Bab 9 Pembezaan

Posted on June 9, 2020 by Myhometuition

Bab 9 Pembezaan

9.2.1 Terbitan Pertama untuk Fungsi Polinomial (Contoh)

Contoh:

Cari dy/dx bagi setiap fungsi yang berikut:

(a) y = 12

(b) y = x⁴

(d) y = 5x³

\begin{array}{l} (e) y = \frac{1}{x} \\ (f) y = \frac{2}{x^{4}} \\ (g) y = \frac{2}{5 x^{2}} \\ (h) y = 3 \sqrt{x} \\ (i) y = 4 \sqrt{x^{3}} \end{array}

Penyelesaian:

(a) y = 12

dy/dx = 0

(b) y = x⁴

dy/dx = 4x³

(c) y = 3x

dy/dx = 3

(d) y = 5x³

dy/dx = 15x²

(e)

\begin{array}{l} y = \frac{1}{x} = x^{- 1} \\ \frac{d y}{d x} = - x^{- 1 - 1} = - \frac{1}{x^{2}} \end{array}

(f)

\begin{array}{l} y = \frac{2}{x^{4}} = 2 x^{- 4} \\ \frac{d y}{d x} = - 4 (2 x^{- 4 - 1}) \\ = - 8 x^{- 5} = - \frac{8}{x^{5}} \end{array}

(g)

\begin{array}{l} y = \frac{2}{5 x^{2}} = \frac{2 x^{- 2}}{5} \\ \frac{d y}{d x} = - 2 (\frac{2 x^{- 2 - 1}}{5}) \\ = - \frac{4 x^{- 3}}{5} \\ = - \frac{4}{5 x^{3}} \end{array}

(h)

\begin{array}{l} y = 3 \sqrt{x} = 3 {(x)}^{\frac{1}{2}} \\ \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} (3 x^{\frac{1}{2} - 1}) \\ = \frac{3}{2} x^{- \frac{1}{2}} = \frac{3}{2 \sqrt{x}} \end{array}

(i)

\begin{array}{l} y = 4 \sqrt{x^{3}} = 4 {(x^{3})}^{\frac{1}{2}} = 4 x^{\frac{3}{2}} \\ \frac{d y}{d x} = \frac{3}{2} (4 x^{\frac{3}{2} - 1}) \\ = 6 x^{\frac{1}{2}} = 6 \sqrt{x} \end{array}

Bab 9 Pembezaan

Posted on June 9, 2020 by Myhometuition

9.4.1 Pembezaan Peringkat Kedua, Titik Pusingan: Titik Maksimum dan Titik Minimum (Contoh)

Contoh 1 (Nilai Maksimum suatu fungsi kuadratik)

Diberi bahawa y = 3x (4 – x), hitungkan

(a) nilai x apabila y adalah maksimum,

(b) nilai maksimum y.

Penyelesaian:

y = 3x (4 – x)

y = 12x – 3x²

\begin{array}{l} \frac{d y}{d x} = 12 - 6 x \\ Apabila y ialah maksimum, \frac{d y}{d x} = 0 \end{array}

0 = 12 – 6x

x = 2

y = 12x – 3x²

apabila x = 2,

y = 12 (2) – 3 (2)²

y = 12

Contoh 2 (Menentukan titik pusingan dan ujian terbitan kedua)

Cari koordinat titik-titik pusingan bagi lengkung y = 2x³+ 3x²– 12x + 7 dan tentukan jenis titik itu.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} y = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x + 7 \\ \frac{d y}{d x} = 6 x^{2} + 6 x - 12 \\ di titik pusingan, \frac{d y}{d x} = 0 \end{array}

6x² + 6x – 12 = 0

x² + x – 2 = 0

(x – 1) (x + 2) = 0

x = 1 atau x = –2

apabila x = 1

y = 2 (1)³ + 3 (1)² – 12 (11) + 7

y = 0

(1, 0) ialah suatu titik pusingan.

apabila x = –2

y = 2 (–2)³ + 3 (–2)² – 12 (–2) + 7

y = 27

(-2, 27) ialah suatu titik pusingan.

\begin{array}{l} \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 12 x + 6 \\ Apabila x = 1, \\ \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 12 (1) + 6 = 18 > 0 (positif) \\ Oleh itu, titik pusingan (1, 0) adalah titik minimum . \end{array}

\begin{array}{l} Apabila x = - 2, \\ \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 12 (- 2) + 6 = - 18 < 0 (negatif) \\ Oleh itu, titik pusingan (-2, 27) adalah titik maksimum . \end{array}

8.4.5 Taburan Kebarangkalian, SPM Praktis (Kertas 2)

Posted on June 9, 2020 by Myhometuition

Soalan 12:
(a) Didapati bahawa 60% murid dari sebuah kelas tertentu mendapat gred A bagi Bahasa Inggeris dalam peperiksaan percubaan O level.
Jika 10 orang murid dari kelas itu dipilih secara rawak, cari kebarangkalian bahawa
(i) tepat 7orang murid mendapat gred A.
(ii) tidak lebih daripada 7 orang murid mendapat gred A.

(b) Rajah di bawah menunjukkan satu graf taburan normal piawai yang mewakili isi padu kicap dalam botol yang dihasilkan oleh sebuah kilang.

Diberi bahawa min ialah 950 cm³ dan variansnya ialah 256 cm⁶. Jika peratus isi padu yang melebihi V ialah 30.5%, cari
(i) nilai V,
(ii) kebarangkalian bahawa isi padu antara 930 cm³dan 960 cm³.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} (a)(i) \\ P (X = r) = {}^{n}c_{r} . p^{r} . q^{n - r} \\ P (X = 7) = {}^{10}C_{7} {(0.6)}^{7} {(0.4)}^{3} \\ = 0.0860 \\ (i i) \\ P (X \leq 7) \\ = 1 - P (X > 7) \\ = 1 - P (X = 8) - P (X = 9) - P (X = 10) \\ = 1 - {}^{10}C_{8} {(0.6)}^{8} {(0.4)}^{2} - {}^{10}C_{9} {(0.6)}^{9} {(0.4)}^{1} - {}^{10}C_{10} {(0.6)}^{10} {(0.4)}^{0} \\ = 1 - 0.1209 - 0.0403 - 0.0060 \\ = 0.8328 \end{array}

\begin{array}{l} (b) (i) \\ P (X > V) = 30.5 % \\ P (Z > \frac{V - 950}{16}) = 0.305 \\ P (Z > 0.51) = 0.305 \\ \frac{V - 950}{16} = 0.51 \\ V = 0.51 (16) + 950 \\ = 958.16 {cm}^{3} \end{array}

\begin{array}{l} (i i) \\ Kebarangkalian \\ = P (930 < X < 960) \\ = P (\frac{930 - 950}{16} < Z < \frac{960 - 950}{16}) \\ = P (- 1.25 < Z < 0.625) \\ = 1 - P (Z > 1.25) - P (Z > 0.625) \\ = 1 - 0.1056 - 0.2660 \\ = 0.6284 \end{array}

8.4.5 Taburan Kebarangkalian, SPM Praktis (Kertas 2)

Posted on June 9, 2020 by Myhometuition

Soalan 11:
(a) 30% daripada pen di dalam sebuah kotak berwarna biru. Charlie memilih 4 batang pen secara rawak. Cari kebarangkalian sekurang-kurangnya satu batang pen yang dipilih tidak berwarna biru.

(b) Jisim betik yang dituai dari sebuah ladang buah-buahan adalah mengikut taburan normal dengan min 2 kg dan sisihan piawai h kg. Diberi bahawa 15.87% daripada betik itu mempunyai jisim lebih daripada 2.5 kg.
(i) Hitung nilai h.
(ii) Diberi bilangan betik yang dituai dari lading buah-buahan itu ialah 1320, cari bilangan betik yang mempunyai jisim antara 1.0 kg hingga 2.5 kg.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} (a) \\ P (X \geq 1) = 1 - P (X = 0) \\ = 1 - {}^{4}C_{4} {(0.3)}^{4} {(0.7)}^{0} \\ = 0.9919 \end{array}

\begin{array}{l} (b) μ = 2, σ = h \\ (i) \\ P (X > 2.5) = 15.87 % \\ P (Z > \frac{2.5 - 2}{h}) = 0.1587 \\ P (Z > 1.0) = 0.1587 \\ \frac{2.5 - 2}{h} = 1.0 \\ h = 0.5 \end{array}

\begin{array}{l} (i i) \\ p = P (1.0 < x < 2.5) \\ = P (\frac{1.0 - 2}{0.5} < Z < \frac{2.5 - 2}{0.5}) \\ = P (- 2 < Z < 1) \\ = 1 - P (Z < - 2) - P (Z > 1) \\ = 1 - P (Z > 2) - P (Z > 1) \\ = 1 - 0.0228 - 0.1587 \\ = 0.8185 \\ Bilangan betik = 0.8185 \times 1320 \\ = 1080 \end{array}

8.4.5 Taburan Kebarangkalian, SPM Praktis (Kertas 2)

Posted on June 9, 2020 by Myhometuition

Soalan 10:
(a) Satu tinjauan dijalankan berkenaan kelab bulan sabit merah di sebuah sekolah.
Didapati bahawa min bilangan ahli kelab bulan sabit merah ialah 315, varians ialah 126 dan kebarangkalian seorang murid menyertai kelab bulan sabit merah ialah p.

(i) Cari nilai p.

(ii) Jika 8 orang murid dari sekolah itu dipilih secara rawak, cari kebarangkalian lebih daripada 5 orang murid menyertai kelab bulan sabit merah.

(b) Jisim baja yang digunakan di sebuah dusun buah-buahan mempunyai taburan normal dengan min 5 kg dan varians 0.8 kg. Cari kebarangkalian dalam satu hari tertentu, lebih daripada 6 kg baja digunakan.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} (a)(i) \\ n p = 315 \\ n p (1 - p) = 126 \\ 315 (1 - p) = 126 \\ 1 - p = \frac{126}{315} \\ 1 - p = 0.4 \\ p = 0.6 \\ (i i) \\ n = 8, p = 0.6 \\ P (X = r) = {}^{n}c_{r} . p^{r} . q^{n - r} \\ P (X = r) = {}^{8}C_{r} {(0.6)}^{r} {(0.4)}^{8} \\ P (X > 5) \\ = P (X = 6) + P (X = 7) + P (X = 8) \\ = {}^{8}C_{6} {(0.6)}^{6} {(0.4)}^{2} + {}^{8}C_{7} {(0.6)}^{7} {(0.4)}^{1} + {}^{8}C_{8} {(0.6)}^{8} {(0.4)}^{0} \\ = 0.20902 + 0.08958 + 0.01680 \\ = 0.3154 \end{array}

\begin{array}{l} (b) \\ P (X > 6) = P (Z > \frac{6 - 5}{\sqrt{0.8}}) \\ = P (Z > 1.12) \\ = 0.1314 \end{array}

Bab 16 Fungsi Trigonometri

Posted on June 8, 2020 by Myhometuition

5.3.2b Melakar Graf Fungsi Trigonometri (Bahagian 2)

Contoh:

Lakarkan graf bagi setiap fungsi trigonometri yang berikut untuk 0 ≤ x ≤ 2π.

(g) y = –sin x
(h) y = –kos x

(i) y = | sin x |
(j) y = | kos x |

(k) y = tan 2x

Penyelesaian:

(g) y = –sin x

(h) y = –kos x

(i) y = | sin x |

(j) y = | kos x |

(k) y = tan 2x

Bab 15 Vektor

Posted on June 7, 2020 by Myhometuition

4.4.1 Pengungkapan Suatu Vektor sebagai Gabungan Linear Vektor yang lain (Contoh)

Contoh:

Rajah di bawah menunjukkan sebuah segiempat selari ABCD. Titik Q terletak pada garis lurus AB dan titik S terletak pada garis lurus DC. Garis lurus AS dipanjangkan ke titik T dengan keadaan AS = 2ST.

Diberi bahawa AQ : QB = 3 : 1, DS : SC = 3 : 1,

\vec{A Q} = 6 \underset{˜}{a} dan \vec{A D} = \underset{˜}{b}

(a) Ungkapan dalam sebutan

\underset{˜}{a} dan \underset{˜}{b} :

(i) \vec{A S} (ii) \vec{Q C}

(b) Seterusnya, tunjukkan titik Q, C dan T adalah segaris.

Penyelesaian:

(a)(i)

\begin{array}{l} \vec{A S} = \vec{A D} + \vec{D S} \\ = \vec{A D} + \vec{A Q} \leftarrow \begin{array}{l} A Q : Q B = 3 : 1 dan \\ D S : S C = 3 : 1 \\ ∴ \vec{A Q} = \vec{D S} \end{array} \\ = \underset{˜}{b} + 6 \underset{˜}{a} \\ = 6 \underset{˜}{a} + \underset{˜}{b} \end{array}

(a)(ii)

\begin{array}{l} \vec{Q C} = \vec{Q B} + \vec{B C} \\ = \frac{1}{3} \vec{A Q} + \vec{A D} \leftarrow \begin{array}{l} A Q : Q B = 3 : 1 \\ \frac{A Q}{Q B} = \frac{3}{1} \Rightarrow Q B = \frac{1}{3} A Q \\ bagi segiempat selari, \\ B C / / A D, B C = A D \end{array} \\ = \frac{1}{3} (6 \underset{˜}{a}) + \underset{˜}{b} \\ = 2 \underset{˜}{a} + \underset{˜}{b} \end{array}

(b)

\begin{array}{l} \vec{Q T} = \vec{Q A} + \vec{A T} \\ = \vec{Q A} + \frac{3}{2} \vec{A S} \leftarrow \begin{array}{l} A S = 2 S T \\ A T = 3 S T = \frac{3}{2} A S \end{array} \\ = - 6 \underset{˜}{a} + \frac{3}{2} (6 \underset{˜}{a} + \underset{˜}{b}) \\ = 3 \underset{˜}{a} + \frac{3}{2} \underset{˜}{b} \\ = \frac{3}{2} (2 \underset{˜}{a} + \underset{˜}{b}) \\ = \frac{3}{2} \vec{Q C} \\ Maka Q, C dan T adalah segaris . \end{array}

Bab 14 Pengamiran

Posted on June 7, 2020 by Myhometuition

3.5.1 Pengamiran Sebagai Penghasiltambahan Luas (Contoh)

Contoh 1:

Cari luas rantau berlorek.

Penyelesaian:

Luas rantau berlorek, L

\begin{array}{l} = \int_{a}^{b} y d x \\ = \int_{0}^{4} (6 x - x^{2}) d x \\ = {[\frac{6 x^{2}}{2} - \frac{x^{3}}{3}]}_{0}^{4} \\ = [3 {(4)}^{2} - \frac{{(4)}^{3}}{3}] - 0 \\ = 26 \frac{2}{3} {unit}^{2} \end{array}

Contoh 2:

Cari luas rantau berlorek.

Penyelesaian:

y = x -----(1)

x = 8y – y² -----(2)

Gantikan (1) ke dalam (2),

y = 8y – y²

y²– 7y = 0

y (y – 7) = 0

y = 0 atau 7

Dari (1), x = 0 atau 7

Maka, titik persilangan antara lengkung dengan garis lurus ialah (0, 0) dan (7, 7).

Titik persilangan lengkung dengan paksi-y adalah,

x = 8y – y²

pada y-axis, x = 0

0 = 8y – y²

y (y – 8) = 0

y = 0 atau 8

Luas kawasan berlorek = (A₁) Luas segitiga + (A₂) Luas di bawah lengkung dari y = 7 hingga y = 8.

\begin{array}{l} = \frac{1}{2} \times tapak \times tinggi + \int_{7}^{8} x d y \\ = \frac{1}{2} \times (7) (7) + \int_{7}^{8} (8 y - y^{2}) d y \\ = \frac{49}{2} + {[\frac{8 y^{2}}{2} - \frac{y^{3}}{3}]}_{7}^{8} \\ = 24 \frac{1}{2} + [4 {(8)}^{2} - \frac{{(8)}^{3}}{3}] - [4 {(7)}^{2} - \frac{{(7)}^{3}}{3}] \\ = 24 \frac{1}{2} + 85 \frac{1}{3} - 81 \frac{2}{3} \\ = 28 \frac{1}{6} {unit}^{2} \end{array}

Bab 17 Pilir Atur dan Gabungan

Posted on May 15, 2020 by Myhometuition

Soalan 8:

Dalam sebuah kotak terdapat 10 biji gula-gula yang berlainan perisa.

Cari

(a) Bilangan cara 3 biji gula-gula boleh dipilih dari kotak itu.

(b) Bilangan cara sekurang-kurangnya 8 biji gula-gula boleh dipilih dari kotak itu.

Penyelesaian:

(a)

Bilangan cara memilih 3 daripada 10 biji gula-gula

\begin{array}{l} =^{10} C_{3} \\ = 120 \end{array}

(b)

Bilangan cara memilih 8 biji gula-gula =

^{10} C_{8}

Bilangan cara memilih 9 biji gula-gula =

^{10} C_{9}

Bilangan cara memilih 10 biji gula-gula =

^{10} C_{10}

Oleh itu, bilangan cara sekurang-kurangnya 8 biji gula-gula boleh dipilih dari kotak

\begin{array}{l} =^{10} C_{8} +^{10} C_{9} +^{10} C_{10} \\ = 56 \end{array}

Soalan 9 (4 markah):
Danya mempunyai sebuah kedai barangan perhiasan rumah. Pada suatu hari, Danya menerima 14 set cawan daripada seorang pembekal. Setiap set mengandungi 6 biji cawan yang berlainan warna.

(a) Danya memilih 3 set cawan secara rawak untuk diperiksa.
Cari bilangan cara yang berlainan yang digunakan oleh Danya untuk memilih set-set cawan itu.

(b) Danya mengambil satu set cawan untuk dipamerkan dengan menyusunnya secara sebaris.
Cari bilangan cara yang berlainan cawan-cawan itu boleh disusun dengan keadaan cawan berwarna biru tidak diletak bersebelahan cawan berwarna merah.

Penyelesaian:
(a)
Bilangan cara yang berlainan yang digunakan oleh Danya untuk memilih 3 set cawan secara rawak untuk diperiksa
= ¹⁴C₃=364

(b)

Bilangan cara (Cawan berwarna biru diletak bersebelahan cawan berwarna merah)
= 5! × 2!
= 240

Bilangan cara yang berlainan cawan berwarna biru tidak diletak bersebelahan cawan berwarna merah
= 6! – 240
= 720 – 240
= 480

Soalan 10 (2 markah):

\begin{array}{l} (a) Diberi {}^{6}C_{n} > 1, senaraikan semua \\ nilai-nilai yang mungkin bagi n . \\ (b) Diberi {}^{y}C_{m} = {}^{y}C_{n}, ungkapkan y \\ dalam sebutan m dan n . \end{array}

Penyelesaian:
(a)
n = 1, 2, 3, 4, 5

(b)
y = m + n

7.5.3 Kebarangkalian, SPM Praktis (Kertas 1)

Posted on May 15, 2020 by Myhometuition

Soalan 5 (3 markah):
sebiji dadu berbentuk kubus yang tidak adil dilambung. Kebarangkalian mendapat angka ‘4’ ialah

\frac{1}{16}

dan kebarangkalian mendapat selain daripada nombor ‘4’ adalah sama antara satu sama lain.
Jika dadu itu dilambung dua kali, cari kebarangkalian mendapat dua nombor yang berlainan.
Beri jawapan anda dalam bentuk pecahan termudah.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} P (1) + P (2) + P (3) + P (4) + P (5) + P (6) = 1 \\ Diberi kebarangkalian mendapat nombor \\ lain adalah sama . \\ x + x + x + \frac{1}{16} + x + x = 1 \\ 5 x = 1 - \frac{1}{16} \\ 5 x = \frac{15}{16} \\ x = \frac{3}{16} \\ P (Nombor sama) \\ = P (1, 1) + P (2, 2) + P (3, 3) \\ + P (4, 4) + P (5, 5) + P (6, 6) \\ = (x \times x) + (x \times x) + (x \times x) + \\ (\frac{1}{16} \times \frac{1}{16}) + (x \times x) + (x \times x) \\ = 5 x^{2} + \frac{1}{256} \\ = 5 {(\frac{3}{16})}^{2} + \frac{1}{256} \\ = \frac{23}{128} \\ P (Dua nombor yang berlainan) \\ = 1 - \frac{23}{128} \\ = \frac{105}{128} \end{array}