Bab 17 Pilir Atur dan Gabungan

Posted on May 15, 2020 by Myhometuition

Soalan 8:

Dalam sebuah kotak terdapat 10 biji gula-gula yang berlainan perisa.

Cari

(a) Bilangan cara 3 biji gula-gula boleh dipilih dari kotak itu.

(b) Bilangan cara sekurang-kurangnya 8 biji gula-gula boleh dipilih dari kotak itu.

Penyelesaian:

(a)

Bilangan cara memilih 3 daripada 10 biji gula-gula

\begin{array}{l} =^{10} C_{3} \\ = 120 \end{array}

(b)

Bilangan cara memilih 8 biji gula-gula =

^{10} C_{8}

Bilangan cara memilih 9 biji gula-gula =

^{10} C_{9}

Bilangan cara memilih 10 biji gula-gula =

^{10} C_{10}

Oleh itu, bilangan cara sekurang-kurangnya 8 biji gula-gula boleh dipilih dari kotak

\begin{array}{l} =^{10} C_{8} +^{10} C_{9} +^{10} C_{10} \\ = 56 \end{array}

Soalan 9 (4 markah):
Danya mempunyai sebuah kedai barangan perhiasan rumah. Pada suatu hari, Danya menerima 14 set cawan daripada seorang pembekal. Setiap set mengandungi 6 biji cawan yang berlainan warna.

(a) Danya memilih 3 set cawan secara rawak untuk diperiksa.
Cari bilangan cara yang berlainan yang digunakan oleh Danya untuk memilih set-set cawan itu.

(b) Danya mengambil satu set cawan untuk dipamerkan dengan menyusunnya secara sebaris.
Cari bilangan cara yang berlainan cawan-cawan itu boleh disusun dengan keadaan cawan berwarna biru tidak diletak bersebelahan cawan berwarna merah.

Penyelesaian:
(a)
Bilangan cara yang berlainan yang digunakan oleh Danya untuk memilih 3 set cawan secara rawak untuk diperiksa
= ¹⁴C₃=364

(b)

Bilangan cara (Cawan berwarna biru diletak bersebelahan cawan berwarna merah)
= 5! × 2!
= 240

Bilangan cara yang berlainan cawan berwarna biru tidak diletak bersebelahan cawan berwarna merah
= 6! – 240
= 720 – 240
= 480

Soalan 10 (2 markah):

\begin{array}{l} (a) Diberi {}^{6}C_{n} > 1, senaraikan semua \\ nilai-nilai yang mungkin bagi n . \\ (b) Diberi {}^{y}C_{m} = {}^{y}C_{n}, ungkapkan y \\ dalam sebutan m dan n . \end{array}

Penyelesaian:
(a)
n = 1, 2, 3, 4, 5

(b)
y = m + n

7.5.3 Kebarangkalian, SPM Praktis (Kertas 1)

Posted on May 15, 2020 by Myhometuition

Soalan 5 (3 markah):
sebiji dadu berbentuk kubus yang tidak adil dilambung. Kebarangkalian mendapat angka ‘4’ ialah

\frac{1}{16}

dan kebarangkalian mendapat selain daripada nombor ‘4’ adalah sama antara satu sama lain.
Jika dadu itu dilambung dua kali, cari kebarangkalian mendapat dua nombor yang berlainan.
Beri jawapan anda dalam bentuk pecahan termudah.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} P (1) + P (2) + P (3) + P (4) + P (5) + P (6) = 1 \\ Diberi kebarangkalian mendapat nombor \\ lain adalah sama . \\ x + x + x + \frac{1}{16} + x + x = 1 \\ 5 x = 1 - \frac{1}{16} \\ 5 x = \frac{15}{16} \\ x = \frac{3}{16} \\ P (Nombor sama) \\ = P (1, 1) + P (2, 2) + P (3, 3) \\ + P (4, 4) + P (5, 5) + P (6, 6) \\ = (x \times x) + (x \times x) + (x \times x) + \\ (\frac{1}{16} \times \frac{1}{16}) + (x \times x) + (x \times x) \\ = 5 x^{2} + \frac{1}{256} \\ = 5 {(\frac{3}{16})}^{2} + \frac{1}{256} \\ = \frac{23}{128} \\ P (Dua nombor yang berlainan) \\ = 1 - \frac{23}{128} \\ = \frac{105}{128} \end{array}

Bab 19 Taburan Kebarangkalian

Posted on May 15, 2020 by Myhometuition

Soalan 7 (4 markah):
Sebuah badan sukarela menganjurkan kursus pertolongan cemas 4 kali sebulan, setiap Sabtu dari Mac hingga September.
[Andaikan setiap bulan mempunyai empat hari Sabtu]

Salmah berhasrat untuk menyertai kursus tersebut tetapi dia mungkin perlu meluangkan satu hari Sabtu setiap bulan untuk menemani ibunya ke hospital.
Kebarangkalian bahawa Salmah akan hadir ke kursus tersebut pada setiap Sabtu ialah 0.8. Salmah akan diberi sijil kehadiran bulanan jika dia boleh menghadiri kursus tersebut sekurang-kurangnya 3 kali sebulan.

(a) Cari kebarangkalian bahawa Salmah akan diberi sijil kehadiran bulanan.

(b) Salmah akan layak untuk menduduki ujian pertolongan cemas jika dia memperoleh lebih daripada 5 sijil kehadiran bulanan.
Cari kebarangkalian bahawa Salmah layak untuk menduduki ujian pertolongan cemas itu.

Penyelesaian:
(a)

\begin{array}{l} P (X = r) = {}^{n}C_{r} p^{r} q^{n - r} \\ p = 0.8, q = 0.2, n = 4, r = 3, 4 \\ P (X \geq 3) \\ = P (X = 3) + P (X = 4) \\ = {}^{4}C_{3} {(0.8)}^{3} {(0.2)}^{1} + {}^{4}C_{4} {(0.8)}^{4} {(0.2)}^{0} \\ = 0.4096 + 0.4096 \\ = 0.8192 \end{array}

(b)

\begin{array}{l} P (X = r) = {}^{n}C_{r} p^{r} q^{n - r} \\ p = 0.8192, q = 0.1808, n = 7, r = 6, 7 \\ P (X > 5) \\ = P (X = 6) + P (X = 7) \\ = {}^{7}C_{6} {(0.8192)}^{6} {(0.1808)}^{1} + \\ {}^{7}C_{7} {(0.8192)}^{7} {(0.1808)}^{0} \\ = 0.3825 + 0.2476 \\ = 0.6301 \end{array}

Soalan 8 (4 markah):
Rajah menunjukkan satu graf taburan normal piawai.

Rajah

Kebarangkalian yang diwakili oleh luas kawasan berlorek ialah 0.2881.
(a) Cari nilai h.
(b) X ialah pemboleh ubah rawak selanjar bertaburan secara normal dengan min, μ dan varians 16.
Cari nilai μ jika skor-z bagi X = 58.8 ialah h.

Penyelesaian:
(a)
P(X < h) = 0.5 – 0.2881
P(X < h) = 0.2119
P(X < –0.8) = 0.2119
h = –0.8

(b)

\begin{array}{l} X = 58.8 \\ \frac{X - μ}{σ} = \frac{58.8 - μ}{σ} \\ Z = \frac{58.8 - μ}{4} \\ h = \frac{58.8 - μ}{4} \\ - 0.8 = \frac{58.8 - μ}{4} \\ - 3.2 = 58.8 - μ \\ μ = 58.8 + 3.2 \\ μ = 62 \end{array}

Bab 19 Taburan Kebarangkalian

Posted on May 15, 2020 by Myhometuition

Soalan 5 (2 markah):
Rajah menunjukkan graf taburan kebarangkalian bagi suatu pemboleh ubah rawak X, X ~ N(μ, σ²).

Rajah

Diberi bahawa AB adalah paksi simetri bagi graf itu.
(a) Nyatakan nilai μ.
(b) Jika luas kawasan berlorek ialah 0.38, nyatakan nilai bagi P(5 ≤ X ≤ 15).

Penyelesaian:
(a)
μ = 0

(b)
P(10 ≤ X ≤ 15)
= 0.5 – 0.38
= 0.12

P(5 ≤ X ≤ 10)
= P(10 ≤ X ≤ 15)
= 0.12

Maka P(5 ≤ X ≤ 15)
= 0.12 + 0.12
= 0.24

Soalan 6 (3 markah):
Rajah menunjukkan graf bagi taburan binomial X ~ B(3, p).

Rajah

(a) Ungkapkan P(X = 0) + P(X > 2) dalam sebutan a dan b.
(b) Cari nilai p.

Penyelesaian:
(a)
P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = 1
P(X = 0) + a + b + P(X = 3) = 1
P(X = 0) + P(X = 3) = 1 – a – b
P(X = 0) + P(X > 2) = 1 – a – b

(b)

\begin{array}{l} P (X = 0) = \frac{27}{343} \\ ^{3} C_{0} (p^{0}) {(1 - p)}^{3} = \frac{27}{343} \\ 1 \times 1 \times {(1 - p)}^{3} = {(\frac{3}{7})}^{3} \\ 1 - p = \frac{3}{7} \\ p = \frac{4}{7} \end{array}

Bab 6 Geometri Koordinat

Posted on May 15, 2020 by Myhometuition

Soalan 9 (3 markah):
Satu garis lurus melalui P(3, 1) dan Q(12, 7). Titik R membahagi tembereng garis PQ dengan keadaan 2PQ = 3RQ.
Cari koordinat R.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} 2 P Q = 3 R Q \\ \frac{P Q}{R Q} = \frac{3}{2} \\ Titik R \\ = (\frac{1 (12) + 2 (3)}{1 + 2}, \frac{1 (7) + 2 (1)}{1 + 2}) \\ = (\frac{18}{3}, \frac{9}{3}) \\ = (6, 3) \end{array}

Soalan 10 (3 markah):
Maklumat berikut adalah merujuk kepada persamaan dua garis lurus, AB dan CD.

\begin{array}{l} A B : y - 2 k x - 3 = 0 \\ C D : \frac{x}{3 h} + \frac{y}{4} = 1 \\ dengan keadaan h dan k \\ ialah pemalar . \end{array}

Diberi garis lurus AB dan garis lurus CD adalah berserenjang antara satu sama lain, ungkapkan h dalam sebutan k.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} A B : y - 2 k x - 3 = 0 \\ y = 2 k x + 3 \\ m_{A B} = 2 k \\ C D : \frac{x}{3 h} + \frac{y}{4} = 1 \\ m_{C D} = - \frac{4}{3 h} \\ m_{A B} \times m_{C D} = - 1 \\ 2 k \times (- \frac{4}{3 h}) = - 1 \\ - 8 k = - 3 h \\ h = \frac{8}{3} k \end{array}

3.7.5 Pengamiran, SPM Praktis (Kertas 1)

Posted on May 15, 2020 by Myhometuition

Soalan 14 (4 markah):
Rajah menunjukkan lengkung y = g(x). Garis lurus ialah tangen kepada lengkung itu.

Rajah

Diberi g’(x) = –4x + 8, cari persamaan lengkung itu.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} Diberi g' (x) = - 4 x + 8 \\ Titik maximum apabila g' (x) = 0 \\ - 4 x + 8 = 0 \\ 4 x = 8 \\ x = 2 \\ Maka, titik maximum ialah (2, 11) . \\ g' (x) = - 4 x + 8 \\ \int g' (x) = \int (- 4 x + 8) d x \\ g (x) = \frac{- 4 x^{2}}{2} + 8 x + c \\ g (x) = - 2 x^{2} + 8 x + c \\ Gantikan (2, 11) ke dalam g (x) : \\ 11 = - 2 {(2)}^{2} + 8 (2) + c \\ c = 3 \\ Maka, persamaan lengkung ialah \\ g (x) = - 2 x^{2} + 8 x + 3 \end{array}

Soalan 15 (3 markah):
Diberi bahawa

\int \frac{5}{{(2 x + 3)}^{n}} d x = \frac{p}{{(2 x + 3)}^{5}} + c

, dengan keadaan c, n dan p ialah pemalar.
Cari nilai n dan nilai p.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} \int \frac{5}{{(2 x + 3)}^{n}} d x = \int 5 {(2 x + 3)}^{- n} d x \\ = \frac{5 {(2 x + 3)}^{- n + 1}}{(- n + 1) \times 2} + c \\ = \frac{5}{2 (1 - n)} \times \frac{1}{{(2 x + 3)}^{n - 1}} + c \\ = \frac{5}{2 (1 - n) {(2 x + 3)}^{n - 1}} + c \\ Bandingkan \frac{5}{2 (1 - n) {(2 x + 3)}^{n - 1}} \\ dengan \frac{p}{{(2 x + 3)}^{5}} \\ n - 1 = 5 \\ n = 6 \\ \frac{5}{2 (1 - n)} = p \\ \frac{5}{2 (1 - 6)} = p \\ \frac{5}{2 (- 5)} = p \\ p = - \frac{1}{2} \end{array}

Bab 13 Hukum Linear

Posted on May 14, 2020 by Myhometuition

Soalan 8 (3 markah):
Rajah menunjukkan graf garis lurus

\frac{x^{2}}{y} melawan \frac{1}{x} .

Rajah

Berdasarkan Rajah, ungkapkan y dalam sebutan x.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} m = \frac{4 - (- 5)}{6 - 0} = \frac{3}{2} \\ c = - 5 \\ Y = \frac{x^{2}}{y}, X = \frac{1}{x} \\ Y = m X + c \\ \frac{x^{2}}{y} = \frac{3}{2} (\frac{1}{x}) + (- 5) \\ \frac{x^{2}}{y} = \frac{3}{2 x} - 5 \\ \frac{x^{2}}{y} = \frac{3 - 10 x}{2 x} \\ \frac{y}{x^{2}} = \frac{2 x}{3 - 10 x} \\ y = \frac{2 x^{3}}{3 - 10 x} \end{array}

Soalan 9 (3 markah):
Pembolehubah x dan y dihubungkan oleh persamaan

y = x + \frac{r}{x^{2}}

, dengan keadaan r ialah pemalar. Rajah menunjukkan graf garis lurus yang diperoleh dengan memplotkan

(y - x) melawan \frac{1}{x^{2}} .

Rajah

Ungkapkan h dalam sebutan p dan r.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} y = x + \frac{r}{x^{2}} \\ y - x = r (\frac{1}{x^{2}}) + 0 \\ Y = m X + c \\ m = r, c = 0 \\ m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} \\ r = \frac{5 p - 0}{\frac{h}{2} - 0} \\ \frac{h r}{2} = 5 p \\ h r = 10 p \\ h = \frac{10 p}{r} \end{array}

Bab 16 Fungsi Trigonometri

Posted on May 14, 2020 by Myhometuition

Soalan 19 (4 markah):
Diberi bahawa kos α = t dengan keadaan t ialah pemalar dan 0^o≤ α ≤ 90^o.
Ungkapkan dalam sebutan t
(a) sin (180^o + α),
(b) sek 2α.

Penyelesaian:
(a)

\begin{array}{l} sin (180^{o} + α) \\ = \sin 180 k o s α + k o s 180 \sin α \\ = 0 - \sin α \\ = - \sin α \\ = - \sqrt{1 - t^{2}} \end{array}

(b)

\begin{array}{l} sek 2 α = \frac{1}{k o s 2 α} \\ = \frac{1}{2 k o s^{2} α - 1} \\ = \frac{1}{2 t^{2} - 1} \end{array}

Bab 8 Sukatan Membulat

Posted on May 14, 2020 by Myhometuition

Soalan 7 (4 markah):
Rajah menunjukkan sebuah bulatan dengan pusat O.

Rajah

PR dan QR masing-masing adalah tangen kepada bulatan itu pada titik P dan titik Q. Diberi bahawa panjang lengkok PQ ialah 4 cm dan

O R = \frac{5}{α} cm .

Ungkapkan dalam sebutan α,
(a) jejari, r, bulatan itu,
(b) luas, A, kawasan berlorek.

Penyelesaian:
(a)

\begin{array}{l} Diberi s_{P Q} = 4 \\ r α = 4 \\ r = \frac{4}{α} cm \end{array}

(b)

\begin{array}{l} P R = \sqrt{{(\frac{5}{α})}^{2} - {(\frac{4}{α})}^{2}} \\ P R = \sqrt{\frac{9}{α^{2}}} \\ P R = \frac{3}{α} \\ A = Luas kawasan berlorek \\ A = Luas segi empat O P R Q - \\ Luas sektor O P Q \\ = 2 (Luas △ O P R) - \frac{1}{2} r^{2} θ \\ = 2 [\frac{1}{2} \times \frac{3}{α} \times \frac{4}{α}] - [\frac{1}{2} \times {(\frac{4}{α})}^{2} \times α] \\ = \frac{12}{α^{2}} - \frac{8}{α} \\ = \frac{12 - 8 α}{α^{2}} {cm}^{2} \end{array}

Soalan 8 (3 markah):
Rajah menunjukkan dua buah sektor AOD dan BOC bagi dua bulatan dengan pusat sepunya O.

Rajah

Sudut yang dicangkum pada pusat O oleh lengkok major AD ialah 7α radian dan perimeter seluruh rajah ialah 50 cm.
Diberi OB = r cm, OA = 2OB dan ∠BOC = 2α, ungkapkan r dalam sebutan α.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} Panjang lengkok major A O D \\ = 2 r \times 7 α \\ = 14 r α \\ Panjang lengkok minor B O C \\ = r \times 2 α \\ = 2 r α \\ Perimeter seluruh rajah \\ = 50 cm \\ 14 r α + 2 r α + r + r = 50 \\ 16 r α + 2 r = 50 \\ 8 r α + r = 25 \\ r (8 α + 1) = 25 \\ r = \frac{25}{8 α + 1} \end{array}

Bab 12 Janjang

Posted on May 14, 2020 by Myhometuition

Soalan 9 (4 markah):
Diberi bahawa p, 2 dan q ialah tiga sebutan pertama bagi suatu janjang geometri.
Ungkapkan dalam sebutan q
(a) sebutan pertama dan nisbah sepunya janjang itu.
(b) hasil tambah sebutan hingga ketakterhinggaan janjang itu.

Penyelesaian:
(a)

\begin{array}{l} T_{1} = p, T_{2} = 2, T_{3} = q \\ \frac{T_{2}}{T_{1}} = \frac{T_{3}}{T_{2}} \\ \frac{2}{p} = \frac{q}{2} \\ p = \frac{4}{q} \\ S e b u t a n p e r t a m a, T_{1} = p = \frac{4}{q} \\ Nisbah sepunya = \frac{q}{2} \end{array}

(b)

\begin{array}{l} a = \frac{4}{q}, r = \frac{q}{2} \\ S_{\infty} = \frac{a}{1 - r} \\ = \frac{\frac{4}{q}}{1 - \frac{q}{2}} \\ = \frac{4}{q} \div [1 - \frac{q}{2}] \\ = \frac{4}{q} \div [\frac{2 - q}{2}] \\ = \frac{4}{q} \times \frac{2}{2 - q} \\ = \frac{8}{2 q - q^{2}} \end{array}

Soalan 10 (3 markah):
Seorang murid mempunyai seutas dawai dengan panjang 13.16 m. Murid itu membahagikan dawai itu kepada beberapa bahagian. Setiap bahagian akan membentuk satu segi empat sama. Rajah menunjukkan tiga buah segi empat sama yang pertama yang dibentuk oleh murid itu.

Rajah

Berapa buah segi empat sama yang boleh dibentuk oleh murid itu?

Penyelesaian:

\begin{array}{l} Perimeter segi empat sama; \\ T_{1} = 4 (4) = 16 cm \\ T_{2} = 4 (7) = 28 cm \\ T_{3} = 4 (10) = 40 cm \\ Sebutan pertama, a = 16, \\ Beza sepunya, d \\ = 28 - 16 \\ = 12 \\ Jumlah perimeter, S_{n} = 13.16 m = 1316 cm \\ \frac{n}{2} [2 (16) + (n - 1) 12] = 1316 \\ n [32 + 12 n - 12] = 2632 \\ 12 n^{2} + 20 n - 2632 = 0 \\ 3 n^{2} + 5 n - 658 = 0 \\ (n - 14) (3 n + 47) = 0 \\ n - 14 = 0 \\ n = 14 \\ Atau \\ 3 n + 47 = 0 \\ n = - \frac{47}{3} (ditolak) \\ 14 buah segi empat sama boleh dibentuk \\ dengan menggunakan dawai 13 .16 m . \end{array}