Home › Archive for SPM Matematik › Page 5

SPM Matematik

4.10.5 Matriks, SPM Praktis (Soalan Panjang)

Posted on by

Soalan 9:
 (a) Diberi  1 s ( −4 2 −5 3 )( t −2 5 −4 )=( 1 0 0 1 ), cari nilai s dan nilai t.

(b) Menggunakan kaedah matriks, hitung nilai x dan nilai y yang memuaskan persamaan matriks berikut:
( −4 2 −5 3 )( x y )=( 1 2 )

Penyelesaian:
(a) 1 s ( t −2 5 −4 )= ( −4 2 −5 3 ) −1 = 1 ( −4 )( 3 )−( 2 )( −5 ) ( 3 −2 5 −4 ) = 1 −2 ( 3 −2 5 −4 ) ∴s=−2, t=3

(b) ( −4 2 −5 3 )( x y )=( 1 2 )   ( x y )= 1 −2 ( 3 −2 5 −4 )( 1 2 )   ( x y )= 1 −2 ( ( 3 )( 1 )+( −2 )( 2 ) ( 5 )( 1 )+( −4 )( 2 ) )   ( x y )= 1 −2 ( −1 −3 )   ( x y )=( 1 2 3 2 ) ∴x= 1 2 ,  y= 3 2


Soalan 10 (6 markah):
 Diberi A=( 4    −2 3    −1 ), B=m( −1    n −3    4 ) dan I=( 1    0 0    1 ).
(a) Cari nilai m dan nilai n jika AB = I.
(b) Tulis persamaan linear serentak berikut dalam bentuk persamaan matriks:
4x – 2y = 3
3x – y = 2
Seterusnya, menggunakan kaedah matriks, hitung nilai x dan nilai y.

Penyelesaian:
(a)
Jika AB=I, maka B= A −1 A −1 = 1 4( −1 )−( −2 )( 3 ) ( −1    2 −3    4 ) A −1 = 1 2 ( −1    2 −3    4 ) Secara perbandingan: B= A −1 m( −1    n −3    4 )= 1 2 ( −1    2 −3    4 ) m= 1 2  ; n=2


(b)
4x−2y=3 3x−y=2 ( 4    −2 3    −1 )( x y )=( 3 2 )                ( x y )= 1 2 ( −1    2 −3    4 )( 3 2 )                ( x y )= 1 2 ( ( −1 )( 3 )+( 2 )( 2 ) ( −3 )( 3 )+( 4 )( 2 ) )                ( x y )= 1 2 (   1 −1 )                ( x y )=(    1 2 − 1 2 ) x= 1 2  dan y=− 1 2


4.10.4 Matriks, SPM Praktis (Soalan Panjang)

Posted on by

Soalan 7:
(a) Cari matriks songsang bagi ( 3 2 5 4 ).
(b) Ethan dan Rahman pergi ke pasar raya untuk membeli kiwi dan jambu. Ethan membeli 3 biji kiwi dan 2 biji jambu dengan harga RM9. Rahman membeli 5 biji kiwi dan 4 biji jambu dengan harga RM16.
Dengan menggunakan kaedah matriks, cari harga, dalam RM, bagi sebiji kiwi dan sebiji jambu. 

Penyelesaian:
(a) Matriks songsang bagi ( 3 2 5 4 ) = 1 12−10 ( 4 −2 −5 3 ) = 1 2 ( 4 −2 −5 3 ) =( 2 −1 − 5 2 3 2 )

(b) 3x+2y=9.................( 1 ) 5x+4y=16...............( 2 ) ( 3 2 5 4 )( x y )=( 9 16 )               ( x y )=( 2 −1 − 5 2 3 2 )( 9 16 )               ( x y )=( ( 2 )( 9 )+( −1 )( 16 ) ( − 5 2 )( 9 )+( 3 2 )( 16 ) )               ( x y )=( 18−16 − 45 2 +24 )               ( x y )=( 2 3 2 ) x=2,  y= 3 2 ∴Harga bagi sebiji kiwi=RM2    Harga bagi sebiji jambu=RM1.50


Soalan 8:
Matriks songsang bagi ( 4 −1 2 5 ) ialah t( 5 1 −2 n ).
(a) Cari nilai n dan nilai t.
(b) Tulis persamaan linear serentak berikut dalam persamaan matriks:
4x – y = 7
2x + 5y = –2
Seterusnya, menggunakan kaedah matriks, hitung nilai x dan nilai y.

[adinserter block="3"]
Penyelesaian:
(a) t( 5 1 −2 n )= ( 4 −1 2 5 ) −1 = 1 ( 4 )( 5 )−( −1 )( 2 ) ( 5 1 −2 4 ) = 1 22 ( 5 1 −2 4 ) ∴t= 1 22 , n=4

(b) ( 4 −1 2 5 )( x y )=( 7 −2 )               ( x y )= 1 22 ( 5 1 −2 4 )( 7 −2 )               ( x y )= 1 22 ( ( 5 )( 7 )+1( −2 ) ( −2 )( 7 )+( 4 )( −2 ) )               ( x y )= 1 22 ( 35−2 −14−8 )               ( x y )= 1 22 (  33 −22 )               ( x y )=(   3 2 −1 ) ∴x= 3 2 ,  y=−1

4.10.3 Matriks, SPM Praktis (Soalan Panjang)

Posted on by

Soalan 5:
(a) Diberi  1 14 ( 2 s −4 t )( t −1 4 2 )=( 1 0 0 1 ), cari nilai s dan nilai t.
(b) Tulis persamaan linear serentak berikut dalam bentuk matriks:
3x – 2y = 5
9x + y = 1
Seterusnya, menggunakan kaedah matriks, hitung nilai x dan nilai y.

Penyelesaian:
(a) 1 14 ( 2 s −4 t )( t −1 4 2 )=( 1 0 0 1 ) 1 14 ( 2t+4s −2+2s −4t+4t 4+2t )=( 1 0 0 1 ) −2+2s 14 =0   2s=2      s=1 4+2t 14 =1 4+2t=14 2t=10 t=5

(b) ( 3 −2 9 1 )( x y )=( 5 1 )   ( x y )= 1 21 ( 1 2 −9 3 )( 5 1 )   ( x y )= 1 21 ( ( 1 )( 5 )+( 2 )( 1 ) ( −9 )( 5 )+( 3 )( 1 ) )   ( x y )= 1 21 ( 7 −42 )   ( x y )=( 1 3 −2 ) ∴x= 1 3 ,  y=−2


Soalan 6:
Diberi bahawa matriks P=( 6 −3 −5 2 ) dan matriks Q= 1 m ( 2 3 5 n )  dengan keadaan PQ=( 1 0 0 1 ).
(a) Cari nilai m dan nilai n.
(b) Tulis persamaan linear serentak berikut dalam bentuk matriks:
6x – 3y = –24
–5x + 2y = 18
Seterusnya, menggunakan kaedah matriks, hitung nilai x dan nilai y.

Penyelesaian:
(a) m=6( 2 )−( −3 )( −5 )   =12−15 m=−3 n=6

(b) ( 6 −3 −5 2 )( x y )=( −24 18 )   ( x y )= 1 12−15 ( 2 3 5 6 )( −24 18 )   ( x y )= 1 −3 ( ( 2 )( −24 )+( 3 )( 18 ) ( 5 )( −24 )+( 6 )( 18 ) )   ( x y )= 1 −3 ( 6 −12 )   ( x y )=( −2 4 ) ∴x=−2,  y=4

3.4.6 SPM Praktis, Penjelmaan (Soalan Panjang)

Posted on by

Soalan 6:
(a) Rajah 6.1 menunjukkan titik A dan titik B ditanda pada suatu satah Cartes.

Rajah 6.1

Penjelmaan R ialah satu putaran 90o, ikut arah jam pada pusat B.

Penjelmaan T ialah satu translasi (  5 −2 )

Nyatakan koordinat imej bagi titik A di bawah setiap penjelmaan berikut:
(i) RT,
(ii) R2.

(b) Rajah 8.2 menunjukkan tiga trapezium ABCD, PQRS dan TUVS, dilukis pada suatu satah Cartes.

Rajah 6.2

(i) Trapezium PQRS ialah imej bagi trapezium ABCD di bawah gabungan penjelmaan MN.
Huraikan selengkapnya penjelmaan:
(a) N,  
(b) M.

(ii) Diberi bahawa trapezium ABCD mewakili suatu kawasan yang mempunyai luas 30 m2.
Hitungkan luas, dalam m2, kawasan yang diwakili oleh rantau berlorek.


Penyelesaian:
(a)


(i) A (–1, 6) → T → (4, 4 ) → R → (3, 1)
(ii) A (–1, 6) → R → (5, 6) → R → (5, 0)

(b)(i)(a)
N: Satu pantulan pada garis lurus y = 4.

(b)(ii)(b)
M: Satu pembesaran pada pusat S (1, 5) dengan faktor skala 2.

(b)(ii)
Luas PQRS = (faktor skala)2 x Luas objek ABCD
  = 22 x 30
 = 120 m2

Oleh itu,
Luas rantau berlorek
= Luas PQRS – luas ABCD
= 120 – 30
= 90 m2



3.4.5 SPM Praktis, Penjelmaan (Soalan Panjang)

Posted on by

Soalan 5:
(a) Rajah di bawah menunjukkan titik M ditanda pada suatu satah Cartesan.

Penjelmaan T ialah satu translasi ( 2 3 ) dan penjelmaan R ialah satu putaran 90o lawan arah jam pada pusat O.
Nyatakan koordinat imej bagi titik M di bawah setiap penjelmaan berikut:
(i) RT,
(ii) TR,

(b) Rajah di bawah menunjukkan dua heksagon, A, B dan C, dilukis pada grid segi empat sama.


(i) JKLANO ialah imej bagi ABCDEF di bawah gabungan penjelmaan WV.
Huraikan selengkapnya penjelmaan:
(a) V    (b) W
(ii) Diberi bahawa ABCDEF mewakili suatu kawasan yang mempunyai luas 45 m2, hitung luas, dalam m2, kawasan yang diwakili oleh kawasan berlorek.

Penyelesaian:
(a)
 
(b)



(i)(a)
V: Satu pantulan pada garis EC.

(i)(b)
Faktor skala= KL BC = 6 2 =3 W: Satu pembesaran pada pusat J dengan faktor skala 3.

(ii)
Luas JKLANO
= 32 x luas ABCDEF
= 9 x 45
= 405 m2

Luas kawasan berlorek
= luas JKLANO – luas ABCDEF
= 405 – 45
= 360 m2


2.5.6 Graf Fungsi, SPM Practis (Kertas 2)

Posted on by

Soalan 11:
(a) Lengkapkan jadual di ruang jawapan bagi persamaan y = x3 – 13x + 18 dengan menulis nilai-nilai y apabila x = –2 dan x = 3.

(b)  Untuk ceraian soalan ini, gunakan kertas graf. Anda boleh menggunakan pembaris fleksibel.
Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada paksi-x dan 2 cm kepada 5 unit pada paksi-y, lukis graf y = x3 – 13x + 18 untuk –4 ≤ x ≤ 4 dan 0 ≤ y ≤ 40.

(c) Dari graf, cari
(i) nilai y apabila x = –1.5,
(ii) nilai x apabila y = 25.

(d) Lukis satu garis lurus yang sesuai pada graf anda untuk mencari nilai-nilai x yang memuaskan persamaan x3 – 11x – 2 = 0 untuk –4 ≤ x ≤ 4 dan 0 ≤ y ≤ 40.

Jawapan:



Penyelesaian:
(a)
y = x3 – 13x + 18   

apabila x = –2,
y = (–2)3 – 13(–2) + 18
   = –8 + 26 + 18
   = 36

apabila x = 3,
y = (3)3 – 13(3) + 18
   = 27 – 39 + 18
   = 6

(b)



(c)
(i) Dari graf, apabila x = –1.5, y = 34.
(ii) Dari graf, apabila y = 25, x = –3.25, –0.55 dan 3.85.

(d)
y = x3 – 13x + 18 ----- (1)
0 = x3 – 11x – 2 ----- (2)
(1) – (2) : y = –2x + 20

Garis lurus yang sesuai ialah y = –2x + 20.
Menentukan koordinat-x bagi titik-titik persilangan antara lengkungan y = x3 – 13x + 18 dan garis lurus y = –2x + 20.


Dari graf, x = –3.2, –0.2 dan 3.4.

2.5.5 Graf Fungsi, SPM Practis (Kertas 2)

Posted on by

Soalan 10:
(a) Lengkapkan jadual di ruang jawapan bagi persamaan y = 8 – 3x – 2x2 dengan menulis nilai-nilai y apabila x = –4 dan x = 2.

(b) Untuk ceraian soalan ini, gunakan kertas graf. Anda boleh menggunakan pembaris fleksibel.
Dengan menggunakan skala 2cm kepada 1 unit pada paksi-x dan 2 cm kepada 5 unit pada paksi-y, lukis graf y = 5 – 8x – 2x2 untuk –5 ≤ x ≤ 3 dan –27 ≤ y ≤ 9.

(c) Dari graf, cari
(i) nilai y apabila x = –2.5,
(ii) nilai positif x apabila y = –16.

(d) Lukis satu garis lurus yang sesuai pada graf anda untuk mencari nilai-nilai x yang memuaskan persamaan 8 – 3x – 2x2 = 0 untuk –5 ≤ x ≤ 3 dan –27 ≤ y ≤ 9.

Jawapan:

x
–5
–4
–3.5
–2
–1
0
1
2
3
y
–27
r
–6
6
9
8
3
s
–19
Hitung nilai r dan nilai s.


Penyelesaian:
(a)
y = 8 – 3x – 2x2  
Apabila x = –4,
r = 8 – 3(–4) – 2 (–4)2
= 8 + 12 – 32 = –12

Apabila x = 2,
s = 8 – 3(2) – 2(2)2
= 8 – 6 – 8 = –6

(b)



(c)
(i) Dari graf, apabila x = –2.5, y = 2.5
(ii) Dari graf, apabila y = –16, nilai positif x = 2.8

(d)
y = 8 – 3x – 2x2 ----- (1)
0 = 5 – 8x – 2x2  ----- (2)
(1) – (2) : y = 3 + 5x → y = 5x +3
Garis lurus yang sesuai ialah y = 5x +3.

Menentukan koordinat-x bagi titik-titik persilangan antara lengkungan y = 8 – 3x – 2x2 dan garis lurus y = 5x +3.

x
–5
0
y = 5x + 3
22
3
Dari graf, x = –4.5, 0.55.

2.5.4 Graf Fungsi, SPM Practis (Soalan Panjang)

Posted on by

Soalan 7:
Pada graf di ruang jawapan, lorek rantau yang memuaskan ketiga-tiga ketidaksamaan y ≥ x – 2, y > –3x + 6 dan y ≤ 4.

Jawapan:


Penyelesaian:



Soalan 8:
Pada graf di ruang jawapan, lorek rantau yang memuaskan ketiga-tiga ketidaksamaan y > x – 2, y ≤ –x + 6 dan x ≥ 1.

Jawapan:


Penyelesaian:



Soalan 9 (3 markah):
Pada graf di ruang jawapan, lorek rantau yang memuaskan ketiga-tiga ketaksamaan y ≥ –3x + 6, y > x + 1 dan y ≤ 5.

Jawapan:


Penyelesaian:

1.2.3 Asas Nombor, SPM Praktis (Kertas 1)

Posted on by

Soalan 11:
Ungkapkan setiap yang berikut sebagai nombor dalam asas dua.
(a) 26 + 24 + 1
(b) 25 + 23 + 2 + 20

Penyelesaian:
(a) 2 6 + 2 4 +1 = 1 _ × 2 6 + 0 _ × 2 5 + 1 _ × 2 4 + 0 _ × 2 3 + 0 _ × 2 2 + 0 _ × 2 1 + 1 _ × 2 0 = 1010001 2


(b) 2 5 + 2 3 +2+ 2 0 = 1 _ × 2 5 + 0 _ × 2 4 + 1 _ × 2 3 + 0 _ × 2 2 + 1 _ × 2 1 + 1 _ × 2 0 = 101011 2


Soalan 12:
Nyatakan nilai digit 2 bagi nombor 324175 , dalam asas sepuluh.

Penyelesaian:


Nilai digit 2
= 2 × 53
= 250


Soalan 13:
101102 + 1112 =

Penyelesaian:


Secara alternatif, mendapatkan jawapan terus daripada kalkulator saintifik.


Soalan 14:
1100102 – 1112 =

Penyelesaian:


Secara alternatif, mendapatkan jawapan terus daripada kalkulator saintifik.