Bab 9 Trigonometri II

Posted on June 11, 2016 by user

9.3.2 Trigonometri II, SPM Praktis (Kertas 1)

Soalan 4:

Dalam rajah di atas, WZY ialah satu garis lurus. ∠XYZ = 90^o, ∠XWZ = 30^odan WZ = XZ = 30cm. Cari panjang XY.

Penyelesaian:

∠WXZ = ∠XWZ = 30^o

Maka ∠XZY = 30^o+ 30^o= 60^o

\begin{array}{l} \sin ∠ X Z Y = \frac{X Y}{X Z} \\ \sin 60^{o} = \frac{X Y}{30} \end{array}

XY= sin 60^o × 30

XY = 25.98cm

Soalan 5:

Dalam rajah di atas, PQS ialah satu segitiga bersudut tegak. Diberi bahawa SR = 6cm, PQ = 12 cm dan 5SR = 2PS. Cari nilai cos α dan tan β.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} 5 S R = 2 P S \\ P S = \frac{5}{2} S R \\ P S = \frac{5}{2} (6) \\ P S = 15 c m \\ k o s α = \frac{P Q}{P S} \\ k o s α = \frac{12}{15} = \frac{4}{5} \end{array}

Dalam ∆ PQS, guna Teori Pythagoras,

\begin{array}{l} Q S = \sqrt{P S^{2} - P Q^{2}} \\ Q S = \sqrt{15^{2} - 12^{2}} = 9 c m \\ \tan β = - \tan ∠ P S Q \leftarrow \begin{array}{l} 90^{\circ} < β < 180^{\circ} \\ (d a l a m sukuan II), \\ tan β is negatif \end{array} \\ \tan β = - \frac{P Q}{Q S} \\ \tan β = - \frac{12}{9} = - \frac{4}{3} \end{array}

Soalan 6:

Dalam rajah di atas, ADC ialah satu garis lurus,

\sin q = \frac{3}{5} dan \tan p = \frac{1}{2}

. Hitung jarak AC.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} Diberi \sin q = \frac{B D}{A B} = \frac{3}{5} \\ \frac{B D}{30} = \frac{3}{5} \\ B D = \frac{3}{5} \times 30 \\ B D = 18 c m \end{array}

Dalam ∆ ABD, guna Teori Pythagoras,

\begin{array}{l} A D = \sqrt{A B^{2} - B D^{2}} \\ A D = \sqrt{30^{2} - 18^{2}} = 24 c m \\ Given tan p = \frac{B D}{D C} = \frac{1}{2} \\ \frac{18}{D C} = \frac{1}{2} \\ D C = 36 c m \end{array}

Oleh itu, jarak AC = 24 + 36 = 60cm

Bab 9 Trigonometri II

Posted on June 11, 2016 by user

9.3.1 Trigonometri II, SPM Praktis (Kertas 1)

Soalan 1:

Dalam rajah di atas, cari nilai tan θ.

Penyelesaian:

Dalam ∆ ABC, guna Teori Pythagoras,

\begin{array}{l} A C = \sqrt{1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2} c m \\ \tan θ = \frac{C D}{A C} \\ \tan θ = \frac{1}{\sqrt{2}} \end{array}

Soalan 2:

Dalam rajah di atas, ABCE ialah satu segiempat tepat and titik D terletak pada garis lurus EC. Diberi bahawa DC = 5 cm dan AE = 4cm, cari nilai kos θ.

Penyelesaian:

AD = DC = 5cm

Dalam ∆ AED, guna Teori Pythagoras,

\begin{array}{l} E D = \sqrt{5^{2} - 4^{2}} = 3 c m \\ k o s θ = - k o s ∠ A D E \leftarrow \begin{array}{l} 90^{\circ} < θ < 180^{\circ} \\ (s u k u a n II), \\ k o s θ adalah negatif \end{array} \\ k o s θ = - \frac{E D}{A D} \\ k o s θ = - \frac{3}{5} \end{array}

Soalan 3:

Dalam rajah di atas, PMR ialah garis lurus, M ialah titik tengah bagi garis PR. Diberi bahawa QR = 12cm dan sin y = 0.6, cari nilai tan x^o.

Penyelesaian:

Dalam ∆ QMR,

sin y^o= 0.6

\sin y^{\circ} = \frac{Q R}{Q M} = \frac{6}{10}

Diberi QR = 12cm

Maka QM = 10 × 2 = 20cm

Dalam ∆ QMR, guna Teori Pythagoras,

\begin{array}{l} M R = \sqrt{20^{2} - 12^{2}} = 16 c m \\ P R = 16 \times 2 = 32 c m \\ Oleh itu \tan x^{\circ} = \frac{Q R}{P R} = \frac{12}{32} = \frac{3}{8} \end{array}

Bab 9 Trigonometri II

Posted on June 11, 2016 by user

9.1.2 Nilai Sinus, Kosinus dan Tangen bagi Sesuatu Sudut (Bahagian 2)

(D) Sudut khusus 30^o, 45^o, 60^o

(E) Mencari sudut di antara 0^o dengan 360^o apabila nilai sin θ, kos θ atau tan θ diberi

1. Jika nilai sin θ, kos θ atau tan θ diberi dan 0^o< θ < 360^o, nilai θ dapat dicari dengan menggunakan langkah-langkah di bawah.
(a) Cari sudut asas dalam sukuan I yang sesuai dengan θ.
(b) Berdasarkan nilai (positif atau negatif) bagi sin θ, kos θ atau tan θ, tentukan sukuan yang mana θ berada.
(c) Cari nilai-nilai θ dalam sukuan yang dicari dalam (b).

Contoh:

Cari nilai θ yang memuaskan setiap persamaan di bawah.

(a) sin θ = 0.6025 dan 90^o< θ < 180^o

(b) kos θ = –0.6025 dan 180^o< θ < 270^o

(d) tan θ = –1.732 dan 0^o< θ < 360^o

Penyelesaian:

(a)

sin θ = 0.6025

Sudut asas ∠ = 37.05^o ← (tekan SHIFT sin^-1 0.6025 = 37.04975756)

Oleh itu θ = 180^o – 37.05^o = 142.95^o ← (90^o< θ < 180^o)

(b)

kos θ = –0.6025

Sudut asas ∠ = 52.95^o ← (tekan SHIFT kos^-1 0.6025 = 52.9508)

Oleh itu θ = 180^o + 52.95^o = 232.95^o ← (180^o< θ < 270^o)

(c)

sin θ = –0.8387 ← (sin θ adalah negatif dalam sukuan ke III dan ke IV)

Sudut asas ∠ = 57^o ← (tekan SHIFT sin^-1 0.8387 = 57.003)

θ₁ = 180^o + 57^o = 237^o ← (180^o< θ < 270^o)

θ₂ = 360^o – 57^o = 303^o ← (270^o< θ < 360^o)

Oleh itu θ = 237^odan 303^o

(d)

tan θ = –1.732 ← (tan θ adalah negatif dalam sukuan ke II dan ke IV)

Sudut asas ∠ = 60^o ← (tekan SHIFT tan^-1 1.732 = 59.9993)

θ₁ = 180^o – 60^o = 120^o ← (90^o< θ < 180^o)

θ₂ = 360^o – 60^o = 300^o ← (270^o< θ < 360^o)

Oleh itu θ = 120^odan 300^o

Bab 9 Trigonometri II

Posted on June 11, 2016 by user

9.1 Nilai Sinus, Kosinus dan Tangen bagi Sesuatu Sudut (Bahagian 1)

(A) Sinus, kosinus dan tangen untuk segitiga sudut tegak

\begin{array}{l} \sin θ = \frac{sisi bertentangan}{hipotenus} \\ cos θ = \frac{sisi bersebelahan}{hipotenus} \\ tan θ = \frac{sisi bertentangan}{sisi bersebelahan} \end{array}

(B) Nilai sin θ, kos θ dan tan θ dalam sukuan pertama dalam bulatan unit

Dalam sukuan I, P adalah satu titik yang terletak pada lilitan bulatan unit yang berpusatkan asalan, 0. θ adalah sudut di antara jejari OPdengan paksi-x yang positif. Daripada rajah

\begin{array}{l} (a) sin θ = \frac{P Q}{O P} = y \\ (b) kos θ = \frac{O Q}{O P} = x \\ (c) tan θ = \frac{P Q}{O Q} = \frac{y}{x} \\ O l e h i t u, \\ \begin{array}{l} sin θ = y -koordinat \\ kos θ = x -koordinat \\ tan θ = \frac{y -koordinat}{x -koordinat} \end{array} \end{array}

(C) Suatu satah Cartesan dibahagikan kepada empat bahagian, disebut sukuanoleh paksi-x dan paksi-y. Sukuan-sukuan itu dinamakan sebagai sukuan I, sukuan II, sukuan III, dan sukuan IV mengikut lawan arah jam.

Contoh:

Tentukan samada setiap nilai berikut adalah positif atau negatif.

(a) sin 105^o (b) kos 75^o (c) tan 305^o (d) sin 50^o

(e) kos 160^o (f) tan 220^o (g) kos 260^o (h) kos 350^o

Penyelesaian:

(a) sin 105^oadalah positif kerana 90^o< 105^o < 180^o (sukuan II).

(b) kos 75^oadalah positif kerana 0^o< 75^o < 90^o (sukuan I).

(c) tan 305^oadalah negatif kerana 270^o< 305^o < 360^o (sukuan III).

(d) sin 50^oadalah positif kerana 0^o< 50^o < 90^o (sukuan I).

(e) kos 160^oadalah negatif kerana 120^o< 160^o < 180^o (sukuan II).

(f) tan 220^oadalah positif kerana 180^o< 220^o < 270^o(sukuan III).

(g) kos 260^oadalah negatif kerana 180^o< 260^o < 270^o (sukuan III).

(h) kos 350^oadalah positif kerana 270^o< 350^o < 360^o (sukuan IV).

Bab 9 Trigonometri II

Posted on June 11, 2016 by user

9.3 Trigonometri II, SPM Praktis (Kertas 1)

Soalan 13:

Antara graf berikut, yang manakah mewakili graf y = tan x for 0^o ≤ x ≤ 360^o?

Penyelesaian:

Jawapan: A

Soalan 14:

Graf manakah yang mewakili sebahagian daripada y = tan x?

Penyelesaian:

Jawapan: C

Bab 9 Trigonometri II

Posted on June 11, 2016 by user

9.3 Trigonometri II, SPM Praktis (Kertas 1)

Soalan 10:

Antara graf berikut, yang manakah mewakili graf y = cos 2x?

Penyelesaian:

Jawapan: C

Soalan 11:

Antara graf berikut, yang manakah mewakili graf y = cos x for 0^o ≤ x ≤ 180^o?

Penyelesaian:

Jawapan: D

Soalan 12:

Graf manakah yang mewakili sebahagian daripada y = cos x?

Penyelesaian:

Jawapan: B

Bab 9 Trigonometri II

Posted on June 11, 2016 by user

9.3 Trigonometri II, SPM Praktis (Kertas 1)

Soalan 7:

Graf manakah yang mewakili y = sin x bagi 0^o≤ x ≤ 270^o?

Penyelesaian:

Jawapan: B

Soalan 8:

Graf manakah yang mewakili y = sin x bagi 0^o≤ x ≤ 180^o?

Penyelesaian:

Jawapan: D

Soalan 9:

Graf manakah yang mewakili sebahagian daripada y = sin x?

Penyelesaian:

Jawapan: A

Bab 9 Trigonometri II

Posted on June 11, 2016 by user

9.2 Graf Sinus, Kosinus dan Tangen

1. y = sin x, 0^o≤ x ≤ 360^o

x	0^o	90^o	180^o	270^o	360^o
*sin x*	0	1	0	-1	0

2. y = kos x, 0^o≤ x ≤ 360^o

x	0^o	90^o	180^o	270^o	360^o
*kos x*	1	0	-1	0	1

3. y = tan x, 0^o≤ x ≤ 360^o

x	0^o	90^o	180^o	270^o	360^o
*tan* x	0	∞	0	∞	0

4. y = sin 2x, 0^o≤ 2x ≤ 360^o

5. y = kos 2x, 0^o≤ 2x ≤ 360^o

6. y = tan 2x, 0^o≤ 2x ≤ 360^o