Home › Archive for SPM Matematik › Page 11

SPM Matematik

Bab 4 Penaakulan Matematik

Posted on by
4.5 Hujah
(A) Premis dan Kesimpulan
1.      Penghujahanialah process membuat suatu kesimpulan berdasarkan beberapa pernyataan yang diberi.
2.      Pernyataan yang diberi itu dinamakan premis.
3.      Suatu hujahadalah terdiri daripada premis dan kesimpulan.

Contoh 1:
Kenal pasti premis dan kesimpulan dalam hujah yang berikut.
(a)  Satu pentagon mempunyai 5 sisi. ABCDE adalah satu pentagon. Maka, ABCDE mempunyai 5 sisi.

Penyelesaian:
Premis 1: Satu pentagon mempunyai 5 sisi.
Premis 2: ABCDE adalah satu pentagon.
Kesimpulan: ABCDE mempunyai 5 sisi. 


(B) Bentuk Hujah
1.      Berdasarkan dua premis yang diberi, satu kesimpulan boleh dibuat untuk tiga bentuk hujah yang berlainan.

Hujah Bentuk I
Premis 1: Semua A adalah B.
Premis 2: C adalah A.
Kesimpulan: C adalah B.

Contoh 2:
Buat satu kesimpulan berdasarkan dua premis yang berikut.
Premis 1: Semua gandaan bagi 5 boleh dibahagi tepat dengan 5.
Premis 2: 45 ialah satu gandaan bagi 5.
Kesimpulan:  _______________

Penyelesaian:
Kesimpulan: 45 boleh dibahagi tepat dengan 5.


Hujah Bentuk II
Premis 1: Jika p, maka q.
Premis 2: p adalah benar.
Kesimpulan: q adalah benar.

Contoh 3:
Buat satu kesimpulan berdasarkan dua premis yang berikut.
Premis 1:Jika suatu nombor ialah faktor bagi 18, maka nombor itu ialah faktor bagi 54.
Premis 2:3 ialah faktor bagi 18.
Kesimpulan:  _______________

Penyelesaian:
Kesimpulan: 3 ialah faktor bagi 54.


Hujah Bentuk III
Premis 1: Jika p, maka q.
Premis 2: Bukan q adalah benar.
Kesimpulan: Bukan p adalah benar.

Contoh 4:
Buat satu kesimpulan berdasarkan dua premis yang berikut.
Premis 1: Jika P ialah subset bagi Q, maka P ∩ Q = P.
Premis 2: P ∩ Q ≠ P
Kesimpulan:  _______________

Penyelesaian:
Kesimpulan:P bukan subset bagi Q.

Bab 4 Penaakulan Matematik

Posted on by
4.4 Implikasi (Contoh Soalan)
Soalan 1:
Tulis dua implikasi berdasarkan pernyataan berikut:
y3 = –125 jika dan hanya jika y = –5

Penyelesaian:
Implikasi 1: Jika y3 = –125, maka y= –5.
Implikasi 2: Jika y = –5, maka y3= –125. 


Soalan 2:
Tulis dua implikasi berdasarkan pernyataan berikut:
8 adalah faktor bagi 24 jika dan hanya jika 24 boleh dibahagi tepat dengan 8.

Penyelesaian:
Implikasi 1: 8 adalah faktor bagi 24 jika 24 boleh dibahagi tepat dengan 8.
Implikasi 2: 24 boleh dibahagi tepat dengan 8 jika 8 adalah faktor bagi 24.


Soalan 3:
Nyatakan akas bagi pernyataan berikut dan seterusnya nyatakan sama ada akas itu benar atau palsu.
(a)  Jika 2x > 8, maka x > 4.
(b)  Jika x adalah gandaan bagi 6, maka x adalah gandaan bagi 3.

Penyelesaian:
(a)  Akas implikasi: Jika x > 4, maka 2x > 8.
Akas adalah benar.
(b)  Akas implikasi: Jika x adalah gandaan bagi 3, maka x adalah gandaan bagi.
Akas adalah palsu. (penjelasan: 9 adalah gandaan bagi 3 tetapi 9 bukan gandaan bagi 6).

Bab 4 Penaakulan Matematik

Posted on by
4.4 Implikasi
(A) Mengenal pasti antejadian dan akibat bagi suatu implikasi
1.      Bagi dua pernyataan pdan q, ayat ‘jika p, maka q’ dikenali sebagai implikasi.
2.      pdikenali sebagai antejadian.
qdikenali sebagai akibat.

Contoh:
Kenal pasti antejadian dan akibat  bagi setiap implikasi yang berikut.
(a)  Jika m = 2, maka 2m2 + m = 10
(b) Jika P∪Q=P, maka Q⊂P  

Penyelesaian:
(a)  Antejadian: m = 2
Akibat: 2 m2 + m = 10

(b) Antejadian:P∪Q=P Akibat:Q⊂P


(B) Implikasi dalam bentuk ‘p jika dan hanya jika q’
1.      Dua implikasi ‘jika p, maka q’ dan ‘jika q, maka p’ boleh ditulis sebagai ‘pjika dan hanya jika q’.
2.      Begitu jugak, dua pernyataan boleh ditulis dari satu pernyataan yang berbentuk ‘p jika dan hanya jika q’ seperti berikut:
Implikasi 1: Jika p, maka q.
Implikasi 2: Jika q, maka p.

Contoh 1:
Diberi bahawa p: x + 1 = 8
  q: x = 7
Bina satu pernyataan matematik dalam bentuk implikasi.
(a)  Jika p, maka q.
(b)  p jika dan hanya jika q.

Penyelesaian:
(a)  Jika x + 1 = 8, maka x = 7.
(b)  x + 1 = 8 jika dan hanya jika x = 7.

Contoh 2:
Tulis dua Implikasi daripada ayat yang berikut:
x3 = 64 jika dan hanya jika x = 4.

Penyelesaian:
Jika x3= 64, maka x = 4.
Jika x = 4, maka x3 = 64.


(C) Akas bagi satu implikasi
1.      Akas bagi implikasi ‘jika p, maka q’ ialah ‘jikaq, maka p’.

Contoh:
Nyatakan akas bagi setiap implikasi yang berikut.
(a)  Jika x2 + x – 2 = 0, maka (x – 1)(x + 2) = 0.
(b)  Jika x = 7, maka x + 2 = 9.

Penyelesaian:
(a)  Jika (x – 1)(x + 2) = 0, maka x2+ x – 2 = 0.
(b)  Jika x + 2 = 9, makathen x = 7.

Bab 4 Penaakulan Matematik

Posted on by
4.2 Pengkuantiti ‘Semua’ dan ‘Sebilangan’ (Contoh Soalan)
Soalan 1:
Dengan menggunakan pengkuantiti ‘semua’ atau ‘sebilangan’, lengkapkan setiap yang berikut supaya membentuk satu pernyataan benar.
(a)  _____ segi empat tepat adalah segi empat sama.
(b)  _____ nombor perdana adalah nombor ganjil.
(c)  _____ Segi tiga mempunyai sisi sama.
(d)  _____ nombor genap boleh dibahagi tepat dengan 2.

Penyelesaian:
(a)  Sebilangansegi empat tepat adalah segi empat sama.
(b)  Sebilangannombor perdana adalah nombor ganjil.
(c)  SebilanganSegi tiga mempunyai sisi sama.
(d)  Senuanombor genap boleh dibahagi tepat dengan 2.


Soalan 2:
Bina satu pernyataan benar dengan menggunakan pengkuantiti ‘semua’ atau ‘sebilangan’ berdasarkan objek dan ciri yang diberi.
(a)  Objek: nombor gandaan bagi 4
Ciri: boleh dibahagi tepat dengan 5
(b)  Objek: heksagon sekata.
Ciri: 6 sisi sama.
(c)  Objek: sudut tirus
Ciri: kurang daripada 90o

Penyelesaian:
(a)  Sebilangan nombor gandaan bagi 4 boleh dibahagi tepat dengan 5.
(b)   Semua heksagon sekata mempunyai 6 sisi sama.
(c)  Semua sudut tirus adalah kurang daripada 90o.

Bab 4 Penaakulan Matematik

Posted on by
4.2 Pengkuantiti ‘Semua’ dan ‘Sebilangan’

Membina pernyataan yang menggunakan pengkuantiti ‘Semua’ dan ‘Sebilangan’
1.      Pengkuantiti adalah perkataan yang menerangkan bilangan objek atau kes tertentu dalam satu pernyataan.
2.      Pengkuantiti ‘semua’, ‘sebarang’ dan ‘setiap’ menerangkan setiap objek atau kes memenuhi syarat tertentu.
3.      Pengkuantiti ‘sebilangan’, ‘beberapa’ dan ‘satu daripada sebahagian’ menerangkan satu atau beberapa objek atau kes memenuhi syarat tertentu.


Contoh:
Dengan menggunakan pengkuantiti ‘semua’ atau ‘sebilangan’, lengkapkan setiap yang berikut supaya membentuk satu pernyataan benar.
(a)  _______  poligon mempunyai bilangan bucu dan sisi yang sama.
(b)  _______  nombor gandaan bagi 9 adalah nombor genap.
(c)  _______  nombor bulat boleh dibahagi tepat dengan 7.
(d)  _______  faktor untuk 4 adalah faktor untuk 20.

Penyelesaian:
(a)  Semuapoligon mempunyai bilangan bucu dan sisi yang sama.
(b)  Sebilangannombor gandaan bagi 9 adalah nombor genap.
(c)  Sebilangannombor bulat boleh dibahagi tepat dengan 7.
(d)  Semuafaktor untuk 4 adalah faktor untuk 20.

Bab 4 Penaakulan Matematik

Posted on by
4.1 Pernyataan

(A) Menentukan sama ada sesuatu ayat itu pernyataan atau bukan pernyataan
1.      Pernyataan ialah sejenis ayat yang maksudnya sama ada benaratau palsu, tetapi bukan kedua-duanya.
2.      Ayat yang merupakan pertanyaan, arahanatau seruanadalah bukanpernyataan.

Contoh 1:
Tentukan sama ada setiap ayat yang berikut ialah pernyataan atau tidak. Berikan sebabnya.
(a)  3 + 3 = 8
(b)  Satu pentagon mempunyai 5 sisi.
(c)  Bolehkan 40 dibahagi oleh 3?
(d)  Cari perimeter bagi satu segiempat sama yang sisinya 4cm.
(e)  Tolong!

Penyelesaian:
(a)  Pernyataan; ia merupakan pernyataan palsu.
(b)  Pernyataan; ia merupakan pernyataan benar.
(c)  Bukan pernyataan; sebab ayat itu merupakan suatu pertanyaan.
(d)  Bukan pernyataan; sebab ayat itu merupakan arahan.
(e)  Bukan pernyataan; sebab ayat itu merupakan seruan.


(B) Mengenal pasti sama ada sesuatu pernyataan yang diberi itu benar atau palsu.

Contoh 2:
Tentukan sama ada setiap pernyataan yang berikut benar atau palsu
(a) 7 ialah nombor perdana
(b) –10 > –7
(c) 3 ialah faktor kepada 8.

Penyelesaian:
(a)  Pernyataan benar
(b)  Pernyataan palsu
(c)  Pernyataan palsu


(C) Mewakili sesuatu situasi dengan menggunakan nombor dan simbol matematik
1.      Suatu pernyataan benar atau palsu boleh ditulis dengan menggunakan nombor dan simbol matematik.

Contoh 3:
Bina (i) satu pernyataan benar, (ii) satu pernyataan palsu, dengan menggunakan nombor dan simbol matematik yang berikut.
(a)  2, 4, 8, ×, =
(b)  {a, b, c}, {d} , U =

Penyelesaian:
(a)(i) Pernyataan benar: 2 × 4 = 8
(a)(ii) Pernyataan palsu: 2 × 8 = 4
(b)(i) Pernyataan benar: {d} U {a, b, c} = {a, b, c, d}
(b)(ii) Pernyataan palsu: {d} U {a, b, c} = {d}

Bab 17 Kecerunan dan Luas di bawah Graf

Posted on by

6.2 Kuantiti yang diwakili oleh Luas di Bawah Graf
1.   Dalam graf laju-masa,
(a)   Kuantiti yang diwakili oleh kecerunan graf ialah pecutan atau kadar perubahan laju.
(b)   Kuantiti yang diwakili oleh luas di bawah graf ialah jarak dilalui.

Contoh 1:
Hitung jarak bagi setiap graf yang berikut.
(a)

Jarak = Luas di bawah graf laju-masa
Jarak = Luas segitiga
Jarak = 1 2 × tapak × tinggi = 1 2 × 7 × 6 = 21 m
 

(b)

Jarak = Luas di bawah graf laju-masa
Jarak = Luas segiempat tepat
Jarak = panjang × lebar
  = 6 × 4 = 24 m

 
(c)

Jarak = Luas di bawah graf laju-masa

Jarak = Luas trapezium
Jarak = 1 2 ( a + b ) h ← Luas trapezium = 1 2 × Hasil tambah dua sisi selari × tinggi = 1 2 ( 4 + 6 ) × 8 = 40 m


(d) Gabungan Graf
Contoh 2:

Rajah di atas menunjukkan graf laju-masa bagi pergerakan suatu objek dalam tempoh 15 saat.
(a) Nyatakan masa, dalam s, objek itu bergerak dengan laju seragam.
(b) Hitungkan kadar perubahan laju, dalam ms-2, dalam tempoh 3 saat yang pertama.
(c) Hitungkan purata laju bagi objek itu dalam tempoh 15 saat.

Penyelesaian:
(a)
Masa objek itu bergerak dengan laju seragam
= 9 – 3 = 6 s

(b)
Kadar perubahan laju dalam tempoh 3 saat yang pertama
= pecutan = kecerunan graf
= y 2 − y 1 x 2 − x 1 = 6 − 3 3 − 0 = 1 m s − 2

(c)
Jumlah jarak yang dilalui oleh objek itu dalam tempoh 15 saat
= Luas di bawah graf dalam 15 saat
= Luas P + Luas Q + Luas R
=[ 1 2 ( 3+6 )×3 ]+[ ( 9−3 )×6 ]+[ 1 2 ( 15−9 )×6 ] =13.5+36+18 =67.5 m  

Maka, purata laju bagi objek itu dalam tempoh 15 saat
= Jumlah jarak yang dilalui Jumlah masa yang diambil = 67.5 15 =4.5 m s −1

Bab 17 Kecerunan dan Luas di bawah Graf

Posted on by

Soalan 7:


Rajah di atas menunjukkan graf laju-masa bagi pergerakan satu zarah dalam tempoh 15 saat.
Cari
(a) laju objek pada masa t = 9s.
(b) jarak yang dilalui oleh objek itu bagi 12 saat yang pertama.


Penyelesaian:
(a)
laju objek pada masa t = 9s ialah 6 ms-1
(b)
Jumlah jarak yang dilalui
= Luas di bawah graf laju-masa
= Luas segitiga
= ½ × 12 × 8
= 48 m


Soalan 8:

Rajah di atas menunjukkan graf laju-masa bagi pergerakan suatu objek dalam tempoh 15 saat.
(a) Nyatakan tempoh masa apabila objek itu bergerak dengan laju seragam.
(b) Hitungkan kadar perubahan laju dari t = 6s ke t = 12s.
(c) Nyatakan masa apabila objek itu berhenti.


Penyelesaian:
(a)
Tempoh masa apabila objek itu bergerak dengan laju seragam
= 12 – 6
= 6 s

(b)
Kadar perubahan laju dari t = 6s ke t = 12s
= Kecerunan graf laju-masa
= 6−6 12−6 =0  ms −2 ← Objek bergerak dalam laju seragam
 
(c)
Masa apabila objek itu berhenti pada 15s

Bab 17 Kecerunan dan Luas di bawah Graf

Posted on by

6.3 Kecerunan dan Luas di Bawah Graf, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 4:

Rajah di atas menunjukkan graf laju-masa bagi pergerakan satu zarah dalam tempoh 10 saat. Dari graf, cari
(a)    jumlah jarak yang dilalui oleh zarah itu bagi keseluruhan perjalanan.
(b)   laju purata bagi keseluruhan perjalanan.

Penyelesaian:
(a)
Jumlah jarak yang dilalui
= Luas di bawah graf laju-masa
= Luas segitiga
= ½ × 15 × 10
= 75 m

(b)
Laju purata bagi keseluruhan perjalanan
= Total distance travelled Total time taken = 75 10 =7.5 m s −1


Soalan 5:

Rajah di atas menunjukkan graf laju-masa bagi pergerakan satu zarah dalam tempoh 12 saat. Cari
(a)    tempoh masa, dalam s, zarah itu bergerak dengan laju seragam.
(b)   jarak yang dilalui apabila zarah itu bergerak dengan laju seragam.
(c)    Jarak yang dilalui oleh zarah itu apabila kadar perubahan laju adalah negatif.

Penyelesaian:
(a)
Tempoh masa zarah itu bergerak dengan laju seragam
= 10 – 6
= 4 s

(b)
Jarak yang dilalui apabila zarah itu bergerak dengan laju seragam
= Luas di bawah graf laju-masa
= Luas segiempat tepat
= 4 × 10
= 40 m

(c)
Jarak yang dilalui oleh zarah itu apabila kadar perubahan laju adalah negatif
= Luas di bawah graf laju-masa dalam tempoh 6 s yang pertama
= Luas trapezium
= ½ (10 + 25)(6)
= 105 m



Soalan 6:
Rajah di bawah menunjukkan graf laju-masa bagi pergerakan suatu objek dalam tempoh 40 saat.
(a) Nyatakan tempoh masa, dalam s, objek itu bergerak dengan laju seragam.
(b) Hitung kadar perubahan laju, dalam ms-2, objek itu dalam tempoh 12 saat yang terakhir.
(c) Hitung nilai v, jika jumlah objek yang dilalui dalam tempoh 40 saat ialah 500 m.

Penyelesaian:
(a) Tempoh masa objek bergerak dengan laju seragam = 28s – 10s = 18s

(b) Kadar perubahan laju =− 15 12 ms −2 =−1.25  ms −2 (c) Luas trapizium I + Luas trapizium II=500 1 2 ( v+15 )10+ 1 2 ( 18+30 )15=500    5v+75+360=500 5v=65   v=13

Bab 17 Kecerunan dan Luas di bawah Graf

Posted on by

6.3.1 Kecerunan dan Luas di Bawah Graf, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 1:

Rajah di atas menunjukkan graf jarak-masa bagi pergerakan satu zarah dalam tempoh 5 saat.
Cari
(a) jarak yang dilalui oleh zarah itu dari masa 2 saat ke 5 saat.
(b) laju zarah itu dalam 2 saat yang pertama.


Penyelesaian:
(a)
Jarak yang dilalui oleh zarah itu dari masa 2 saat ke 5 saat
= 20 – 15
= 5 m

(b)
Laju zarah itu dalam 2 saat yang pertama
= Kecerunan
= 15 − 0 2 − 0 = 7.5 ms − 1


Soalan 2:

Rajah di atas menunjukkan graf jarak-masa bagi pergerakan satu kereta dalam tempoh 12 saat.
Cari
(a) nilai v, jika laju purata kereta bagi 6 saat yang pertama ialah 2 ms-1.
(b) laju purata kereta bagi 8 saat yang pertama.


Penyelesaian:
(a)
laju purata kereta bagi 6 saat yang pertama ialah 2 ms-1
Jumlah jarak yang dilalui Jumlah masa yang diambil = 2 v 6 = 2 v = 12

(b)
Laju purata kereta bagi 8 saat yang pertama.
= 15 8 = 1.875 m s − 1


Soalan 3:
Rajah di bawah menunjukkan graf jarak-masa bagi perjalanan sebuah keretapi dari satu bandar ke bandar yang lain dalam tempoh 90 minit.

(a) Nyatakan tempoh masa, dalam minit, ketika keretapi itu berhenti.
(b) Hitung laju, dalam km j-1, keretapi itu dalam 40 minit yang pertama.
(c) Cari jarak, dalam km, yang dilalui oleh keretapi itu bagi 25 minit yang terakhir.


Penyelesaian:

(a) Tempoh masa keretapi itu berhenti = 65 – 40 = 25 minit

(b) Laju keretapi itu dalam 40 minit yang pertama = 150−90 km 40 minit = 60 km 40 60  j =90 km / j

(c) 90 – 0 = 90 km