3.4.3 SPM Praktis, Penjelmaan (Soalan Panjang)

Posted on May 9, 2020 by Myhometuition

Soalan 3:
(a) Rajah di bawah menunjukkan dua titik, M dan N, pada suatu satah Cartesan.

Penjelmaan T ialah satu translasi

(\begin{array}{l} 3 \\ - 1 \end{array})

dan penjelmaan R ialah satu putaran 90^o lawan arah jam pada pusat (0, 2).
(i) Nyatakan koordinat imej bagi titik M di bawah penjelmaan R.
(ii) Nyatakan koordinat imej bagi titik N di bawah penjelmaan berikut:
(a) T²,
(b) TR,

(b) Rajah di bawah menunjukkan tiga pentagon, A, B dan C, dilukis pada suatu satah Cartesan.

(i) C ialah imej bagi A di bawah gabungan penjelmaan WV.
Huraikan selengkapnya penjelmaan:
(a) V (b) W
(ii) Diberi bahawa A mewakili suatu kawasan yang mempunyai luas 12 m², hitung luas, dalam m², kawasan yang diwakili oleh C.

Penyelesaian:
(a)

(b)

(b)(i)(a)
V: Satu pantulan pada garis x = 8

(b)(i)(b)
W: Satu pembesaran pada pusat (14, 0) dengan faktor skala.

(b)(ii)
Luas B = luas A = 12 m²Luas C = (faktor skala)² x Luas objek
= 2² x luas B
= 2² x 12
= 48 m²

6.8.4 Statistik, SPM Praktis (Kertas 2)

Posted on May 9, 2020 by Myhometuition

Soalan 7:
Data dalam rajah di bawah menunjukkan markah diperoleh sekumpulan 30 orang murid dalam suatu ujian sejarah.

(a) Berdasarkan data dalam rajah di atas, lengkapkan Jadual di ruang jawapan.

(b) Berdasarkan Jadual di (a)
(i) cari find the modal class,
(ii) hitung min markah bagi seorang murid.

Untuk ceraian soalan ini, gunakan kertas graf.
(c) Dengan menggunakan skala 2cm kepada 10 markah pada paksi mengufuk dan 2cm kepada 1 murid pada paksi mencancang, lukiskan satu poligon kekerapan bagi data tersebut.

Jawapan:

Penyelesaian:

(a)

(b)(i)
Kelas modal = 50 – 54

(b)(ii)

\begin{array}{l} Min markah = \frac{1615}{30} \\ = 53 .83 \end{array}

(c)

Bab 8 Bulatan III

Posted on October 16, 2016 by user

8.4.3 SPM Praktis, Bulatan III (Kertas 1)

Soalan 9:

Dalam rajah di atas, ABC ialah tangen kepada bulatan berpusat O , di titik B.

Cari nilai y.

Penyelesaian:

∠ABO = 90^o

∠BOE = 2 × 40^o= 80^o

Dalam segi empat AEOB,

∠AEO = 360^o– ∠ABO– ∠BOE– 35^o

= 360^o– 90^o – 80^o – 35^o= 155^o

y^o+ ∠AEO = 180^o

y^o+ 155^o = 180^o

y^o= 180^o– 155^o

y^o = 25

Soalan 10:

Dalam rajah di atas, ABC ialah tangen kepada bulatan berpusat O, di titik B.

Nilai x ialah

Penyelesaian:

∠OBC = 90^o

∠BOD = 2 × 50^o= 100^o

Dalam segi empat BODC,

x^o= 360^o– ∠BOD – ∠OBC – 120^o

= 360^o– 100^o – 90^o – 120^o

= 50

Bab 15 Matriks

Posted on October 13, 2016 by user

4.9 SPM Practis (Kertas 1)

Soalan 5:

Diberi bahawa

(3 x) (\begin{array}{l} x \\ - 1 \end{array}) = (18),

cari nilai x.

Penyelesaian:

(3 x) (\begin{array}{l} x \\ - 1 \end{array}) = (18)

[3 × x + x (–1)] = (18)

3x – x = 18

2x = 18

x = 9

Soalan 6:

(\begin{matrix} 3 & 4 \\ - 2 & 3 \end{matrix}) (\begin{array}{l} 5 \\ - 2 \end{array}) =

Penyelesaian:

\begin{array}{l} (\begin{matrix} 3 & 4 \\ - 2 & 3 \end{matrix}) (\begin{array}{l} 5 \\ - 2 \end{array}) = (\begin{array}{l} (3) (5) + (4) (- 2) \\ (- 2) (5) + (3) (- 2) \end{array}) \\ = (\begin{array}{l} 15 - 8 \\ - 10 - 6 \end{array}) \\ = (\begin{array}{l} 7 \\ - 16 \end{array}) \end{array}

Soalan 7:

(\begin{matrix} 2 & 4 \\ \begin{array}{l} - 3 \\ 4 \end{array} & \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \end{matrix}) (\begin{array}{l} 1 \\ - 3 \end{array}) =

Penyelesaian:

Peringkat hasil darab dua matriks

= (3 \times 2) (2 \times 1) = (3 \times 1)

\begin{array}{l} (\begin{matrix} 2 & 4 \\ \begin{array}{l} - 3 \\ 4 \end{array} & \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \end{matrix}) (\begin{array}{l} 1 \\ - 3 \end{array}) = (\begin{array}{l} 2 (1) + 4 (- 3) \\ (- 3) (1) + 0 (- 3) \\ (4) (1) + 1 (- 3) \end{array}) \\ = (\begin{array}{l} 2 - 12 \\ - 3 + 0 \\ 4 - 3 \end{array}) \\ = (\begin{array}{l} - 10 \\ - 3 \\ 1 \end{array}) \end{array}

Soalan 8:

(1 - 1 2) (\begin{matrix} 5 & 1 \\ \begin{array}{l} - 3 \\ 2 \end{array} & \begin{array}{l} 0 \\ 4 \end{array} \end{matrix}) =

Penyelesaian:

Peringkat hasil darab dua matriks

= (1 \times 3) (3 \times 2) = (1 \times 2)

(1 - 1 2) (\begin{matrix} 5 & 1 \\ \begin{array}{l} - 3 \\ 2 \end{array} & \begin{array}{l} 0 \\ 4 \end{array} \end{matrix}) =

= (1×5 + (–1)(–3) + (2)(2) 1×1 + (–1)(0) + (2)(4))

= (5 + 3 + 4 1 + 0 + 8)

= (12 9)

Bab 18 Kebarangkalian II

Posted on October 12, 2016 by user

7.5 Kebarangkalian II, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 3:

Rajah di bawah menunjukkan dua kad huruf dalam kotak A dan tiga kad nombor di dalam kotak B.

Satu kad dipilih secara rawak daripada kotak A dan kemudian satu kad pula dipilih secara rawak daripada kotak B.

Dengan menyenaraikan sampel bagi semua kesudahan peristiwa yang mungkin, cari kebarangkalian

(a) satu kad berlabel M dan kad nombor genap dipilih,

(b) satu kad berlabel Q atau kad nombor gandaan 2 dipilih.

Penyelesaian:

Ruang sampel, S

= {(M, 2), (M, 3), (M, 6), (Q, 2), (Q, 3), (Q, 6)}

n(S) = 6

(a)

{(M, 2), (M, 6)}

P (M dan nombor genap) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}

(b)

{(Q , 2), (Q, 3), (Q , 6), (M, 2), (M , 6)}

P (Q atau gandaan 2) = \frac{5}{6}

Soalan 4:

Jadual di bawah menunjukkan nama peserta daripada dua sekolah menengah yang menghadiri satu program latihan pengucapan awam.

	Lelaki	Perempuan
Sekolah A	Karim	Rosita Sally Linda
Sekolah B	Ahmad Billy	Nancy

Dua peserta dikehendaki memberi ucapan di akhir program itu.

(a) Seorang peserta dipilih secara rawak daripada Sekolah Adan kemudian seorang peserta lagi dipilih secara rawak juga daripada Sekolah A.

(i) Senaraikan semua kesudahan peristiwa yang mungkin dalam ruang sampel ini.

(ii) Seterusnya, cari kebarangkalian bahawa seorang lelaki dan seorang perempuan dipilih.

(b) Seorang peserta dipilih secara rawak daripada kumpulan lelaki dan kemudian seorang peserta lagi dipilih secara rawak daripada daripada kumpulan perempuan.

(i) Senaraikan semua kesudahan peristiwa yang mungkin dalam ruang sampel ini.

(ii) Seterusnya, cari kebarangkalian bahawa kedua-dua peserta yang dipilih adalah daripada Sekolah B.

Penyelesaian:

(a)(i)

Ruang sampel, S

= {(Karim, Rosita), (Karim, Sally), (Karim, Linda), (Rosita, Sally), (Rosita, Linda), (Sally, Linda)}

n(S) = 6

(a)(ii)

{(Karim, Rosita), (Karim, Sally), (Karim, Linda}

P (seorang lelaki dan seorang perempuan)

= \frac{3}{6} = \frac{1}{2}

(b)(i)

Ruang sampel, S

= {(Karim, Rosita), (Karim, Sally), (Karim, Linda), (Karim, Nancy), (Ahmad, Rosita), (Ahmad, Sally), (Ahmad, Linda), (Ahmad, Nancy), (Billy, Rosita), (Billy, Sally), (Billy, Linda), (Billy, Nancy)}

n(S) = 12

(b)(ii)

{(Ahmad, Nancy), (Billy, Nancy)}

P (kedua-dua peserta daripada Sekolah B)

= \frac{2}{12} = \frac{1}{6}

Bab 5 Garis Lurus

Posted on October 12, 2016 by user

5.6.2 Garis Lurus, SPM Praktis (Soalan Pendek)

Soalan 6:

Rajah di bawah menunjukkan suatu garis lurus RS dengan persamaan 3y = –px– 12, dengan p sebagai pemalar.

Diberi bahawa OR: OS = 3 : 2.

Cari nilai p.

Penyelesaian:

Kaedah 1:

Gantikan x = –6 dan y = 0 ke dalam 3y = –px– 12:

3(0) = –p (–6) – 12

0 = 6p – 12

–6p = –12

p = 2

Kaedah 2:

OR: OS = 3 : 2

\begin{array}{l} \frac{O R}{O S} = \frac{3}{2} \\ \frac{6}{O S} = \frac{3}{2} \\ O S = 6 \times \frac{2}{3} = 4 units \end{array}

Koordinat titik S = (0, –4)

Kecerunan garis lurus RS =

- \frac{- 4}{- 6} = - \frac{2}{3}

Diberi 3y = –px – 12

Menyusun semula persamaan dalam bentuk y = mx+ c

\begin{array}{l} y = - \frac{p}{3} x - 4 \\ Kecerunan garis lurus R S = - \frac{P}{3} \\ ∴ - \frac{P}{3} = - \frac{2}{3} \\ P = 2 \end{array}

Soalan 7:

Rajah di atas menunjukkan dua garis lurus, KL dan LM, pada satah Cartesan. Jarak KL ialah 10 unit dan kecerunan bagi LM ialah 2. Cari pintasan-x bagi LM.

Penyelesaian:

Katakan koordinat titik N ialah = (0, 2).

Guna rumus Pythagoras,

LN = √10² – 6² = 8

Titik L = (0, 2 + 8) = (0, 10)
pintasan-y bagi LM = 10

\begin{array}{l} Guna rumus kecerunan, m = - \frac{pintasan-y}{pintasan-x} \\ 2 = - (\frac{10}{pintasan-x}) \\ pintasan-x bagi L M = - \frac{10}{2} = - 5 \end{array}

Bab 3 Set

Posted on October 11, 2016 by user

3.4 Sets SPM Practis, Kertas 1 (Soalan Pendek)

Soalan 5:

Rajah di bawah menunjukkan sebuah gambar rajah Venn dengan bilangan unsur dalam set P, set Q dan set R.

Diberi bahawa set semesta,

ξ = P \cup Q \cup R and n (Q') = n (Q \cap R) .

Carikan nilai x.

Penyelesaian:

n(Q') = n(Q ∩ R)

3 + 8 + 5 = x– 3 + 9

16 = x + 6

x = 10

Soalan 6:

Rajah di bawah ialah gambar rajah Venn yang menunjukkan bilangan peserta kuiz dalam set P, set Q dan set R.

Diberi bahawa set semesta,

ξ = P \cup Q \cup R

, set P = { peserta kuiz Sains}, set Q = { peserta kuiz Matematik} dan set R = {peserta kuiz Sejarah}.

Jika bilangan peserta yang mengambil bahagian hanya satu kuiz sahaja ialah 76, cari jumlah semua peserta itu.

Penyelesaian:

Bilangan peserta yang mengambil bahagian hanya satu kuiz sahaja = 76

(5x – 2) + (x + 6) + (2x + 8) = 76

8x + 12 = 76
8x = 64
x = 8

Jumlah semua peserta

= 76 + 7 + 4 + 5 + 3(8)

= 116

Soalan 7:

Rajah di bawah ialah gambar rajah Venn yang menunjukkan bilangan murid bagi set K, set L dan set M.

Diberi bahawa set semesta,

ξ = K \cup L \cup M

, set K = {Kelab Karate}, set L = {Kelab Lumba Basikal} dan set M = {Kelab Menembak}.

Jika bilangan murid yang menyertai kedua-dua Kelab Lumba Basikal dan Kelab Menembak adalah 8 orang, cari bilangan murid yang menyertai dua kelab sahaja.

Penyelesaian:

Bilangan murid yang menyertai kedua-dua Kelab Lumba Basikal dan Kelab Menembak
= n(L∩ M) = 2 + 2x

2 + 2x = 8

2x = 6

x = 3

Bilangan murid yang menyertai dua kelab sahaja

= x + 4 + 2x

= 3 + 4 + 2(3)

= 13

Bab 2 Ungkapan dan Persamaan Kuadratik

Posted on June 29, 2016 by user

2.2 Pemfaktoran Ungkapan Kuadratik

(A) Pemfaktoran ungkapan kuadratik yang berbentuk ax²+ bx + c, b = 0 atau c = 0

1. Pemfaktoran ungkapan kuadratik ialah proses mencari dua ungkapan linear yang hasil darabnya sama dengan ungkapan kuadratik itu.

2. Ungkapan-ungkapan kuadratik ax² + c dan ax² + bx yang mengandungi dua sebutan boleh difaktorkan dengan mencari faktor sepunya bagi kedua-dua sebutan itu.

Contoh 1:

Faktorkan setiap yang berikut:

(a) 2x² + 6

(b) 7p² – 3p

Penyelesaian:

(a) 2x² + 6 = 2(x² + 3) ← (2 ialah faktor sepunya)

(b) 7p² – 3p = p(7p – 3) ← (p ialah faktor sepunya)

(B) Memfaktorkan ungkapan kuadratik yang berbentuk ax²– c , a dan c adalah nombor kuasa dua sempurna

Contoh 2:

(a) 9p² – 16

(b) 25x² – 1

(c)

\frac{1}{4} - \frac{1}{25} x^{2}

Penyelesaian:

(a) 9p² – 16 = (3p)² – 4² = (3p – 4) (3p + 4)

(b) 25x² – 1 = (5x)² – 1² = (5x – 1) (5x + 1)

(c)

\begin{array}{l} \frac{1}{4} - \frac{1}{25} x^{2} = {(\frac{1}{2})}^{2} - {(\frac{1}{5} x)}^{2} \\ = (\frac{1}{2} - \frac{1}{5} x) (\frac{1}{2} + \frac{1}{5} x) \end{array}

(C) Memfaktorkan ungkapan kuadratik berbentuk ax²+ bx + c, di mana a ≠ 0, b ≠ 0 dan c ≠ 0

Contoh 3:

Faktorkan setiap yang berikut:

(a) 3y² + 2y – 8

(b) 4x² – 12x + 9

Penyelesaian:

Pemfaktoran dengan kaedah darab silang.

(a)

3y²+ 2y – 8 = (3y – 4) (y + 2)

(b)

4x²– 12x + 9 = (2x – 3) (2x – 3)

Bab 2 Ungkapan dan Persamaan Kuadratik

Posted on June 29, 2016 by user

2.1 Ungkapan Kuadratik

(A) Mengenal pasti ungkapan kuadratik

1. Ungkapan kuadratik ialah ungkapan yang berbentuk ax²+ bx + c, dengan a, b dan c sebagai pemalar, a ≠ 0 dan x sebagai pemboleh ubah.

2. Ciri-ciri ungkapan kuadratik dalam satu pemboleh ubah:

(a) Kuasatertinggi bagi x ialah 2.

(b) Hanya mengandungi satu pemboleh ubah.

Contoh 1:

Nyatakan sama ada setiap ungkapan yang berikut adalah ungkapan kuadratik atau tidak. Berikan alasan untuk jawapan anda.

(a) x² – 5x + 3

(b) 8p² + 10

(d) 2x² + 4y + 14

(e)

2 p + \frac{1}{p} + 6

(f) y³ – 3y + 1

Penyelesaian:

(a) Ya, x² – 5x + 3 satu ungkapan kuadratik yang mengandungi satu pemboleh ubah x dan kuasa tertinggi x ialah 2.

(b) Ya, 8p² + 10 satu ungkapan kuadratik yang mengandungi satu pemboleh ubah p dan kuasa tertinggi pialah 2.

(d) Tidak2x² + 4y + 14 bukan satu ungkapan kuadratik kerana mengandungi dua pemboleh ubah x dan y.

(e) Tidak,

2 p + \frac{1}{p} + 6

bukan satu ungkapan kuadratik kerana kuasa tertinggi p bukan 2,

\frac{1}{p} = p^{- 1}

(f) Tidak, y³ – 3y + 1 bukan satu ungkapan kuadratik kerana kuasa tertinggi y bukan 2.

3. Suatu ungkapan kuadratik dihasilkan dengan pendaraban dua ungkapan linear.

Misalnya, (2x + 3)(x – 3) = 2x² – 3x – 9

Contoh 2:

Darabkan pasangan ungkapan linear yang berikut.

(a) (4x + 3)(x – 2)

(b) (y – 6)²

Penyelesaian:

(a) (4x + 3)(x – 2)

= (4x)(x) + (4x)( –2) +(3)(x) + (3)( –2)

= 4x²– 8x + 3x – 6

= 4x²– 5x – 6

(b) (y – 6)²

= (y – 6)(y – 6)

= (y)(y) + (y)( –6) + (–6)(y) + (–6)( –6)

= y²– 6y – 6y + 36

= y²– 12y + 36

(c) 2x (x– 5)

= 2x(x) + 2x(–5)

= 2 x²– 10x

Bab 21 Pelan dan Dongakan

Posted on June 28, 2016 by user

10.2 Pelan dan Dongakan

1. Pelan adalah imej yang terbentuk apabila pepejal itu dilihat dari bahagian atas. Unjuran ortogonnya adalah pada satah mengufuk.

2. Dongokan adalah imej yang terbentuk apabila pepejal itu dilihat dari bahagian depan atau dari bahagian sisinya. Unjuran ortogonnya adalah pada satah mencancang.

3. Semasa melukis pelan dan dongakan bagi pepejal,
(a) Garis penuh yang tebal ( ──) digunakan untuk mewakili sisi objek yang dapat dilihat daripada arah pandangannya.
(b) Garis putus-putus ( - - - - -) digunakan untuk mewakili sisi objek yang terlindung daripada arah pandangan.

Contoh: