Bab 14 Penjelmaan

Posted on May 5, 2016 by user

3.1d Menghuraikan Gabungan Dua Penjelmaan

Contoh 1:

Dalam rajah di atas, segi tiga KLM, ialah imej bagi segi tiga ABC di bawah gabungan penjelmaan VW. Huraikan selengkapnya penjelmaan W dan penjelmaan V.

Penyelesaian:

Segi tiga ABC → W→ Segi tiga KB’C’ → V → Segi tiga KLM

W = Translasi (\begin{array}{l} 0 \\ 4 \end{array})

V = Pembesaran pada pusat K (1, 1) dengan faktor skala 3.

Contoh 2:

Dalam rajah di atas, segi tiga CKL, ialah imej bagi segi tiga ABC di bawah gabungan penjelmaan UY. Huraikan selengkapnya penjelmaan Y dan penjelmaan U.

Penyelesaian:

Segi tiga ABC → Y→ Segi tiga AB’C → U→ Segi tiga CKL

Y = Pantulan pada garis lurus y = 6

U = Pembesaran pada pusat C (12, 6) dengan faktor skala 2.

Contoh 3:

Dalam rajah di atas, segi tiga PQR, ialah imej bagi segi tiga ABC di bawah gabungan penjelmaan TW.
Huraikan selengkapnya penjelmaan W dan penjelmaan T.

Penyelesaian:

Segi tiga ABC → W→ Segi tiga PBC’ → T→ Segi tiga PQR

W = Putaran ikut arah jam melalui 90^o pada pusat B (5, 5).

T = Pembesaran pada pusat P (1, 5) dengan faktor skala 2.

Bab 14 Penjelmaan

Posted on May 5, 2016 by user

3.1c Menyatakan Koordinat-koordinat Imej bagi suatu Titik di bawah Gabungan Dua

1. Koordinat-koordinat bagi imej satu titik, K, di bawah suatu gabungan penjelmaan AB, boleh ditentukan dengan langkah-langkah berikut:

Step 1: Menentukan koordinat-koordinat K’, imej bagi K, di bawah penjelmaan pertama, B.

Step 2: Menentukan koordinat-koordinat K”, imej bagi K’, di bawah penjelmaan kedua, A. K” ialah imej bagi K, di bawah gabungan penjelmaan AB.

Contoh:

T, P, R dan E adalah empat penjelmaan yang ditakrifkan seperti berikut:

P = pantulan pada paksi-y.

R = Putaran 90^o ikut arah jam pada asalan.

E = Satu pembesaran pada asalan dengan faktor skala 3.

Cari koordinat-koordinat bagi imej titik A (3, –2) di bawah setiap gabungan penjelmaan berikut.

(a) TT
(b) PT
(c) ET
(d) ER
(e) EP

Penyelesaian:

(a)

A(3, –2) → T → A’(–1, 1) → T → A”(–5, 4).

(b)

A(3, –2) → T → A’(–1, 1) → P → A”(1, 1).

(c)

A(3, –2) → T → A’(–1, 1) → E → A”( –3, 3).

(d)

A(3, –2) → R → A’(–2, 3) → E → A”( –6, –9).

(e)

A(3, –2) → P → A’(–3, –2) → E → A”( –9, –6).

Bab 14 Penjelmaan

Posted on May 5, 2016 by user

3.1 Gabungan Dua Penjelmaan

3.1a Menentukan Imej suatu Objek bagi Gabungan Dua Penjelmaan Isometri

1. Translasi, pantulan dan putaranadalah penjelmaan isometri.

2. Dalam suatu penjelmaan isometri, bentukdan saiz bagi imej adalah sama dengan objek.

3. Bagi dua penjelmaan, A dan B,

(a) Gabungan penjelmaan AB bermaksud penjelmaan B diikuti dengan penjelmaan A.

(b) Gabungan penjelmaan BA bermaksud penjelmaan A diikuti dengan penjelmaan B.

(c) Gabungan penjelmaan A² = AA bermaksud penjelmaan A dijalankan dua kali berturut-turut.

Bab 14 Penjelmaan

Posted on May 5, 2016 by user

3.1b Menentukan Imej suatu Objek bagi Gabungan Penjelmaan yang Melibatkan (a) Dua Pembesaran, (b) Satu Pembesaran dengan Satu daripada Penjelmaan Isometri

Pembesaran ialah suatu penjelmaan di mana semua titik objek bergerak dari satu titik tetap, mengikut suatu nisbah tertentu.

1. Titik tetap tersebut adalah pusat pembesaran manakala nisbah tertentu dikenali sebagai faktor skala.

\begin{array}{l} Faktor skala, k \\ = \frac{jarak titik pada imej dari pusat pembesaran}{\begin{array}{l} jarak titik yang sepadan pada \\ objek dari pusat pembesaran \end{array}} \end{array}

2. Bagi pembesaran, objek dan imej adalah serupa.

3. Luas imej = (Faktor skala)²× Luas objek

= k² × Luas objek

Contoh:

E, P dan T ialah tiga penjelmaan yang ditakrifkan seperti berikut:

E = Pembesaran pada pusat V (0, –1) dengan factor skala 2.

P = Pantulan pada garis lurus y = –1 .

T = T r a n s l a s i (\begin{array}{l} 3 \\ - 3 \end{array})

Berdasarkan rajah di atas, tentukan imej bagi trapezium berlorek di bawah gabungan penjelmaan

(a) E²
(b) ET
(c) EP

Penyelesaian:

(a)

Trapezium berlorek → (E) trapezium III → (E) trapezium D.

Maka, imej bagi trapezium berlorek di bawah gabungan penjelmaan E² = EE ialah trapezium D.

(b)

Trapezium berlorek → (T) trapezium II → (E) trapezium A.

Maka, imej bagi trapezium berlorek di bawah gabungan penjelmaan ET ialah trapezium A.

(c)

Trapezium berlorek → (P) trapezium I → (E) trapezium B.

Maka, imej bagi trapezium berlorek di bawah gabungan penjelmaan EP ialah trapezium B.

Bab 14 Penjelmaan

Posted on May 4, 2016 by user

3.2 Menyelesaikan Masalah yang Melibatkan Penjelmaan

Contoh:

Rajah di bawah menunjukkan segi tiga ABC, SQT dan PQR.

(a) Penjelmaan T ialah translasi

(\begin{array}{l} 5 \\ - 2 \end{array})

Penjelmaan P ialah pantulan pada garis lurus y = 7.

Nyatakan koordinat imej bagi titik A di bawah setiap penjelmaan berikut:
(i) Penjelmaan T,
(ii) Gabungan penjelmaan PT.

(b) (i) PQR ialah imej bagi segi tiga ABC di bawah gabungan penjelmaan MN. Huraikan selengkapnya penjelmaan N dan penjelmaan M.

(ii) Diberi bahawa luas bagi rantau berlorek PSTR ialah 200 m². Hitungkan luas segi tiga SQT.

Penyelesaian:

(a)(i) A(3, 11) → T → A’(8, 9).

(a)(ii) A(3, 11) → T → A’(8, 9) → P → A”(8, 5).

(b)(i)

N = Putaran lawan arah jam melalui 90^o pada pusat B (5, 10).

(b)(ii)

M = Pembesaran pada pusat (5, 12) dengan faktor skala 3.

(c)

Luas imej = (factor skala)² × Luas objek

Luas PQR = 3² × Luas SQT

Luas SQT + Luas PSTR = 9 × Luas SQT

Luas SQT + 200 = 9 × Luas SQT

200 = (9 × Luas SQT) – Luas SQT

200 = 8 × Luas SQT

Luas S Q T = \frac{200}{8}

Luas SQT = 25 m²

3.4.2 SPM Praktis, Penjelmaan (Soalan Panjang)

Posted on May 4, 2016 by user

3.4.2 SPM Praktis, Penjelmaan (Soalan Panjang)

Soalan 2:

(a) Penjelmaan P ialah pantulan pada garis lurus x = m.

Penjelmaan T ialah translasi

(\begin{array}{l} 4 \\ - 2 \end{array})

Penjelmaan R ialah putaran 90^o ikut arah jam pada pusat (0, 4).
(i) Titik (6, 4) adalah imej bagi titik ( –2, 4) di bawah penjelmaan P.
(ii) Cari koordinat imej bagi titik (2, 8) di bawah gabungan penjelmaan berikut:

(a) T²,

(b) TR.

(b) Rajah di bawah menunjukkan trapezium CDFE dan trapezium HEFG dilukis pada suatu satah Cartesian.

(i) HEFG ialah imej bagi CDEF di bawah gabungan penjelmaan WU.

Huraikan selengkapnya penjelmaan:
(a) U
(b) W

(ii) Diberi bahawa CDEF mewakili suatu kawasan yang mempunyai luas 60 m².
Hitungkan luas, dalam m², kawasan yang diwakili oleh rantau berlorek.

Penyelesaian:

(a)(i)

\begin{array}{l} (6, 4) \to P \to (- 2, 4) \\ m = \frac{6 + (- 2)}{2} = 2 \end{array}

(a)(ii)

(a) (2, 8) → T → (6, 6) → T → (10, 4)

(b) (2, 8) → R → (4, 2) → T → (8, 0)

(b)(i)(a)

U: Putaran lawan arah jam melalui 90^o pada pusat A (3, 3).

(b)(i)(b)

Faktor skala = \frac{H E}{C D} = \frac{4}{2} = 2

W: Satu pembesaran pada pusat B (3, 5) dengan faktor skala 2.

(b)(ii)

Luas HEFG = (factor skala)² × Luas objek

= 2² × luas CDEF

= 4 × 60
= 240 m²

Oleh itu,

Luas rantau berlorek

= Luas HEFG – luas CDEF

= 240 – 60

= 180 m²

3.4.1 SPM Praktis, Penjelmaan (Soalan Panjang)

Posted on May 4, 2016 by user

SPM Praktis, Penjelmaan (Soalan Panjang)

Soalan 1:

(a) Penjelmaan T ialah translasi

(\begin{array}{l} - 4 \\ 2 \end{array})

dan penjelmaan P ialah putaran 90^o lawan arah jam pada pusat (1, 0).

Nyatakan koordinat imej bagi titik (5, 1) di bawah setiap penjelmaan berikut:

(i) Translasi T,

(ii) Putaran P,

(iii) Gabungan penjelmaan T².

(b) Rajah di bawah menunjukkan tiga sisi empat, ABCD, EFGH dan JKLM, dilukis pada suatu satah Cartesian.

(i) JKLM ialah imej bagi ABCD di bawah gabungan penjelmaan VW.

Huraikan selengkapnya penjelmaan:

(a) W (b) V

(ii) Diberi bahawa sisi empat ABCD mewakili suatu kawasan yang mempunyai luas 18 m².

Hitungkan luas, dalam m², kawasan yang diwakili oleh rantau berlorek.

Penyelesaian:

(a)

(b)

(i)(a)

W: Satu pantulan pada garis lurus x = –2

(i)(b)

V: Satu pembesaran pada pusat (0, 4) dengan faktor skala 3.

(b)(ii)

Luas EFGH = luas ABCD = 18 m²

Luas JKLM = (factor skala)² × Luas objek

= 3² × luas EFGH

= 3² × 18

= 162 m²

Oleh itu,

Luas rantau berlorek

= Luas JKLM – luas EFGH

= 162 – 18

= 144 m²

Bab 1 Bentuk Piawai

Posted on May 4, 2016 by user

1.1 Angka Bererti

Angka Bererti (Bahagian 1)

1. Angka bererti merujuk kepada digit-digit yang relevan dalam sesuatu integer atau perpuluhan yang dihampirkan kepada sesuatu nilai mengikut tahap kejituan yang tertentu.

2. Semasa membundarkan suatu nombor positif kepada bilangan angka bererti, peranan sifar ditunjukkan seperti berikut.

(a) Semua digit bukan sifar dalam suatu nombor adalah angka bererti.

Contoh:

(i) 568 (3 angka bererti)

(ii) 36.97 (4 angka bererti)

(b) Sifar yang terletak di antara digit-digit bukan sifar adalah angka bererti.

Contoh:

(i) 7001 (4 angka bererti)

(ii) 3.04 (4 angka bererti)

(iii) 22.054 (4 angka bererti)

(c) Sifar yang terletak di sebelah kanan digit bukan sifar dalam suatu berpuluhan adalah angka bererti.

Contoh:

(i) 0.70 (2 angka bererti)

(ii) 4.500 (4 angka bererti)

(iii) 3.00 (3 angka bererti)

(d) Sifar yang terletak di sebelah kiri digit bukan sifar dalam suatu berpuluhan kurang daripada 1 adalah bukan angka bererti.

Contoh:

(i) 0.05 (1 angka bererti)

(ii) 0.0040 (2 angka bererti)

(iii) 0.07040 (4 angka bererti)

(e) Sifar di hujung suatu nombor bulatdianggap sebagai bukan angka berertikecuali dinyatakan.

Contoh:

(i) 40 (1 angka bererti)

(ii) 3670 (3 angka bererti)

(iii) 704200 (4 angka bererti)

Contoh 1:

Bundarkan setiap nombor yang berikut betul kepada tiga angka bererti.

(a) 246= 246 (3 angka bererti)

(b) 2463 = 2460 (3 angka bererti)

(d) 0.00745= 0.00745 (3 angka bererti)

(e) 0.007453 = 0.00745 (3 angka bererti)

(f) 0.007455 = 0.00746 (3 angka bererti)

(g) 0.007403 = 0.00740 (3 angka bererti)

Contoh 2:

Bundarkan setiap nombor yang berikut betul kepada bilangan angka bererti yang ditunjukkan dalam kurungan, [ ].

(a) 3548 (2 angka bererti)

(b) 0.5089 (3 angka bererti)

(d) 0.40055 (3 angka bererti)

(e) 0.681 (2 angka bererti)

(f) 38.97 (3 angka bererti)

Penyelesaian:

(a) 3500 (2 angka bererti)

(b) 0.509 (3 angka bererti)

(d) 0.401 (3 angka bererti)

(e) 0.68 (2 angka bererti)

(f) 39.0 (3 angka bererti)

Bab 8 Bulatan III

Posted on May 4, 2016 by user

8.3 Tangen Sepunya

Tangen sepunya kepada dua bulatan ialah suatu garis lurus yang menyentuh kedua-dua bulatan itu masing-masing pada satu titik sahaja.

1. Bersilang di dua titik
(a) Bulatan sama saiz

Bilangan Tangen Sepunya	Sifat-sifat Tangen Sepunya
Dua tangen sepunya: AB dan CD	AC = BD AB = CD AB selari dengan OR selari dengan CD

(b) Bulatan saiz berbeza

Bilangan Tangen Sepunya	Sifat-sifat Tangen Sepunya
Dua tangen sepunya: ABE dan CDE	AB = CD BE = DE OA // RB OC // RD

2. Bersilang di satu titik
(a) Bulatan sama saiz

Bilangan Tangen Sepunya	Sifat-sifat Tangen Sepunya
Tiga tangen sepunya: AB, CD dan PQ	AC = PQ = BD AB = OR = CD AB // OR // CD AC // PQ // BD PQ berserenjang dengan OR

(b) Bulatan saiz berbeza
(i) Bersentuh di luar bulatan

Bilangan Tangen Sepunya	Sifat-sifat Tangen Sepunya
Tiga tangen sepunya: ABE, CDE dan PQ	AB = CD BE = DE OA // RB OC // RD PQ berserenjang dengan ORE

(ii) Bersentuh di dalam bulatan

Bilangan Tangen Sepunya	Sifat-sifat Tangen Sepunya
Satu tangen sepunya: PQR	ONQ berserenjang dengan PR

3. Tidak bersilang

(a) Bulatan sama saiz

Bilangan Tangen Sepunya	Sifat-sifat Tangen Sepunya
Empat tangen sepunya: AB, CD, PS and RQ	AB = CD = OV PS = RQ AB // OV // CD

(b) Bulatan saiz berbeza

Bilangan Tangen Sepunya	Sifat-sifat Tangen Sepunya
Empat tangen sepunya: AB, CD, PS dan RQ	AB = CD BT = DT PS = RQ OA // VB OC // VD

Bab 8 Bulatan III

Posted on May 4, 2016 by user

8.2.1 Sudut di antara Tangen dengan Perentas (Contoh Soalan)

Contoh 2:

Dalam rajah, PQR ialah tangen kepada bulatan QSTU di titik Q.

Cari nilai bagi y.

Penyelesaian:

∠QUT = 180^o– 98^o ← (sudut bertentangan dalam sisi empat kitaran QSTU)

= 82^o

∠QTU = 75^o ← (sudut dalam tembereng selang-seli)

Oleh itu y = 180^o – (82^o + 75^o) ← (Jumlah sudut dalaman ∆ QTU)

= 23^o

Contoh 3:

Dalam rajah, PQR ialah tangen kepada bulatan QSTU di titik Q.

Cari nilai bagi
(a) x
(b) y

Penyelesaian:

(a)

∠UTS + ∠UQS = 180^o ← (sudut bertentangan dalam sisi empat kitaran QSTU)

105^o + ∠UQS = 180^o

∠UQS = 75^o

x + 75^o + 20^o = 180^o ← (Jumlah sudut garis lurus PQR = 180^o)

x + 95^o = 180^o

x = 85^o

(b)

∠PQU = ∠QSU ← (sudut dalam tembereng selang-seli)

85^o = 35^o + y

y = 50^o

Contoh 4:

Dalam rajah, ABC ialah tangen kepada bulatan BDE dengan pusat O, di titik B.

Cari nilai bagi x.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} ∠ B E D = ∠ C B D = 54^{\circ} \\ ∠ B D E \\ = \frac{180^{\circ} - 54^{\circ}}{2} = 63^{\circ} \leftarrow \begin{array}{l} Segi tiga kaki sama \\ ∠ E B D = ∠ E D B \end{array} \end{array}

∠ABE = ∠BDE = 63^o

Dalam ∆ABE,

x^o+ 45^o+ 63^o= 180^o

x^o+ 108^o= 180^o

x = 72