Bab 17 Pilir Atur dan Gabungan

Posted on July 11, 2016 by user

6.3 Pilir Atur dan Gabungan, SPM praktis (Kertas 1)

Soalan 5:

Satu jawatankuasa yang terdiri daripada 6 orang ahli dipilih secara rawak daripada 5 orang guru dan 4 orang pelajar. Cari bilangan cara jawatankuasa itu boleh dibentuk jika

(a) tiada sebarang syarat dikenakan,

(b) bilangan guru lebih daripada bilangan pelajar.

Penyelesaian:

(a)

Jumlah ahli jawatankuasa = 5 + 4 = 9

6 orang ahli dipilih secara rawak daripada 9 orang dengan tiada sebarang syarat dikenakan

=^{9} C_{6} = 84

(b)

Jika bilangan guru mesti lebih daripada bilangan pelajar, gabungan adalah seperti berikut

= 4 orang guru 2 orang pelajar + 5 orang guru seorang pelajar

=^{5} C_{4} \times^{4} C_{2} +^{5} C_{5} \times^{4} C_{1}

= 30 + 4

= 34

Soalan 6:

Suatu jawatankuasa sekolah yang terdiri daripada enam orang dipilih secara rawak daripada 6 orang guru lelaki, 4 orang guru wanita dan seorang guru besar lelaki. Cari bilangan cara jawatankuasa itu boleh dibentuk jika

(a) guru besar adalah pengerusi jawatankuasa itu,

(b) jawatankuasa itu mengandungi tepat 2 orang guru wanita,

Penyelesaian:

(a)

Jika guru besar adalah pengerusi jawatankuasa, bilangan jawatankuasa yang tinggal terdiri daripada 5 ahli.

Maka, bilangan cara jawatankuasa itu boleh dibentuk daripada 6 orang guru lelaki dan 4 orang guru wanita

\begin{array}{l} =^{10} C_{5} \\ = 252 \end{array}

(b)

Tepat 2 orang guru wanita dalam jawatankuasa

\begin{array}{l} =^{4} C_{2} \times^{7} C_{4} \\ = 210 \end{array}

(c)

Jawatankuasa mengandungi bilangan guru lelaki yang tidak melebihi empat orang

= 4 orang guru lelaki 2 orang guru wanita + 3 orang guru lelaki 3 orang guru wanita + 2 orang guru lelaki 4 orang guru wanita

=^{7} C_{4} \times^{4} C_{2} +^{7} C_{3} \times^{4} C_{3} +^{7} C_{2} \times^{4} C_{4}

= 210 + 140 + 21

= 371

Soalan 7:

Jawatankuasa pengawas sebuah sekolah terdiri daripada 6 orang ahli dipilih secara rawak daripada 6 orang pelajar Melayu, 5 orang pelajar Cina dan 4 orang pelajar India. Cari bilangan cara jawatankuasa itu boleh dibentuk jika jawatankuasa itu mempunyai bilangan pelajar Melayu, Cina dan India yang sama.

Penyelesaian:

Bilangan cara jawatankuasa itu boleh dibentuk adalah terdiri daripada 2 pelajar Melayu, 2 pelajar Cina dan 2 pelajar India

\begin{array}{l} =^{6} C_{2} \times^{5} C_{2} \times^{4} C_{2} \\ = 900 \end{array}

Bab 17 Pilir Atur dan Gabungan

Posted on July 10, 2016 by user

6.3 Pilir Atur dan Gabungan, SPM praktis (Kertas 1)

Soalan 1:

Rajah di bawah menunjukkan lima keping kad huruf yang berlainan.

R E A C T

(a) Cari bilangan cara susunan yang mungkin, dalam satu baris, semua kad itu.

(b) Carikan bilangan cara susunan itu dengan keadaan huruf E dan huruf A adalah bersebelahan.

Penyelesaian:

(a)

Bilangan cara susunan yang mungkin = 5! = 120

(b)

Jika huruf Edan huruf A hendaklah disusun bersebelahan, EA dianggap sebagai satu unit.

Bersama-sama huruf-huruf ‘R’, ‘C’ dan ‘T’, kesemuanya 4 unit.

EA R C T

Bilangan cara susunan = 4!

Huruf ‘E’ dan ‘A’ boleh juga disusun antaranya dalam kumpulan sendiri.

Bilangan cara susunan = 2!

Oleh itu, bilangan cara susunan perkataan ‘REACT’ dengan keadaan huruf E dan huruf A adalah bersebelahan

= 4! × 2!

= 24 × 2

= 48

Soalan 2:

Sekumpulan 4 orang pelajar lelaki dan 3 orang pelajar perempuan akan duduk sebaris dalam suatu sesi mengambil gambar. Jika pelajar lelaki dan pelajar perempuan akan duduk secara alternatif (lelaki-perempuan-lelaki-perempuan…), hitung bilangan cara susunan itu boleh dibuat.

Penyelesaian:

Susunan 4 orang pelajar lelaki dan 3 orang pelajar perempuan duduk secara alternatif adalah berikut:

L P L P L P L

Bilangan cara menyusun tempat duduk untuk 4 pelajar lelaki = 4!

Bilangan cara menyusun tempat duduk untuk 3 pelajar perempuan = 3!

Oleh itu, bilangan cara untuk menyusun tempat duduk pelajar lelaki dan pelajar perempuan

= 4! × 3! = 144

Soalan 3:

Ahmad mempunyai 6 biji durian, 5 biji tembikai dan 2 biji betik. Jika dia ingin menyusun buah-buahan itu dalam satu baris dan buah-buahan yang sama jenis hendaklah dikumpul bersama, hitung bilangan cara susunan boleh dibuat. Saiz semua buah-buahan adalah berbeza.

Penyelesaian:

Bilangan cara menyusun buah-buahan yang sama jenis = 3!

DDDDDD TTTTT BB

Bilangan cara menyusun 6 biji durian = 6!

Bilangan cara menyusun 5 biji tembikai = 5!

Bilangan cara menyusun 2 biji betik = 2!

Oleh itu, bilangan cara menyusun jenis buah-buahan yang sama dalam sebaris

= 3! × 6! × 5! × 2!

= 1036800

Soalan 4:

Cari bilangan susunan yang dapat diperoleh, tanpa ulangan, daripada perkataan `SOMETHING' dengan syarat huruf pertama ialah huruf vokal.

Penyelesaian:

Huruf pertama boleh diisi oleh mana-mana huruf vokal O, E atau I =

^{3} P_{1}

Susunan bagi huruf-huruf yang seterusnya = 7!

Oleh itu, bilangan susunan bagi perkataan `SOMETHING' yang huruf pertama ialah huruf vocal

\begin{array}{l} =^{3} P_{1} \times 7! \\ = 15120 \end{array}

Bab 11 Nombor Indeks

Posted on July 9, 2016 by user

Soalan 4:

Jadual di bawah menunjukkan harga dan indeks harga bagi empat bahan P, Q, R dan S, yang digunakan untuk membuat sejenis biskut.

Bahan	Harga sekilogram ( RM )		Indeks harga pada tahun 2008 berasaskan tahun 2006
Bahan	Tahun 2006	Tahun 2008	Indeks harga pada tahun 2008 berasaskan tahun 2006
P	0.80	x	125
Q	2.00	2.8	y
R	z	0.60	150
S	0.50	0.40	80

Rajah 2 menunjukkan carta pai yang mewakili kuantiti relatif bagi penggunaan bahan-bahan P, Q, R dan S itu.

Rajah 2

(a) Cari nilai x, y dan z.

(b)(i) Hitungkan nombor indeks gubahan bagi kos membuat biskut itu pada tahun 2008 berasaskan tahun 2006.

(b)(ii) Seterusnya, hitungkan kos membuat biskut itu yang sepadan bagi tahun 2008 jika kos membuatnya pada tahun 2006 ialah RM585.

(c) Kos membuat biskut itu dijanka meningkat sebanyak 40% dari tahun 2008 ke 2010.
Carikan nombor indeks gubahan kos membuat biskut itu yang dijangkakan pada tahun 2010 berasaskan tahun 2006.

Penyelesaian:

(a)

\begin{array}{l} I = \frac{P_{1}}{P_{0}} \times 100 \\ I = \frac{P_{2008}}{P_{2006}} \times 100 \\ 125 = \frac{x}{0.80} \times 100 \\ x = R M 1.00 \end{array}

\begin{array}{l} y = \frac{2.80}{2.00} \times 100 \\ y = 140 \\ 150 = \frac{0.60}{z} \times 100 \\ z = RM0 .40 \end{array}

(b)(i)

Bahan	Indeks harga pada tahun 2008 berasaskan tahun 2006	Pemberat
P	125	80
Q	y	120
R	150	100
S	80	60

Sektor P = 360^o– 120^o – 100^o – 60^o = 80^o

Nombor indeks gubahan bagi kos membuat biskut pada tahun 2008 berasaskan tahun 2006

\begin{array}{l} \bar{I} = \frac{\sum I W}{\sum W} \\ \bar{I} = \frac{(125) (80) + (140) (120) + (150) (100) + (80) (60)}{80 + 120 + 100 + 60} \\ \bar{I} = \frac{46600}{360} \\ \bar{I} = 129.44 \end{array}

(b)(ii)

\begin{array}{l} \bar{I} = \frac{P_{2008}}{P_{2006}} \times 100 \\ 129.44 = \frac{P_{2008}}{585} \times 100 \end{array}

Oleh itu, kos membuat biskut itu bagi tahun 2008 ialah RM757.22.

(c)

tahun 2006 \overset{+ 29.44 %}{\to} tahun 2008 \overset{+ 40 %}{\to} tahun 2010

Oleh itu, indeks gubahan jangkaan pada tahun 2010 berasaskan tahun 2006,

\bar{I} = 129.44 \times \frac{140}{100} = 181.22

Bab 11 Nombor Indeks

Posted on July 9, 2016 by user

11.2 Indeks Gubahan

1. Indeks gubahan ialai nilai purata semua nombor indeks dan kepentingan setiap barangan yang terlibat diambil kira.

Indeks gubahan,

\bar{I} = \frac{Σ I W}{Σ W}

, dengan keadaan

I = Nombor indeks

W = Pemberat

v Pemberat, w bagi sesuatu perkara mewakili kepentingannya berbanding dengan perkara-perkara lain yang dikaji.

v Simbol Ʃ bermakna hasil tambah.

Contoh 1:

Mi	Indeks harga	Pemberat
Mi goreng	112	4
Mi Tomyam	104	3
Mi Rebus	109	2
Mi Wantan	111	1

Jadual di atas menunjukkan indeks harga bagi beberapa jenis mi yang dijual di satu restoran bagi tahun 2000 berasaskan tahun 1996 serta pemberat masing-masing. Hitung indeks gubahan bagi tahun 2000 berasaskan tahun 1996.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} \bar{I} = \frac{\sum I W}{\sum W} \\ \bar{I} = \frac{(112) (4) + (104) (3) + (109) (2) + (111) (1)}{4 + 3 + 2 + 1} \\ \bar{I} = \frac{448 + 312 + 218 + 111}{10} \\ \bar{I} = \frac{1089}{10} = 108.9 \end{array}

Contoh 2:

Barangan	Indeks harga	Pemberat
P	110	4
Q	x	2
R	120	1
S	115	3

Jadual di atas menunjukkan indeks harga bagi beberapa jenis barangan, P, Q, R dan S, bagi tahun 2002 berasaskan tahun 1997 dan pemberat masing-masing. Jika indeks gubahan bagi tahun 2002 berasaskan tahun 1997 ialah 116.5, cari nilai x.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} \bar{I} = \frac{\sum I W}{\sum W} \\ 116.5 = \frac{(110) (4) + (x) (2) + (120) (1) + (115) (3)}{4 + 2 + 1 + 3} \\ 116.5 = \frac{440 + 2 x + 120 + 345}{10} \\ 116.5 = \frac{905 + 2 x}{10} \end{array}

1165 = 905 + 2x

2x = 260

x = 130

Bab 11 Nombor Indeks

Posted on July 9, 2016 by user

11.1 Nombor Indeks

1. Nombor indeks ialah suatu sukatan yang digunakan untuk menunjukkan perubahan suatu kuantiti terhadap masa. Kuantiti itu boleh jadi gaji, harga barang, penghasilan dan sebagainya.

Nombor indeks,

I = \frac{Q_{1}}{Q_{0}} \times 100

, dengan keadaan

Q₀ = kuantititi pada masa asas

Q₁ = kuantititi pada masa tertentu

Harga indeks,

I = \frac{P_{1}}{P_{0}} \times 100

, dengan keadaan

P₀ = Harga pada masa asas

P₁ = Harga pada masa tertentu

2. Indeks harga ialah suatu peratusan, tetapi tanda % tidak ditulis.

3. Indeks harga pada masa asas ialah 100, iaitu apabila Q ₁ = Q₀, I = 100.

Contoh 1:

Harga sebuah rumah yang Encik Sulaimanbeli pada tahun 1998 ialah RM110 000. Dalam tahun 2000, harga rumah tersebut meningkat hingga RM130 000. Hitung indeks harga rumah itu bagi tahun 2000 dengan menggunakan tahun 1998 sebagai tahun asas.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} P_{0} = R M 110000 \\ P_{1} = R M 130000 \\ I = \frac{P_{1}}{P_{0}} \times 100 \\ I = \frac{130000}{110000} \times 100 \\ I = 118.18 \end{array}

Contoh 2:

Harga bagi sebotol minyak masak dalam tahun 1999 ialah RM15.00. Diberi indeks harga bagi tahun 2000 berasaskan tahun tahun 1999 ialah 105, hitung harga sebotol minyak masak dalam tahun 2000.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} P_{0} = R M 15 \\ P_{1} = x {(Harga}_{2000}) \\ I = \frac{P_{1}}{P_{0}} \times 100 \\ 105 = \frac{x}{15} \times 100 \\ 1575 = 100 x \\ x = R M 15.75 \end{array}

Contoh 3:

Berasaskan tahun 1995, nombor indeks bagi sebuah ketuhar bagi tahun 1998 dan tahun 2001 adalah 110 dan 130 masing-masing. Cari nombor indeks bagi tahun 2001 dengan menggunakan tahun 1998 sebagai tahun asas.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} Diberi, \frac{P_{1998}}{P_{1995}} \times 100 = 110 \\ dan \frac{P_{2001}}{P_{1995}} \times 100 = 130 \\ \frac{P_{2001}}{P_{1998}} \times 100 = \frac{P_{2001}}{P_{1995}} \times \frac{P_{1995}}{P_{1998}} \times 100 \\ = \frac{130}{100} \times \frac{100}{110} \times 100 \\ =118 .18 \end{array}

Bab 11 Nombor Indeks

Posted on July 8, 2016 by user

11.3.2 Nombor Indeks, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 3:

Jadual bawah menunjukkan harga, indeks harga dan pemberat bagi empat jenis alat tulis A, B, C dan D.

Alat tulis	Harga (RM) per unit		Indeks harga pada tahun 2009 berasaskan tahun 2008	Pemberat
Alat tulis	Tahun 2008	Tahun 2009	Indeks harga pada tahun 2009 berasaskan tahun 2008	Pemberat
A	2.50	2.00	x	2
B	3.50	4.20	120	3
C	2.00	y	135	m
D	z	5.80	116	4

(a) Cari nilai

(i) x, (ii) y, (iii) z.

(b) Indeks gubahan bagi harga alat tulis tersebut pada tahun 2009 berasaskan tahun 2008 ialah 118.5. Hitung nilai m.

(c) Jumlah perbelanjaan alat tulis tersebut pada tahun 2008 ialah RM350. Hitung jumlah perbelanjaan yang sepadan pada tahun 2009.

(d) Indeks harga bagi B pada tahun 2010 berasaskan tahun 2008 ialah 132. Hitung indeks harga bagi B pada tahun 2010 berasaskan tahun 2009.

Penyelesaian:

(a)(i)

\begin{array}{l} I = \frac{P_{1}}{P_{0}} \times 100 \\ x = \frac{P_{2009}}{P_{2008}} \times 100 \\ x = \frac{2}{2.5} \times 100 \\ x = 80 \end{array}

(a)(ii)

\begin{array}{l} 135 = \frac{P_{2009}}{2} \times 100 \\ 135 = \frac{y}{2} \times 100 \\ y = R M 2.70 \end{array}

(a)(iii)

\begin{array}{l} 116 = \frac{5.80}{P_{2008}} \times 100 \\ 116 = \frac{5.80}{z} \times 100 \\ z = RM5 \end{array}

(b)

Indeks gubahan bagi harga alat tulis pada tahun 2009 berasaskan tahun 2008,

\bar{I} = 118.5

\begin{array}{l} \bar{I} = \frac{\sum I W}{\sum W} \\ 118.5 = \frac{(80) (2) + (120) (3) + (135) (m) + (116) (4)}{2 + 3 + m + 4} \\ 118.5 = \frac{984 + 135 m}{9 + m} \end{array}

1066.5 + 118.5m = 984 + 135m

16.5m = 82.5

m = 5

(c)

\begin{array}{l} \bar{I} = \frac{P_{2009}}{P_{2008}} \times 100 \\ 118.5 = \frac{P_{2009}}{350} \times 100 \end{array}

Oleh itu, jumlah perbelanjaan pada tahun 2009, P₂₀₀₉ = RM414.75.

(d)

Bagi alat tulis B,

\begin{array}{l} Diberi \frac{P_{2010}}{P_{2008}} \times 100 = 132 \to \frac{P_{2010}}{P_{2008}} = \frac{132}{100} \\ dan \frac{P_{2009}}{P_{2008}} \times 100 = 120 \to \frac{P_{2009}}{P_{2008}} = \frac{120}{100} \end{array}

Indeks harga bagi alat tulis B pada tahun 2010 berasaskan tahun 2009

\begin{array}{l} I_{10 / 09} = \frac{P_{2010}}{P_{2009}} \times 100 \\ I_{10 / 09} = \frac{P_{2010}}{P_{2008}} \times \frac{P_{2008}}{P_{2009}} \times 100 \\ I_{10 / 09} = \frac{132}{100} \times \frac{100}{120} \times 100 \\ I_{10 / 09} = 110 \end{array}

Bab 11 Nombor Indeks

Posted on July 8, 2016 by user

Soalan 2:

Rajah di bawah menunjukkan carta palang bagi perbelanjaan mingguan untuk barangan A, B, C, D dan E pada tahun 2000. Jadual 1 menunjukkan harga dan indeks harga barangan tersebut.

Jadual 1

(a) Cari nilai
i. x
ii. y
iii. z

(b) Kirakan nombor indeks gubahan bagi harga barangan itu pada tahun 2006 dengan tahun 2000 sebagai tahun asas.

(c) Jumlah perbelanjaan bulanan bagi barangan itu pada tahun 2000 ialah RM456. Hitungkan jumlah perbelanjaan bulanan yang sepadan pada tahun 2006.

(d) Kos barangan itu meningkat 15% dari tahun 2006 ke tahun 2009. Carikan nombor indeks gubahan tahun 2009 dengan tahun 2000 sebagai tahun asas.

Penyelesaian:

(a)(i)

\begin{array}{l} I = \frac{P_{1}}{P_{0}} \times 100 \\ I = \frac{P_{2006}}{P_{2000}} \times 100 \\ 140 = \frac{1.75}{x} \times 100 \\ x = RM 1.25 \end{array}

(a)(ii)

\begin{array}{l} I = \frac{P_{2006}}{P_{2000}} \times 100 \\ y = \frac{4.80}{4.00} \times 100 \\ y = 120 \end{array}

(a)(iii)

\begin{array}{l} I = \frac{P_{2006}}{P_{2000}} \times 100 \\ 125 = \frac{z}{6.00} \times 100 \\ z = RM7 .50 \end{array}

(b)

Nombor indeks gubahan bagi harga barangan itu pada tahun 2006 dengan tahun 2000 sebagai tahun asas,

\begin{array}{l} \bar{I} = \frac{\sum I W}{\sum W} \\ \bar{I} = \frac{(140) (15) + (125) (30) + (120) (24) + (125) (33) + (110) (12)}{15 + 30 + 24 + 33 + 12} \\ \bar{I} = \frac{14175}{114} \\ \bar{I} = 124.34 \end{array}

(c)

I = \frac{P_{1}}{P_{0}} \times 100

Katakan jumlah perbelanjaan bagi barangan itu pada tahun 2006 ialah P₂₀₀₆

\begin{array}{l} I = \frac{P_{2006}}{P_{2000}} \times 100 \\ 124.34 = \frac{P_{2006}}{RM 456} \times 100 \\ P_{2006} = RM 567 \end{array}

(d)

Katakan nombor indeks gubahan tahun 2009 berasaskan tahun 2000 ialah

\begin{array}{l} {\bar{I}}_{2009} = 124.34 \times \frac{115}{100} \\ {\bar{I}}_{2009} = 143 \end{array}

Bab 11 Nombor Indeks

Posted on July 7, 2016 by user

11.3.1 Nombor Indeks, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 1:

Jadual di bawah menunjukkan indeks harga dan peratus penggunaan bagi empat bahan , P, Q, R dan S, yang meruapakan bahan utama dalam pengeluaran suatu jenis barang mainan.

(a) Hitung

(i) harga bahan S pada tahun 2004 jika harganya pada tahun 2007 ialah RM43.20,

(ii) indeks harga P pada tahun 2007 berasaskan tahun 2002 jika indeks harga pada tahun 2004 berasaskan tahun 2002 ialah 110.

(b) Indeks gubahan bagi kos pengeluaran barang mainan itu pada tahun 2007 berasaskan tahun 2004 ialah 125.

Hitung

(i) nilai x ,

(ii) harga bagi barang mainan itu pada tahun 2004 jika harga yang sepadan pada tahun 2007 ialah RM75.

Penyelesaian:

(a)(i)

\begin{array}{l} 135 = \frac{43.2}{P_{2004}} \times 100 \\ P_{2004} = \frac{43.2 \times 100}{135} = 32 \end{array}

Maka, harga bahan S pada tahun 2004 ialah RM32.

(a)(ii)

\begin{array}{l} Diberi \frac{P_{2004}}{P_{2002}} \times 100 = 110 \to \frac{P_{2004}}{P_{2002}} = \frac{110}{100} \\ dan \frac{P_{2007}}{P_{2004}} \times 100 = 125 \to \frac{P_{2007}}{P_{2004}} = \frac{125}{100} \end{array}

Indeks harga P pada tahun 2007 berasaskan tahun 2002,

\begin{array}{l} I = \frac{P_{2007}}{P_{2002}} \times 100 \\ I = \frac{P_{2007}}{P_{2004}} \times \frac{P_{2004}}{P_{2002}} \times 100 \\ I = \frac{125}{100} \times \frac{110}{100} \times 100 \\ I = 137.50 \end{array}

(b)(i)

\begin{array}{l} Diberi indeks gubahan \bar{I} = 125 \\ \bar{I} = \frac{\sum I W}{\sum W} \\ 125 = \frac{(125) (30) + (x) (20) + (115) (10) + (135) (40)}{30 + 20 + 10 + 40} \\ 125 = \frac{10300 + 20 x}{100} \\ 12500 = 10300 + 20 x \\ x = 110 \end{array}

(b)(ii)

Katakan harga bagi barang mainan itu pada tahun 2004 ialah P₂₀₀₄

\begin{array}{l} P_{2004} \times \frac{125}{100} = 75 \\ P_{2004} = R M 60 \end{array}

Bab 6 Geometri Koordinat

Posted on July 7, 2016 by user

6.8 Geometri Koordinat, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 6:

Penyelesaian secara lukisan berskala tidak akan diterima.

Rajah di bawah menunjukkan sebuah segi tiga OPQ. Titik S terletak pada garis PQ.

(a) Suatu titik Y bergerak dengan keadaan jaraknya dari titik S adalah sentiasa 5 uint.

Cari persamaan lokus Y.

(b) Diberi bahawa titik P dan titik Q terletak pada lokus Y.

Hitung

(i) nilai k,

(ii) koordinat Q.

(c) Seterusnya, cari luas, dalam uint², bagi segi tiga OPQ.

Penyelesaian:

(a)

Katakan koordinat titik Yialah (x, y), dan YS = 5 unit

\sqrt{{(x - 5)}^{2} + {(y - 3)}^{2}} = 5

x² – 10x + 25 + y² – 6y + 9 = 25

x² + y² – 10x – 6y + 9 = 0

(b)(i)

Diberi titik P (2,k) terletak pada lokus Y

(2)² + (k)²– 10 (2) – 6 (k) + 9 = 0

4 + k² – 20 – 6k + 9 = 0

k² – 6k – 7 = 0

(k – 7) (k + 1) = 0

k = 7 atau k = –1

Berdasarkan rajah, k = 7

(b)(ii)

Diberi P dan Q terletak pada lokus Y, Sialah titik tengah PQ. P = (2, 7), S = (5, 3)

Katakan koordinat Q = (x, y),

\begin{array}{l} (\frac{2 + x}{2}, \frac{7 + y}{2}) = (5, 3) \\ \frac{2 + x}{2} = 5 dan \frac{7 + y}{2} = 3 \end{array}

2 + x = 10 dan 7 + y= 6

x = 8 dan y = –1

Koordinat Q = (8, –1).

(c)

Luas ∆ OPQ

\begin{array}{l} = \frac{1}{2} | \begin{array}{l} 0 8     2 \\ 0 - 17 \end{array} \begin{array}{l} 0 \\ 0 \end{array} | \\ = \frac{1}{2} | 0 + (8) (7) + 0 - 0 - (- 1) (2) - 0 | \\ = \frac{1}{2} | 58 | \\ = 29 {unit}^{2} \end{array}

Bab 6 Geometri Koordinat

Posted on July 7, 2016 by user

6.8 Geometri Koordinat, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 5:

Dalam rajah di atas, persamaan bagi garis lurus FMG ialah y = – 4. Satu titik P bergerak dengan keadaan jaraknya dari E adalah sentiasa separah jarak bagi E dari garis lurus FG. Cari

(a) persamaan bagi lokus P,

(b) koordinat-xbagi titik persilangan antara lokus dengan paksi-x.

Penyelesaian:

( a)

Kecerunan garis lurus FMG= 0

EM iadalah berserenjang dengan FMG, jadi kecerunan EM adalah juga = 0, persamaan EM adalah x = 2

Koordinat bagi titik M= (2, –4).

Katakan koordinat bagi titik P = (x, y).

Diberi PE = ½ EM

2PE = EM

2 \sqrt{{(x - 2)}^{2} + {(y - 4)}^{2}} = \sqrt{{(2 - 2)}^{2} + {(4 - (- 4))}^{2}}

4 (x²– 4x + 4 + y² – 8y +16) = (0 + 64) → (Kuasa duakan kedua-dua belah)

4x²– 16x + 16 + 4y² – 32y + 64 = 64

4x²+ 4y² – 16x – 32y + 16 = 0

x² + y² – 4x – 8y + 4 = 0

( b)

x² + y² – 4x – 8y + 4 = 0

pada paksi-x, y = 0.

x² + 0 – 4x – 8(0) + 4 = 0

x² – 4x+ 4 = 0

(x – 2) (x – 2) = 0

x = 2

Jadi, koordinat-x bagi titik persilangan antara lokus dengan paksi-x ialah 2.