Home › Archive for SPM Matematik › Page 15

SPM Matematik

Bab 16 Ubahan

Posted on by
5.1 Ubahan Langsung (Bahagian 2)
(D) Menyelesaikan masalah yang melibatkan ubahan langsung
1.      Jika y α xn, di mana n = ½ , 2, 3, maka persamaannya ialah y = kxn di mana k ialah pemalar.
2.      Graf y melawan xn adalah satu garis lurus yang melalui asalan.
3.      Jika y α xn, dan diberi dengan maklumat yang mencukupi, maka nilai xatau niali y dapat ditentukan.

Contoh:
y berubah secara langsung dengan x3 dan y = 54 apabila x = 3, cari
(a)  nilai bagi x apabila y = 16
(b)  nilai bagi y apabila x = 4

Penyelesaian:
Diberi y α x3, y = kx3
Apabila y = 54, x = 3,
54 = k (3)3
54 = 27k
k = 2
maka y = 2x3

(a)  Apabila y = 16
16 = 2x3
x3= 8
x= 2

(b)  Apabila x = 4
y = 2(4)3 = 128

Bab 16 Ubahan

Posted on by
5.1 Ubahan Langsung (Contoh Soalan)
Contoh 1:
Diberi bahawa p berubah secara langsung dengan punca kuasa dua q dan p=12 apabila q=36,cari
(a)  nilai bagi p apabila q=16
(b)  nilai bagi q apabila p=18

Penyelesaian:
p∝ q , p=k q 12=k 36 12=k(6) k=2 p=2 q

(a) p=2 q p=2 16 =2(4) p=8

(b) p=2 q 18=2 q  →9= q 9 2 =q q=81

Bab 16 Ubahan

Posted on by
5.3 Ubahan Tercantum
(A) Mewakili suatu ubahan tercantum dengan menggunakan simbol ‘α’
1.      Jika satu pemboleh ubah berubah secara langsung dan/atau secara songsang dengan pemboleh ubah yang lain, hubungan ini dikenali sebagai ubahan tercantum.
2.      ‘y berubah secara langsung dengan x dan z’ ditulis sebagai y α xz.
3.      ‘y berubah secara langsung dengan x dan secara songsang dengan z’ ditulis sebagai y α  x z .  
4.      ‘y berubah secara songsang dengan x dan z’ ditulis sebagai y α  1 xz .  

Contoh 1:
Cari hubungan bagi setiap ubahan yang berikut dengan menggunakan simbol ‘α’.
(a)  x berubah secara langsung dengan y dan z.
(b)  x berubah secara songsang dengan y dan z .  
(c)  x berubah secara langsung dengan r3 dan secara songsang dengan y.

Penyelesaian:
(a) x α yz (b) x α  1 y z (c) x α  r 3 y


(B) Menyelesaikan masalah yang melibatkan ubahan songsang
1.      Jika  y α  x n z n , maka y=k x n z n , di mana k ialah pemalar dan n = 2, 3 dan ½.

2.      Jika  y α  1 x n z n , maka y= 1 k x n z n , di mana k ialah pemalar dan n = 2, 3 dan ½.

3.      Jika  y α  x n z n , maka y= k x n z n , di mana k ialah pemalar dan n = 2, 3 dan ½.

Contoh 2:
Diberi bahawa p α  1 q 2 r  apabila p = 4, q = 2 and r = 16, hitungkan nilai r apabila p = 9 dan q = 4.

Penyelesaian:
Diberi bahawa,  p α  1 q 2 r , p =  k q 2 r Apabila p=4, q=2 dan r=16, 4 =  k 2 2 16 4= k 16 k=64 ∴p =  64 q 2 r

Apabila p=9 dan q=4, 9 =  64 4 2 r 9 =  4 r r = 4 9 r= ( 4 9 ) 2 = 16 81


Bab 16 Ubahan

Posted on by
Soalan 6:
Diberi bahawa R berubah secara langsung dengan punca kuasa dua S dan secara songsang dengan kuasa dua T. Cari hubungan antara R, S dan T.

Penyelesaian:
R α  S T 2


Soalan 7:
Diberi bahawa P berubah secara langsung dengan kuasa dua Q dan secara songsang dengan punca kuasa dua R. Diberi k ialah pemalar, Cari hubungan antara P, Qdan R.

Penyelesaian:
P α  Q 2 R P= k Q 2 R


Soalan 8:
Diberi bahawa P berubah secara songsang dengan punca kuasa tiga Q. Hubungan antara P dan Q ialah

Penyelesaian:
P α  1 Q 3 P α  1 Q 1 3


Soalan 9:
Diberi bahawa y berubah secara songsang dengan kuasa tiga x dan y = 16 apabila x = ½ . Ungkapkan y dalam sebutan x.

Penyelesaian:
y α  1 x 3 y= k x 3 Apabila y=16, x= 1 2
16= k ( 1 2 ) 3 16= k 1 8 k=2 y= 2 x 3



Soalan 10:
W berubah secara langsung dengan X dan secara songsang dengan punca kuasa dua Y. Diberi k ialah pemalar, Cari hubungan antara W, Xdan Y.

Penyelesaian:
W α  X Y W =  kX Y W =  kX Y 1 2

Bab 16 Ubahan

Posted on by
5.4 Ubahan, SPM Praktis (Soalan Pendek)
Soalan 1:
Diberi bahawa yberubah secara langsung dengan kuasa tiga xdan y = 192 apabila x = 4. Hitungkan nilai x apabila y = –24.

Penyelesaian:
y α x3
y = kx3
192 = k (4)3
k = 3

y = 3x3
Apabila y = – 24
–24 = 3x3
x = –2


Soalan 2:
Diberi bahawa yberubah secara langsung dengan kuasa dua xdan y = 9 apabila x = 2. Hitungkan nilai x apabila y = 16.

Penyelesaian:
y α x2
y = kx2

9 = k (2)
k= 9 4 y= 9 4 x 2 Apabila y=16 16= 9 4 x 2 x 2 = 64 9 x= 8 3


Soalan 3:
Diberi bahawa y berubah secara songsang w dan x dan y = 45 apabila w = 2 dan x = 1/6. Hitungkan nilai xapabila y = 15 dan w = ⅓

Penyelesaian:
y α  1 wx y= k wx 45= k ( 2 )( 1 6 ) k=45× 1 3 =15 y= 15 wx

apabila y=15, w= 1 3 15= 15 ( 1 3 )x x 3 =1 x=3


Soalan 4:
Diberi bahawa p α  1 q r  dan p= 3 apabila q = 2 dan r = 16, cari nilai bagi p apabila q = 3 dan r = 4.

Penyelesaian:
p α  1 q r p= k q r 3= k ( 2 ) 16 k=24 p= 24 q r

apabila q=3, r=4 p= 24 3 4 p= 24 6 =4



Soalan 5:
Diberi bahawa Pα 1 Q  dan Q=4M+1.  
Jika P = 5 apabila M = 2, ungkapkan P dalam sebutan Q.

Penyelesaian:
Diberi Pα 1 Q Maka, P= k Q            P= k 4M+1            5= k 4( 2 )+1           5= k 9          k=15          P= 15 Q
 

Bab 5 Garis Lurus

Posted on by

5.5 Garis Selari (Bhg 1)

(A) Kecerunan Garis Selari
1.   Dua garis adalah selari jika kecerunannya adalah sama.
Jika PQ // RS,
maka mPQ = mRS



2.   Jika dua garis lurus mempunyai kecerunan yang sama, maka pasangan garis lurus tersebut adalah selari.
Jika mAB = mCD
maka AB // CD




Contoh 1:
Tentukan sama ada setiap pasangan garis lurus berikut adalah selari atau tidak.
(a)  2y – 4x = 6
y = 2x – 5
(b)  2y = 3x – 4
3y = 2x + 12

Penyelesaian:
(a)
2y – 4x = 6
2y = 6 + 4x
y = 2x + 3,   m1= 2
y = 2x – 5,   m2 = 2
m1 = m2
Maka, dua garis lurus adalah selari.

(b)
2 y = 3 x − 4 y = 3 2 x − 2 , m 1 = 3 2 3 y = 2 x + 12 y = 2 3 x + 4 , m 2 = 2 3 m 1 ≠ m 2 ∴ Maka, dua garis lurus adalah tidak selari .

Bab 5 Garis Lurus

Posted on by
5.3 Pintasan
1.      Pintasan-x ialah koordinat-xbagi titik persilangan suatu garis lurus dengan paksi-x.
2.      Pintasan-y ialah koordinat-ybagi titik persilangan suatu garis lurus dengan paksi-y.


3.      Dalam rajah di atas, pintasan-x bagi garis lurus PQ ialah 6 dan pintasan-y bagi PQ ialah 5.
4.      Jika pintasan-x dan pintasan-y diberikan,
  Kecerunan, m=− Pintasan-y Pintasan-x   

Bab 3 Set

Posted on by

3.1 Set
1.  Set ialah himpunan benda-benda dengan ciri-ciri tertentu.

2.  Benda-benda dalam suatu set dikenali sebagai unsur.

3.  Set biasanya dilabelkan dengan menggunakan huruf adjad besar dan tatatanda digunakan untuk set ialah tanda kurung, {   }.

Misalnya:
A = {1, 3, 5, 7, 9}

4. Dalam tatatanda set, simbol ϵ menunjukkan unsur bagi set.

5. Simbol ∉ menunjukkan bukan unsur bagi set.

Contoh 1:
Diberi bahawa P = {factor-faktor bagi 15} dan Q = {kuasa dua sempurna positif yang kurang daripada 28}. Dengan menggunakan simbol ∈ atau ∉, lengkapkan setiap yang berikut:
(a)   5 ___  P   (b) 20 ___ P    (c) 25 ___ Q    (d)8 ___ Q

Penyelesaian:
P = {1, 3, 5, 15}, Q = {1, 4, 9, 16, 25}

(a) 5 ∈ P ← 5 ialah unsur set P (b) 20 ∉ P ← 20 bukan unsur set P (c) 2 5 ∈ Q ← 2 5 ialah unsur set Q (d) 8 ∉ Q ← 8 bukan unsur set Q


(A)  Mewakili set dengan gambar rajah Venn
6.  Sesuatu set boleh diwakilkan dengan gambar rajah Venn oleh bentuk geometri yang tertutup seperti bulatan, segi empat tepat, segi tiga, dan lain-lain.

7.   Satu titik di sebelah kiri bagi satu objek dalam gambar rajah Venn menunjukkan objek itu ialah satu unsur bagi set.

8.  Apabila gambar rajah Venn mewakili bilangan unsur dalam suatu set, tidak ada titik diletakkan di sebelah kiri nombor itu.

Contoh 2:
(a)  Lukis sebuah gambar rajah Venn untuk mewakili setiap set yang berikut.
(b)  Nyatakan bilangan unsur bagi setiap set yang berikut.
A = {2, 3, 5, 7}
B = {k, m, r, t, y}

Penyelesaian:
(a)


(b)
n(A) = 4
n(B) = 5


(B)   Menentukan sama ada sesuatu set adalah set kosong atau tidak

9.  Set kosong ialah set yang tidak mengandungi sebarang unsur.

10.  Set kosong diwakilkan dengan menggunakan simbol ϕ atau kurungan kosong, {  }.
Misalnya, jika set A ialah suatu set kosong, maka A = {  } atau A= ϕ dan n (A) = 0.
11.  Jika B = {0} atau {ϕ} tidak bermaksud B ialah suatu set kosong. B= {0} bermaksud terdapat unsur ‘0’ dalam set B. Manakala B = {ϕ} bermaksud terdapat unsur ‘ϕ’ dalam set B.
 

Bab 15 Matriks

Posted on by
4.7 Matriks Songsang
1.      Jika A ialah satu matriks segi empat sama, dan B ialah satu lagi matriks segi empat sama, dan A × B = B × A = I, maka matriks A adalah matriks songsang bagi matriks B dan sebaliknya.
2.      Matriks songsang bagi A ditulis sebagai A-1.
3.      Matriks songsang hanya wujud bagi matriks segi empat sama, tetapi bukan semua matriks segi empat sama mempunyai matriks songsang.
4.      Jika AB ≠ I atau BA ≠ I, maka A bukan matriks songsang bagi B dan Bbukan matriks songsang bagi A.

Contoh 1:
Tentukan sama ada matriks A=( 2 9 1 5 ) ialah matriks songsang bagi matriks B=( 5 −9 −1 2 ).  

Penyelesaian:
AB=( 2 9 1 5 )( 5 −9 −1 2 ) =( 2×5+9×−1 2×−9+9×2 1×5+5×−1 1×−9+5×2 ) =( 10+( −9 ) −18+18 5+( −5 ) −9+10 ) =( 1 0 0 1 )=I

AB=( 5 −9 −1 2 )( 2 9 1 5 ) =( 5×2+( −9 )×1 5×9+( −9 )×5 −1×2+2×1 −1×9+2×5 ) =( 10+( −9 ) 18−18 −2+2 −9+10 ) =( 1 0 0 1 )=I

AB = BA = I
Maka A ialah matriks songsang bagi matriks B dan sebaliknya.


5.      Matriks songsang bagi suatu matriks boleh dicari melalui rumus.
Jika A=( a b c d ), maka matriks songsang bagi A, A-1, diberi melalui rumus yang berikut.
     A −1 = 1 ad−bc ( d −b −c a ), dan ad−bc≠0       

6.      ad – bc dikenali sebagai penentu bagi matriks A.
7.      Jika penentu adalah sifar, ad – bc = 0, maka A-1, tidak wujud.

Contoh 2:
Cari matriks songsang bagi A=( 6 1 −9 −1 ) dengan menggunakan rumus.

Penyelesaian:
A=( 6 1 −9 −1 ) a=6, b=1, c=−9, d=−1 A −1 = 1 ad−bc ( d −b −c a ) A −1 = 1 6×−1−( 1×−9 ) ( −1 −1 9 6 ) A −1 = 1 −6+9 ( −1 −1 9 6 ) A −1 = 1 3 ( −1 −1 9 6 )=( − 1 3 − 1 3 3 2 )


Contoh 3:
Matriks songsang bagi ( −7 2 −9 2 ) ialah  r( 2 s 9 t ). Cari nilai bagi r, sdan t.

Penyelesaian:
Let A=( −7 2 −9 2 ) A −1 = 1 −7×2−( −9 )×2 ( 2 −2 9 −7 ) A −1 = 1 4 ( 2 −2 9 −7 ) ∴r( 2 s 9 t )= 1 4 ( 2 −2 9 −7 ) Dengan perbandingan, r= 1 4 , s=−2, t=−7.

Bab 15 Matriks

Posted on by
4.6 Matriks Identiti
1.    Matriks identiti ialah suatu matriks segi empat sama. Ia biasanya diwakili oleh huruf I .
2.    Matriks identity berperingkat 2 × 2 dan 3 × 3 adalah ( 1 0 0 1 ) dan ( 1 0    0 0 0 1    0 0   1 ).  

3.     Jika Iialah matriks identity n × n dan Aialah matriks yang berperingkat sama, maka  IA = A dan AI = A. 


Contoh 1:
Tentukan sama ada setiap matriks yang berikut adalah matriks identity bagi ( −2 4 3 7 ).
(a)( 1 0 0 1 )         (b)( 0 1 1 0 )

Penyelesaian:
(a)( −2 4 3 7 )( 1 0 0 1 ) =( −2×1+4×0 −2×0+4×1 3×1+7×0 3×0+7×1 ) =( −2 4 3 7 ) Maka, ( 1 0 0 1 ) ialah satu matriks identiti.


(b)( −2 4 3 7 )( 0 1 1 0 ) =( −2×0+4×1 −2×1+4×0 3×0+7×1 3×1+7×0 ) =( 4 −2 7 3 ) ≠( −2 4 3 7 ) Maka, ( 0 1 1 0 ) bukan satu matriks identiti.


Contoh 2:
Cari hasil darab bagi setiap pasangan matriks yang berikut dan tentukan sama ada matriks yang diberi  merupakan matriks identity atau tidak.

(a)( −3 2 5 7 )( 1 0 0 1 ) dan ( 1 0 0 1 )( −3 2 5 7 ) (b)( 0 0 1 1 )( 1 8 5 3 ) dan ( 1 8 5 3 )( 0 0 1 1 )

Penyelesaian:
(a) ( −3 2 5 7 )( 1 0 0 1 ) =( −3×1+2×0 −3×0+2×1 5×1+7×0 5×0+7×1 )=( −3 2 5 7 ) ( 1 0 0 1 )( −3 2 5 7 ) =( 1×−3+0×5 1×2+0×7 0×−3+1×5 0×2+1×7 )=( −3 2 5 7 ) ∴( 1 0 0 1 ) ialah matriks identiti bagi ( −3 2 5 7 ).


(b) ( 0 0 1 1 )( 1 8 5 3 ) =( 0×1+0×5 0×8+0×3 1×1+1×5 1×8+1×3 )=( 0 0 6 11 ) ( 1 8 5 3 )( 0 0 1 1 ) =( 1×0+8×1 1×0+8×1 5×0+3×1 5×0+3×1 )=( 8 8 3 3 ) ∴( 0 0 1 1 ) BUKAN matriks identiti bagi ( 1 8 5 3 ).