Home › Archive for SPM Matematik Tambahan › Page 26

SPM Matematik Tambahan

Bab 6 Geometri Koordinat

Posted on by
6.7 Geometri Koordinat, SPM Praktis (Soalan Pendek)
Soalan 3
Persamaan garis lurus CD dan EF adalah 5x + y – 4 = 0 dan x 7 − y h =1 . Jika CD dan EF adalah selari, cari nilai h.

Penyelesaian:
Dua garis selari mempunyai kecerunan yang sama.
5x + y – 4 = 0 
y = –5x + 4, mCD = –5   

Bagi garis lurus EF,
x 7 − y h =1 m EF =−( pintasan-y pintasan-x )=−( −h 7 )= h 7 m CD = m EF −5= h 7 h=−35



Soalan 4
Garis lurus x 5 + y p =1 mempunyai pintasan-y bernilai 3 dan selari dengan garis lurus y + qx = 0. Tentukan nilai p dan nilai q.

Penyelesaian:
Diberi pintasan-ygaris lurus x 5 + y p =1 adalah 3,
Maka p = 3
Kecerunan garis lurus =− 3 5  
Bagi garis y + qx = 0, y = –qx
Dua garis selari mempunyai kecerunan yang sama,
−q=− 3 5 q= 3 5



Soalan 5
Persamaan dua garis lurus y 7 + x 4 =1 dan 7y = 4x+ 21. Tentukan sama ada pasangan garis lurus  adalah berserenjang antara satu sama lain.

Penyelesaian:
Bagi garis lurus  y 7 + x 4 =1,  kecerunan=− 7 4 Bagi garis lurus 7y=4x+21, y= 4 7 x+3,  kecerunan = 4 7 − 7 4 × 4 7 =−1 
Maka, pasangan garis lurus  adalah berserenjang antara satu sama lain.

Bab 6 Geometri Koordinat

Posted on by

6.6 Persamaan Lokus yang Melibatkan Jarak di antara Dua Titik

1.   Persamaan lokus bagi suatu titik bergerak P (x, y) supaya jaraknya (r) dari suatu titik tetap (x1, y1) adalah malar. 

(x– x1)2 + (y – y1)2= r2


2. Persamaan lokus bagi suatu titik bergerak P (x, y) supaya jaraknya sentiasa malar dari dua titik tetap (x1, y1) dan (x1, y1) dengan nisbah m : n ialah

  

3.   Persamaan lokus bagi suatu titik bergerak P (x, y) supaya jaraknya sentiasa malar dari dua titik tetap A dan B adalah pembahagi dua sama serenjang garis AB.


Contoh 1:
Cari persamaan lokus bagi titik bergerak P (x, y) supaya jaraknya sentiasa 5 unit dari suatu titik tetap Q (2, 4).

Penyelesaian:
(x – x1)2+ (y – y1)2 = r2
(x – 2)2 + (y – 4)2 = 52
x2 – 4x + 4 + y2 – 8y + 16 = 25
x2 + y2– 4x – 8y – 5 = 0


Contoh 2:
Cari persamaan lokus bagi titik bergerak P (x, y) supaya jaraknya dari titik A(–2, 3) dan titik B (4, –1) adalah sama.

Penyelesaian:
PA = PB
( x − ( − 2 ) ) 2 + ( y − 3 ) 2 = ( x − 4 ) 2 + ( y − ( − 1 ) ) 2  
Kuasa duakan kedua-dua belah persamaan
(x + 2)2 + (y – 3)2 = (x – 4)2+ (y + 1)2
x2 + 2x + 4 + y2 – 6y + 9 = x2 – 8x + 16 + y2 + 2y + 1
10x – 8y – 4 = 0

Jadi, persamaan lokus titik P ialah, 10x – 8y – 4 = 0


Contoh 3:
A (2, 0) dan B (0, -2) adalah dua titik tetap. Titik P bergerak dengan nisbah supaya AP : PB = 1 : 2. Cari persamaan lokus bagi titik bergerak P.

Penyelesaian:
AP: PB = 1: 2
A P P B = 1 2 2 A P = P B 2 ( x − 2 ) 2 + ( y − 0 ) 2 = ( x − 0 ) 2 + ( y − ( − 2 ) ) 2
Kuasa duakan kedua-dua belah persamaan
4[(x – 2)2 + y2] = x2 + (y + 2)2
4 (x2 – 4x + 4 + y2) = x2 + y2+ 4y + 4
4x2 – 16x + 16 + 4y2 = x2 + y2 + 4y + 4
3x2 + 3y2 – 16x – 4y + 12 = 0

Jadi, persamaan lokus titik P ialah, 3x2 + 3y2 – 16x – 4y +12 = 0

Bab 6 Geometri Koordinat

Posted on by

6.5 Garis Lurus Selari dan Garis Lurus Serenjang
(A)   Garis Lurus Selari
 1. Jika dua garis lurus adalah selari, maka kecerunannya adalah sama.



Dalam rajah di atas, jika garis lurus L1 adalah selari dengan garis lurus L2, maka
kecerunan L1 = kecerunan L2.
m1 = m2


Contoh 1:
Diberi persamaan suatu garis lurus adalah selari dengan x + 8y = 40 dan melalui titik A (2, 3k) dan titik B (–6, 4k2), cari nilai k.

Penyelesaian:
x + 8y = 40
8y = –x + 40
y = –⅛ x + 5
Kecerunan m1 = –⅛

Diberi garis lurus melalui titik A and titik B adalah selari dengan x + 8y = 40, maka m1 = m2 
− 1 8 = 4 k 2 − 3 k − 6 − 2
8 = 32k2 – 24k
1 = 4k2 – 3k
4k2 – 3k – 1 = 0
(4k + 1)(k – 1) = 0
4k + 1 = 0 atau k – 1 = 0
k = –¼ k = 1 



(B)   Garis Lurus Serenjang
1. Jika dua garis lurus berserenjang antara satu sama lain, maka hasil darab kecerunan-kecerunannya adalah –1.


Dalam rajah di atas, jika garis lurus L1 adalah berserenjang dengan garis lurus L2, maka
kecerunan L1 × kecerunan L2 = –1.
m1 × m2 = –1


Contoh 2:
Diberi titik-titik P(–2, 4), Q (4, 2), R (–1, –3) dan S (2, 6), tunjukkan PQ berserenjang dengan RS.

Penyelesaian:
m P Q = 2 − 4 4 − ( − 2 ) = − 1 3 m R S = 6 − ( − 3 ) 2 − ( − 1 ) = 3 ( m P Q ) ( m R S ) = ( − 1 3 ) ( 3 ) = − 1

Maka, PQ berserenjang dengan RS.

Bab 6 Geometri Koordinat

Posted on by

6.4.2 Persamaan Garis Lurus (Bahagian 2)

(C) Pembentukan Persamaan Garis Lurus
Kes 1
1.   Kecerunan dan koordinat-koordinat satu titik diberi.
2.   Persamaan garis lurus dengan kecerunan, m melalui titik (x1, y1) ialah
  y – y1 = m (x – x1)

Soalan 1:
Suatu garis lurus dengan kecerunan –3 melalui titik (–1, 5). Cari persamaan garis itu.

Penyelesaian:
y – y1 = m (x – x1)
y – 5 = – 3 (x – (–1))
y – 5 = – 3x – 3
y= – 3x + 2


Kes 2
1.   Koordinat-koordinat dua titik diberi.
2.   Persamaan garis lurus yang melalui titik (x1, y1) dan titik (x2, y2) ialah

y − y 1 x − x 1 = y 2 − y 1 x 2 − x 1

Soalan 2:
Cari persamaan garis lurus yang melalui titik (2, 4) dan titik (5, 6).

Penyelesaian:
y − y 1 x − x 1 = y 2 − y 1 x 2 − x 1 Katakan ( x 1 , y 1 ) = ( 2 , 4 ) dan ( x 2 , y 2 ) = ( 5 , 6 ) y − 4 x − 2 = 6 − 4 5 − 2 y − 4 x − 2 = 2 3 3 y − 12 = 2 x − 4 3 y = 2 x + 8



Kes 3
1.   Pintasan-x dan pintasan-y diberi:
x a + y b = 1
a = pintasan-x
b = pintasan-y

Soalan 3:
Cari persamaan garis lurus yang melalui titik (5, 0) dan titik (0, –6).

Penyelesaian:
Pintasan-x, a = 5, Pintasan-y, b = –6
Persamaan garis lurus
x a + y b = 1 x 5 + y ( − 6 ) = 1 x 5 − y 6 = 1



(D)   Bentuk-bentuk Persamaan Garis Lurus

(a)  Bentuk Kecerunan
Persamaan dalam bentuk kecerunan 
y = mx + c
m = kecerunan
c = pintasan-y

(b)  Bentuk Am
Persamaan dalam bentuk am
ax2 + bx + c = 0

(c) Bentuk Pintasan
 x a + y b =1
a = pintasan-x
b = pintasan-y


Bab 6 Geometri Koordinat

Posted on by

6.4.1 Persamaan Garis Lurus (Bahagian 1)

(A) Pintasan pada Paksi dan Kecerunan
1.   Kecerunan garis lurus melalui titik (x1, yl) dan titik (x2, y2) ialah
  m = y 2 − y 1 x 2 − x 1

2.   Kecerunan garis lurus dengan pintasan-x dan pintasan-y diketahui ialah:
m=− pintasan y pintasan x


(B) Titik-titik Segaris
Kecerunan garis lurus adalah sentiasa malar; iaitu kecerunan AB sama dengan kecerunan BC.


mAB = mBC = mAC



Contoh 1:
Kecerunan garis lurus yang melalui titik (k, 1 – k) dan titik (–3k, –3) ialah 5.  Cari nilai k.

Penyelesaian:
Kecerunan, m = y 2 − y 1 x 2 − x 1 − 3 − ( 1 − k ) − 3 k − k = 5 − 3 − 1 + k − 4 k = 5 − 4 + k = − 20 k 21 k = 4 k = 4 21



Contoh 2:
Berdasarkan rajah di bawah, cari nilai kecerunan garis lurus.

Penyelesaian:
Kecerunan, m=−( pintasan y pintasan x )  =−( −5 10 ) = 1 2


Bab 6 Geometri Koordinat

Posted on by
6.3 Luas Poligon
(A)      Luas Segitiga


Rumus Luas Segitiga
= 1 2 | x 1     x 2     x 3    y 1     y 2     y 3    x 1 y 1 | = 1 2 |  ( x 1 y 2 + x 2 y 3 + x 3 y 1 )−( y 1 x 2 + y 2 x 3 + y 3 x 1 ) |

1.   Apabila koordinat bucu ditulis dalam susunan lawan arah jam, luas yang terhasil adalah positif. Luas segitiga bernilai negatif jika susunan mengikut arah jam. Walau bagaimanapun luas jawapan mesti diberi dalam nilai positif.

Contoh 1:
Hitungkan luas ∆ABC dengan bucu-bucu A(-5, 5), B (-2, -4), C (4, -1).

Penyelesaian:
Luas ∆ ABC
= 1 2 | −5   −2      4    5     −4   −1   −5   5 |
= ½│(–5)( –4) + (–2)( –1) + (4)(5) – (5)( –2) – (–4)(4) – (–1)( –5)│
= ½│20 + 2 + 20 + 10 + 16 – 5│
= ½│63│
= 31½ unit2


(B)      Luas Segiempat


Rumus Luas Segiempat, L
= 1 2   | x 1      x 2      x 3      x 4     y 1      y 2      y 3      y 4     x 1 y 1 | = 1 2   |   ( x 1 y 2 + x 2 y 3 + x 3 y 4 + x 4 y 1 ) − ( y 1 x 2 + y 2 x 3 + y 3 x 4 + y 4 x 1 ) |


(C)      Jika titik-titik A, Bdan C adalah segaris, maka luas ∆ABC adalah 0.
Contoh 2:
Cari nilai k jika titik-titik P (2, 1), Q (6, k) dan R (3k, 9/2) adalah segaris.

Penyelesaian:
Luas ∆ PQR = 0
1 2  | 2     6      3k      1      k       9 2   2 1 |=0
½│2k + 27 + 3k –6 – 3k2 – 9│= 0
│–3k2 + 5k + 12│= 0
3k2 – 5k – 12 = 0
(3k + 4)(k – 3) = 0

Bab 6 Geometri Koordinat

Posted on by
6.2 Pembahagian Tembereng Garis
(A)       Titik Tengah di antara Dua Titik


Rumus titik tengah, Mbagi titik A(xl, y1) dan titik B(x2, y2) ialah
M=( x 1 + x 2 2 , y 1 + y 2 2 ) 

Contoh 1:
Diberi B (m – 4, 3) ialah titik tengah bagi garis lurus yang menyambungkan A (–1, n) dan C (5, 8). Cari nilai m dan nilai n.

Penyelesaian:
B ialah titik tengah AC
( m−4, 3 )=( −1+5 2 ,  n+8 2 ) ( m−4, 3 )=( 2,  n+8 2 ) m−4=2         dan         n+8 2 =3 m=6                dan          n+8=6                                               n=−2


(B) Titik yang Membahagikan dalam Sesuatu Tembereng Garis dengan Nisbah m : n


Rumus untuk titik terletak atas AB dengan keadaan AP : PB = m : n ialah
P=( n x 1 +m x 2 m+n , n y 1 +m y 2 m+n )

Contoh 2:
Koordinat R (2, –1) membahagi dalam garis AB dengan nisbah 3 : 2. jika koordinat A ialah (–1, 2), cari koordinat B.

Penyelesaian:

Katakan titik B = (p, q)
( 2( −1 )+3p 3+2 ,  2( 2 )+3q 3+2 )=( 2,−1 ) ( −2+3p 5 ,  4+3q 5 )=( 2,−1 )

Menyamakan koordinat-koordinat x,
−2+3p 5 =2
–2 + 3p = 10
3p = 12
p = 4

Menyamakan koordinat-koordinat y,
4+3q 5 =−1
4 + 3q = –5
3q = –9
q = –3

Maka, koordinat-koordinat titik B = (4, –3)

Bab 6 Geometri Koordinat

Posted on by

6.1 Jarak di antara Dua Titik

A(x1, y1) dan C (x2, y2) adalah dua titik atas satah koordinat seperti ditunjukkan di bawah. BC selari dengan paksi-x dan AB selari dengan paksi-y. Seterusnya  ∆ABC= 90°.


Jarak antara titik A dan titik C = 
= ( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2

Contoh:
Cari jarak di antara titik P (2, –2) dan titik Q (–4, –5).

Penyelesaian:
Katakan P (2, –2) = (x1, y1 ) dan Q (–4, –5) = (x2, y2 ).
Jarak PQ = ( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2 = ( −4−2 ) 2 + ( −5−( −2 ) ) 2 = 36+9 = 45 = 9×5 =3 5  or ( 6.71 ) unit


Bab 6 Geometri Koordinat

Posted on by
6.7 Geometri Koordinat, SPM Praktis (Soalan Pendek)

Soalan 1:
Bucu-bucu sebuah segitiga ialah P (6, 1), Q (5, 6) dan R (m, –1). Diberi luas segitiga itu ialah 31 unit2, cari nilai-nilai m.

Penyelesaian:
Luas segitiga PQR = 31
1 2  | 6     5      m      1     6    −1   6 1 |=31
│(6)(6) + (5)( –1) + (m)(1) – (1)(5) – (6)(m) – (–1)(6)│= 62
│36 – 5 + m – 5 – 6m + 6│= 62
│32 – 5m│= 62
32 – 5m = ±62
–5m = 62 – 32           atau     –5m = –62 – 32
m = –6                                    m= 94 5  



Soalan 2:
Titik-titik P(3m, m), Q(t, u) dan R(3t, 2u) terletak pada satu garis lurus. Q membahagi dalam PR dengan nisbah 3: 2.
Ungkap t dalam sebutan u.

Penyelesaian:
( ( 3m )( 2 )+( 3t )( 3 ) 3+2 , ( m )( 2 )+( 2u )( 3 ) 3+2 )=( t,u ) 6m+9t 5 =t 6m+9t=5t 6m=−4t m=− 2 3 t→(1)

2 m + 6 u 5 = u 2 m + 6 u = 5 u 2 m = − u Daripada (1), 2 ( − 2 t 3 ) = − u t = 3 4 u


Bab 15 Vektor

Posted on by

4.4 Pengungkapan Suatu Vektor sebagai Gabungan Linear Vektor yang lain

1. Hukum Poligon Vektor

P Q → = P U → + U T → + T S → + S R → + R Q →

2. Untuk membuktikan dua vector adalah selari, kita mesti mengungkapkan salah satu vector sebagai kuantiti scalar kepada vector yang lain.


Misalnya, AB → =k CD →  atau  CD → =h AB → .  

3. Untuk membuktikan titik P, Q dan R adalah segaris, buktikan salah satu daripada berikut: 


•   PQ → =k QR →  atau  QR → =h PQ → •   PR → =k PQ →  atau  PQ → =h PR → •   PR → =k QR →  atau  QR → =h PR →