Long Question 9


Question 9 (10 marks):
Diagram 5 shows triangles OAQ and OPB where point P lies on OA and point Q lies on OB. The straight lines AQ and PB intersect at point R.
It is given that OA=18x˜, OB=16y˜, OP:PA=1:2, OQ:QB=3:1,PR=mPB and QR=nQA, where m and n are constants.(a) Express OR in terms of   (i) m, x˜ and y˜,   (ii) n, x˜ and y˜,(b) Hence, find the value of m and of n.(c) Given |x˜|=2 units, |y˜|=1 unit and OA is perpendicular to OB calculate |PR|.

Solution
(a)(i)
OR=OP+PR =13OA+mPB =13(18x˜)+m(PO+OB) =6x˜+m(6x˜+16y˜)

(a)(ii)
OR=OQ+QR =34OB+nQA =34(16y˜)+n(QO+OA) =12y˜+n(12y˜+18x˜) =(1212n)y˜+18nx˜


(b)
6x˜+m(6x˜+16y˜)=(1212n)y˜+18nx˜6x˜6mx˜+16my˜=18nx˜+12y˜12ny˜by comparison;66m=18n1m=3nm=13n..............(1)16m=1212n4m=33n..............(2)Substitute (1) into (2),4(13n)=33n412n=33n9n=1n=19Substitute n=19 into (1),m=13(19)m=23

[adinserter block="3"]

(c)
|x˜|=2|y˜|=1 PR=23PB =23(6x˜+16y˜) =4x˜+323y˜|PR|=[4(2)]2+[323(1)]2  =16009  =403 units