {(\frac{2}{7})}^{0} = 1 \\ (d) {(- 11 \frac{1}{25})}^{0} = 1 \end{array}

(B) Indeks Negatif

a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}, n > 0

Contoh 2:

Cari nilai-nilai yang berikut:

(a) 102 ^-1

(b)–6 ^-3

\begin{array}{l} (c) {(\frac{1}{3})}^{- 4} \\ (d) {(\frac{2}{5})}^{- 2} \\ (e) - {(\frac{2}{5})}^{- 4} \end{array}

Penyelesaian:

\begin{array}{l} (a) 102^{- 1} = \frac{1}{102} \\ (b) - 6^{- 3} = \frac{1}{- 6^{3}} = - \frac{1}{216} \\ (c) {(\frac{1}{3})}^{- 4} = {(3)}^{4} = 81 \\ (d) {(\frac{2}{5})}^{- 2} = {(\frac{5}{2})}^{2} = \frac{25}{4} \\ (e) {(- \frac{2}{5})}^{- 4} = {(- \frac{5}{2})}^{4} = \frac{625}{16} \end{array}

Bab 4 Persamaan Serentak

Posted on May 10, 2016 by user

Soalan 3:

Selesaikan persamaan serentak.

3y – 2x= – 4

y² + 4x² = 2

Penyelesaian:

3y – 2x= – 4 -----(1)

y² + 4x²= 2 -----(2)

\begin{array}{l} Dari (1), \\ y = \frac{2 x - 4}{3} ------- (3) \\ Gantikan (3) ke dalam (2), \\ {(\frac{2 x - 4}{3})}^{2} + 4 x^{2} = 2 \\ (\frac{4 x^{2} - 16 x + 16}{9}) + 4 x^{2} = 2 \\ 4 x^{2} - 16 x + 16 + 36 x^{2} = 18 (\times 9) \\ 40 x^{2} - 16 x - 2 = 0 \\ 20 x^{2} - 8 x - 1 = 0 \\ (10 x + 1) (2 x - 1) = 0 \\ x = - \frac{1}{10} atau x = \frac{1}{2} \\ Gantikan nilai-nilai x ke dalam (3), \\ Apabila x = - \frac{1}{10}, \\ y = \frac{2 (- \frac{1}{10}) - 4}{3} = - 1 \frac{2}{5} \\ Apabila x = \frac{1}{2}, \\ y = \frac{2 (\frac{1}{2}) - 4}{3} = - \frac{3}{3} = 1 \\ Penyelesaian ialah x = - \frac{1}{10}, y = - 1 \frac{2}{5} dan x = \frac{1}{2}, y = 1. \end{array}

Soalan 4:

Selesaikan persamaan serentak x – 3y = –1 dan y + yx– 2x = 0.

Beri jawapan anda betul kepada tiga tempat perpuluhan.

Penyelesaian:

x – 3y = –1 -----(1)

y + yx – 2x = 0 -----(2)

Dari (1),

x = 3y – 1 -----(3)

Gantikan (3) ke dalam (2),

y + y (3y – 1) – 2(3y – 1) = 0

y + 3y² – y – 6y+ 2 = 0

3y² – 6y + 2 = 0

\begin{array}{l} a = 3, b = - 6, c = 2 \\ y = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \\ y = \frac{- (- 6) \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 (3) (2)}}{2 (3)} \\ y = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{6} \\ y = 1.577 atau 0 .423 \end{array}

Gantikan nilai-nilai y ke dalam (3).

Apabila y = 1.577,

x = 3 (1.577) – 1 = 3.731 (tiga tempat perpuluhan)

Apabila y = 0.423,

x = 3 (0.423) – 1 = 0.269 (tiga tempat perpuluhan)

Penyelesaian ialah x = 3.731, y = 1.577 dan x = 0.269, y = 0.423.