2.5.6 SPM Praktis (Soalan Panjang)

Posted on May 12, 2020 by Myhometuition

Soalan 17 (4 markah):
Hitung nilai x dan nilai y yang memuaskan persamaan linear serentak berikut:
2x + y = 8
–x + 4y = 5

Penyelesaian:

\begin{array}{l} 2 x + y = 8 ............... (1) \\ - x + 4 y = 5 ............... (2) \\ (2) \times 2 : - 2 x + 8 y = 10 ............... (3) \\ (1) + (3) : \\ y + 8 y = 8 + 10 \\ 9 y = 18 \\ y = \frac{18}{9} \\ y = 2 \\ Dari (1) : \\ 2 x + 2 = 8 \\ 2 x = 8 - 2 \\ 2 x = 6 \\ x = \frac{6}{2} \\ x = 3 \\ ∴ x = 3, y = 2 \end{array}

Soalan 18 (4 markah):
Sebuah akuarium mempunyai panjang (x + 7) cm, lebar x cm dan tinggi 60 cm.
Jumlah isi padu akuarium itu ialah 48000 cm³. Akuarium itu akan diisi penuh dengan air.
Hitung nilai x.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} Isipadu akuarium = 48000 {cm}^{3} \\ (x) (x + 7) (60) {cm}^{3} = 48000 {cm}^{3} \\ (x) (x + 7) = \frac{48000}{60} \\ x^{2} + 7 x = 800 \\ x^{2} + 7 x - 800 = 0 \\ (x - 25) (x + 32) = 0 \\ x - 25 = 0 atau x + 32 = 0 \\ x = 25 atau x = - 32 (nombor negatif ditolak) \\ Oleh itu, nilai x = 25 cm \end{array}

2.5.5 SPM Praktis (Soalan Panjang)

Posted on May 12, 2020 by Myhometuition

Soalan 15 (4 markah):
Penyelesaian menggunakan kaedah matriks tidak dibenarkan untuk soalan ini.
Rajah menunjukkan kolam ikan berbentuk segi empat tepat dengan perimeter 62 m.

Diberi bahawa panjang kolam adalah 3 kali lebar kolam itu.
Hitung panjang, dalam m, kolam ikan itu.

Penyelesaian:
Diberi y + 4 = 3x
y = 3x – 4 …………. (1)

Perimeter = 62
2x + 2(y + 4) = 62
2x + 2y + 8 = 62
2x + 2y = 54
(÷2) x + y = 27 …………. (2)

Gantikan (1) ke dalam (2):
x + 3x – 4 = 27
4x – 4 = 27
4x = 27 + 4
4x = 31
x = 7.75

Dari (1): y = 3x – 4
Apabila x = 7.75
y = 3(7.75) – 4
y = 19.25

Panjang kolam ikan
= y + 4
= 19.25 + 4
= 23.25 m

Soalan 16 (4 markah):
Selesaikan persamaan kuadratik berikut:

- \frac{2}{3 x - 5} = \frac{x}{3 x - 1}

Penyelesaian:

\begin{array}{l} - \frac{2}{3 x - 5} = \frac{x}{3 x - 1} \\ - 2 (3 x - 1) = x (3 x - 5) \\ - 6 x + 2 = 3 x^{2} - 5 x \\ 3 x^{2} - 5 x + 6 x - 2 = 0 \\ 3 x^{2} + x - 2 = 0 \\ (3 x - 2) (x + 1) = 0 \\ 3 x - 2 = 0 atau x + 1 = 0 \\ x = \frac{2}{3} atau x = - 1 \end{array}

2.5.4 SPM Praktis (Soalan Panjang)

Posted on May 12, 2020 by Myhometuition

Soalan 13 (4 markah):
Rajah menunjukkan sebuah laluan taman berbentuk segi empat tepat. Terdapat 8 keping batu pemijak berbentuk bulat yang sama saiz dibina di laluan itu.

Diberi luas laluan itu ialah 32 m², cari diameter, dalam m, sekeping batu pemijak itu.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} Diberi luas laluan = 32 m^{2} = 320000 {cm}^{2} \\ x (x + 4) = 320000 \\ x^{2} + 4 x - 320000 = 0 \\ a = 1, b = 4, c = - 320000 \\ x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \\ x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 (1) (- 320000)}}{2 (1)} \\ x = \frac{- 4 \pm \sqrt{1280016}}{2} \\ x = \frac{- 4 + 1131.38}{2} atau \frac{- 4 - 1131.38}{2} \\ x = 563.69 atau - 567.69 (abaikan) \\ Diameter sekeping batu pemijak = x \\ = 563.69 cm \\ = 5.64 m \end{array}

Soalan 14 (5 markah):
Penyelesaian dengan kaedah matriks tidak dibenarkan untuk menjawap soalan ini.
Rajah menunjukkan sebuah basikal dan sebuah basikal roda tiga.

Hitung bilangan basikal dan bilangan basikal roda tiga jika terdapat 64 pedal dan 74 tayar.

Penyelesaian:
Katakan basikal = x dan basikal roda tiga = y
Jadi,
2x + 2y = 64 …………. (1)
2x + 3y = 74 …………. (2)
(2) – (1)
3y – 2y = 74 – 64
y = 10

Apabila y = 10
Dari (2)
2x + 3(10) = 74
2x = 74 – 30
2x = 44
x = 22

Maka, bilangan basikal ialah 22 dan bilangan basikal roda tiga ialah 10.

2.5.3 SPM Praktis (Soalan Panjang)

Posted on May 9, 2020 by Myhometuition

Soalan 9:
Selesaikan persamaan kuadratik berikut:
4x (x + 4) = 9 + 16x

Penyelesaian:

\begin{array}{l} 4 x (x + 4) = 9 + 16 x \\ 4 x^{2} + 16 x = 9 + 16 x \\ 4 x^{2} - 9 = 0 \\ {(2 x)}^{2} - 3^{2} = 0 \\ (2 x + 3) (2 x - 3) = 0 \\ 2 x + 3 = 0 atau 2 x - 3 = 0 \\ 2 x = - 3 2 x = 3 \\ x = - \frac{3}{2} x = \frac{3}{2} \end{array}

Soalan 10:
Selesaikan persamaan kuadratik berikut:
(x + 2)² = 2x + 7

Penyelesaian:

\begin{array}{l} {(x + 2)}^{2} = 2 x + 7 \\ x^{2} + 4 x + 4 = 2 x + 7 \\ x^{2} - 2 x - 3 = 0 \\ (x + 1) (x - 3) = 0 \\ x + 1 = 0 atau x - 3 = 0 \\ x = - 1 x = 3 \end{array}

Soalan 11:
Selesaikan persamaan kuadratik berikut:

- \frac{2}{3 x - 5} = \frac{x}{3 x - 1}

Penyelesaian:

\begin{array}{l} - \frac{2}{3 x - 5} = \frac{x}{3 x - 1} \\ - 2 (3 x - 1) = x (3 x - 5) \\ - 6 x + 2 = 3 x^{2} - 5 x \\ 3 x^{2} - 5 x + 6 x - 2 = 0 \\ 3 x^{2} + x - 2 = 0 \\ (3 x - 2) (x + 1) = 0 \\ 3 x - 2 = 0 atau x + 1 = 0 \\ 3 x = 2 x = - 1 \\ x = \frac{2}{3} x = - 1 \end{array}

Soalan 12:
Selesaikan persamaan kuadratik berikut:

\frac{5 x + 3 x^{2}}{1 - 2 x} = 6

Penyelesaian:

\begin{array}{l} \frac{5 x + 3 x^{2}}{1 - 2 x} = 6 \\ 5 x + 3 x^{2} = 6 - 12 x \\ 3 x^{2} + 5 x + 12 x - 6 = 0 \\ 3 x^{2} + 17 x - 6 = 0 \\ (3 x - 1) (x + 6) = 0 \\ 3 x - 1 = 0 atau x + 6 = 0 \\ 3 x = 1 x = - 6 \\ x = \frac{1}{3} x = - 6 \end{array}

Bab 2 Ungkapan dan Persamaan Kuadratik

Posted on June 29, 2016 by user

2.2 Pemfaktoran Ungkapan Kuadratik

(A) Pemfaktoran ungkapan kuadratik yang berbentuk ax²+ bx + c, b = 0 atau c = 0

1. Pemfaktoran ungkapan kuadratik ialah proses mencari dua ungkapan linear yang hasil darabnya sama dengan ungkapan kuadratik itu.

2. Ungkapan-ungkapan kuadratik ax² + c dan ax² + bx yang mengandungi dua sebutan boleh difaktorkan dengan mencari faktor sepunya bagi kedua-dua sebutan itu.

Contoh 1:

Faktorkan setiap yang berikut:

(a) 2x² + 6

(b) 7p² – 3p

Penyelesaian:

(a) 2x² + 6 = 2(x² + 3) ← (2 ialah faktor sepunya)

(b) 7p² – 3p = p(7p – 3) ← (p ialah faktor sepunya)

(B) Memfaktorkan ungkapan kuadratik yang berbentuk ax²– c , a dan c adalah nombor kuasa dua sempurna

Contoh 2:

(a) 9p² – 16

(b) 25x² – 1

(c)

\frac{1}{4} - \frac{1}{25} x^{2}

Penyelesaian:

(a) 9p² – 16 = (3p)² – 4² = (3p – 4) (3p + 4)

(b) 25x² – 1 = (5x)² – 1² = (5x – 1) (5x + 1)

(c)

\begin{array}{l} \frac{1}{4} - \frac{1}{25} x^{2} = {(\frac{1}{2})}^{2} - {(\frac{1}{5} x)}^{2} \\ = (\frac{1}{2} - \frac{1}{5} x) (\frac{1}{2} + \frac{1}{5} x) \end{array}

(C) Memfaktorkan ungkapan kuadratik berbentuk ax²+ bx + c, di mana a ≠ 0, b ≠ 0 dan c ≠ 0

Contoh 3:

Faktorkan setiap yang berikut:

(a) 3y² + 2y – 8

(b) 4x² – 12x + 9

Penyelesaian:

Pemfaktoran dengan kaedah darab silang.

(a)

3y²+ 2y – 8 = (3y – 4) (y + 2)

(b)

4x²– 12x + 9 = (2x – 3) (2x – 3)

Bab 2 Ungkapan dan Persamaan Kuadratik

Posted on June 29, 2016 by user

2.1 Ungkapan Kuadratik

(A) Mengenal pasti ungkapan kuadratik

1. Ungkapan kuadratik ialah ungkapan yang berbentuk ax²+ bx + c, dengan a, b dan c sebagai pemalar, a ≠ 0 dan x sebagai pemboleh ubah.

2. Ciri-ciri ungkapan kuadratik dalam satu pemboleh ubah:

(a) Kuasatertinggi bagi x ialah 2.

(b) Hanya mengandungi satu pemboleh ubah.

Contoh 1:

Nyatakan sama ada setiap ungkapan yang berikut adalah ungkapan kuadratik atau tidak. Berikan alasan untuk jawapan anda.

(a) x² – 5x + 3

(b) 8p² + 10

(d) 2x² + 4y + 14

(e)

2 p + \frac{1}{p} + 6

(f) y³ – 3y + 1

Penyelesaian:

(a) Ya, x² – 5x + 3 satu ungkapan kuadratik yang mengandungi satu pemboleh ubah x dan kuasa tertinggi x ialah 2.

(b) Ya, 8p² + 10 satu ungkapan kuadratik yang mengandungi satu pemboleh ubah p dan kuasa tertinggi pialah 2.

(d) Tidak2x² + 4y + 14 bukan satu ungkapan kuadratik kerana mengandungi dua pemboleh ubah x dan y.

(e) Tidak,

2 p + \frac{1}{p} + 6

bukan satu ungkapan kuadratik kerana kuasa tertinggi p bukan 2,

\frac{1}{p} = p^{- 1}

(f) Tidak, y³ – 3y + 1 bukan satu ungkapan kuadratik kerana kuasa tertinggi y bukan 2.

3. Suatu ungkapan kuadratik dihasilkan dengan pendaraban dua ungkapan linear.

Misalnya, (2x + 3)(x – 3) = 2x² – 3x – 9

Contoh 2:

Darabkan pasangan ungkapan linear yang berikut.

(a) (4x + 3)(x – 2)

(b) (y – 6)²

Penyelesaian:

(a) (4x + 3)(x – 2)

= (4x)(x) + (4x)( –2) +(3)(x) + (3)( –2)

= 4x²– 8x + 3x – 6

= 4x²– 5x – 6

(b) (y – 6)²

= (y – 6)(y – 6)

= (y)(y) + (y)( –6) + (–6)(y) + (–6)( –6)

= y²– 6y – 6y + 36

= y²– 12y + 36

(c) 2x (x– 5)

= 2x(x) + 2x(–5)

= 2 x²– 10x

Bab 2 Ungkapan dan Persamaan Kuadratik

Posted on April 29, 2016 by user

2.4 Punca Persamaan Kuadratik

1. Punca persamaan kuadratik ialah nilai bagi anu yang memuaskan persamaan kuadratik itu.

2. Punca persamaan juga dikenali sebagai penyelesaianbagi persamaan tertentu.

3. Menyelesaikan persamaan kuadratik dengan kaedah pemfaktoran.

Langkah 1: Tulis persamaan kuadratik dalam bentuk am ax²+ bx + c = 0.

Langkah 2: Faktorkan ungkapan kuadratik ax² + bx + c= 0 dalam bentuk (mx + p)
(nx+ q) = 0.

Langkah 3: Nyatakan mx + p= 0 atau nx + q = 0.

Langkah 4: Selesaikan dua persamaan dalam langkah 3.

\begin{array}{l} m x + p = 0 atau n x + q = 0 \\ x = - \frac{p}{m} atau x = - \frac{q}{n} \end{array}

Contoh 1:

Selesaikan persamaan kuadratik,

\frac{2 x^{2} - 5}{3} = 3 x

Penyelesaian:

\frac{2 x^{2} - 5}{3} = 3 x

2x²– 5 = 9x

2x²– 9x – 5 = 0

(x – 5) (2x + 1) = 0

x – 5 = 0 atau 2x + 1 = 0

x = 5 x = – ½

Contoh 2:

Selesaikan persamaan kuadratik, 4x² – 12 = –13x.

Penyelesaian:

4x²– 12 = –13x

4x²+ 13x – 12 = 0

(4x – 3) (x + 4) = 0

4x – 3 = 0 atau x + 4 = 0

x= ¾ x = – 4

Contoh 3:

Selesaikan persamaan kuadratik, 5x² = 3(x + 2) – 4.

Penyelesaian:

5x²= 3(x + 2) – 4

5x²= 3x + 6 – 4

5x² – 3x – 2 = 0

(x – 1) (5x + 2) = 0

x – 1 = 0 atau 5x + 2 = 0

x= 1

x = - \frac{2}{5}

Contoh 4:

Selesaikan persamaan kuadratik,

\frac{3 x (x - 3)}{4} = - x + 3.

Penyelesaian:

\frac{3 x (x - 3)}{4} = - x + 3

3x²– 9x = –4x + 12

3x² – 5x – 12 = 0

(x – 3) (3x + 4) = 0

x – 3 = 0 atau 3x + 4 = 0

x = 3

x = - \frac{4}{3}

Bab 2 Ungkapan dan Persamaan Kuadratik

Posted on April 29, 2016 by user

2.3 Persamaan Kuadratik

1. Persamaan Kuadratik adalah persamaan yang memenuhi syarat-syarat berikut:

(a) Ia mengandungi tatatanda kesamaan, ‘=’

(b) Ia melibatkan hanya satu anu.

(c) Kuasa tertinggi anu terlibat ialah 2.

Contoh,

2. Bentuk am bagi sesuatu persamaan kuadratik boleh ditulis sebagai:

(a) ax² + bx + c = 0 ,

di mana a ≠ 0, b ≠ 0 dan c ≠ 0,

contoh: 4x² + 13x – 12 = 0

(b) ax² + bx = 0 ,

di mana a ≠ 0, b ≠ 0 tetapi c = 0,

contoh: 7x² + 9x = 0

(c) ax² + c = 0 ,

di mana a ≠ 0, c ≠ 0 tetapi b = 0,

contoh: 9x² – 3 = 0

Contoh 1:

Tulis setiap persamaan kuadratik berikut dalam bentuk am.

(a) x² – 5x = 12

(b) –2 + 5x² – 6x = 0

(d) (x – 2)(x + 6) = 0

(e) 3 – 13x = 4 (x² + 2)

\begin{array}{l} (f) 2 - y = \frac{1 - 3 y}{y} \\ (g) \frac{p}{4} = \frac{2 p^{2} - 3}{10} \\ (h) \frac{y^{2} + 5}{4} = \frac{y - 1}{2} \\ (i) \frac{4 p}{7} = p (7 p - 6) \end{array}

Penyelesaian:

Bentuk am bagi sesuatu persamaan kuadratik ialah ax² + bx + c = 0

(a) x² – 5x = 12

x² – 5x -12 = 0

(b) –2 + 5x² – 6x = 0

5x² – 6x –2 = 0

(c) 7p² – 3p = 4p² + 4p – 3

7p² – 3p – 4p² – 4p + 3 = 0

3p² – 7p + 3 = 0

(d) (x – 2)(x + 6) = 0

x² + 6x – 2x – 12 = 0

x² + 4x – 12 = 0

(e) 3 – 13x = 4 (x² + 2)

3 – 13x = 4x² + 8

–4x²– 8 + 3 – 13x = 0

–4x² – 13x – 5 = 0

4x² + 13x + 5 = 0

(f) 2 - y = \frac{1 - 3 y}{y}

2y – y²= 1 – 3y

2y – y²– 1 + 3y = 0

– y²+ 3y – 1 = 0

y² – 3y + 1 = 0

(g) \frac{p}{4} = \frac{2 p^{2} - 3}{10}

10p = 8p² – 12

–8p² + 10p +12 = 0

8p² – 10p – 12 = 0

(h) \frac{y^{2} + 5}{4} = \frac{y - 1}{2}

2y² + 10 = 4y – 4

2y² – 4y + 10 + 4 = 0

2y² – 4y + 14 = 0

(i) \frac{4 p}{7} = p (7 p - 6)

4p = 7p (7p – 6)

4p = 49p² – 42p

– 49p² + 42p + 4p = 0

49p² – 46p = 0

Bab 2 Ungkapan dan Persamaan Kuadratik

Posted on April 29, 2016 by user

2.1 Ungkapan Kuadratik (Contoh Soalan)

Contoh 1:

Bentukkan suatu ungkapan kuadratik dengan mendarab setiap yang berikut.

(a) (6p – 2)(2p – 1)

(b) (m + 5)(4 – 7m)

Penyelesaian:

(a) (6p – 2)(2p – 1)

= (6p)(2p) + (6p)( –1) + (–2)(2p) + (–2)( –1)

= 12p²– 6p – 4p + 2

= 12p²– 10p + 2

(b) (m + 5)(4 – 7m)

= (m)(4) + (m)(-7m) + (5)(4) + (5)(-7m)

= 4m – 7m² + 20 – 35m

= –7m²– 31m + 20

(c) (x + 2) (2x – 3)

= (x)(2x) + (x)( –3) + (2)(2x) + (2)( –3)

= 2x²– 3x + 4x – 6

= 2x² + x - 6

Bab 2 Ungkapan dan Persamaan Kuadratik

Posted on April 27, 2016 by user

SPM Praktis (Soalan Panjang)

Soalan 5:

Selesaikan persamaan kuadratik

(m + 2)(m – 4) = 7(m – 4).

Penyelesaian:

(m + 2)(m – 4) = 7(m – 4)

m² – 4m + 2m – 8 = 7m – 28

m² – 9m + 20 = 0

(m – 5)(m – 4) = 0

m= 5 or m= 4

Soalan 6:

Selesaikan persamaan kuadratik

\frac{- 6 y - 2}{y} = \frac{7}{1 - y}

Penyelesaian:

\begin{array}{l} \frac{- 6 y - 2}{y} = \frac{7}{1 - y} \\ (- 6 y - 2) (1 - y) = 7 y \\ - 6 y + 6 y^{2} - 2 + 2 y - 7 y = 0 \\ 6 y^{2} - 11 y - 2 = 0 \\ (6 y + 1) (y - 2) = 0 \\ 6 y + 1 = 0 or y = 2 \\ y = - \frac{1}{6} \end{array}

Soalan 7:

Selesaikan persamaan kuadratik

\frac{4 m}{7} = m (8 m - 9)

Penyelesaian:

\begin{array}{l} \frac{4 m}{7} = m (8 m - 9) \\ 4 m = 7 m (8 m - 9) \\ 4 m = 56 m^{2} - 63 m \\ 56 m^{2} - 63 m - 4 m = 0 \\ 56 m^{2} - 67 m = 0 \\ m (56 m - 67) = 0 \\ m = 0 or 56 m - 67 = 0 \\ m = \frac{67}{56} \end{array}

Soalan 8:

Rajah di atas menunjukkan sebuah segi empat tepat ABCD.

(a) Ungkapkan luas ABCD dalam sebutan x,

(b) Diberi luas ABCD ialah 60 cm², cari panjang AB.

Penyelesaian:

(a)

Luas ABCD

= (n + 7) × n

= (n²+ 7n) cm²

(b)

Diberi luas ABCD= 60

n² + 7n = 60

n² + 7n – 60 = 0

(n – 5) (n + 12) = 0

n= 5 or n = – 12 (tidak diterima)

Apabila n= 5,

Panjang AB = 5 + 7 = 12 cm