Bab 8 Bulatan III

Posted on May 4, 2016 by user

8.2 Sudut di antara Tangen dengan Perentas

1. Dalam rajah, ABC ialah tangen kepada bulatan di titik B.

2. Perentas PB membahagikan bulatan kepada dua tembereng, iaitu tembereng minor PRB dan tembereng major PQB.

3. Sudut dalam tembereng selang-seli yang dicangkum oleh perentas PB yang melalui titik sentuhan tangen ialah ∠BQP.

4. Manakala, sudut dalam tembereng selang-seli yang dicangkum oleh perentas BQ yang melalui titik sentuhan tangen ialah ∠BPQ.

5. Sudut di antara tangen dengan perentas yang melalui titik sentuhan tangen adalah sama dengan sudut dalam tembereng selang-seli yang dicangkum oleh perentas itu.

6. Hubungan antara sudut-sudut adalah berikut:

∠ ABP = ∠ BQP

∠ CBQ = ∠ BPQ

Contoh 1:

Dalam rajah di atas, ABC ialah tangen kepada bulatan BDE di titik B.

Panjang lengkok BD adalah sama dengan panjang lengkok DE.

Cari nilai bagi p.

Penyelesaian:

∠BED = 82^o ← (sudut dalam tembereng selang-seli)

∠DBE = 82^o ← (Lengkok BD = Lengkok DE, BDE ialah segi tiga kaki sama)

Oleh itu p= 180^o – 82^o – 82^o

= 16^o

Bab 8 Bulatan III

Posted on May 3, 2016 by user

8.1 Tangen kepada Bulatan

1. Tangen kepada bulatan ialah garis lurus yang menyentuh bulatan itu pada satu titik sahaja. Titik tersebut dipanggil titik sentuhan.

2. Jejari yang melalui titik sentuhan tangen adalah berserenjang dengan tangen itu.

Jika ABC ialah tangen kepada bulatan di B, maka ∠ABO = ∠CBO = 90^o.

8.1.1 Sifat-sifat Berkaitan dengan Dua Tangen kepada Suatu Titik di Luar Bulatan

Dalam rajah di atas, BA dan BC ialah dua tangen dari satu titik luar B. Sifat-sifat bagi tangennya adalah berikut.

\begin{array}{l} (a) B A = B C \\ (b) ∠ A B O = ∠ C B O = x^{o} \\ (c) ∠ A O B = ∠ C O B = y^{o} \\ (d) ∠ O A B = ∠ O C B = 90^{o} \\ (e) ∠ A O C + ∠ A B C = 180^{o} \\ (f) Δ A O B dan Δ C O B adalah kongruen \end{array}

Contoh 1:

Rajah di atas menunjukkan sebuah bulatan dengan pusat O. ABC dan CDE ialah dua tangen kepada bulatan di titik B dan D masing-masing. Cari panjang OC

Penyelesaian:

OC²= OB² + BC² ← (Teori Pythagoras)

= 6²+ 8²

= 100

OC = √100 = 10 cm

Contoh 2:

Dalam rajah di atas, AB dan BC ialah dua tangen kepada bulatan dengan pusat O. Hitung nilai bagi
(a) x (b) y

Penyelesaian:

(a) AB = BC

7 + x = 12

x = 5

(b)

∠OBA = ∠OCB = 21^o

∠OCB = 90^o← (OC berserenjang dengan CB)

y^o= 180^o– 21^o– 90^o

y = 69

Contoh 3:

Dalam rajah di atas, ABC ialah tangen kepada bulatan dengan pusat O di titikt B. CDE ialah garis lurus. Cari nilai bagi x.

Penyelesaian:

∠CBO = 90^o← (OB berserenjang dengan BC)

Dalam ∆ BCE,

x^o= 180^o– 30^o– 50^o – 90^o

x = 10^o

Bab 13 Garf Fungsi II

Posted on May 3, 2016 by user

2.1 Graf Fungsi (Bahagian 1)

(A) Melukis graf fungsi

1. Langkah-langkah berikut diambil untuk melukis sebuah graf fungsi yang diberikan.

Langkah 1: Membina satu jadual nilai bagi fungsi yang diberikan.

Langkah 2: Memilih skala yang sesuai bagi paksi-x dan paksi-y, jika ia tidak diberikan.

Langkah 3: Plotkan titik-titik dan melengkapkan graf dengan menyertai titik-titik itu.

Langkah 4: Melabelkan graf.

Bab 13 Garf Fungsi II

Posted on May 3, 2016 by user

2.3 Rantau yang Mewakili Ketaksamaan dalam Dua Pemboleh Ubah

2.3.1 Menentukan kedudukan suatu titik relative kepada graf y= ax + b

1.Apabila y = ax + b, titik terletak pada garis.

2.Apabila y < ax + b, titik terletak di sebelah bawah garis.

3.Apabila y > ax + b, titik terletak di sebelah atas garis.

2.3.2 Mengenal pasti rantau yang memuaskan ketaksamaan linear serentak.

1. Garis putus-putus ‘----’ dilukis apabila semua titik pada garis adalah tidak termasuk dalam rantau yang mewakili ketaksamaan itu, contohnya y > ax + b atau y < a atau x > a.

2. Garis penuh ‘ ___’ dilukis apabila semua titik pada garis adalah termasukdalam rantau yang mewakili ketaksamaan itu, contohnya y ≥ ax + b atau y ≤ a atau x ≥ a.

3. Gambar rajah di bawah menunjukkan rantau-rantau yang mewakili ketaksamaan masing-masing.

Bab 13 Garf Fungsi II

Posted on May 2, 2016 by user

2.3.3 Rantau yang Mewakili Ketaksamaan dalam Dua Pemboleh Ubah (Contoh Soalan)

Soalan 1:

Pada graf di ruang jawapan, lorekkan rantau yang memuaskan ketiga-tiga ketaksamaan y ≥ –x + 10, y > x dan y < 9.

Jawapan:

Penyelesaian:

1. Rantau yang mewakili ketaksamaan y ≥ –x + 10 adalah rantau yang terletak pada serta di sebelahatas garis y = –x + 10.

2. Rantau yang mewakili ketaksamaan y > x adalah rantau yang terletak di sebelah atas garis y = x. Oleh kerana symbol ketaksamaan “>” digunakan, maka semua titik pada garis y = x adalah dikecualikan dalam rantau. Akibatnya, y = x dilukis dengan satu garis putus-putus.

3. Rantau yang mewakili ketaksamaan y < 9 adalah rantau yang terletak di sebelah bawahgaris y = 9 yang dilukis dengan garis putus-putus.

Soalan 2:

Pada graf di ruang jawapan, lorekkan rantau yang memuaskan ketiga-tiga ketaksamaan y ≥ –2x + 10, y ≤ 10 dan x < 5.

Jawapan:

Penyelesaian:

1. Rantau yang mewakili ketaksamaan y ≥ ax + cadalah rantau yang terletak pada serta di sebelah atas garis y = ax + c.

2. Dalam soalan ini, pintasan-y, c = 10, pintasan-x ialah 5.

3. Rantau yang mewakili ketaksamaan y ≥ –2x + 10 adalah rantau yang terletak pada serta di sebelah atasgaris y = –2x + 10.

4. Rantau yang mewakili ketaksamaan y ≤ 10 adalah rantau yang terletak pada serta di sebelah bawah garis y = 10.

5. Rantau yang mewakili ketaksamaan x < 5 terletak pada sebelah kiri garis x = 5 yang dilukis dengan garis putus-putus.

Bab 13 Garf Fungsi II

Posted on May 2, 2016 by user

Soalan 3:

(a) Jadual di bawah menunjukkan nilai-nilai x dan y bagi persamaan y = –x³+ 3x + 1.

Hitung nilai r dan nilai s.

(b) Untuk ceraian soalan ini, gunakan kertas graf. Anda boleh menggunakan pembaris fleksibel.

Dengan menggunakan skala 2cm kepada 1 unit pada paksi-x dan 2 cm kepada 5 unit pada paksi-y, lukis graf y = –x³ + 3x + 1 for –3 ≤ x ≤ 4 dan –51 ≤ y ≤ 19.

(c) Daripada graf anda, cari
(i) nilai y apabila x = –2.8,
(ii) nilai x apabila y = –30.

(d) Lukis satu garis lurus yang sesuai pada graf anda untuk mencari nilai-nilai x yang memuaskan persamaan –x³ + 13x – 9 = 0 bagi –3 ≤ x ≤ 4 dan –51 ≤ y ≤ 19.

Penyelesaian:

(a)

y = –x³ + 3x + 1

apabila x = –1,

r = – (–1)³ + 3(–1) + 1

= 1 – 3 + 1 = –1

apabila x = 3,

s = – (3)³ + 3(3) + 1 = –17

(b)

(c)

(i) Dari graf, apabila x = –2.8, y = 15

(ii) Dari graf, apabila y = –30, x = 3.5

(d)

y = –x³ + 3x + 1 ----- (1)

–x³+ 13x – 9 = 0 ----- (2)

y = –x³ + 3x + 1 ----- (1)

0 = –x³+ 13x – 9 ------ (2) ← (Menyusun semula (2))

(1) – (2) : y = –10x + 10

Garis lurus yang sesuai ialah y = –10x + 10.

Menentukan koordinat-x bagi titik-titik persilangan antara lengkungan y = –x³+ 3x + 1 dan garis lurus y = –10x + 10.

x	0	4
y = –10x + 10	10	–30

Dari graf, x = 0.7, 3.25.

Soalan 4:
(a) Lengkapkan jadual di ruang jawapan bagi persamaan y = x³ – 4x – 10 dengan menulis nilai-nilai y apabila x = –1 dan x = 3.

(b) Untuk ceraian soalan ini, gunakan kertas graf. Anda boleh menggunakan pembaris fleksibel.
Dengan menggunakan skala 2cm kepada 1 unit pada paksi-x dan 2 cm kepada 10 unit pada paksi-y, lukis graf y = x³ – 4x – 10 untuk –3 ≤ x ≤ 4 dan –25 ≤ y ≤ 38.

(c) Dari graf, cari,
(i) nilai y apabila x = 2.2,
(ii) nilai x apabila y = 15.

(d) Lukis satu garis lurus yang sesuai pada graf anda untuk mencari nilai-nilai x yang memuaskan persamaan x³ – 12x – 5 = 0 untuk –3 ≤ x ≤ 4 dan –25 ≤ y ≤ 38.

Jawapan:

Penyelesaian:
(a)
y = x³ – 4x – 10
Apabila x = –1,
y = (–1)³ – 4(–1) – 10
= –7

Apabila x = 3,
y = (3)³ – 4(3) – 10
= 5

(b)

(c)
(i) Dari graf, apabila x = 2.2, y = –8
(ii) Dari graf, apabila y = 15, x = 3.4

(d)
y = x³ – 4x – 10 ----- (1)
0 = x³ – 12x – 5 ----- (2)
(1) – (2) : y = 8x – 5
Garis lurus yang sesuai ialah y = 8x–5.

Menentukan koordinat-x bagi titik-titik persilangan antara lengkungan y = x³ – 4x – 10 dan garis lurus y = 8x –5.

x	0	2
y = 8x – 5	–5	–11

Dari graf, x = –0.45, 3.7.

Bab 13 Garf Fungsi II

Posted on May 2, 2016 by user

2.5.2 SPM Practis (Soalan Panjang)

Soalan 1:

(a) Jadual di bawah menunjukkan nilai-nilai x dan y bagi persamaan

y = \frac{24}{x} .

Kira nilai k dan n.

(b) Untuk ceraian soalan ini, gunakan kertas graf. Anda boleh menggunakan pembaris fleksibel.

Dengan menggunakan skala 2cm kepada 1 unit pada paksi-x dan 2 cm kepada 5 unit pada paksi-y, lukis graf

y = \frac{24}{x}

bagi –4 ≤ x ≤ 4.

(c) Daripada graf anda, cari
(i) nilai y apabila x = 3.5,
(ii) nilai x apabila y = –17.

(d) Lukis satu garis lurus yang sesuai pada graf anda untuk mencari nilai-nilai x yang memuaskan persamaan 2x² + 5x = 24 bagi –4 ≤ x ≤ 4.

Penyelesaian:

(a)

\begin{array}{l} y = \frac{24}{x} \\ apabila x = - 3, \\ k = \frac{24}{- 3} = - 8 \\ apabila x = 1.5, \\ n = \frac{24}{1.5} = 16 \end{array}

(b)

(c)

(i) Dari graf, apabila x = 3.5, y = 7

(ii) Dari graf, apabila y = –17, x = –1.4

(d)

\begin{array}{l} y = \frac{24}{x} -------------- (1) \\ 2 x^{2} + 5 x = 24 ------ (2) \\ (2) \div x, 2 x + 5 = \frac{24}{x} -------- (3) \\ (1) - (3), y - (2 x + 5) = 0 \\ y = 2 x + 5 \end{array}

Garis lurus yang sesuai ialah y = 2x + 5.

Menentukan koordinat-x bagi titik-titik persilangan antara lengkungan

y = \frac{24}{x}

dan garis lurus y = 2x + 5.

x	0	3
y = 2x + 5	5	11

Dari graf, x = 2.5

Soalan 6:
(a) Lengkapkan jadual di ruang jawapan bagi persamaan

y = \frac{36}{x}

dengan menulis nilai-nilai y apabila x = 3 dan x = 8.

(b) Untuk ceraian soalan ini, gunakan kertas graf. Anda boleh menggunakan pembaris fleksibel.
Dengan menggunakan skala 1cm kepada 1 unit pada paksi-x dan 1 cm kepada 1 unit pada paksi-y, lukis graf

y = \frac{36}{x}

untuk 2 ≤ x ≤ 14.

(c) Dari graf, cari,
(i) nilai y apabila x = 2.6,
(ii) nilai x apabila y = 4.

(d) Lukis satu garis lurus yang sesuai pada graf anda untuk mencari nilai-nilai x yang memuaskan persamaan

\frac{36}{x} + x - 14 = 0

untuk 2 ≤ x ≤ 14.

Jawapan:

x	2	2.4	3	4	6	8	10	12	14
y	18	15		9	6		3.6	3	2.6

Penyelesaian:
(a)

\begin{array}{l} y = \frac{36}{x} \\ apabila x = 3 \\ y = \frac{36}{3} = 12 \\ apabila x = 8 \\ y = \frac{36}{8} = 4.5 \end{array}

(b)

(c)
(i) Dari graf, apabila x = 2.6, y = 13.6
(ii) Dari graf, apabila y = 4, x = 9

(d)

\begin{array}{l} y = \frac{36}{x} ........... (1) \\ 0 = \frac{36}{x} + x - 14 ........... (2) \\ (1) - (2) : \\ y = - x + 14 \end{array}

Garis lurus yang sesuai ialah y = –x + 14.

x	2	12
y = –x + 14	12	2

Dari graf, x = 3.4, 10.6.

Bab 13 Garf Fungsi II

Posted on May 2, 2016 by user

2.2 Penyelesaian Persamaan dengan Kaedah Graf

Penyelesaian persamaan f (x) = g (x) dapat diselesaikan dengan kaedah graf.

Langkah 1: Lukis y = f (x) dan y = g (x) pada paksi yang sama.

Langkah 2: Penyelesaian persamaan f (x) = g (x) ialah koordinat-x titik persilangan bagi graf y= f (x) dan y = g (x).

Menyelesaikan masalah yang melibatkan penyelesaian persamaan dengan kaedah graf

Contoh 1:

(a) Jadual di bawah menunjukkan nilai-nilai xdan y bagi persamaan y = 2x²– x – 3.

x	–2	–1	–0.5	1	2	3	4	4.5	5
y	7	m	– 2	–2	3	12	n	33	42

Kira nilai mdan n.

(b) Untuk ceraian soalan ini, gunakan kertas graf. Anda boleh menggunakan pembaris fleksibel.

Dengan menggunakan skala 2cm kepada 1 unit pada paksi-x dan 2 cm kepada 5 unit pada paksi-y, lukis graf y = 2x² – x – 3 bagi –2 ≤ x ≤ 5.

(c) Daripada graf anda, cari

(i) nilai y apabila x = 3.9,

(ii) nilai x apabila y = 31.

(d) Lukis satu garis lurus yang sesuai pada graf anda untuk mencari nilai-nilai x yang memuaskan persamaan 2x² – 3x = 10 bagi –2 ≤ x ≤ 5.

Solution:

(a)

y= 2x² – x – 3

apabila x= –1,

m= 2 (–1)² – (–1) – 3 = 0

apabila x= 4,

n= 2 (4)² – (4) – 3 = 25

(c)

(i) Dari graf, apabila x = 3.9, y = 23.5

(ii) Dari graf, apabila y = 31, x = 4.4

(d)

y= 2x² – x – 3 ----- (1)

2x²– 3x = 10 ----- (2)

y= 2x² – x – 3 ----- (1)

0 = 2x²– 3x – 10 ------ (2) ← (Menyusun semula (2))

(1) – (2) : y = 2x + 7

Garis lurus yang sesuai ialah y = 2x + 7.

Menentukan koordinat-x bagi titik-titik persilangan antara lengkungan y = 2x²– x – 3 dan garis lurus y = 2x + 7.

x	0	4
y = 2x + 7	7	15

Dari graf, x = –1.6, 3.1

Bab 13 Garf Fungsi II

Posted on May 2, 2016 by user

Soalan 3:

Antara yang berikut, yang manakah mewakili graf y = 2x³– 16?

Penyelesaian:

y = 2x³ – 16

Pada y-axis, x = 0.

y = 2(0)³ – 16

y = –16

Jawapan ialah C.

Soalan 4:

Antara yang berikut, yang manakah mewakili graf

y = - \frac{3}{x} ?

Penyelesaian:

y = - \frac{3}{x} atau y = - 3 x^{- 1}

Kuasa tertinggi bagi x ialah –1.

Ini adalah sebuah fungsi salingan

y = \frac{a}{x}, dalam kes ini a = - 3.

Jawapan ialah D.

Bab 13 Garf Fungsi II

Posted on May 2, 2016 by user

2.4.1 SPM Practis (Soalan Pendek)

Soalan 1:

Antara yang berikut, yang manakah mewakili graf y = –x²– x + 2?

Penyelesaian:

1. Pekali bagi x²< 0, lengkungnya berbentuk ∩.

2. Gantikan y = 0 dalam fungsi untuk mencari pintasan-x.

y = –x² –x + 2

apabila y = 0

0 = (–x + 1) (x + 2)

x = 1, –2

Jawapan ialah A.

Soalan 2:

Antara yang berikut, yang manakah mewakili graf 3y = 18 + 2x?

Penyelesaian:

1. Kuasa tertinggi bagi x = 1, ini adalah sebuah graf linear, iaitu satu garis lurus.

2. Pekali bagi x > 0, garis lurus adalah /.

3y = 18 + 2x

Pada y-axis, x = 0.

3y = 18

y = 6

pada x-axis, y = 0.

0 = 18 + 2x

2x = –18

x = –9

Jawapan ialah B.