Bab 2 Persamaan Kuadratik

Posted on July 1, 2016 by user

2.2b Penyempurnaan Kuasa Dua (Contoh Soalan)

(A) Langkah-langkah untuk menyelesaikan persamaan kuadratik dengan menggunakan cara penyempurnaan kuasa dua.

• pastikan pekali bagi x ialah 1.
• Tulis semula persamaan ax ² + bx + c = 0 dalam bentuk ax ² + bx = –c

• Tambah

${(\frac{pekali bagi x}{2})}^{2}$ pada kedua-dua belah persamaan.

Contoh:

Selesaikan setiap persamaan kuadratik berikut dengan cara penyempurnaan kuasa dua.
(a) 2x ² – 5x – 7 = 0

(b)

$x^{2} + 1 = \frac{10}{3} x$

Penyelesaian:

Bab 2 Persamaan Kuadratik

Posted on July 1, 2016 by user

2.2b Penyempurnaan Kuasa Dua

(A) Penyempurnaan Kuasa Dua

1. Ungkapan x ² + 2x + 1 boleh ditulis dalam bentuk (x + 1)² yang dikenali sebagai ‘kuasa dua sempurna’. Sebagai contoh x ² + 2x + 1 = (x + 1)² .

Contoh:
Selesaikan setiap persamaan kuadratik yang berikut

(a) (x + 1)² = 25

(b) x² − 8x + 16 = 49

Penyelesaian:

(a)

(x + 1)² = 25

(x + 1)² = ±√25

x = −1 ± 5

x = 5 atau x = −6

(b)

x ² − 8x + 16 = 49

(x − 4)² = 49

(x − 4) = ±√49

x = 4 ± 7

x = 11 atau x = −3

(B) Selesaikan Persamaan Kuadratik dengan Cara Penyempurnaan Kuasa Dua

1. Untuk menyelesaikan persamaan kuadratik, kita membuat persamaan di sebelah kiri sebagai suatu kuasa dua sempurna.

2. Untuk membentuk sebarang ungkapan kuadratik x² + px kepada suatu kuasa dua sempurna, kita menambahkan

${(\frac{p}{2})}^{2}$ ke dalam ungkapan itu untuk menjadikan

$x^{2} + p x = x^{2} + p x + {(\frac{p}{2})}^{2} = {(x + \frac{p}{2})}^{2}$

3. Langkah-langkah berikut diambil untuk menyelesaikan persamaan kuadratik ax² + bx = – c dengan menggunakan cara penyempurnaan kuasa dua.

(a) Tulis semula persamaan ax ² + bx + c = 0 dalam bentuk ax² + bx = – c.

(b) Jika pekali a ≠ 1, tukarkannya kepada 1 (dengan pembahagian).

(c) Tambah

${(\frac{p}{2})}^{2}$ iaitu

${(\frac{pekali bagi x}{2})}^{2}$ pada kedua-dua belah persamaan.

(d) Tulis ungkapan pada sebelah kiri sebagai kuasa dua sempurna.

(e) Selesaikan persamaan itu .

Contoh:

Selesaikan persamaan kuadratik x ² – 6x – 3 = 0 dengan cara penyempurnaan kuasa dua.

Penyelesaian:

x ² – 6x – 3 = 0 ← (pekali bagi x ² = 1)

x ² – 6x = 3 ← (pekali bagi x = b = –6)

x ² – 6x + [½ × (–6)]² = 3 + [½ × (–6)]² ← [tambah

${(\frac{pekali bagi x}{2})}^{2}$ iaitu (½ × (–6)², pada kedua-dua belah persamaan]

x ² – 6x + (–3)² = 3 + (–3)²

(x – 3)² = 12

x – 3 = ±√12

x = 3 ± √12

x = 3 + √12 atau 3 – √12

x = 6.464 atau –0.464

Bab 2 Persamaan Kuadratik

Posted on June 30, 2016 by user

2.2a Pemfaktoran

1. Secara amnya, jika

(x – p)(x – q) = 0

Maka

x – p = 0 atau x – q = 0

x = p atau x = q

p dan q adalah punca-punca persamaan.

Perhatian:
1. Pastikan persamaan ditulis dalam bentuk amnya ax² + bx+ c = 0 sebelum pemfaktoran.

2. Kaedah ini hanya boleh digunakan sekiranya ungkapan kuadratik itu boleh difaktorkan sepenuhnya.

Contoh 1:
Cari punca-punca persamaan kuadratik berikut:
(a) x (2x− 8) = 0
(b) x² −16x = 0
(c) 3x² − 75x = 0
(d) 5x² − 100x = 25x

Penyelesaian:

(a)

x (2x − 8) = 0

x = 0 atau 2x − 8 = 0

2x − 8 = 0

2x = 8

x = 4

x = 0 atau x = 4

(b)

x² −16x = 0

x (x − 16) = 0

x = 0 atau x − 16 = 0

x = 0 atau x = 16

(c)

3x² − 75x = 0

3x (x− 25) = 0

3x = 0 atau x − 25 = 0

x = 0 atau x = 25

(d)

5x² − 100x = 25x

5x² − 100x − 25x = 0
5x²− 125x = 0

x (5x − 125) = 0

x = 0 atau 5x − 125 = 0

5x = 125

x = 25

x = 0 atau x = 25

Contoh 2:

Selesaikan persamaan kuadratik yang berikut
(a) x ² − 4x – 5 = 0
(b) 1 − 5x + 2x ² = 4

Penyelesaian:

(a)

x ² − 4x – 5 = 0
(x – 5) (x + 1) = 0

x – 5 = 0 atau x + 1 = 0

x = 5 atau x = –1

(b)

1 − 5x + 2x ² = 4

2x ² − 5x + 1 – 4 = 0

2x ² − 5x – 3 = 0

(2x + 1) (x – 3) = 0

2x + 1= 0 atau x – 3 = 0

2x = –1 atau x = 3

x = –½ atau x = 3

Bab 2 Persamaan Kuadratik

Posted on June 30, 2016 by user

2.2 Penyelesaian Persamaan Kuadratik

1.Menyelesaikan sesuatu persamaan kuadratik bermakna mencari punca-punca persamaan itu.

Contoh:
Cari punca-punca persamaan kuadratik berikut:
(a) x ² = 9
(b) 2x ² – 98 = 0

Penyelesaian:

(a) x ² = 9

x= ±√9

x= ±3

(b) 2x ² – 98 = 0

2x ² = 98

x ² = 98/2 = 49

x= ±√49 = ±7

2. Persamaan kuadratik boleh diselesaikan dengan salah satu kaedah berikut:
(a) pemfaktoran,

(b) penyempurnaan kuasa dua,

(c) penggunaan rumus

Bab 2 Persamaan Kuadratik

Posted on June 30, 2016 by user

2.1.1 Persamaan Kuadratik

1. Persamaan Kuadratik (misalnya, 2x² + 5x + 6 = 0) adalah persamaan yang memenuhi syarat-syarat berikut:

(a) Ia mengandungi tatatanda kesamaan, ‘=’

(b) Ia melibatkan hanya satu pembolehubah x.

(c) Kuasa tertinggi bagi x ialah 2.

Contoh Persamaan Kuadratik

Berikut adalah contoh-contoh persamaan kuadratik

· 2x² + 3x + 4 = 0

· t² = 24

· y (6y − 3) = 5

Contoh Persamaan Bukan Kuadratik

· 2x + 1 = 0, (Sebab: Kuasa tertinggi bagi x ≠ 2.)

· 2x³ + 1 = x, (Sebab: Kuasa tertinggi bagi x ≠ 2.)

$• t^{2} + \frac{5}{t} = 3, (Sebab: \frac{5}{t} = 5 t^{- 1})$

Bentuk Am Persamaan Kuadratik
Bentuk am persamaan kuadratik ialah

ax² + bx + c = 0

dengan a, b, dan c ialah pemalar dan a ≠ 0.

Contoh 1 (Cari nilai bagi a, b dan c):
Tulis semula setiap persamaan kuadratik berikut dalam bentuk am. Cari nilai a, b, dan c.
(a) (3x − 5)² = 0
(b) (x − 8) (x + 8) = 10

Penyelesaian:

Bab 16 Fungsi Trigonometri

Posted on June 16, 2016 by user

5.6.4 Menyelesaikan Persamaan Trigonometri (Melibatkan Rumus Penambahan dan Rumus bagi Sudut Berganda)

Contoh 1 (Rumus penambahan):

Selesaikan persamaan yang berikut untuk 0^o ≤ x ≤ 360^o:

(a) sin ( x – 25^o) = 3 sin ( x + 25^o)

(b) 3 kos (2x + 10^o) = 2

Penyelesaian:

(a)

sin ( x – 25^o) = 3 sin ( x + 25^o)

sin x kos 25^o – kos x sin 25^o = 3 (sin x kos 25^o + kos x sin 25^o)

sin x kos 25^o – kos x sin 25^o = 3 sin x kos 25^o + 3 kos x sin 25^o

– sin x kos 25^o = 4 kos x sin 25^o

$\frac{\sin x}{k o s x} = - \frac{4 \sin 25^{\circ}}{2 k o s 25^{\circ}}$

tan x = – 2 tan 25^o

tan x = – 2 (0.4663)

tan x = – 0.9326

Sudut asas x = 43^o

Sudut yang dirujuk x = 43^o berada di sukuan kedua dan keempat.

Oleh itu, x = 180^o– 43^o, 360^o– 43^o

x = 137^o, 317^o

(b)

3 kos (2x + 10^o) = 2 ← (Ambil julat sudut dalam 0^o ≤ x ≤ 720^o, bagi 2 putaran lengkap)

kos ( 2x + 10^o) = ⅔

Sudut asas ( 2x + 10^o) = 48.19^o

2x + 10^o = 48.19^o, 360^o– 48.19^o, 360^o+ 48.19^o, 720^o– 48.19^o

2x + 10^o = 48.19^o, 311.81^o, 408.19^o, 671.81^o

2x = 38.19^o, 301.81^o, 398.19^o, 661.81^o

x = 19.10^o, 150.91^o, 199.10^o, 330.91^o

Contoh 2 (Rumus sudut berganda):

Cari semua sudut yang memuaskan 5 kos 2A + 9 sin A = 7, 0° < A < 360°.

Penyelesaian:

5 kos 2A + 9 sin A = 7

5 (1 – 2 sin²A) + 9 sin A = 7 ← (ganti kos 2A = 1 – 2sin² A, seluruh persamaan sekarang dalam sebutan sin A)

5 – 10 sin²A + 9 sin A – 7 = 0

– 10 sin²A + 9 sin A – 2 = 0

10 sin²A – 9 sin A + 2 = 0

(2 sin A – 1)(5 sin A – 2) = 0

sin A = ½ = 0.5 atau sin A =

$\frac{2}{5}$ = 0.4

Apabila sin A = 0.5,

Sudut asas A = 30º

A = 30º, 180º – 30º

A = 30º, 150º

Apabila sin A = 0.4,

Sudut asas A = 23.58º

A = 23.58º, 180º – 23.58º

A = 23.58º, 156.42º

Oleh itu A = 23.58º, 30º, 150º, 156.42º.

Contoh 3 (Rumus sudut berganda):

Cari semua sudut θ antara 0 dan 2π rad yang memuaskan persamaan sin 2θ = sin θ

Penyelesaian:

sin 2θ = sin θ

2 sin θ kos θ = sin θ ← (sin 2θ = 2 sin θ kos θ)

2 sin θ kosθ – sin θ = 0

sin θ (2 kos θ – 1) = 0 ← (Pemfaktoran)

sin θ = 0 atau 2 kos θ – 1 = 0

Apabila sin θ = 0

θ = 0, π, 2π

Apabila 2 kos θ – 1= 0

kos θ = ½

$\begin{array}{l} θ = \frac{1}{3} π, \frac{5}{3} π \\ Oleh itu, θ = 0, \frac{1}{3} π, π, \frac{5}{3} π, 2 π . \end{array}$

Bab 16 Fungsi Trigonometri

Posted on June 16, 2016 by user

5.8.1 Fungsi Trigonometri, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 1:

(a) Lakar graf y = kos 2x untuk 0^o ≤ x ≤ 180^o.

(b) Seterusnya, dengan menggunakan paksi yang sama, lakar satu garis lurus yang sesuai untuk mencari bilangan penyelesaian bagi persamaan

$2 {sin}^{2} x = 2 - \frac{x}{180}$ untuk 0^o ≤ x ≤ 180^o.

Nyatakan bilangan penyelesaian itu.

Penyelesaian:

(a)(b)

(b)

$\begin{array}{l} 2 {sin}^{2} x = 2 - \frac{x}{180} \\ 1 - 2 {sin}^{2} x = 1 - (2 - \frac{x}{180}) \\ k o s 2 x = \frac{x}{180} - 1 \\ y = \frac{x}{180} - 1 \end{array}$

x = 0, y = –1

x = 180, y = 0

Bilangan penyelesaian = 2

Soalan 2:

(a) Lakar graf

$y = \frac{3}{2} k o s 2 x untuk 0 \leq x \leq \frac{3}{2} π .$

(b) Seterusnya, dengan menggunakan paksi yang sama, lakar satu garis lurus yang sesuai untuk mencari bilangan penyelesaian bagi persamaan

$\frac{4}{3 π} x - k o s 2 x = \frac{3}{2} untuk 0 \leq x \leq \frac{3}{2} π$

Nyatakan bilangan penyelesaian itu.

Penyelesaian:

(a)(b)

(b)

$\begin{array}{l} \frac{4}{3 π} x - k o s 2 x = \frac{3}{2} \\ k o s 2 x = \frac{4}{3 π} x - \frac{3}{2} \\ \frac{3}{2} k o s 2 x = \frac{3}{2} (\frac{4}{3 π} x - \frac{3}{2}) \\ y = \frac{2}{π} x - \frac{9}{4} \\ Untuk melakar graf y = \frac{2}{π} x - \frac{9}{4} \\ x = 0, y = - \frac{9}{4} \\ x = \frac{3 π}{2}, y = \frac{3}{4} \end{array}$

Bilangan penyelesaian

= bilangan titik persilangan

= 3

Bab 16 Fungsi Trigonometri

Posted on June 16, 2016 by user

5.2.2 Sudut Khas

1. Nilai fungsi trigonometri bagi sudut-sudut khas

(a) Nilai bagi sudut khas 30^odan 60^o

$\begin{array}{l} (a) \sin 30^{o} = \frac{1}{2} (b) k o s 30^{o} = \frac{\sqrt{3}}{2} (c) t a n 30^{o} = \frac{1}{\sqrt{3}} \\ (d) \sin 60^{o} = \frac{\sqrt{3}}{2} (e) k o s 60^{o} = \frac{1}{2} (f) t a n 60^{o} = \sqrt{3} \end{array}$

(b) Nilai bagi sudut khas 45^o

$(a) \sin 45^{o} = \frac{1}{\sqrt{2}} (b) k o s 45^{o} = \frac{1}{\sqrt{2}} (c) t a n 45^{o} = 1$

(c) Nilai bagi sudut khas 0^o, 90^o, 180^o ,270^o ,360^o(i) Graf y = sin x, 0^o ≤ x ≤ 360^o

x	0^o	90^o	180^o	270^o	360^o
sin	0	1	0	-1	0

(ii) Graf y = kos x, 0^o ≤ x ≤ 360^o

(iii) Graf y = tan x, 0^o ≤ x ≤ 360^o

x	0^o	90^o	180^o	270^o	360^o
tan	0	∞	0	∞	0

Bab 16 Fungsi Trigonometri

Posted on June 16, 2016 by user

5.7.6 Fungsi Trigonometri, SPM Praktis (Kertas 1)

Soalan 15:

Buktikan identiti

$\frac{2}{k o s 2 A + 1} = s e k^{2} A$

Peneyelesaian:

$\begin{array}{l} Sebelah kiri \\ = \frac{2}{k o s 2 A + 1} \\ = \frac{2}{(2 k o s^{2} A - 1) + 1} \leftarrow k o s 2 A = 2 k o s^{2} A - 1 \\ = \frac{2}{2 k o s^{2} A} = \frac{1}{k o s^{2} A} \\ = s e k^{2} A \\ = Sebelah kanan \end{array}$

Soalan 16:

Buktikan identiti

$\frac{2 \tan A}{2 - s e k^{2} A} = \tan 2 A$

Peneyelesaian:

$\begin{array}{l} Sebelah kiri \\ = \frac{2 \tan A}{2 - s e c^{2} A} \\ = \frac{2 \tan A}{2 - (\tan^{2} A + 1)} \leftarrow \tan^{2} A + 1 = s e c^{2} A \\ = \frac{2 \tan A}{1 - \tan^{2} A} \\ = \tan 2 A \\ = Sebelah kanan \end{array}$

Soalan 17:

Buktikan identiti tan x + kot x = 2 kosek 2x

Peneyelesaian:

Sebelah kiri,

tan x + kot x

$\begin{array}{l} = \frac{\sin x}{k o s x} + \frac{k o s x}{\sin x} \\ = \frac{\sin^{2} x + k o s^{2} x}{k o s x \sin x} \\ = \frac{1}{k o s x \sin x} \leftarrow \sin^{2} x + k o s^{2} x = 1 \\ = \frac{1}{\frac{1}{2} \sin 2 x} \leftarrow \begin{array}{l} \sin 2 x = 2 \sin x k o s x \\ \frac{1}{2} \sin 2 x = \sin x k o s x \end{array} \\ = \frac{2}{\sin 2 x} \\ = 2 (\frac{1}{\sin 2 x}) \\ = 2 k o s e k 2 x \\ = Sebelah kanan \end{array}$

Soalan 18:

Buktikan identiti

$\frac{k o s x - \sin 2 x}{k o s 2 x + \sin x - 1} = \frac{1}{\tan x}$

Peneyelesaian:

$\begin{array}{l} Sebelah kiri \\ \frac{k o s x - \sin 2 x}{k o s 2 x + \sin x - 1} \\ = \frac{k o s x - 2 \sin x k o s x}{(1 - 2 \sin^{2} x) + \sin x - 1} \leftarrow k o s 2 x = 1 - 2 \sin^{2} x \\ = \frac{k o s x (1 - 2 \sin x)}{\sin x - 2 \sin^{2} x} \\ = \frac{k o s x (1 - 2 \sin x)}{\sin x (1 - 2 \sin x)} \\ = \frac{k o s x}{\sin x} \\ = k o t x \\ = \frac{1}{\tan x} \\ Sebelah kanan \end{array}$

Bab 16 Fungsi Trigonometri

Posted on June 16, 2016 by user

5.7.5 Fungsi Trigonometri, SPM Praktis (Kertas 1)

Soalan 11:

Buktikan identiti

$\frac{k o s^{2} x}{1 - \sin x} = 1 + \sin x$

Peneyelesaian:

$\begin{array}{l} Sebelah kiri \\ = \frac{k o s^{2} x}{1 - \sin x} \\ = \frac{1 - \sin^{2} x}{1 - \sin x} \leftarrow \sin^{2} x + k o s^{2} x = 1 \\ = \frac{(1 + \sin x) (1 - \sin x)}{1 - \sin x} \\ = 1 + \sin x \\ = Sebelah kanan \end{array}$

Soalan 12:

Buktikan identiti

$\sin^{2} x - k o s^{2} x = \frac{\tan^{2} x - 1}{\tan^{2} x + 1}$

Peneyelesaian:

$\begin{array}{l} Sebelah kanan \frac{\tan^{2} x - 1}{\tan^{2} x + 1} \\ = \frac{\frac{\sin^{2} x}{\cos^{2} x} - 1}{\frac{\sin^{2} x}{\cos^{2} x} + 1} \leftarrow \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \\ = \frac{\frac{\sin^{2} x - \cos^{2} x}{\cos^{2} x}}{\frac{\sin^{2} x + \cos^{2} x}{\cos^{2} x}} \\ = \frac{\sin^{2} x - \cos^{2} x}{\sin^{2} x + \cos^{2} x} \\ = \sin^{2} x - \cos^{2} x \leftarrow \sin^{2} x + \cos^{2} x = 1 \\ = Sebelah kiri \end{array}$

Soalan 13:

Buktikan identiti tan²θ – sin² θ = tan²θ sin² θ

Peneyelesaian:

$\begin{array}{l} Sebelah kiri \\ = \tan^{2} θ - \sin^{2} θ \\ = \frac{\sin^{2} θ}{\cos^{2} θ} - \sin^{2} θ \\ = \frac{\sin^{2} θ - \sin^{2} θ \cos^{2} θ}{\cos^{2} θ} \\ = \frac{\sin^{2} θ (1 - \cos^{2} θ)}{\cos^{2} θ} \\ = \frac{\sin^{2} θ \sin^{2} θ}{\cos^{2} θ} \\ = (\frac{\sin^{2} θ}{\cos^{2} θ}) (\sin^{2} θ) \\ = \tan^{2} θ \sin^{2} θ \\ = Sebelah kanan \end{array}$

Soalan 14:

Buktikan identiti kosek²θ (sek² θ – tan² θ) – 1 = kot² θ

Peneyelesaian:

Sebelah kiri,

kosek²θ (sek²θ – tan² θ) – 1

= kosek²θ (1) – 1 ← (tan² θ + 1 = sek²θ

sek² θ – tan²θ = 1)

= kosek²θ – 1

= kot²θ ←(1 + kot² θ = kosek² θ

kosek² θ – 1 = kot² θ )

= Sebelah kanan