Bab 5 Garis Lurus

Posted on June 3, 2020 by Myhometuition

[adinserter block="3"]

5.5 Garis Selari (Bhg 2)

(B) Persamaan Garis Selari

Langkah-langkah berikut diambil untuk mencari persamaan garis lurus yang melalui satu titik dan selari dengan garis lurus yang lain:

Langkah 1: Menyusun persamaan garis lurus dalam bentuk y = mx + c.

Langkah 2: Cari kecerunan garis lurus daripada persamaan garis lurus yang selari dengannya.

Langkah 3: Gantikan nilai kecerunan, m, koordinat-x dan koordinat-y bagi titik yang diberi ke dalam persamaan y = mx + c untuk mencari nilai pintasan-y, c.

Langkah 4: Tulis persamaan garis lurus dalam bentuk y = mx + c.

Contoh 2:

Cari persamaan bagi garis lurus yang melalui titik (–8, 2) dan selari dengan garis lurus
4y + 3x = 12.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} 4 y + 3 x = 12 \\ 4 y = - 3 x + 12 \\ y = - \frac{3}{4} x + 3 \\ ∴ m = - \frac{3}{4} \end{array}

\begin{array}{l} Pada (- 8, 2), \\ gantikan m = - \frac{3}{4}, x = - 8, y = 2 ke dalam: \\ y = m x + c \\ 2 = - \frac{3}{4} (- 8) + c \\ c = 2 - 6 \\ c = - 4 \\ ∴ Persamaan garis lurus ialah y = - \frac{3}{4} x - 4. \end{array}

2.5.6 SPM Praktis (Soalan Panjang)

Posted on May 12, 2020 by Myhometuition

Soalan 12 (5 markah):
Rajah menunjukkan dua garis selari, POQ dan RMS dilukis pada suatu satah Cartes.

Rajah

Cari
(a) persamaan garis lurus RMS,
(b) pintasan-x bagi garis lurus MN.

Penyelesaian:
(a)

\begin{array}{l} m_{R M S} = m_{P O Q} \\ = \frac{1 - 0}{- 2 - 0} \\ = - \frac{1}{2} \\ Pada titik (4, 6) \\ y_{1} = m x_{1} + c \\ 6 = - \frac{1}{2} (4) + c \\ 6 = - 2 + c \\ c = 8 \\ Maka, persamaan garis lurus R M S \\ y = - \frac{1}{2} x + 8 \end{array}

(b)

\begin{array}{l} Apabila y = 0, \\ - \frac{1}{2} x + 8 = 0 \\ \frac{1}{2} x = 8 \\ x = 16 \\ Pintasan- x bagi garis lurus M N ialah 16. \end{array}

2.5.5 SPM Praktis (Soalan Panjang)

Posted on May 12, 2020 by Myhometuition

Soalan 10 (6 markah):
Rajah menunjukkan dua garis lurus, JK dan LM, dilukis pada suatu satah Cartes.
Garis lurus KM adalah selari dengan paksi-x.

Rajah

Cari
(a) persamaan garis lurus KM,
(b) persamaan garis lurus LM,
(c) nilai bagi k.

Penyelesaian:
(a)
Persamaan garis lurus KM ialah y = 3

(b)

\begin{array}{l} Diberi persamaan J K : \\ 2 y = 4 x + 3 \\ y = 2 x + \frac{3}{2} \\ Oleh itu, m_{J K} = 2 \\ m_{L M} = m_{J K} = 2 \\ y = m x + c \\ Pada M (5, 3) \\ 3 = 2 (5) + c \\ 3 = 10 + c \\ c = - 7 \\ ∴ Persamaan garis lurus L M ialah \\ y = 2 x - 7. \end{array}

(c)

\begin{array}{l} Gantikan (k, 0) ke dalam y = 2 x - 7 \\ 0 = 2 (k) - 7 \\ 7 = 2 k \\ k = \frac{7}{2} \end{array}

Soalan 11 (5 markah):
Rajah 4 menunjukkan segi empat selari yang dilukis pada suatu satah Cartes yang mewakili kedudukan rumah Rahman, sekolah, pawagam dan kedai.

Diberi bahawa skala ialah 1 unit : 1 km.
(a) Hitung jarak, dalam km, di antara rumah Rahman dan sekolah.
(b) Cari persamaan garis lurus yang menghubungkan sekolah ke pawagam.

Penyelesaian:
(a)
2y = 3x + 15
Apabila y = 0
3x + 15 = 0
3x = –15
x = –5

Rumah Rahman = (–5, 0)
Sekolah = (3, 0)

Jarak di antara rumah Rahman dan sekolah
= 3 – (– 5)
= 8 unit
= 8 km

(b)

\begin{array}{l} 2 y = 3 x + 15 \\ y = \frac{3}{2} x + \frac{15}{2} \\ Maka m = \frac{3}{2} \\ Pada titik (3, 0), y_{1} = m x_{1} + c \\ 0 = \frac{3}{2} (3) + c \\ \frac{9}{2} + c = 0 \\ c = - \frac{9}{2} \\ Maka persamaan garis lurus \\ y = \frac{3}{2} x - \frac{9}{2} \\ 2 y = 3 x - 9 \end{array}

2.5.5 Graf Fungsi, SPM Practis (Kertas 2)

Posted on May 11, 2020 by Myhometuition

Soalan 10:
(a) Lengkapkan jadual di ruang jawapan bagi persamaan y = 8 – 3x – 2x² dengan menulis nilai-nilai y apabila x = –4 dan x = 2.

(b) Untuk ceraian soalan ini, gunakan kertas graf. Anda boleh menggunakan pembaris fleksibel.
Dengan menggunakan skala 2cm kepada 1 unit pada paksi-x dan 2 cm kepada 5 unit pada paksi-y, lukis graf y = 5 – 8x – 2x² untuk –5 ≤ x ≤ 3 dan –27 ≤ y ≤ 9.

(c) Dari graf, cari
(i) nilai y apabila x = –2.5,
(ii) nilai positif x apabila y = –16.

(d) Lukis satu garis lurus yang sesuai pada graf anda untuk mencari nilai-nilai x yang memuaskan persamaan 8 – 3x – 2x² = 0 untuk –5 ≤ x ≤ 3 dan –27 ≤ y ≤ 9.

Jawapan:

x	–5	–4	–3.5	–2	–1	0	1	2	3
y	–27	r	–6	6	9	8	3	s	–19

Hitung nilai r dan nilai s.

Penyelesaian:
(a)
y = 8 – 3x – 2x²
Apabila x = –4,
r = 8 – 3(–4) – 2 (–4)²
= 8 + 12 – 32 = –12

Apabila x = 2,
s = 8 – 3(2) – 2(2)²
= 8 – 6 – 8 = –6

(b)

(c)
(i) Dari graf, apabila x = –2.5, y = 2.5
(ii) Dari graf, apabila y = –16, nilai positif x = 2.8

(d)
y = 8 – 3x – 2x² ----- (1)
0 = 5 – 8x – 2x² ----- (2)
(1) – (2) : y = 3 + 5x → y = 5x +3
Garis lurus yang sesuai ialah y = 5x +3.

Menentukan koordinat-x bagi titik-titik persilangan antara lengkungan y = 8 – 3x – 2x² dan garis lurus y = 5x +3.

x	–5	0
y = 5x + 3	22	3

Dari graf, x = –4.5, 0.55.

5.7.4 Garis Lurus, SPM Praktis (Soalan Panjang)

Posted on May 10, 2020 by Myhometuition

Soalan 8:

Rajah di atas menunjukkan dua garis lurus bersilang pada titik (0 , -2). Cari
(a) nilai bagi b
(b) pintasan-x bagi garis lurus XY jika kecerunan XY adalah 2.
(c) persamaan bagi garis lurus XY.

Penyelesaian:
(a)
Nilai bagi b
= 2 unit + 3 unit
= 5 unit
= –5

\begin{array}{l} (b) \\ Diberi m = 2, c = - 2 \\ Pada pintasan- x, y = 0 \\ 0 = 2 x + (- 2) \\ 0 = 2 x - 2 \\ 2 x = 2 \\ x = 1 \\ Oleh itu, pintasan- x bagi garis lurus X Y = 1. \end{array}

\begin{array}{l} (c) \\ Gantikan m = 2 dan (0, - 2) ke dalam y = m x + c \\ y = 2 x + (- 2) \\ y = 2 x - 2 \\ Maka persamman garis lurus X Y ialah y = 2 x - 2 \end{array}

Soalan 9:

Rajah di atas menunjukkan garis lurus PMQ bersilang dengan garis lurus PNR pada N. Diberi OQ = OR dan M ialah titik tengah garis lurus PQ. Cari
(a) koordinat P
(b) nilai bagi m dan n.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} (a) \\ Diberi M ialah titik tengah P Q \\ koordinat- x bagi P = 0 \\ Untuk koordinat- y bagi P, \\ \frac{y + 0}{2} = 3 \\ y = 6 \\ Koordinat bagi P = (0, 6) . \end{array}

\begin{array}{l} (b) \\ \frac{0 + 4}{2} = m \\ 2 m = 4 \\ m = 2 \\ Kecerunan P R \\ = \frac{6 - 0}{0 - (- 4)} \\ = \frac{6}{4} \\ = \frac{3}{2} \\ Pada titik N (n, 4), \\ guna y_{1} = m x_{1} + c \\ 4 = \frac{3}{2} n + 6 \\ 8 = 3 n + 12 \\ 3 n = - 4 \\ n = - \frac{4}{3} \end{array}

5.7.3 Garis Lurus, SPM Praktis (Soalan Panjang)

Posted on May 10, 2020 by Myhometuition

Soalan 6:

Dalam rajah di atas, O ialah asalan pada satah Cartesan. AOB ialah garis lurus dan OA = AC. Cari

(a) Koordinat bagi titik C.

(b) nilai h.

Penyelesaian:

(a)

Koordinat x bagi titik C = –3 × 2 = –6

Oleh itu, koordinat bagi titik C = (–6, 0).

\begin{array}{l} (b) \\ Kecerunan A O = kecerunan O B \\ \frac{0 - (- 4)}{0 - (- 3)} = \frac{h - 0}{6 - 0} \\ \frac{4}{3} = \frac{h}{6} \\ h = 8 \end{array}

\begin{array}{l} (c) \\ Kecerunan B C = \frac{8 - 0}{6 - (- 6)} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \\ Pada titik C (- 6, 0), \\ 0 = \frac{2}{3} (- 6) + c \\ c = 4 \\ Persamaan B C ialah, \\ y = \frac{2}{3} x + 4 \end{array}

Soalan 7:

Rajah di atas menunjukkan sebuah segi empat selari. MP dan NO selari dengan paksi-y. Diberi jarak bagi MZ ialah 4 unit. Cari

(a) nilai p dan q.

(b) persamaan bagi garis lurus MN,

Penyelesaian:

\begin{array}{l} (a) \\ Garis N O selari dengan paksi- y, \\ maka, p = 2 \\ M P = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} \\ = \sqrt{9 + 16} \\ = \sqrt{25} \\ = 5 \\ N O = M P = 5 unit \\ q = 7 - 5 = 2 \end{array}

\begin{array}{l} (b) \\ Titik O = (2, 2) \\ Kecerunan P O = \frac{2 - 0}{2 - 0} = 1 \\ Kecerunan M N = kecerunan P O = 1 \\ y_{1} = m x_{1} + c \\ 7 = 1 (2) + c \\ c = 5 \\ Persamaan garis lurus M N ialah \\ y = x + 5 \end{array}

Bab 5 Garis Lurus

Posted on October 12, 2016 by user

5.6.2 Garis Lurus, SPM Praktis (Soalan Pendek)

Soalan 6:

Rajah di bawah menunjukkan suatu garis lurus RS dengan persamaan 3y = –px– 12, dengan p sebagai pemalar.

Diberi bahawa OR: OS = 3 : 2.

Cari nilai p.

Penyelesaian:

Kaedah 1:

Gantikan x = –6 dan y = 0 ke dalam 3y = –px– 12:

3(0) = –p (–6) – 12

0 = 6p – 12

–6p = –12

p = 2

Kaedah 2:

OR: OS = 3 : 2

\begin{array}{l} \frac{O R}{O S} = \frac{3}{2} \\ \frac{6}{O S} = \frac{3}{2} \\ O S = 6 \times \frac{2}{3} = 4 units \end{array}

Koordinat titik S = (0, –4)

Kecerunan garis lurus RS =

- \frac{- 4}{- 6} = - \frac{2}{3}

Diberi 3y = –px – 12

Menyusun semula persamaan dalam bentuk y = mx+ c

\begin{array}{l} y = - \frac{p}{3} x - 4 \\ Kecerunan garis lurus R S = - \frac{P}{3} \\ ∴ - \frac{P}{3} = - \frac{2}{3} \\ P = 2 \end{array}

Soalan 7:

Rajah di atas menunjukkan dua garis lurus, KL dan LM, pada satah Cartesan. Jarak KL ialah 10 unit dan kecerunan bagi LM ialah 2. Cari pintasan-x bagi LM.

Penyelesaian:

Katakan koordinat titik N ialah = (0, 2).

Guna rumus Pythagoras,

LN = √10² – 6² = 8

Titik L = (0, 2 + 8) = (0, 10)
pintasan-y bagi LM = 10

\begin{array}{l} Guna rumus kecerunan, m = - \frac{pintasan-y}{pintasan-x} \\ 2 = - (\frac{10}{pintasan-x}) \\ pintasan-x bagi L M = - \frac{10}{2} = - 5 \end{array}

Bab 5 Garis Lurus

Posted on May 9, 2016 by user

5.5 Garis Selari (Bhg 1)

(A) Kecerunan Garis Selari

1. Dua garis adalah selari jika kecerunannya adalah sama.

Jika PQ // RS,

maka m_PQ= m_RS

2. Jika dua garis lurus mempunyai kecerunan yang sama, maka pasangan garis lurus tersebut adalah selari.

Jika m_AB= m_CD

maka AB // CD

Contoh 1:

Tentukan sama ada setiap pasangan garis lurus berikut adalah selari atau tidak.

(a) 2y – 4x = 6

y = 2x – 5

(b) 2y = 3x – 4

3y = 2x + 12

Penyelesaian:

(a)

2y – 4x = 6

2y = 6 + 4x

y = 2x + 3, m₁= 2

y = 2x – 5, m₂ = 2

m₁= m₂

Maka, dua garis lurus adalah selari.

(b)

\begin{array}{l} 2 y = 3 x - 4 \\ y = \frac{3}{2} x - 2, m_{1} = \frac{3}{2} \\ 3 y = 2 x + 12 \\ y = \frac{2}{3} x + 4, m_{2} = \frac{2}{3} \\ m_{1} \neq m_{2} \\ ∴ Maka, dua garis lurus adalah tidak selari . \end{array}

Bab 5 Garis Lurus

Posted on May 9, 2016 by user

5.3 Pintasan

1. Pintasan-x ialah koordinat-xbagi titik persilangan suatu garis lurus dengan paksi-x.

2. Pintasan-y ialah koordinat-ybagi titik persilangan suatu garis lurus dengan paksi-y.

3. Dalam rajah di atas, pintasan-x bagi garis lurus PQ ialah 6 dan pintasan-y bagi PQ ialah 5.

4. Jika pintasan-x dan pintasan-y diberikan,

Kecerunan, m = - \frac{Pintasan- y}{Pintasan- x}

Bab 5 Garis Lurus

Posted on April 28, 2016 by user

5.7 SPM Praktis (Soalan Panjang 2)

Soalan 4:

Dalam rajah di atas, PQRS ialah suatu segi empat selari. Cari

(a) kecerunan SR,

(b) persamaan QR,

Penyelesaian:

(a)

PQadalah selari dengan SR, kecerunan PQ = kecerunan SR.

Kecerunan S R = - \frac{6}{- 3} = 2

\begin{array}{l} (b) \\ Kecerunan Q R = \frac{8 - 6}{5 - 0} = \frac{2}{5} \\ Gantikan m = \frac{2}{5} dan R (5, 8) \\ ke dalam y = m x + c \\ 8 = \frac{2}{5} (5) + c \\ c = 6 \\ Oeh itu, persamaan Q R : \\ y = \frac{2}{5} x + 6 \end{array}

\begin{array}{l} (c) \\ Pada pintasan- x, y = 0 \\ 0 = \frac{2}{5} x + 6 \\ x = - 15 \\ Oleh itu, pintasan- x bagi Q R = - 15. \end{array}

Soalan 5:

Dalam rajah di atas, suatu garis lurus 5x +7y + 35 = 0 bersilang pada paksi-x di Rdan paksi-y di S. Tentukan

(a) Kecerunan garis lurus RS.

(b) pintasan-x bagi garis lurus RS.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} (a) \\ 5 x + 7 y + 35 = 0 \\ 7 y = - 5 x - 35 \\ y = - \frac{5}{7} x - 5 \\ ∴ Kecerunan garis lurus R S = - \frac{5}{7} . \end{array}

\begin{array}{l} (b) \\ Pada pintasan- x, y = 0 \\ 0 = - \frac{5}{7} x - 5 \\ \frac{5}{7} x = - 5 \\ x = - 7 \\ ∴ pintasan- x garis lurus R S = - 7. \end{array}

\begin{array}{l} (c) \\ Titik R = (- 7, 0) dan titik S = (0, - 5) \\ Jarak R S = \sqrt{{(- 7 - 0)}^{2} + {(0 - (- 5))}^{2}} \\ = \sqrt{49 + 25} \\ = \sqrt{74} unit \end{array}