Home › Archive for SPM Matematik › Page 3

SPM Matematik

2.5.7 Graf Fungsi, SPM Practis (Kertas 2)

Posted on by

Soalan 12 (12 markah):
(a) Lengkapkan Jadual 2 di ruang jawapan, bagi persamaan y= 30 x dengan menulis nilai-nilai y apabila x = 2 dan x = 5.

(b) Untuk ceraian soalan ini, gunakan kertas graf. Anda boleh menggunakan pembaris fleksibel.
Menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada paksi-x dan 2 cm kepada 5 unit pada paksi-y, lukis graf y= 30 x  untuk 0≤x≤7.  

(c) Daripada graf di 12(b), cari
(i) nilai y apabila x = 2.6,
(ii) nilai x apabila y = 17.5.

(d) Lukis satu garis lurus yang sesuai pada graf di 12(b) untuk mencari nilai-nilai x yang memuaskan persamaan 30 x =−5x+30 untuk 0≤x≤7.
Nyatakan nilai-nilai x ini.

Jawapan:


Penyelesaian:
(a)



(b)



(c) Dari graf
(i) Apabila x = 2.6; y = 11.5
(ii) Apabila y = 17.5; x = 1.7

(d)
Diberi, 30 x =−5x+30   y=−5x+30 Dari graf; x=1.25 dan 4.75



7.5.5 Kebarangkalian II, SPM Praktis (Kertas 2)

Posted on by

Soalan 9 (6 markah):
Sebuah beg mengandungi lima keping kad berlabel dengan huruf  I, J, K, M dan U.
Sekeping kad dipilih secara rawak daripada beg itu dan hurufnya dicatat. Tanpa dikembalikan, sekeping lagi kad dipilih secara rawak daripada beg itu dan hurufnya juga dicatat.

(a) Lengkapkan ruang sampel di ruang jawapan.

(b) Dengan menyenaraikan semua kesudahan peristiwa yang mungkin, cari kebarangkalian bahawa
(i) kad pertama yang dipilih adalah berlabel dengan huruf vokal.
(ii) kad pertama yang dipilih adalah berlabel dengan satu huruf konsonan dan kad kedua yang dipilih adalah berlabel dengan satu  huruf vokal.

Jawapan:
{(I, J), (I, K), (I, M), (I, U), (J, I), (J, K), (J, M), (J, U), (K, I), (K, J), (   , ), (   , ), ( , ), ( , ), (   , ), (   ,   ), (   , ), (   ,   ), (   , ), (   ,   )}

Penyelesaian:
(a)
S = {(I, J), (I, K), (I, M), (I, U), (J, I), (J, K), (J, M), (J, U), (K, I), (K, J), (K, M), (K, U), (M, I), (M, J), (M, K), (M, U), (U, I), (U, J), (U, K), (U, M)}

(b)(i)
{(I, J), (I, K), (I, M), (I, U), (U, I), (U, J), (U, K), (U, M)}
Kebarangkalian kad pertama yang dipilih adalah berlabel dengan huruf vokal = 8 20 = 2 5

(b)(ii)
{(J, I), (J, U), (K, I), (K, U), (M, I), (M, U)}
Kebarangkalian = 6 20 = 3 10


Soalan 10 (6 markah):
Rajah 10.1 menunjukkan satu cakera dengan empat sektor yang sama besar dan satu penunjuk tetap. Setiap satu sektor masing-masing dilabel dengan pemanas air, ketuhar, televisyen dan seterika. Rajah 10.2 menunjukkan sebuah kotak yang mengandungi tiga keping baucer tunai, RM10, RM20 dan RM50.


Seorang pelanggan bertuah di sebuah pasar raya diberi peluang untuk memutar cakera sekali dan kemudian membuat satu cabutan baucer tunai daripada kotak itu.
(a) Senaraikan ruang sampel bagi gabungan hadiah yang boleh dimenangi.

(b) Dengan menyenaraikan semua kesudahan yang mungkin bagi peristiwa itu, cari kebarangkalian bahawa

(i) pelanggan itu memenangi sebuah televisyen atau baucer tunai bernilai RM50,

(ii) pelanggan itu tidak memenangi pemanas air dan baucer tunai bernilai RM20.

Penyelesaian:
(a)
S = {(Pemanas air, RM10), (Pemanas air, RM20), (Pemanas air, RM50), (Ketuhar, RM10), (Ketuhar, RM20), (Ketuhar, RM50), (Televisyen, RM10), (Televisyen, RM20), (Televisyen, RM50), (Seterika, RM10), (Seterika, RM20), (Seterika, RM50)}

(b)(i)
{(Pemanas air, RM50), (Ketuhar, RM50), (Seterika, RM50), (Televisyen, RM10), (Televisyen, RM20), (Televisyen, RM50)}
Kebarangkalian = 6 12 = 1 2

(b)(ii)
Kebarangkalian =1−P( Pemanas air, RM20 ) =1− 1 12 = 11 12

6.3.5 Kecerunan dan Luas di Bawah Graf, SPM Praktis (Kertas 2)

Posted on by

Soalan 11 (6 markah):
Rajah menunjukkan graf jarak-masa bagi Ursula, Janet dan Maria dalam acara larian 100 m.
Rajah



(a) Siapa yang memenangi perlumbaan itu?

(b) Semasa perlumbaan, Ursula tergelincir dan terjatuh. Selepas itu, dia meneruskan lariannya. Nyatakan tempoh masa, dalam saat, sebelum Ursula meneruskan lariannya.

(c) Semasa perlumbaan, Janet tercedera dan dia berhenti berlari.
Nyatakan jarak Janet, dalam m, dari garisan penamat apabila dia berhenti berlari.

(d) Hitung purata laju, dalam ms-1, bagi Ursula.


Penyelesaian:
(a)
Maria yang memenangi perlumbaan: 100 km dalam 16 saat.

(b)
Tempoh masa sebelum Ursula meneruskan larian daripada tergelincir dan terjatuh
= 18 saat – 9 saat
= 9 saat

(c)
Jarak Janet dari garisan penamat apabila dia berhenti berlari
= 100 m – 70 m
= 30 m

(d)
Purata laju= Jumlah jarak Jumlah masa   = 100 m 20 s   =5  ms −1 Purata laju Ursula=5  ms −1


Soalan 12 (6 markah):
Rajah menunjukkan graf laju-masa bagi pergerakan suatu zarah dalam tempoh t saat.

Rajah

(a) Nyatakan laju seragam, dalam ms-1, zarah itu.

(b) Hitung kadar perubahan laju, dalam ms-2, zarah itu dalam tempoh 4 saat pertama.

(c) Hitung nilai t, jika jarak yang dilalui dalam tempoh 4 saat pertama ialah separuh daripada jarak yang dilalui daripada saat ke-6 hingga saat ke-t.

Penyelesaian:
(a)
Laju seragam zarah = 12 ms-1

(b)
 Kadar perubahan laju zarah = 12 4 =3  ms −2

(c)
Jarak yang dilalui dalam tempoh 4 saat  pertama= 1 2 ( Jarak yang dilalui daripada  saat ke-6 hingga saat ke-t ) 1 2 ×4×12= 1 2 [ 1 2 ( 12+20 )( t−6 ) ] 24= 1 2 [ 16( t−6 ) ] 24=8( t−6 ) 24=8t−48 3=t−6 t=9

6.3.4 Kecerunan dan Luas di Bawah Graf, SPM Praktis (Kertas 2)

Posted on by

Soalan 9:
Rajah menunjukkan graf laju-masa bagi pergerakan satu objek dalam tempoh 34 saat.

(a) Nyatakan tempoh masa, dalam saat, objek itu bergerak dengan laju seragam.
(b) Hitung kadar perubahan laju, dalam ms-2, objek itu dalam tempoh 8 saat pertama.
(c) Hitung nilai bagi u, jika purata laju objek itu dalam tempoh 26 saat terakhir ialah 6 ms-1.

Penyelesaian:
(a) Tempoh masa objek itu bergerak dengan laju seragam = 26s – 20s = 6s

(b) Kadar perubahan laju objek itu dalam tempoh 8 saat pertama = 10−6 0−8 =− 4 8 =− 1 2  ms −2

(c) Laju= Jarak Masa ( 1 2 ×12×( 6+u ) )+( 6×u )+( 1 2 ×8×u ) 26 =6   36+6u+6u+4u=156    16u=120    u=7.5  ms −1


Soalan 10 (5 markah):
Rajah menunjukkan graf jarak-masa bagi satu perjalanan sebuah kereta dari Kuala Lumpur ke Ipoh.


(a) Nyatakan tempoh masa, dalam minit, pemandu itu berhenti rehat di Tapah.
(b) Hitung laju, dalam kmj-1, kereta itu dari Kuala Lumpur ke Tapah.
(c) Hitung purata laju, dalam kmj-1, kereta bagi keseluruhan perjalanan  itu.


Penyelesaian:
(a)
1400 – 1345 = 15 minit
Pemandu berhenti rehat di Tapah selama 15 minit.


(b)
Laju= Jarak Masa Laju= 152 km 1 3 4  j ← 1345−1200 =1 j 45 min Laju=86.86  kmj −1 Laju kereta dari Kuala Lumpur ke Tapah=86.86  kmj −1


(c)
Purata laju= Jumlah jarak Jumlah masa   = 205 km 3 1 3  j ← 1520−1200 =3 j 20 min Purata laju=61.5  kmj −1 Purata laju kereta bagi keseluruhan perjalanan=61.5  kmj −1


4.10.6 Matriks, SPM Praktis (Soalan Panjang)

Posted on by

Soalan 11 (5 markah):
Semasa hari sukan sekolah, murid menggunakan kupon untuk membeli makanan dan minuman.
Ali dan Larry masing-masing telah membelanjakan RM31 dan RM27. Ali membeli 2 kupon makanan dan 5 kupon minuman manakala Larry membeli 3 kupon makanan dan 1 kupon minuman.
Menggunakan kaedah matriks, hitung harga, dalam RM, bagi satu kupon makanan dan bagi satu kupon minuman.

Penyelesaian:
Ali membelanjakan RM31. Dia membeli 2 kupon makanan dan 5 kupon minuman.
Larry membelanjakan RM27. Dia membeli 3 kupon makanan dan 1 kupon minuman.
x = Harga bagi satu kupon makanan
y = Harga bagi satu kupon minuman

( 2    5 3    1 )( x y )=( 31 27 )             ( x y )= 1 2( 1 )−5( 3 ) ( 1    −5 −3     2 )( 31 27 )             ( x y )= 1 2−15 ( 1( 31 )+( −5 )( 27 ) −3( 31 )+2( 27 ) )             ( x y )= 1 −13 ( −104 −39 )             ( x y )=( 8 3 ) x=8 dan y=3 Maka, harga bagi satu kupon makanan ialah RM8 dan harga bagi satu kupon minuman ialah RM3.


Soalan 12 (5 markah):
Jadual menunjukkan maklumat pembelian buku oleh Maslinda.
 Jadual

Maslinda membeli x buah buku Sejarah dan y buah buku Sains. Jumlah buku yang dibeli ialah 5. Jumlah harga untuk buku yang dibeli ialah RM17.

(a) Tulis dua persamaan linear dalam sebutan x dan y untuk mewakili maklumat di atas.

(b) Seterusnya, dengan menggunakan kaedah matriks, hitung nilai x dan nilai y.

Penyelesaian:
(a)
x + y = 5
4x + 3y = 17

(b)
( 1    1 4    3 )( x y )=(  5 17 )             ( x y )= 1 1( 3 )−4( 1 ) (   3    −1 −4       1 )(  5 17 )             ( x y )=−1( 3( 5 )+( −1 )( 17 ) −4( 5 )+( 1 )( 17 ) )             ( x y )=−1( 15−17 −20+17 )             ( x y )=−1( −2 −3 )             ( x y )=( 2 3 ) x=2 dan y=3


2.5.6 SPM Praktis (Soalan Panjang)

Posted on by

Soalan 12 (5 markah):
Rajah menunjukkan dua garis selari, POQ dan RMS dilukis pada suatu satah Cartes.

Rajah

Cari
(a) persamaan garis lurus RMS,
(b) pintasan-x bagi garis lurus MN.


Penyelesaian:
(a)
m RMS = m POQ    = 1−0 −2−0    =− 1 2 Pada titik ( 4, 6 ) y 1 =m x 1 +c 6=− 1 2 ( 4 )+c 6=−2+c c=8 Maka, persamaan garis lurus RMS y=− 1 2 x+8


(b)
Apabila y=0, − 1 2 x+8=0 1 2 x=8 x=16 Pintasan-x bagi garis lurus MN ialah 16.


2.5.5 SPM Praktis (Soalan Panjang)

Posted on by

Soalan 10 (6 markah):
Rajah menunjukkan dua garis lurus, JK dan LM, dilukis pada suatu satah Cartes.
Garis lurus KM adalah selari dengan paksi-x.

Rajah

Cari
(a) persamaan garis lurus KM,
(b) persamaan garis lurus LM,
(c) nilai bagi k.



Penyelesaian:
(a)
Persamaan garis lurus KM ialah y = 3

(b)
Diberi persamaan JK: 2y=4x+3 y=2x+ 3 2 Oleh itu,  m JK =2 m LM = m JK =2 y=mx+c Pada M( 5, 3 ) 3=2( 5 )+c 3=10+c c=−7 ∴ Persamaan garis lurus LM ialah y=2x−7.


(c)
Gantikan ( k,0 ) ke dalam y=2x−7 0=2( k )−7 7=2k k= 7 2



Soalan 11 (5 markah):
Rajah 4 menunjukkan segi empat selari yang dilukis pada suatu satah Cartes yang mewakili kedudukan rumah Rahman, sekolah, pawagam dan kedai.


Diberi bahawa skala ialah 1 unit : 1 km.
(a) Hitung jarak, dalam km, di antara rumah Rahman dan sekolah.
(b) Cari persamaan garis lurus yang menghubungkan sekolah ke pawagam.

Penyelesaian:
(a)
2y = 3x + 15
Apabila y = 0
3x + 15 = 0
3x = –15
x = –5

Rumah Rahman = (–5, 0)
Sekolah = (3, 0)

Jarak di antara rumah Rahman dan sekolah
= 3 – (– 5)
= 8 unit
= 8 km

(b)
2y=3x+15 y= 3 2 x+ 15 2 Maka m= 3 2 Pada titik ( 3, 0 ),  y 1 =m x 1 +c 0= 3 2 ( 3 )+c 9 2 +c=0 c=− 9 2 Maka persamaan garis lurus y= 3 2 x− 9 2 2y=3x−9


4.7.6 Penaakulan Matematik, SPM Praktis (Kertas 2)

Posted on by

Soalan 12 (5 markah):
(a) Nyatakan sama ada pernyataan majmuk berikut adalah benar atau palsu.
2 > 3 dan (–2)3 = –8

(b) Tulis dua implikasi berdasarkan pernyataan berikut:
a > b jika dan hanya jika a – b > 0

(c) Jadual 1 menunjukkan bilangan sisi dan bilangan paksi simetri bagi beberapa poligon sekata.

Jadual 1

Buat satu kesimpulan secara aruhan dengan melengkapkan pernyataan berikut:
Bilangan paksi simetri bagi sebuah poligon sekata dengan n sisi ialah __________.

Penyelesaian:
(a)
Palsu. Nilai bagi 2 adalah kurang daripada 3, 2 < 3.

(b)
Implikasi 1: Jika a > b, maka a – b > 0
Implikasi 2: Jika a – b > 0, maka a – b > 0

(c)
Bilangan paksi simetri bagi sebuah poligon sekata dengan n sisi ialah
Bilangan sisi poligon sekata = bilangan  paksi simetri poligon sekata


Soalan 13 (5 markah):
(a) Nyatakan sama ada pernyataan-pernyataan berikut ialah pernyataan benar atau pernyataan palsu.
( i ) {  }⊂{ S,E,T } ( ii ) { 1 }⊂{ 1,2,3 }={ 1,2,3 }

(b) Rajah 7 menunjukkan tiga corak pertama daripada suatu jujukan corak-corak.

Rajah 7

Diberi bahawa diameter setiap bulatan ialah 20 cm.
(i) Buat satu kesimpulan umum secara aruhan bagi luas kawasan tidak berlorek.

(ii) Seterusnya, hitung luas kawasan tidak berlorek untuk corak ke-5.

Penyelesaian:
(a)(i) Benar

(a)(ii) Palsu

(b)(i)
Luas kawasan tidak berlorek (pertama)
= (20 × 20) – π(10)2
= 400 – 100π
= 100 (4 – π)

Luas kawasan tidak berlorek (kedua)
= 4 × 100 (4 – π)
= 400 (4 – π)

Luas kawasan tidak berlorek (ketiga)
= 9 × 100 (4 – π)
= 900 (4 – π)
100 (4 – π), 400 (4 – π), 900 (4 – π), …
102 (4 – π), 202 (4 – π), 302 (4 – π), …

Kesimpulan umum = n2 (4 – π)
n = 10, 20, 30, …


(b)(ii)
Luas kawasan tidak berlorek untuk corak ke-5
= 502 (4 – π)
= 2500 (4 – π)


4.7.5 Penaakulan Matematik, SPM Praktis (Kertas 2)

Posted on by


Soalan 10:
(a)(i) Nyatakan sama ada pernyataan berikut adalah benar atau palsu.
   Semua garis lurus mempunyai kecerunan positif.
(ii) Tuliskan akas bagi implikasi berikut.
If x = 5, maka x2 = 25.
(b) Tulis Premis 2 untuk melengkapkan hujah berikut::
Premis 1: Jika Q ialah satu nombor ganjil, maka 2 × Q ialah satu nombor genap.
Premis 2: _____________________
Kesimpulan: 2 × 3 ialah satu nombor genap.

(c) Buat satu kesimpulan umum secara aruhan bagi urutan nombor 4, 18, 48, 100, … yang mengikut pola berikut:
4 = 1 (2)2
18 = 2 (3)2
48 = 3 (4)2
100 = 4 (5)2
   .
   .
   .


Penyelesaian:
(a)(i) Palsu
(a)(ii) Jika x2 = 25, maka x = 5

(b) Premis 2: 3 ialah satu nombor ganjil

(c) n (n + 1)2, di mana n = 1, 2, 3, …



Soalan 11 (5 markah):
(a) Nyatakan sama ada pernyataan berikut adalah benar atau palsu.


(b) Tulis akas bagi implikasi berikut:


(c) Tulis Premis 2 untuk  melengkapkan hujah berikut:
Premis 1   :  Jika x ialah nombor ganjil, maka x tidak boleh dibahagi tepat dengan 2.
Premis 2   : ………………………………………………………
Kesimpulan : 24 bukan nombor ganjil.

(d) Berdasarkan maklumat di bawah, buat satu kesimpulan secara deduksi bagi luas permukaan sfera dengan jejari 9 cm.



Penyelesaian:
(a)
Benar

(b)
Jika suatu sudut ialah sudut tirus, maka sudut itu berada di antara 0o dan 90o.

(c)
24 boleh dibahagi tepat dengan 2.

(d)
4π(9)2 = 324π
Luas permukaan bagi sfera ialah 324π.


2.5.5 SPM Praktis (Soalan Panjang)

Posted on by

Soalan 15 (4 markah):
Penyelesaian menggunakan kaedah matriks tidak dibenarkan untuk soalan ini.
Rajah menunjukkan kolam ikan berbentuk segi empat tepat dengan perimeter 62 m.

Diberi bahawa panjang kolam adalah 3 kali lebar kolam itu.
Hitung panjang, dalam m, kolam ikan itu.

Penyelesaian:
Diberi y + 4 = 3x
y = 3x – 4 …………. (1)

Perimeter = 62
2x + 2(y + 4) = 62
2x + 2y + 8 = 62
2x + 2y = 54
(÷2) x + y = 27 …………. (2)

Gantikan (1) ke dalam (2):
x + 3x – 4 = 27
4x – 4 = 27
4x = 27 + 4
4x = 31
x = 7.75

Dari (1): y = 3x – 4
Apabila x = 7.75
y = 3(7.75) – 4
y = 19.25

Panjang kolam ikan
= y + 4
= 19.25 + 4
= 23.25 m



Soalan 16 (4 markah):
Selesaikan persamaan kuadratik berikut:
 − 2 3x−5 = x 3x−1

Penyelesaian:
− 2 3x−5 = x 3x−1 −2( 3x−1 )=x( 3x−5 ) −6x+2=3 x 2 −5x 3 x 2 −5x+6x−2=0 3 x 2 +x−2=0 ( 3x−2 )( x+1 )=0 3x−2=0  atau  x+1=0 x= 2 3  atau  x=−1