4.7.5 Vektor, SPM Praktis (Kertas 2)


Soalan 5:
Rajah di bawah menunjukkan sebuah segi tiga KLM.


Diberi KP:PL=1:2, LR:RM=2:1,  KP =2 x ˜ ,  KM =3 y ˜ . (a) Ungkapkan dalam sebutan  x ˜  dan  y ˜ , (i)  MP (ii)  MR (b) Diberi  x ˜ =2 i ˜  dan  y ˜ = i ˜ +4 j ˜ , cari  | MR | . (c) Diberi  MQ =h MP  dan  QR =n KR , dengan keadaan h dan n ialah pemalar,    cari nilai h dan nilai n.


Penyelesaian:
(a)(i)
MP = MK + KP   =3 y ˜ +2 x ˜   =2 x ˜ 3 y ˜

(a)(ii)
MR = 1 3 ML   = 1 3 ( MK + KL )   = 1 3 ( 3 y ˜ +6 x ˜ )   =2 x ˜ y ˜

(b)
MR =2( 2 i ˜ )( i ˜ +4 j ˜ )   =4 i ˜ + i ˜ 4 j ˜   =5 i ˜ 4 j ˜ | MR |= 5 2 + ( 4 ) 2    = 41  unit

(c)
MQ + QR = MR h MP +n KR = MR h( 2 x ˜ 3 y ˜ )+n( KM + MR )=2 x ˜ y ˜ h( 2 x ˜ 3 y ˜ )+n( 3 y ˜ +2 x ˜ y ˜ )=2 x ˜ y ˜ 2h x ˜ 3h y ˜ +2n x ˜ +2n y ˜ =2 x ˜ y ˜ ( 2h+2n ) x ˜ +( 3h+2n ) y ˜ =2 x ˜ y ˜ 2h+2n=2..........(1) 3h+2n=1..........(2) ( 1 )( 2 ):5h=3  h= 3 5 Dari ( 1 ):h+n=1     3 5 +n=1  n=1 3 5  n= 2 5

4.7.4 Vektor, SPM Praktis (Kertas 2)


Soalan 4:
Rajah di bawah menunjukkan sisi empat ABCD. Garis lurus AC bersilang dengan garis lurus BD di titik E.


Diberi bahawa BE:ED=2:3,  AB =10 x ˜ ,  AD =25 y ˜  dan  BC = x ˜ +15 y ˜ . (a) Ungkapkan dalam sebutan  x ˜  dan  y ˜ , (i)  BD (ii)  AE (b) Cari nisbah AE:EC.


Penyelesaian:
(a)(i)
BD = BA + AD   = AD AB   =25 y ˜ 10 x ˜

(a)(ii)
AE = AB + BE   = AB + 2 5 BD   =10 x ˜ + 2 5 ( 25 y ˜ 10 x ˜ )   =10 x ˜ + 2 5 ( 25 y ˜ 10 x ˜ )   =10 x ˜ +10 y ˜ 4 x ˜   =6 x ˜ +10 y ˜   =2( 3 x ˜ +5 y ˜ )

(b)
EC = EB + BC   = BC BE   = BC 2 3 ED   = BC 2 3 ( EA + AD )   = x ˜ +15 y ˜ 2 3 ( 6 x ˜ 10 y ˜ +25 y ˜ )   = x ˜ +15 y ˜ 2 3 ( 6 x ˜ +15 y ˜ )   = x ˜ +15 y ˜ +4 x ˜ 10 y ˜   =3 x ˜ +5 y ˜ AE EC = 2( 3 x ˜ +5 y ˜ ) 1( 3 x ˜ +5 y ˜ ) AE:EC=2:1

3.8.7 Pengamiran, SPM Praktis (Kertas 2)


Soalan 8:
Rajah di bawah menunjukkan lengkung y= 4 x 2 dan garis lurus y = mx + c. Garis lurus y = mx + c ialah tangen kepada lengkung pada (2, 1).
(a) Cari nilai m dan nilai c.

(b) Hitung luas kawasan berlorek.

(c) Diberi bahawa isi padu kisaran apabila rantau yang dibatasi oleh lengkung, paksi-x, garis lurus x = 2 dan x = h diputarkan melalui 360o pada paksi-x ialah  38π 81  unit 3 .
Cari nilai h, dengan keadaan h > 2.


Penyelesaian:
(a)
y= 4 x 2 =4 x 2 dy dx =8 x 3 = 8 x 3 At x=2, dy dx = 8 2 3 =1 Persamaan tangen: y y 1 =m( x x 1 ) y1=1( x2 ) y=x+2+1 y=x+3 m=1, c=3


(b)
Pada paksi-xy=0 Dari garis lurus y=x+3,x=3 Luas kawasan berlorek =Luas bawah lengkungLuas segi tiga = 2 4 y dx 1 2 ×1×1 = 2 4 ( 4 x 2 ) dx 1 2 = [ 4 x 1 1 ] 2 4 1 2 = [ 4 x ] 2 4 1 2 =[ 4 4 ( 4 2 ) ] 1 2 = 1 2  unit 2


(c)
Isipadu kisaran= 38π 81 π 2 h y 2  dx = 38π 81 2 h ( 4 x 2 ) 2 d x= 38 81 2 h ( 16 x 4 )dx = 38 81 2 h ( 16 x 4 )dx = 38 81 [ 16 x 3 3 ] 2 h = 38 81 [ 16 3 x 3 ] 2 h = 38 81 16 3 h 3 ( 16 3 ( 2 ) 3 )= 38 81 16 3 h 3 = 16 24 38 81 16 3 h 3 = 16 81 3 h 3 =81 h 3 =27 h=3

3.8.6 Pengamiran, SPM Praktis (Kertas 2)


Soalan 7:
Rajah di bawah menunjukkan suatu lengkung y= 1 4 x 2 +3 yang menyilang suatu garis lurus y = x + 6 pada titik A.

(a) Cari koordinat A.
(b) ) hitung
(i) luas rantau berlorek M,
(ii) isipadu kisaran, dalam sebutan π, apabila rantau berlorek N diputarkan melalui 360o pada paksi-y.


Penyelesaian:
(a)
y= 1 4 x 2 +3..........( 1 ) y=x+6..........( 2 ) Gantikan (2) ke dalam (1), x+6= 1 4 x 2 +3 4x+24= x 2 +12 x 2 4x12=0 ( x+2 )( x6 )=0 x=2   or   x=6 ( ditolak ) Apabila x=2 y=2+6=4 Oleh itu, A=( 2,4 ).


(b)(i)
Pada paksi-xy=0 Dari y=x+6,x=6 Luas kawasan berlorek M =Luas segi tiga+Luas di bawah lengkung = 1 2 ×( 62 )×4+ 2 0 y dx =8+ 2 0 ( 1 4 x 2 +3 ) dx =8+ [ x 3 4( 3 ) +3x ] 2 0 =8+[ 0( ( 2 ) 3 12 +3( 2 ) ) ] =8+[ 0( 8 12 6 ) ] =8+[ 0( 20 3 ) ] =14 2 3  unit 2


(b)(ii)
pada paksi-yx=0,  y= 1 4 ( 0 )+3 y=3 y= 1 4 x 2 +3 4y= x 2 +12 x 2 =4y12 Isipadu N π 3 4 x 2 dy π 3 4 ( 4y12 )dy π 3 4 ( 2 y 2 12y )dy =π [ ( 2 y 2 12y ) ] 3 4 =π[ ( 2 ( 4 ) 2 12( 4 ) )( 2 ( 3 ) 2 12( 3 ) ) ] =π( 16+18 ) =2π  unit 3


3.7.5 Pengamiran, SPM Praktis (Kertas 1)


Soalan 11:
Diberi= 2 5 g(x)dx=2 . Cari (a) nilai bagi  5 2 g(x)dx, (b) nilai bagi m jika  2 5 [ g(x)+m( x ) ]dx=19

Penyelesaian:
(a)  5 2 g(x)dx= 2 5 g(x)dx  =( 2 )  =2

(b)  2 5 [ g(x)+m( x ) ]dx=19   2 5 g(x)dx+m 2 5 xdx=19   2+m [ x 2 2 ] 2 5 =19    m 2 [ x 2 ] 2 5 =21     m 2 [ 254 ]=21 21m=42 m=2



Soalan 12:
a) Cari nilai bagi  1 1 ( 3x+1 ) 3 dx. (b) Nilaikan  3 4 1 2x4  dx.

Penyelesaian:
a)  1 1 ( 3x+1 ) 3 dx=[ ( 3x+1 ) 4 4( 3 ) ] 1 1    = [ ( 3x+1 ) 4 12 ] 1 1    = 1 12 [ 4 4 ( 2 ) 4 ]    = 1 12 ( 25616 )    =20

(b)  3 4 1 2x4  dx= 3 4 1 ( 2x4 ) 1 2  dx = 3 4 ( 2x4 ) 1 2  dx = [ ( 2x4 ) 1 2 +1 1 2 ( 2 ) ] 3 4 = [ 2x4 ] 3 4 =[ 2( 4 )4 2( 3 )4 ] =2 2



Soalan 13:
Diberi y= x 2 2x1 , tunjukkan dy dx = 2x( x1 ) ( 2x1 ) 2 . Seterusnya, nilaikan  2 2 x( x1 ) 4 ( 2x1 ) 2  dx .

Penyelesaian:
y= x 2 2x1 dy dx = ( 2x1 )( 2x )x( 2 ) ( 2x1 ) 2     = 4 x 2 2x2 x 2 ( 2x1 ) 2     = 2 x 2 2x ( 2x1 ) 2     = 2x( x1 ) ( 2x1 ) 2  ( tertunjuk ) 2 2 2x( x1 ) ( 2x1 ) 2  dx = [ x 2 2x1 ] 2 2 1 8 2 2 2x( x1 ) ( 2x1 ) 2  dx = 1 8 [ x 2 2x1 ] 2 2 1 4 2 2 x( x1 ) ( 2x1 ) 2  dx = 1 8 [ ( 2 2 2( 2 )1 )( ( 2 ) 2 2( 2 )1 ) ]                            = 1 8 [ ( 4 3 )( 4 5 ) ]                            = 1 8 ( 32 15 )                            = 4 15

3.7.4 Pengamiran, SPM Praktis (Kertas 1)


Soalan 8:
Diberi  2 3 g(x)dx=4 , dan  2 3 h(x)dx=9 , cari nilai bagi (a)  2 3 5g(x)dx, (b) m jika  2 3 [ g(x)+3h( x )+4m ]dx=12

Penyelesaian:
(a)
2 3 5g(x)dx=5 2 3 g(x)dx                  =5×4                  =20

(b)
2 3 [ g(x)+3h( x )+4m ]dx=12 2 3 g(x)dx+3 2 3 h( x )dx+ 2 3 4mdx=12 4+3( 9 )+4m [ x ] 2 3 =12        4m[ 3( 2 ) ]=19                       20m=19                           m= 19 20



Soalan 9:
Diberi y= 5x x 2 +1  dan  dy dx =g( x ), cari nilai bagi  0 3 2g( x )dx.

Penyelesaian:
Memandangkan dy dx =g( x ), maka y= g( x ) dx 0 3 2g( x )dx=2 0 3 g( x )dx   =2 [ y ] 0 3   =2 [ 5x x 2 +1 ] 0 3   =2[ 5( 3 ) 3 2 +1 0 ]   =2( 15 10 )   =3



Soalan 10:
Cari  5 k ( x+1 )dx, dalam sebutan k.

Penyelesaian:
5 k ( x+1 )dx=[ x 2 2 +x ] 5 k   =( k 2 2 +k )( 5 2 2 +5 )   = k 2 +2k 2 35 2   = k 2 +2k35 2

3.7.3 Pengamiran, SPM Praktis (Kertas 1)


Soalan 5:
Diberi  ( 6 x 2 +1 )dx=m x 3 +x +c,  dengan keadaan m dan c ialah pemalar, cari (a) nilai m. (b) nilai c jika  ( 6 x 2 +1 )dx=13 apabila x=1.

Penyelesaian:
(a)
( 6 x 2 +1 )dx=m x 3 +x +c 6 x 3 3 +x+c=m x 3 +x+c 2 x 3 +x+c=m x 3 +x+c Banding kedua-dua belah, Maka, m=2

(b)
( 6 x 2 +1 )dx=13 apabila x=1. 2 ( 1 ) 3 +1+c=13            3+c=13                 c=10



Soalan 6:
Diberi bahawa  5 k g(x)dx=6 , dan  5 k [ g( x )+2 ]dx =14, cari nilai k.

Penyelesaian:
5 k [ g( x )+2 ]dx =14 5 k g( x )dx + 5 k 2dx =14                6+ [ 2x ] 5 k =14                 2( k5 )=8                      k5=4                           k=9



Soalan 7:
Diberi  k 2 (4x+7)dx=28 , hitung nilai yang mungkin bagi k.

Penyelesaian:
k 2 (4x+7)dx=28 [ 2 x 2 +7x ] k 2 =28 8+14( 2 k 2 +7k )=28 222 k 2 7k=28 2 k 2 +7k+6=0 ( 2k+3 )( k+2 )=0 k= 3 2  atau k=2

1.4.4 Janjang, SPM Praktis (Soalan Panjang)


Soalan 4:
Sebutan ketiga dan keenam suatu janjang geometri masing-masing ialah 24 dan 7 1 9 . Cari
(a) Sebutan pertama dan nisbah sepunya,
(b) Hasil tambah lima sebutan pertama,
(c) Hasil tambah n sebutan pertama dengan n yang cukup besar hingga rn ≈ 0.

Penyelesaian:
(a)
Diberi  T 3 =24          a r 2 =24 ...........( 1 ) Diberi  T 6 =7 1 9          a r 5 = 64 9  ...........( 2 ) ( 2 ) ( 1 ) : a r 5 a r 2 = 64 9 24            r 3 = 8 27            r= 2 3

Gantikan r= 2 3  ke dalam ( 1 )            a ( 2 3 ) 2 =24             a( 4 9 )=24                    a=24× 9 4                      =54 Jadi, sebutan pertama ialah 54 dan nisbah sepunya ialah  2 3 .

(b)
S 5 = 54[ 1 ( 2 3 ) 5 ] 1 2 3    =54× 211 243 × 3 1    =140 2 3 Jadi, hasil tambah lima sebutan pertama  ialah 140 2 3 .

(c)
Apabila 1<r<1 dan n menjadi  cukup besar sehingga  r n 0, maka  S n = a 1r             = 54  1   2 3               =162

Jadi, hasil tambah n sebutan pertama dengan n yang cukup besar sehingga rn ≈ 0 ialah 162.

1.4.3 Janjang, SPM Praktis (Soalan Panjang)


Soalan 3:
Suatu janjang aritmetik mempunyai 16 sebutan. Hasil tambah 16 sebutan itu ialah 188, manakala hasil tambah bagi sebutan-sebutan genap ialah 96. Cari
(a) sebutan pertama dan beza sepunya,
(b) sebutan terakhir.

Penyelesaian:
(a)
Katakan sebutan pertama = a
Beza sepunya = d

Diberi                   S 16 = 188 Maka,  16 2 [ 2 a + 15 d ] = 188                8 [ 2 a + 15 d ] = 188                     2 a + 15 d = 188 8                     2 a + 15 d = 23.5 ( 1 )

Diberi hasil tambah sebutan-sebutan genap = 96
T 2 + T 4 + T 6 + ..... + T 16 = 96 ( a + d ) + ( a + 3 d ) + ( a + 5 d ) + ..... + ( a + 15 d ) = 96 8 2 [ ( a + d ) + ( a + 15 d ) ] = 96 4 [ 2 a + 16 d ] = 96 2 a + 16 d = 24 ( 2 )

(2) – (1):
16d – 15d = 24 – 23.5
d = 0.5

Gantikan d = 0.5 ke dalam (2):
2a + 16 (0.5) = 24
2a + 8 = 24
2a = 16
a = 8
Maka, sebutan pertama = 8 dan beza sepunya = 0.5.

(b)
Sebutan terakhir = T16
= 8 + 15 (0.5)
= 8 +7.5
= 15.5

10.4.8 Penyelesaian Segitiga, SPM Praktis (Kertas 2)


Soalan 8:
Rajah menunjukkan sisi empat kitaran PQRS.


(a) Hitung
(i) panjang, dalam cm, bagi PR,
(ii) ∠PRQ.
(b) Cari
(i) luas, dalam cm2, bagi ∆ PRS.
(ii) jarak terdekat, dalam cm, dari titik S ke PR.


Penyelesaian:
(a)(i)
P R 2 = 7 2 + 8 2 2( 7 )( 8 )kos 80 o P R 2 =11319.4486 PR= 93.5514 PR=9.6722 cm


(a)(ii)
Dalam sisi empat kitaran PQR+PSR=180 PQR+80=180 PQR= 100 o sinQPR 3 = sin100 9.6722 sinQPR=0.3055 QPR= 17 o 47' PRQ= 180 o 100 o 17 o 47'   = 62 o 13'


(b)(i)
Luas PRS = 1 2 ×7×8sin 80 o =27.5746  cm 2


(b)(ii)

Luas PRS=27.5746 1 2 ×9.6722×h=27.5746    h= 27.5746×2 9.6722  =5.7018 cm Jarak terdekat=5.7018 cm