Bab 16 Fungsi Trigonometri

Posted on June 14, 2016 by user

5.5 Rumus bagi sin (A ± B), kos (A ± B), tan (A ± B), sin 2A, kos 2A, tan 2A

Rumus penambahan

\begin{array}{l} • \sin A = 2 \sin \frac{A}{2} k o s \frac{A}{2} \\ • k o s A = \sin^{2} \frac{A}{2} - k o s^{2} \frac{A}{2} \\ k o s A = 2 k o s^{2} \frac{A}{2} - 1 \\ k o s A = 1 - 2 k o s^{2} \frac{A}{2} \\ • \tan A = \frac{2 \tan \frac{A}{2}}{1 - \tan^{2} \frac{A}{2}} \end{array}

5.5.1 Pembuktian Identiti Trigonometri yang Melibatkan Sudut Majmuk dan Sudut Berganda

Contoh 1:

Buktikan setiap identity trigonometri yang berikut.

\begin{array}{l} (a) \frac{s i n (A + B) - s i n (A - B)}{k o s A k o s B} = 2 \tan B \\ (b) \frac{k o s (A + B)}{\sin A k o s B} = k o t A - \tan B \\ (c) \tan (A + 45^{o}) = \frac{\sin A + k o s A}{k o s A - \sin A} \end{array}

penyelesaian:

(a)

\begin{array}{l} (S e b e l a h K i r i) \\ = \frac{s i n (A + B) - s i n (A - B)}{k o s A k o s B} \\ = \frac{(\sin A k o s B + k o s A \sin B) - (\sin A k o s B - k o s A \sin B)}{k o s A k o s B} \\ = \frac{2 k o s A \sin B}{k o s A k o s B} \\ = \frac{2 \sin B}{k o s B} \\ = 2 \tan B = (S e b e l a h K a n a n) \end{array}

(b)

\begin{array}{l} (S e b e l a h K i r i) \\ = \frac{k o s (A + B)}{\sin A k o s B} \\ = \frac{k o s A k o s B - \sin A \sin B}{\sin A k o s B} \\ = \frac{k o s A k o s B}{\sin A k o s B} - \frac{\sin A \sin B}{\sin A k o s B} \\ = \frac{k o s A}{\sin A} - \frac{\sin B}{k o s B} \\ = k o t A - \tan B \\ = (S e b e l a h K a n a n) \end{array}

(c)

\begin{array}{l} (S e b e l a h K i r i) \\ = \tan (A + 45^{o}) \\ = \frac{t a n A + \tan 45^{o}}{1 - t a n A \tan 45^{o}} \\ = \frac{t a n A + 1}{1 - t a n A} \leftarrow \tan 45^{o} = 1 \\ = \frac{\frac{\sin A}{k o s A} + 1}{1 - \frac{\sin A}{k o s A}} \\ = \frac{\sin A + k o s A}{k o s A} \times \frac{k o s A}{k o s A - \sin A} \\ = \frac{\sin A + k o s A}{k o s A - \sin A} \\ = (S e b e l a h K a n a n) \end{array}

Bab 16 Fungsi Trigonometri

Posted on June 14, 2016 by user

5.4 Identiti Asas

sin² x + kos² x = 1

sek² x = 1 + tan² x

kosek² x = 1 + kot² x

Contoh 1 (Pembuktian Identiti Trigonometri dengan Menggunakan Identiti Asas)

Buktikan setiap identity trigonometri yang berikut.

(a) sin²x – kos² x = 1 – 2 kos² x

(b) (1 – kosek²x) (1– sek² x) = 1

Penyelesaian:

(a)

sin²x– kos² x = 1 – 2 kos²x

Sebelah kiri: sin²x– kos² x

= 1 – kos² x – kos² x

= 1 – 2 kos² x (Sebelah kanan)

(b)

(1 – kosek²x) (1– sek² x) = 1

Sebelah kiri: (1 – kosek²x) (1– sek² x)

= (–kot²x) (–tan² x)

= (kot²x) (tan² x)

\begin{array}{l} = (\frac{1}{\tan^{2} x}) \tan^{2} x \\ = 1 (Sebelah kanan) \end{array}

(c)

kot²x – kot² x kos² x = kos² x

Sebelah kiri: kot²x– kot² x kos² x

= kot²x (1 – kos²x)

= kot²x (sin²x)

\begin{array}{l} = \frac{k o s^{2} x}{s i n^{2} x} (s i n^{2} x) \\ = k o s^{2} x (Sebelah kanan) \end{array}

Contoh 2 (Menyelesaikan Persamaan Trigonometri dengan Identiti Asas)

Selesaikan setiap persamaan trigonometri yang berikut untuk 0^o ≤ x ≤ 360^o.

(a) sin²x kos x + 1 = kos x

(b) 2 kosek²x – 5 kot x = 0

Penyelesaian:

(a)

sin²x kos x + 1 = kos x

(1 – kos²x) kos x + 1 = kos x

kos x – kos³x + 1 = kos x

kos³x = 1

kos x = 1

x = 0^o, 360^o

(b)

2 kosek²x – 5 kot x = 0

2 (1 + kot²x) – 5 kot x = 0

2 + 2 kot²x – 5 kot x = 0

2 kot²x – 5 kot x + 2 = 0

(2 kotx – 1) (kot x – 2) = 0

kotx = ½ atau kot x = 2

kotx = ½ atau kotx = 2

tan x = 2, tan x = ½

x =63.43^o, 243.43^o , x = 26.57^o, 206.57^o

(Perhatian: tangen adalah positif dalam sukuan I dan III)

Oleh itu, x = 26.57^o, 63.43^o, 206.57^o, 243.43^o

Bab 16 Fungsi Trigonometri

Posted on June 14, 2016 by user

5.3.2c Melakar Graf Fungsi Trigonometri (Bahagian 3)

Contoh 2:

(a) Lakar graf bagi y = –½ kos x untuk 0 ≤ x ≤ 2π.

(b) Seterusnya, dengan menggunakan paksi yang sama, lakar satu graf yang sesuai untuk mencari bilangan penyelesaian bagi persamaan

\frac{π}{2 x} + k o s x = 0

untuk 0 ≤ x ≤ 2π.

Nyatakan bilangan penyelesaian itu.

Penyelesaian:

(a)

(b)

\begin{array}{l} \frac{π}{2 x} + k o s x = 0 \\ \frac{π}{2 x} = - k o s x \\ \frac{π}{4 x} = - \frac{1}{2} k o s x \leftarrow \begin{array}{l} darab kedua-dua \\ belah dengan \frac{1}{2} \end{array} \\ y = \frac{π}{4 x} \leftarrow y = - \frac{1}{2} k o s x \end{array}

Graf yang sesuai ialah

y = \frac{π}{4 x} .

x	$\frac{π}{2}$	π	2π
$y = \frac{π}{4 x}$	½	¼	⅛

Daripada graf, terdapat 2 titik persilangan untuk 0 ≤ x ≤ 2π.

Maka, terdapat 2 penyelesaian bagi persamaan $\frac{π}{2 x} + k o s x = 0.$

Bab 16 Fungsi Trigonometri

Posted on June 14, 2016 by user

5.3.2a Melakar Graf Fungsi Trigonometri (Bahagian 1)

Contoh:

Lakarkan graf bagi setiap fungsi trigonometri yang berikut untuk 0 ≤ x ≤ 2π.

(a) y = 3 sin x
(b) y = 2 kos x

(e) y = sin 2x
(f) y = kos 2x

Penyelesaian:

(a) y = 3 sin x

(b) y = 2 kos x

(c) y = sin x + 1

(d) y = kos x –1

(e) y = sin 2x

(f) y = kos 2x

Bab 16 Fungsi Trigonometri

Posted on June 14, 2016 by user

5.3.1 Graf fungsi Sinus, Kosinus, dan Tangen

(a) Graf y = sin x, 0^o ≤ x ≤ 360^o

x	0^o	90^o	180^o	270^o	360^o
sin	0	1	0	-1	0

(b) Graf y = kos x, 0^o ≤ x ≤ 360^o

x	0^o	90^o	180^o	270^o	360^o
kos x	1	0	-1	0	1

(c) Graf y = tan x, 0^o ≤ x ≤ 360^o

x	0^o	90^o	180^o	270^o	360^o
tan x	0	∞	0	∞	0

Bab 9 Pembezaan

Posted on June 9, 2016 by user

9.8 Pembezaan, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 1:

Diberi

y = 15 x + \frac{24}{x^{3}}

(a) Cari nilai dy/dx apabila x = 2,

(b) Ungkapkan dalam sebutan k, perubahan kecil bagi y apabila x berubah daripada 2 kepada 2 + k, dengan keadaan k ialah satu nilai kecil.

Penyelesaian:

(a)

\begin{array}{l} y = 15 x + \frac{24}{x^{3}} \\ y = 15 x + 24 x^{- 3} \\ \frac{d y}{d x} = 15 - 72 x^{- 4} \\ \frac{d y}{d x} = 15 - \frac{72}{x^{4}} \\ Apabila x = 2 \\ \frac{d y}{d x} = 15 - \frac{72}{2^{4}} = 10.5 \end{array}

(b)

Perubahan kecil bagi ykepada x dalam sebutan k,

\begin{array}{l} \frac{δ y}{δ x} \approx \frac{d y}{d x} \\ δ y = \frac{d y}{d x} \times δ x \end{array}

δy = 10.5 × (2 + k – 2)

δy = 10.5k

Soalan 2:

Diberi y =3t + 5t²dan x = 5t -1.

(a) Cari

\frac{d y}{d x}

dalam sebutan x,

(b) Jika x menokok daripada 5 kepada 5.01, cari perubahan kecil dalam t.

Penyelesaian:

y = 3t + 5t²

\begin{array}{l} \frac{d y}{d t} = 3 + 10 t \\ x = 5 t - 1 \\ \frac{d x}{d t} = 5 \end{array}

(a)

\begin{array}{l} \frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d t} \times \frac{d t}{d x} \\ \frac{d y}{d x} = (3 + 10 t) \times \frac{1}{5} \\ \frac{d y}{d x} = \frac{3 + 10 (\frac{x + 1}{5})}{5} \leftarrow \begin{array}{l} x = 5 t - 1 \\ t = \frac{x + 1}{5} \end{array} \\ \frac{d y}{d x} = \frac{3 + 2 x + 2}{5} \\ \frac{d y}{d x} = \frac{5 + 2 x}{5} \end{array}

(b)

Perubahan kecil dalam t,

\begin{array}{l} δ t = \frac{d t}{d x} \times δ x \\ δ t = \frac{1}{5} \times (5.01 - 5) \\ δ t = 0.002 \end{array}

Bab 9 Pembezaan

Posted on June 8, 2016 by user

9.7 Pembezaan, SPM Praktis (Kertas 1)

Soalan 19:

Diberi

y = \frac{3}{4} x^{2}

, cari perubahan kecil dalam x yang akan menyebabkan ymenyusut daripada 48 kepada 47.7.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} y = \frac{3}{4} x^{2} \\ \frac{d y}{d x} = (2) \frac{3}{4} x = \frac{3}{2} x \\ δ y = 47.7 - 48 = - 0.3 \\ perubahan kecil dalam x kepada y \\ \frac{δ x}{δ y} \approx \frac{d x}{d y} \\ δ x = \frac{d x}{d y} \times δ y \\ δ x = \frac{2}{3 x} \times (- 0.3) \\ δ x = \frac{2}{3 (8)} \times (- 0.3) \leftarrow \begin{array}{l} y = 48 \\ \frac{3}{4} x^{2} = 48 \\ x^{2} = 64 \\ x = 8 \end{array} \\ δ x = - 0.025 \end{array}

Soalan 20:

Isipada air, Icm³, dalam satu bekas diberi oleh

I = \frac{1}{5} h^{3} + 7 h

, dengan keadaan h cm ialah tinggi air dalam bekas itu. Air dituang ke dalam bekas itu dengan kadar 15cm³s^-1. Cari kadar perubahan tinggi air, dalam cms^-1, pada ketika tingginya ialah 3cm.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} I = \frac{1}{5} h^{3} + 7 h \\ \frac{d I}{d h} = \frac{3}{5} h^{2} + 7 \\ = \frac{3 h^{2} + 35}{5} \end{array}

\begin{array}{l} Diberi \frac{d I}{d t} = 15, h = 3 \\ Kadar perubahan tinggi air = \frac{d h}{d t} \\ \frac{d h}{d t} = \frac{d h}{d I} \times \frac{d I}{d t} \leftarrow Petua rantai \\ \frac{d h}{d t} = \frac{5}{3 h^{2} + 35} \times 15 \\ \frac{d h}{d t} = \frac{75}{62} {cms}^{- 1} \end{array}

Soalan 21:

Jika jejari bagi suatu bulatan menokok daripada 4cm kepada 4.01cm, cari perubahan kecil dalam luas.

Penyelesaian:

Luas bulatan, L= πj²

\begin{array}{l} \frac{d A}{d r} = 2 π r \\ Perubahan kecil dalam luas kepada jejari, \\ \frac{δ A}{δ r} \approx \frac{d A}{d r} \\ δ A = \frac{d A}{d r} \times δ r \end{array}

δA = (2πj) × (4.01 – 4)

δA = [2π (4)] × (0.01)

δA = 0.08π cm²

Bab 9 Pembezaan

Posted on June 8, 2016 by user

9.6 Perubahan Kecil dan Penghampiran

δy = perubahan kecil dalam y
δx = perubahan kecil dalam x

1. Jika δx sangat kecil,

\frac{δ y}{δ x}

adalah penghampiran kepada

\frac{d y}{d x} .

\begin{array}{l} \frac{δ y}{δ x} \approx \frac{d y}{d x} \\ \Rightarrow δ y \approx \frac{d y}{d x} \times δ x \end{array}

Simbol ‘≈’ bermakna ‘hampir kepada’.

2. δx dan δy ialah dua kuantiti yang berasingan manakala

\frac{d y}{d x}

ialah satu kuantiti sahaja.

Contoh:

Diber bahawa y = 3x² + 2x – 4. Guna pembezaan untuk mencari perubahan kecil dalam y apabila x menokok daripada 2 kepada 2.02.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} y = 3 x^{2} + 2 x - 4 \\ \frac{d y}{d x} = 6 x + 2 \end{array}

Perubahan kecil dalam yditandakan dengan δy manakala perubahan kecil dalam kuantiti kedua x ditandakan dengan δx.

\begin{array}{l} \frac{δ y}{δ x} \approx \frac{d y}{d x} \\ δ y = \frac{d y}{d x} \times δ x \end{array}

δy = (6x +2) × (2.02 – 2)

↑

(δx = x baru – x asal)

= (6(2) +2) × 0.02

↑

(gantikan x dengan nilai asal x, iaitu 2)

δy = 0.28

Bab 9 Pembezaan

Posted on June 8, 2016 by user

9.5 Kadar Perubahan yang Terhubung

(A) Kadar Perubahan yang Terhubung

Jika dua pembolehubah x dan y dihubungkan dengan persamaan y = f(x)

\begin{array}{l} Kadar perubahan y = \frac{d y}{d t} \\ Kadar perubahan x = \frac{d x}{d t} \\ \frac{d y}{d t} = \frac{d y}{d x} \times \frac{d x}{d t} \end{array}

Perhatian:

1. Jika x berubah dengan kadar 5 cms ^-1⇒

\frac{d x}{d t} = 5

2. Menyusut/ membocor/ mengurang ⇒ nilai NEGATIF!!!

Contoh 1 (Kadar perubahan y dan x)

Dua pembolehubah, x dan y dihubungkan oleh persamaan

y = 4 x + \frac{3}{x} .

Diberi bahawa y betambah dengan kadar malar 2 unit sesaat, cari kadar perubahan x apabila x = 3.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} y = 4 x + \frac{3}{x} = 4 x + 3 x^{- 1} \\ \frac{d y}{d x} = 4 - 3 x^{- 2} = 4 - \frac{3}{x^{2}} \\ \frac{d y}{d t} = \frac{d y}{d x} \times \frac{d x}{d t} \\ 2 = (4 - \frac{3}{x^{2}}) \times \frac{d x}{d t} \\ apabila x = 3 \\ 2 = (4 - \frac{3}{3^{2}}) \times \frac{d x}{d t} \\ 2 = \frac{11}{3} \times \frac{d x}{d t} \\ \frac{d x}{d t} = \frac{6}{11} unit s^{- 1} \end{array}

(B) Kadar Perubahan isipada, luas, jejari, tinggi dan panjang

Bab 9 Pembezaan

Posted on June 8, 2016 by user

9.4 Pembezaan Peringkat Kedua, Titik Pusingan: Titik Maksimum dan Titik Minimum

(A) Pembezaan Peringkat Kedua

1. Apabila suatu fungsi y = x³+ x²– 3x + 6 dibezakan terhadap x, terbitannya

\frac{d y}{d x} = 3 x^{2} + 2 x - 3

2. Fungsi yang kedua

\frac{d y}{d x}

boleh dibeza lagi terhadap x. Proses pembezaan dua kali berturut-turut ini dikenali sebagai pembezaan peringkat kedua dan ditulis sebagai

\frac{d^{2} y}{d x^{2}}

3. Ambil perhatian bahawa

\frac{d^{2} y}{d x^{2}} \neq {(\frac{d y}{d x})}^{2}

Misalnya,

Jika y = 4x³ – 7x² + 5x – 1,

Terbitan pertama

\frac{d y}{d x} = 12 x^{2} - 14 x + 5

Terbitan kedua

\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 24 x - 14

(B) Titik Pusingan: Titik Maksimum dan Titik Minimum

(a) Di titik pusingan A dan B,

\frac{d y}{d x} = 0

(b) Di titik maksimum A,

\frac{d y}{d x} = 0 dan \frac{d^{2} y}{d x^{2}} < 0

(c) Di titik minimum B,

\frac{d y}{d x} = 0 dan \frac{d^{2} y}{d x^{2}} > 0

9.6 Perubahan Kecil dan Penghampiran

δy = perubahan kecil dalam y δx = perubahan kecil dalam x

δy = perubahan kecil dalam y
δx = perubahan kecil dalam x