2.5.9 Graf Fungsi, SPM Practis (Kertas 2)

Posted on May 12, 2020 by Myhometuition

Soalan 14 (12 markah):
(a) Lengkapkan Jadual 12 di ruang jawapan, bagi persamaan y = –x² + 2x + 10 dengan menulis nilai-nilai y apabila x = –1 dan x = 2.

(b) Untuk ceraian soalan ini, gunakan kertas graf. Anda boleh menggunakan pembaris fleksibel.
Menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada paksi-x dan 2 cm kepada 2 unit pada paksi-y, lukis graf y = –x² + 2x + 10 untuk –3.5 ≤ x ≤ 4.

(c) Daripada graf di 12(b), cari
(i) nilai y apabila x = –1.5,
(ii) nilai positif x apabila y = 8.2.

(d) Lukis satu garis lurus yang sesuai pada graf di 12(b) untuk mencari nilai-nilai x yang memuaskan persamaan 7 – x = x² untuk –3.5 ≤ x ≤ 4.
Nyatakan nilai-nilai x ini.

Jawapan:

Penyelesaian:
(a)
y = –x² + 2x + 10
Apabila x = –1
y = –(–1)² + 2(–1) + 10
y = –1 – 2 + 10
y = 7

Apabila x = 2
y = –(2)² + 2(2) + 10
y = –4 + 4 + 10
y = 10

(b)

(c) Dari graf
(i) Apabila x = –1.5; y = 4.6
(ii) Apabila y = 8.2; x = 2.7

(d)
y = –x² + 2x + 10 ……. (1)
0 = –x² – x + 7 ………. (2)
(1) – (2): y = 3x + 3

Dari graf, nilai-nilai x ialah –3.2 dan 2.2.

2.5.8 Graf Fungsi, SPM Practis (Kertas 2)

Posted on May 12, 2020 by Myhometuition

Soalan 13 (12 markah):
(a) Lengkapkan Jadual 2 di ruang jawapan, bagi persamaan y = –x³ + 4x + 10 dengan menulis nilai-nilai y apabila x = –2 dan x = 1.5.

(b) Untuk ceraian soalan ini, gunakan kertas graf. Anda boleh menggunakan pembaris fleksibel.
Menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada paksi-x dan 2 cm kepada 10 unit pada paksi-y, lukis graf y = –x³ + 4x + 10 untuk –3 ≤ x ≤ 4.

(c) Daripada graf di 12(b), cari
(i) nilai y apabila x = –2.5,
(ii) nilai positif x apabila y = 4.

(d) Lukis satu garis lurus yang sesuai pada graf di 12(b) untuk mencari nilai-nilai x yang memuaskan persamaan x³ – 14x + 5 = 0 untuk –3 ≤ x ≤ 4.
Nyatakan nilai-nilai x ini.

Jawapan:

Penyelesaian:
(a)
y = –x³ + 4x + 10
Apabila x = –2
y = –(–2)³ + 4(–2) + 10
y = 8 – 8 + 10
y = 10

Apabila x = 1.5
y = –(1.5)³ + 4(1.5) + 10
y = –3.375 + 6 + 10
y = 12.625

(b)

(c) Dari graf
(i) Apabila x = –2.5; y = 16
(ii) Apabila y = 4; x = 2.5

(d)
x³ – 14x + 5 = 0
–x³ + 14x – 5 = 0
–x³ + (4x + 10x) + (10 – 15) = 0
–x³ + 4x + 10 = –10x + 15
Maka, y = –10x + 15

Dari graf, nilai-nilai x ialah 0.35 dan 3.5.

2.5.7 Graf Fungsi, SPM Practis (Kertas 2)

Posted on May 12, 2020 by Myhometuition

Soalan 12 (12 markah):
(a) Lengkapkan Jadual 2 di ruang jawapan, bagi persamaan

y = \frac{30}{x}

dengan menulis nilai-nilai y apabila x = 2 dan x = 5.

(b) Untuk ceraian soalan ini, gunakan kertas graf. Anda boleh menggunakan pembaris fleksibel.
Menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada paksi-x dan 2 cm kepada 5 unit pada paksi-y, lukis graf

y = \frac{30}{x} untuk 0 \leq x \leq 7.

(c) Daripada graf di 12(b), cari
(i) nilai y apabila x = 2.6,
(ii) nilai x apabila y = 17.5.

(d) Lukis satu garis lurus yang sesuai pada graf di 12(b) untuk mencari nilai-nilai x yang memuaskan persamaan

\frac{30}{x} = - 5 x + 30 untuk 0 \leq x \leq 7.

Nyatakan nilai-nilai x ini.

Jawapan:

Penyelesaian:
(a)

(b)

(c) Dari graf
(i) Apabila x = 2.6; y = 11.5
(ii) Apabila y = 17.5; x = 1.7

(d)

\begin{array}{l} Diberi, \frac{30}{x} = - 5 x + 30 \\ y = - 5 x + 30 \\ Dari graf; x = 1.25 dan 4.75 \end{array}

2.5.6 Graf Fungsi, SPM Practis (Kertas 2)

Posted on May 11, 2020 by Myhometuition

Soalan 11:
(a) Lengkapkan jadual di ruang jawapan bagi persamaan y = x³ – 13x + 18 dengan menulis nilai-nilai y apabila x = –2 dan x = 3.

(b) Untuk ceraian soalan ini, gunakan kertas graf. Anda boleh menggunakan pembaris fleksibel.
Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada paksi-x dan 2 cm kepada 5 unit pada paksi-y, lukis graf y = x³ – 13x + 18 untuk –4 ≤ x ≤ 4 dan 0 ≤ y ≤ 40.

(c) Dari graf, cari
(i) nilai y apabila x = –1.5,
(ii) nilai x apabila y = 25.

(d) Lukis satu garis lurus yang sesuai pada graf anda untuk mencari nilai-nilai x yang memuaskan persamaan x³ – 11x – 2 = 0 untuk –4 ≤ x ≤ 4 dan 0 ≤ y ≤ 40.

Jawapan:

Penyelesaian:
(a)
y = x³ – 13x + 18

apabila x = –2,
y = (–2)³– 13(–2) + 18
= –8 + 26 + 18
= 36

apabila x = 3,
y = (3)³– 13(3) + 18
= 27 – 39 + 18
= 6

(b)

(c)
(i) Dari graf, apabila x = –1.5, y = 34.
(ii) Dari graf, apabila y = 25, x = –3.25, –0.55 dan 3.85.

(d)
y = x³ – 13x + 18 ----- (1)
0 = x³ – 11x – 2 ----- (2)
(1) – (2) : y = –2x + 20

Garis lurus yang sesuai ialah y = –2x + 20.
Menentukan koordinat-x bagi titik-titik persilangan antara lengkungan y = x³ – 13x + 18 dan garis lurus y = –2x + 20.

Dari graf, x = –3.2, –0.2 dan 3.4.

2.5.4 Graf Fungsi, SPM Practis (Soalan Panjang)

Posted on May 11, 2020 by Myhometuition

Soalan 7:
Pada graf di ruang jawapan, lorek rantau yang memuaskan ketiga-tiga ketidaksamaan y ≥ x – 2, y > –3x + 6 dan y ≤ 4.

Jawapan:

Penyelesaian:

Soalan 8:
Pada graf di ruang jawapan, lorek rantau yang memuaskan ketiga-tiga ketidaksamaan y > x – 2, y ≤ –x + 6 dan x ≥ 1.

Jawapan:

Penyelesaian:

Soalan 9 (3 markah):
Pada graf di ruang jawapan, lorek rantau yang memuaskan ketiga-tiga ketaksamaan y ≥ –3x + 6, y > x + 1 dan y ≤ 5.

Jawapan:

Penyelesaian:

2.5.3 Graf Fungsi, SPM Practis (Soalan Panjang)

Posted on May 11, 2020 by Myhometuition

Soalan 5:
Pada graf di ruang jawapan, lorek rantau yang memuaskan ketiga-tiga ketidaksamaan y > –2x + 8, y ≥ x + 1 dan y ≤ 7.

Jawapan:

Penyelesaian:

Soalan 6:
Pada graf di ruang jawapan, lorek rantau yang memuaskan ketiga-tiga ketidaksamaan 2x + y ≥ 2, x + y < 6 dan y ≥ 1.

Jawapan:

Penyelesaian:

Bab 13 Garf Fungsi II

Posted on May 3, 2016 by user

2.1 Graf Fungsi (Bahagian 1)

(A) Melukis graf fungsi

1. Langkah-langkah berikut diambil untuk melukis sebuah graf fungsi yang diberikan.

Langkah 1: Membina satu jadual nilai bagi fungsi yang diberikan.

Langkah 2: Memilih skala yang sesuai bagi paksi-x dan paksi-y, jika ia tidak diberikan.

Langkah 3: Plotkan titik-titik dan melengkapkan graf dengan menyertai titik-titik itu.

Langkah 4: Melabelkan graf.

Bab 13 Garf Fungsi II

Posted on May 3, 2016 by user

2.3 Rantau yang Mewakili Ketaksamaan dalam Dua Pemboleh Ubah

2.3.1 Menentukan kedudukan suatu titik relative kepada graf y= ax + b

1.Apabila y = ax + b, titik terletak pada garis.

2.Apabila y < ax + b, titik terletak di sebelah bawah garis.

3.Apabila y > ax + b, titik terletak di sebelah atas garis.

2.3.2 Mengenal pasti rantau yang memuaskan ketaksamaan linear serentak.

1. Garis putus-putus ‘----’ dilukis apabila semua titik pada garis adalah tidak termasuk dalam rantau yang mewakili ketaksamaan itu, contohnya y > ax + b atau y < a atau x > a.

2. Garis penuh ‘ ___’ dilukis apabila semua titik pada garis adalah termasukdalam rantau yang mewakili ketaksamaan itu, contohnya y ≥ ax + b atau y ≤ a atau x ≥ a.

3. Gambar rajah di bawah menunjukkan rantau-rantau yang mewakili ketaksamaan masing-masing.

Bab 13 Garf Fungsi II

Posted on May 2, 2016 by user

2.3.3 Rantau yang Mewakili Ketaksamaan dalam Dua Pemboleh Ubah (Contoh Soalan)

Soalan 1:

Pada graf di ruang jawapan, lorekkan rantau yang memuaskan ketiga-tiga ketaksamaan y ≥ –x + 10, y > x dan y < 9.

Jawapan:

Penyelesaian:

1. Rantau yang mewakili ketaksamaan y ≥ –x + 10 adalah rantau yang terletak pada serta di sebelahatas garis y = –x + 10.

2. Rantau yang mewakili ketaksamaan y > x adalah rantau yang terletak di sebelah atas garis y = x. Oleh kerana symbol ketaksamaan “>” digunakan, maka semua titik pada garis y = x adalah dikecualikan dalam rantau. Akibatnya, y = x dilukis dengan satu garis putus-putus.

3. Rantau yang mewakili ketaksamaan y < 9 adalah rantau yang terletak di sebelah bawahgaris y = 9 yang dilukis dengan garis putus-putus.

Soalan 2:

Pada graf di ruang jawapan, lorekkan rantau yang memuaskan ketiga-tiga ketaksamaan y ≥ –2x + 10, y ≤ 10 dan x < 5.

Jawapan:

Penyelesaian:

1. Rantau yang mewakili ketaksamaan y ≥ ax + cadalah rantau yang terletak pada serta di sebelah atas garis y = ax + c.

2. Dalam soalan ini, pintasan-y, c = 10, pintasan-x ialah 5.

3. Rantau yang mewakili ketaksamaan y ≥ –2x + 10 adalah rantau yang terletak pada serta di sebelah atasgaris y = –2x + 10.

4. Rantau yang mewakili ketaksamaan y ≤ 10 adalah rantau yang terletak pada serta di sebelah bawah garis y = 10.

5. Rantau yang mewakili ketaksamaan x < 5 terletak pada sebelah kiri garis x = 5 yang dilukis dengan garis putus-putus.

Bab 13 Garf Fungsi II

Posted on May 2, 2016 by user

Soalan 3:

(a) Jadual di bawah menunjukkan nilai-nilai x dan y bagi persamaan y = –x³+ 3x + 1.

Hitung nilai r dan nilai s.

(b) Untuk ceraian soalan ini, gunakan kertas graf. Anda boleh menggunakan pembaris fleksibel.

Dengan menggunakan skala 2cm kepada 1 unit pada paksi-x dan 2 cm kepada 5 unit pada paksi-y, lukis graf y = –x³ + 3x + 1 for –3 ≤ x ≤ 4 dan –51 ≤ y ≤ 19.

(c) Daripada graf anda, cari
(i) nilai y apabila x = –2.8,
(ii) nilai x apabila y = –30.

(d) Lukis satu garis lurus yang sesuai pada graf anda untuk mencari nilai-nilai x yang memuaskan persamaan –x³ + 13x – 9 = 0 bagi –3 ≤ x ≤ 4 dan –51 ≤ y ≤ 19.

Penyelesaian:

(a)

y = –x³ + 3x + 1

apabila x = –1,

r = – (–1)³ + 3(–1) + 1

= 1 – 3 + 1 = –1

apabila x = 3,

s = – (3)³ + 3(3) + 1 = –17

(b)

(c)

(i) Dari graf, apabila x = –2.8, y = 15

(ii) Dari graf, apabila y = –30, x = 3.5

(d)

y = –x³ + 3x + 1 ----- (1)

–x³+ 13x – 9 = 0 ----- (2)

y = –x³ + 3x + 1 ----- (1)

0 = –x³+ 13x – 9 ------ (2) ← (Menyusun semula (2))

(1) – (2) : y = –10x + 10

Garis lurus yang sesuai ialah y = –10x + 10.

Menentukan koordinat-x bagi titik-titik persilangan antara lengkungan y = –x³+ 3x + 1 dan garis lurus y = –10x + 10.

x	0	4
y = –10x + 10	10	–30

Dari graf, x = 0.7, 3.25.

Soalan 4:
(a) Lengkapkan jadual di ruang jawapan bagi persamaan y = x³ – 4x – 10 dengan menulis nilai-nilai y apabila x = –1 dan x = 3.

(b) Untuk ceraian soalan ini, gunakan kertas graf. Anda boleh menggunakan pembaris fleksibel.
Dengan menggunakan skala 2cm kepada 1 unit pada paksi-x dan 2 cm kepada 10 unit pada paksi-y, lukis graf y = x³ – 4x – 10 untuk –3 ≤ x ≤ 4 dan –25 ≤ y ≤ 38.

(c) Dari graf, cari,
(i) nilai y apabila x = 2.2,
(ii) nilai x apabila y = 15.

(d) Lukis satu garis lurus yang sesuai pada graf anda untuk mencari nilai-nilai x yang memuaskan persamaan x³ – 12x – 5 = 0 untuk –3 ≤ x ≤ 4 dan –25 ≤ y ≤ 38.

Jawapan:

Penyelesaian:
(a)
y = x³ – 4x – 10
Apabila x = –1,
y = (–1)³ – 4(–1) – 10
= –7

Apabila x = 3,
y = (3)³ – 4(3) – 10
= 5

(b)

(c)
(i) Dari graf, apabila x = 2.2, y = –8
(ii) Dari graf, apabila y = 15, x = 3.4

(d)
y = x³ – 4x – 10 ----- (1)
0 = x³ – 12x – 5 ----- (2)
(1) – (2) : y = 8x – 5
Garis lurus yang sesuai ialah y = 8x–5.

Menentukan koordinat-x bagi titik-titik persilangan antara lengkungan y = x³ – 4x – 10 dan garis lurus y = 8x –5.

x	0	2
y = 8x – 5	–5	–11

Dari graf, x = –0.45, 3.7.