Long Question 10


Question 10 (10 marks):
Diagram shows a triangle ABC. The straight line AE intersects with the straight line BC at point D. Point V lies on the straight line AE.

It is given that BD=13BC,AC=6x˜ and AB=9y˜.(a) Express in terms of x˜ and / or y˜:   (i) BC,   (ii) AD.(b) It is given that AV=mAD and BV=n(x˜9y˜), where m and n are constants.  Find the value of m and of n.(c) Given AE=hx˜+9y˜, where h is a constant, find the value of h.

Solution: 
(a)(i)
BC=BA+AC =9y˜+6x˜ =6x˜9y˜

(a)(ii)
AD=AB+BD =9y˜+13BC =9y˜+13(6x˜9y˜) =9y˜+2x˜3y˜ =2x˜+6y˜


(b)
Given AV=mAD=m(2x˜+6y˜)=2mx˜+6my˜AV=AB+BV   = 9y˜+n(x˜9y˜)  =9y˜+nx˜9ny˜  =nx˜+(99n)y˜By equating the coefficients of x˜ and y˜2mx˜+6my˜=nx˜+(99n)y˜2m=nn=2m.............(1)6m=99n.............(2)Substitute (1) into (2),6m=99(2m)6m=918m24m=9m=924=38From (1):n=2(38)=34


(c)
A, D and E are collinear.AD=k(AE)AD=k(hx˜+9y˜)2x˜+6y˜=khx˜+9ky˜Equating the coefficients of y˜:9k=6k=69k=23Equating the coefficients of x˜:kh=2(23)h=2h=2×32h=3