Bab 18 Kebarangkalian Mudah

Posted on October 2, 2016 by user

7.4 Kebarangkalian Peristiwa Tak Bersandar

1. Dua peristiwa A dan B adalah saling tak bersandar, jika kemungkinan peristiwa B berlaku tidak dipengaruhi oleh kejadian peristiwa A dan sebaliknya.

2. Jika peristiwa A dan B adalah saling tak bersandar, maka kebarangkalian peristiwa A dan B berlaku ialah

P (A ∩ B) = P (A) × P (B)

3. Konsep kebarangkalian dua peristiwa yang tak bersandar boleh dilanjutkan kepada tiga atau lebih peristiwa yang tak bersandar. Jika A, B dan C adalah saling tak bersandar, maka
kebarangkalian peristiwa A, B dan C berlaku ialah

P (A ∩ B ∩ C) = P (A) × P (B) × P (C)

4. Masalah kebarangkalian yang melibatkan lebih daripada dua peristiwa bergabung dapat diselesaikan dengan menggunakan gambar rajah pokok.

Contoh:

Fatimah, Emily dan Rani menduduki suatu ujian lisan Bahasa Inggeris. Kebarangkalian bahawa mereka lurus ujian lisan adalah ½, ⅔ dan ¾ masing-masing. Hitung kebarangkalian bahawa
(a) hanya seorang lurus ujian lisan,

(b) sekurang-kurangnya dua orang lurus ujian lisan,

Penyelesaian:

(a)
Katakan P = Lurus dan F = Gagal

Gambar rajah pokok adalah seperti berikut.

P (hanya seorang lurus ujian lisan)

= P (PFFatau FPF atau FFP)

= P (PFF) + P (FPF) + P (FFP)

\begin{array}{l} = \frac{1}{24} + \frac{1}{12} + \frac{1}{8} \\ = \frac{1}{4} \end{array}

(b)

P (sekurang-kurangnya dua orang lurus ujian lisan)

= P (PPPatau PPF atau PFP atau FPP)

= P (PPP) + P (PPF) + P (PFP) + P (FPP)

\begin{array}{l} = \frac{1}{4} + \frac{1}{12} + \frac{1}{8} + \frac{1}{4} \\ = \frac{17}{24} \end{array}

(c)

P (sekurang-kurangnya seorang lurus ujian lisan)

= 1 – P (semua gagal)

= 1 – P (FFF)

\begin{array}{l} = 1 - \frac{1}{24} \\ = \frac{23}{24} \end{array}

Bab 18 Kebarangkalian Mudah

Posted on October 2, 2016 by user

7.3 Kebarangkalian Peristiwa Saling Eksklusif

1. Peristiwa saling eksklusifialah peristiwa-peristiwa yang tidak mungkin berlaku serentak.

2. Jika A dan B ialah dua peristiwa saling eksklusif,

P(A υ B) = P(A) + P(B)

Contoh:

Sebuah beg mengandungi 3 keping kad biru, 4 kad hijau dan 5 keping kad kuning. Sekeping kad dipilih secara rawak daripada beg itu. Cari kebarangkalian bahawa kad yang terpilih adalah berwarna hijau atau kuning.

Penyelesaian:

Katakan H = peristiwa sekeping kad hijau dipilih.

K= peristiwa sekeping kad kuning dipilih.

Ruang sampel, S = 12, n(S) = 12

n(H) = 4 dan n(K) = 5

\begin{array}{l} P (H) = \frac{n (H)}{n (S)} = \frac{4}{12} \\ P (K) = \frac{n (K)}{n (S)} = \frac{5}{12} \end{array}

Peristiwa H dan K tidak dapat berlaku serentak kerana kita tidak mungkin memilih kad hijau dan kad kuning pada masa yang sama. Oleh itu, peristiwa H dan K adalah saling eksklusif.

\begin{array}{l} H \cap K = \emptyset \\ P (H \cup K) = P (H) + P (K) \\ = \frac{4}{12} + \frac{5}{12} \\ = \frac{9}{12} = \frac{3}{4} \end{array}

Bab 18 Kebarangkalian Mudah

Posted on October 2, 2016 by user

7.2 Kebarangkalian Gabungan Dua Peristiwa

1. Untuk dua peristiwa, A dan B, dalam ruang sampel S, peristiwa A ∩ B (A dan B) dan A υ B(A atau B) dikenali sebagai peristiwa bergabung.

2. Kebarangkalian suatu peristiwa A atau peristiwa B berlaku (Kesatuan set A dan set B), boleh ditentukan dengan rumus yang berikut:

P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)

3. Kebarangkalian kesatuanset A dan set B juga boleh ditentukan dengan rumus alternatif yang berikut:

P (A \cup B) = \frac{n (A \cup B)}{n (S)}

4. Kebarangkalian suatu peristiwa A dan suatu peristiwa B berlaku P(A ∩ B) (Persilangan set A dan set B), boleh ditentukan dengan rumus yang berikut:

P (A \cap B) = \frac{n (A \cap B)}{n (S)}

Contoh:

Diberi set semesta ialah ξ = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}. Satu nombor dipilih secara rawak daripada set ξ. Cari kebarangkalian bahawa

(a) suatu nombor genap terpilih,

(b) suatu nombor ganjil atau nombor perdana terpilih.

Penyelesaian:

Ruang sampel, S, ialah ξ

n(S) = 14

(a)

Katakan A = Peristiwa suatu nombor genap dipilih

A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}

n(A) = 7

\begin{array}{l} P (A) = \frac{n (A)}{n (S)} \\ = \frac{7}{14} = \frac{1}{2} \end{array}

(b)

B = Peristiwa nombor yang dipilih itu ialah nombor ganjil

C = Peristiwa nombor yang dipilih itu ialah nombor perdana

B = {3, 5, 7, 9, 11, 13, 15} dan n(B) = 7

C = {2, 3, 5, 7, 11, 13} dan n(C) = 6

Peristiwa nombor yang dipilih itu ialah ‘nombor ganjil atau nombor perdana’ ialah B υ C.

P(B υ C) = P(B) + P(C) – P(B ∩ C)

B ∩ C = {3, 5, 7, 11, 13}, n(B ∩ C) = 5

\begin{array}{l} P (B \cup C) \\ = P (B) + P (C) - P (B \cap C) \\ = \frac{n (B)}{n (S)} + \frac{n (C)}{n (S)} - \frac{n (B \cap C)}{n (S)} \\ = \frac{7}{14} + \frac{6}{14} - \frac{5}{14} \\ = \frac{8}{14} = \frac{4}{7} \end{array}

Maka, kebarangkalian bahawa nombor yang dipilih itu ialah nombor ganjil atau nombor perdana ialah =

\frac{4}{7} .

Bab 18 Kebarangkalian Mudah

Posted on October 2, 2016 by user

7.1 Kebarangkalian Sesuatu Peristiwa

1. Ruang sampel , S, ialah satu set yang mempunyai semua kesudahan yang mungkin bagi sesuatu uji kaji.

Misalnya:

Dalam melontar sebiji dadu, kesudahan yang mungkin ialah 1, 2, 3, 4, 5 atau 6.

Maka ruang sampel bagi uji kaji ini lalah S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

2. Peristiwa ialah set kesudahan yang mungkin bagi suatu uji kaji. Sebagai contoh, dalam lambungan sebiji dadu, katakan peristiwa A sebagai ‘peristiwa mendapat nombor genap’ dan peristiwa B sebagai ‘peristiwa mendapat nombor ganjil’.

A = {2, 4, 6}

B = {1, 3, 5}

3. Kebarangkalian bagi peristiwa A berlaku ialah

\begin{array}{l} P (A) = \frac{n (A)}{n (S)}, \\ P (A) = \frac{bilangan kesudahan bagi peristiwa A}{jumlah bilangan kesudahan bagi ruang sampel, S} \end{array}

4. (a)Kebarangkalian untuk sesuatu peristiwa mempunyai nilai di antara 0 dan 1 terangkum. 0 ≤ P(A) ≤ 1.

(b) Jika P(A) = 1, peristiwa Apasti berlaku.

(c) Jika P(A) = 0, peristiwa Atidak mungkin berlaku.

5. Bagi suatu peristiwa A dalam ruang sampel S, pelengkapbagi set A ialah semua unsur S yang bukan unsur A. Pelengkap set Aditulis sebagai A’.

P (\bar{A}) = 1 - P (A)

Contoh:

Sebuah kotak mengandungi 20 keping kad. Nombor kad yang dibentuk adalah daripada 21 ke 40 masing-masing. Jika sekeping kad dipilih secara rawak, cari kebarangkalian bahawa nombor yang dipilih itu ialah

(a) nombor genap,

(b) nombor ganjil yang lebih besar daripada 29.

Penyelesaian:

Ruang sampel, S, ialah

S = {21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40}

n(S) = 20

(a)

A = Peristiwa untuk mendapat sekeping kad nombor genap

A = {22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40}

n(A) = 10

\begin{array}{l} P (A) = \frac{n (A)}{n (S)} \\ = \frac{10}{20} = \frac{1}{2} \end{array}

(b)

B = Peristiwa untuk mendapat sekeping kad nombor ganjil yang lebih besar daripada 29

B = {31, 33, 35, 37, 39}

n(B) = 5

\begin{array}{l} P (B) = \frac{n (B)}{n (S)} \\ = \frac{5}{20} = \frac{1}{4} \end{array}

Bab 18 Kebarangkalian Mudah

Posted on October 2, 2016 by user

7.6.1 Kebarangkalian, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 1:

Dalam satu acara menembak, Peter, William dan Roger bersaing antara satu sama lain untuk menembak suatu sasaran. Kebarangkalian bahawa mereka mengena sasaran ialah

\frac{2}{5}, \frac{3}{4} dan \frac{2}{3}

masing-masing.

Cari kebarangkalian bahawa

(a) ketiga-tiga daripada mereka mengena sasaran,

(b) hanya satu daripada mereka mengena sasaran,

Penyelesaian:

Katakan S = mengena sasaran dan M = terlepas sasaran

Kebarangkalian bahawa Peter terlepas sasaran =

\frac{3}{5}

Kebarangkalian bahawa William terlepas sasaran = ¼

Kebarangkalian bahawa Roger terlepas sasaran = ⅓

(a)

Kebarangkalian (ketiga-tiga daripada mereka mengena sasaran)

\begin{array}{l} = \frac{2}{5} \times \frac{3}{4} \times \frac{2}{3} \\ = \frac{1}{5} \end{array}

(b)

Kebarangkalian (hanya satu daripada mereka mengena sasaran)

= P (hanya Peter mengena sasaran) + P (hanya William mengena sasaran) + P (hanya Roger
mengena sasaran)

\begin{array}{l} = (\frac{2}{5} \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{3}) + (\frac{3}{5} \times \frac{3}{4} \times \frac{1}{3}) + (\frac{3}{5} \times \frac{1}{4} \times \frac{2}{3}) \\ = \frac{1}{30} + \frac{3}{20} + \frac{1}{10} \\ = \frac{17}{60} \end{array}

(c)

Kebarangkalian (sekurang-kurangnya satu daripada mereka mengena sasaran)

= 1 – P (ketiga-tiga daripada mereka terlepas sasaran)

\begin{array}{l} = 1 - (\frac{3}{5} \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{3}) \\ = 1 - \frac{1}{20} \\ = \frac{19}{20} \end{array}

Bab 18 Kebarangkalian Mudah

Posted on October 1, 2016 by user

7.6 Kebarangkalian, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 2:

Sebuah beg mengandungi 4 keping kad merah, 6 keping kad biru dan 5 keping kad hijau. Sekeping kad dikeluarkan secara rawak daripada beg itu. Warna kad itu dicatatkan dan kad itu dikembalikan ke dalam beg. Seterusnya, kad kedua dan ketiga dipilih secara rawak.

Cari kebarangkalian bahawa

(a) ketiga-tiga kad yang dipilih itu berwarna biru,

(b) dua kad biru dipilih diikuti dengan sekeping kad merah,

(d) ketiga-tiga kad yang dipilih berwarna sama.

Penyelesaian:

Katakan M = kad merah, B = kad biru, H = kad hijau

(a)

Kebarangkalian (ketiga-tiga kad berwarna biru)

\begin{array}{l} = \frac{6}{15} \times \frac{6}{15} \times \frac{6}{15} \\ = \frac{8}{125} \end{array}

(b)

Kebarangkalian (dua kad biru diikuti dengan sekeping kad merah)

\begin{array}{l} = \frac{6}{15} \times \frac{6}{15} \times \frac{4}{15} \\ = \frac{16}{375} \end{array}

(c)

Kebarangkalian (turutan kad yang terpilih adalah merah, hijau dan biru)

\begin{array}{l} = \frac{4}{15} \times \frac{6}{15} \times \frac{5}{15} \\ = \frac{8}{225} \end{array}

(d)
Kebarangkalian (ketiga-tiga kad yang dipilih berwarna sama)

\begin{array}{l} = P (M M M) + P (B B B) + P (H H H) \\ = {(\frac{4}{15})}^{3} + {(\frac{6}{15})}^{3} + {(\frac{5}{15})}^{3} \\ = \frac{64}{3375} + \frac{216}{3375} + \frac{125}{3375} \\ = \frac{3}{25} \end{array}

Bab 18 Kebarangkalian Mudah

Posted on October 1, 2016 by user

7.5 Kebarangkalian, SPM Praktis (Kertas 1)

Soalan 1:

Kebarangkalian pelajar P dipilih sebagai pengawas sekolah ialah

\frac{3}{4}

manakala kebarangkalian pelajar Q dipilih ialah

\frac{5}{6}

Cari kebarangkalian bahawa

(a) kedua-dua pelajar dipilih sebagai pengawas sekolah,

(b) hanya seorang pelajar dipilih sebagai pengawas sekolah.

Penyelesaian:

(a)

Kebarangkalian (kedua-dua pelajar dipilih sebagai pengawas sekolah)

\begin{array}{l} = \frac{3}{4} \times \frac{5}{6} \\ = \frac{5}{8} \end{array}

(b)

Kebarangkalian (hanya seorang pelajar dipilih sebagai pengawas sekolah)

\begin{array}{l} = (\frac{3}{4} \times \frac{1}{6}) + (\frac{1}{4} \times \frac{5}{6}) \\ = \frac{3}{24} + \frac{5}{24} \\ = \frac{1}{3} \end{array}

Soalan 2:

Sebuah beg mengandungi x keping kad berwarna merah jambu dan 6 keping kad berwarna hijau. Dua keping kad dikeluarkan secara rawak daripada kotak itu, satu demi satu, tanpa dikembalikan ke dalam beg itu. Cari nilai x jika kebarangkalian untuk mendapatkan 2 keping kad hijau ialah ⅓.

Penyelesaian:

Jumlah kad dalam beg = x + 6

P(mendapatkan 2 keping kad hijau) = ⅓

\begin{array}{l} \frac{6}{x + 6} \times \frac{5}{x + 5} = \frac{1}{3} \\ \frac{30}{(x + 6) (x + 5)} = \frac{1}{3} \end{array}

(x + 6) (x + 5) = 90

x² + 11x + 30 = 90

x² + 11x – 60 = 0

(x – 4) (x + 15) = 0

x = –15 (tidak diterima)

Oleh itu, x = 4

Bab 3 Fungsi Kuadratik

Posted on September 30, 2016 by user

3.7 Fungsi Kuadratik, SPM Praktis (Soalan Panjang)

Soalan 3:

Rajah di atas menunjukkan graf fungsi kuadratik y = f(x). Garis lurus y = –4 ialah tangen kepada lengkung y = f(x).

(a) Tulis persamaan paksi simetri untuk fungsi f(x).

(b) Ungkapakan f(x) dalam bentuk (x + p)² + q , dengan keadaan p dan q ialah pemalar.

(i) f(x) < 0, (ii) f(x) ≥ 0.

Penyelesaian:

(a)

Koordinat-x titik minimum = titik tengah bagi (–2, 0) dan (6, 0)

= \frac{- 2 + 6}{2} = 2

Maka, persamaan paksi simetri untuk fungsi f(x) ialah x = 2.

(b)

Gantikan x = 2 dalam x + p = 0,

2 + p = 0

p = –2

dan q = –4 (nilai f(x) yang paling kecil)

Maka, f(x) = (x + p)² + q

f(x) = (x – 2)² – 4

(c)(i) Daripada graf, bagi f(x) < 0, julat nilai x ialah –2 < x < 6 ← (bahagian graf di bawah paksi-x).

(c)(ii) Daripada graf, bagi f(x) ≥ 0, julat nilai x ialah x ≤ –2 atau x ≥ 6 ← (bahagian graf di atas paksi-x).

Soalan 4:

Cari julat nilai k supaya persamaan x² – kx + 3k – 5 = 0 tidak mempunyai punca.
Buktikan bahawa punca-punca persamaan kuadratik hx² – (h + 3)x + 1 = 0 adalah nyata dan berbeza untuk semua nilai h.

Penyelesaian:
(a)

\begin{array}{l} x^{2} - k x + (3 k - 5) = 0 \\ Jika persamaan di atas tidak mempunyai punca, \\ maka b^{2} - 4 a c < 0. \\ k^{2} - 4 (3 k - 5) < 0 \\ k^{2} - 12 k + 20 < 0 \\ (k - 2) (k - 10) < 0 \end{array}

Graf fungsi y = (k – 2)(k – 10) memotong paksi ufuk di k = 2 dan k = 10.
Graf melekung ke bawah untuk b² – 4ac < 0.

Julat nilai k yang memuaskan ketaksamaan di atas ialah 2 < k < 10.

(b)

\begin{array}{l} h x^{2} - (h + 3) x + 1 = 0 \\ b^{2} - 4 a c = {(h + 3)}^{2} - 4 (h) (1) \\ = h^{2} + 6 h + 9 - 4 h \\ = h^{2} + 2 h + 9 \\ = {(h + \frac{2}{2})}^{2} - {(\frac{2}{2})}^{2} + 9 \\ = {(h + 1)}^{2} - 1 + 9 \\ = {(h + 1)}^{2} + 8 \end{array}

Nilai minimum bagi (h + 1) + 8 ialah 8, satu nilai positif. Oleh itu, b² – 4ac > 0 untuk semua nilai h.
Maka, punca-punca persamaan kuadratik hx² – (h + 3)x + 1 = 0 adalah nyata dan berbeza untuk semua nilai h.

Bab 12 Janjang

Posted on September 29, 2016 by user

1.4 Janjang, SPM Praktis (Soalan Panjang)

Soalan 2:

Satu bulatan, jejari 10 cm dibahagikan kepada 4 sektor dengan keadaan luas sektor-sektor itu adalah dalam janjang geometri. Diberi bahawa luas sector yang paling besar ialah 8 kali luas sektor yang paling kecil. Cari luas sektor yang paling besar itu.

Penyelesaian:

Katakan luas yang terkecil

= ½ (10)²θ ← (Luas sektor = ½ j² θ)

= 50 θ

nisbah sepunya = r

janjang geometri ialah 50 θ, 50 θr, 50 θr², 50 θr³.

diberi bahawa luas sektor yang paling besar ialah 8 kali luas sektor yang paling kecil,

50 θr³= 8 (50 θ)

r³ = 8

r= 2

Jumlah luas semua sektor

= luas bulatan = πj²

= π (10)² = 100π

S₄ = 100π

\begin{array}{l} \frac{50 θ (r^{4} - 1)}{r - 1} = 100 π \\ \frac{50 θ (2^{4} - 1)}{2 - 1} = 100 π \\ 50 θ (15) = 100 π \\ θ = \frac{2 π}{15} \end{array}

T₄ = 50 θr³

T_{4} = 50 (\frac{2 π}{15}) {(2)}^{3}

T₄ = 167.6 (π = 3.142)

Luas sektor terbesar = 167.6 cm²

Bab 12 Janjang

Posted on September 29, 2016 by user

1.4 Janjang, SPM Praktis (Soalan Panjang)

Soalan 1:

Rajah di bawah menunjukkan sebahagian daripada susunan batu-bata yang sama saiz dalam suatu tapak pembinaan.

Bilangan bata pada garis yang paling bawah ialah 100 ketul. Bagi baris-baris yang berikutnya, bilangan bata adalah 2 ketul kurang daripada baris yang di bawahnya. Tinggi setiap ketul bata itu ialah 7 cm.

Rahman membina sebuah tembok dengan mneyusun bata mengikut susunan itu. Bilangan bata pada garis yang paling atas ialah 4 ketul.

Hitungkan

(a) tinggi, dalam cm, tembok itu.

(b) jumlah harga bata yang digunakan jika harga seketul bata ialah 50 sen.

Penyelesaian:

100, 98, 96, …, 4 adalah satu janjang aritmetik

a= 100 dan d = –2

(a)

T_n= 4

a + (n – 1) d = 4

100 + (n – 1)(–2) = 4

100 – 2n + 2 = 4

2n = 98

n= 49

Maka, tinggi tembok = 49 × 7 = 343 cm

(b)

Jumlah bata yang digunakan

= S₄₉

= \frac{49}{2} (100 + 4) \leftarrow rumus, S_{n} = \frac{n}{2} (a + l)

= 2548

Maka, jumlah harga = 2548 × RM0.50

= RM1,274