Bab 15 Vektor

Posted on May 24, 2016 by user

4.2 Pendaraban Vektor dengan Kuantiti Skalar dan Keselarian Vektor

1. Hasil darab vektor

\underset{˜}{a}

dengan suatu scalar k ialah

k \underset{˜}{a}

2. Jika

\underset{˜}{b} = k \underset{˜}{a}

, vector

\underset{˜}{b}

adalah searah dengan vector

\underset{˜}{a}

dan magnitudnya,

| \underset{˜}{b} | = k | \underset{˜}{a} | .

3. Vektor

\underset{˜}{a}

adalah selari dengan vektor

\underset{˜}{b}

jika dan hanya jika

\underset{˜}{b} = λ \underset{˜}{a}

, dengan keadaan λialah pemalar.

4. Jika vektor

\underset{˜}{a} dan \underset{˜}{b}

tidak selari dan

h \underset{˜}{a} = k \underset{˜}{b}

, maka h = 0 dan k = 0.

Contoh 1:

Jika vektor

\underset{˜}{a} dan \underset{˜}{b}

tidak selari dan

(k - 7) \underset{˜}{a} = (5 + h) \underset{˜}{b}

, cari nilai k dan nilai h.

Penyelesaian:

Vektor

\underset{˜}{a} dan \underset{˜}{b}

tidak selari, maka

k – 7 = 0 → k= 7

5 + h = 0 → h = –5

Bab 15 Vektor

Posted on May 24, 2016 by user

4.3 Penambahan dan Penolakan Vektor

4.3.1 Penambahan Vektor

1. Penambahan dua vektor,

\underset{˜}{u} dan \underset{˜}{v}

, boleh ditulis sebagai

\underset{˜}{u} + \underset{˜}{v}

. Hasil tambah ini merupakan suatu vektor, yang dinamakan vector paduan.

2. Apabila dua vektor yang sama ditambah, vector paduan yang terhasil mempunyai

(a) arah yang sama dengan kedua-dua vektor itu,

(b) magnitude yang sama dengan hasil tambah magnitud kedua-dua vektor itu.

(A) Penambahan Vektor Paduan Dua Vektor Tidak Selari

1. Penambahan dua vektor yang tidak selari,

\underset{˜}{u} dan \underset{˜}{v}

, boleh ditunjukkan dengan dua hukum.

(i) Hukum Segitiga

Vektor paduan

\underset{˜}{u} + \underset{˜}{v}

yang terhasil ialah AC.

(ii) Hukum Segiempat Selari

Vektor paduan

\underset{˜}{u} + \underset{˜}{v}

yang terhasil ialah AC.

Contoh 1:

Cari

(a) vector paduan hasil tambah bagi dua vector selari yang di atas.

(b) magnitud bagi vector paduan.

Penyelesaian:

(a)

Vektor paduan

= hasil tambah dua vektor

= \vec{P Q} + \vec{R S}

(b)

Magnitud bagi vector paduan

\begin{array}{l} = | \vec{P Q} | + | \vec{R S} | \\ = | \sqrt{6^{2} + 8^{2}} | + | \sqrt{6^{2} + 8^{2}} | \\ = 10 + 10 \\ = 20 units \end{array}

Contoh 2:

Rajah di atas menunjukkan suatu segiempat selari OABC. M adalah titik tengah BC. Vektor

\vec{O A} = \underset{˜}{a} dan \vec{O C} = \underset{˜}{c} .

Cari setiap vektor yang berikut dalam sebutan

\underset{˜}{a} dan \underset{˜}{c} .

\begin{array}{l} (a) \vec{O B} \\ (b) \vec{M B} \\ (c) \vec{O M} \end{array}

Penyelesaian:

(a)

\begin{array}{l} \vec{O B} = \vec{O A} + \vec{A B} \leftarrow Hukum segitiga \\ = \vec{O A} + \vec{O C} \leftarrow \vec{A B} = \vec{O C} \\ = \underset{˜}{a} + \underset{˜}{c} \end{array}

(b)

\begin{array}{l} \vec{M B} = \frac{1}{2} \vec{C B} \leftarrow M adalah titik tengah C B \\ = \frac{1}{2} \vec{O A} \\ = \frac{1}{2} \underset{˜}{a} \end{array}

(c)

\begin{array}{l} \vec{O M} = \vec{O C} + \vec{C M} \leftarrow Hukum segitiga \\ = \vec{O C} + \vec{M B} \leftarrow \vec{C M} = \vec{M B} \\ = \underset{˜}{c} + \frac{1}{2} \underset{˜}{a} \end{array}

Bab 15 Vektor

Posted on May 24, 2016 by user

4.3 Penambahan dan Penolakan Vektor

4.3.2 Penolakan Dua Vektor

Penolakan vektor

\underset{˜}{b}

dari vektor

\underset{˜}{a}

ditulis sebagai

\underset{˜}{a} - \underset{˜}{b}

. Operasi ini juga merupakan penambahan vektor

\underset{˜}{a}

dengan vektor negatif

\underset{˜}{b}

. Oleh itu

\underset{˜}{a} - \underset{˜}{b} = \underset{˜}{a} + (- \underset{˜}{b}) .

Contoh 1:

Dalam rajah di atas, vektor

\vec{O P} = \underset{˜}{p}, \vec{O R} = \underset{˜}{r}

dan Q membahagikan PR dalam nisbah 2: 3. Cari vektor-vektor berikut dalam sebutan

\underset{˜}{p} dan \underset{˜}{r}

\begin{array}{l} (a) \vec{P R} \\ (b) \vec{O Q} \\ (c) \vec{Q M} jika M ialah titik tengah O R . \end{array}

Penyelesaian:

(a)

\begin{array}{l} \vec{P R} = \vec{P O} + \vec{O R} \\ = - \vec{O P} + \vec{O R} \\ = - \underset{˜}{p} + \underset{˜}{r} \end{array}

(b)

\begin{array}{l} \vec{O Q} = \vec{O P} + \vec{P Q} \\ = \vec{O P} + \frac{2}{5} \vec{P R} \\ = \underset{˜}{p} + \frac{2}{5} (- \underset{˜}{p} + \underset{˜}{r}) \\ = \underset{˜}{p} - \frac{2}{5} \underset{˜}{p} + \frac{2}{5} \underset{˜}{r} \\ = \frac{3}{5} \underset{˜}{p} + \frac{2}{5} \underset{˜}{r} \end{array}

(c)

\begin{array}{l} \vec{Q M} = \vec{Q O} + \vec{O M} \\ = - \vec{O Q} + \vec{O M} \\ = - \vec{O Q} + \frac{1}{2} \vec{O R} \\ = - (\frac{3}{5} \underset{˜}{p} + \frac{2}{5} \underset{˜}{r}) + \frac{1}{2} \underset{˜}{r} \\ = - \frac{3}{5} \underset{˜}{p} - \frac{2}{5} \underset{˜}{r} + \frac{1}{2} \underset{˜}{r} \\ = - \frac{3}{5} \underset{˜}{p} + \frac{1}{10} \underset{˜}{r} \end{array}

Bab 14 Pengamiran

Posted on May 23, 2016 by user

3.1 Pengamiran Sebagai Songsangan Pembezaan

1. Pengamiran ialah process songsangan pembezaan.

Jika \frac{d y}{d x} = f (x), maka \int f (x) d x = y .

(A) Pengamiran Pemalar

\int a d x = a x + c

Contoh:

\int 2 d x = 2 x + c

(B) Pengamiran axⁿ

\int a x^{n} d x = \frac{a x^{n + 1}}{n + 1} + c

Contoh 1:

\int 2 x^{3} d x = \frac{2 x^{4}}{4} + c = \frac{x^{4}}{2} + c

Contoh 2:

\begin{array}{l} \int \frac{2}{3 x^{5}} d x = \int \frac{2}{3} x^{- 5} d x \\ = \frac{2}{3} (\frac{x^{- 4}}{- 4}) + c \\ = \frac{2}{3} (\frac{x^{- 4}}{- 4}) + c \\ = \frac{x^{- 4}}{- 6} + c \end{array}

(C) Pengamiran Fungsi berbentuk Hasil Tambah Sebutan Algebra

\begin{array}{l} \int (u \pm v) d x = \int u d x \pm \int v d x \\ u dan v adalah fungsi dalam x \end{array}

Contoh 1:

\begin{array}{l} \int 3 x^{2} + 2 x d x \\ = \int 3 x^{2} d x + \int 2 x d x \\ = \frac{3 x^{3}}{3} + \frac{2 x^{2}}{2} + c \\ = \frac{3 x^{3}}{3} + \frac{2 x^{2}}{2} + c \\ = x^{3} + x^{2} + c \end{array}

Contoh 2:

\begin{array}{l} \int (x + 2) (3 x + 1) d x \\ = \int 3 x^{2} + 7 x + 2 d x \\ = \int 3 x^{2} d x + \int 7 x d x + \int 2 d x \\ = \frac{3 x^{3}}{3} + \frac{7 x^{2}}{2} + 2 x + c \\ = x^{3} + \frac{7 x^{2}}{2} + 2 x + c \end{array}

Contoh 3:

\begin{array}{l} \int \frac{3 x^{3} + x^{2} - x}{x} d x \\ = \int (3 x^{2} + x - 1) d x \\ = \int 3 x^{2} d x + \int x d x - \int 1 d x \\ = \frac{3 x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} - x + c \\ = x^{3} + \frac{x^{2}}{2} - x + c \end{array}

Bab 14 Pengamiran

Posted on May 22, 2016 by user

3.6 Pengamiran Sebagai Penghasiltambahan Isi padu

(1).

Isi padu yang dijanakan apabila rantau berlorek dikisarkan melalui 360° pada paksi-x

I_{x} = π \int_{a}^{b} y^{2} d x

(2).

Isi padu yang dijanakan apabila rantau berlorek dikisarkan melalui 360° pada paksi-y

I_{y} = π \int_{a}^{b} x^{2} d y

Contoh 1:

Hitung isi padu pepejal yang dijanakan apabila rantau berlorek di bawah dikisarkan melalui 360° pada paksi-x.

Penyelesaian:

Isi padu yang dijanakan, I_x

\begin{array}{l} I_{x} = π \int_{a}^{b} y^{2} d x \\ I_{x} = π \int_{2}^{4} {(3 x - \frac{8}{x})}^{2} d x \\ I_{x} = π \int_{2}^{4} (3 x - \frac{8}{x}) (3 x - \frac{8}{x}) d x \\ I_{x} = π \int_{2}^{4} (9 x^{2} - 48 + \frac{64}{x^{2}}) d x \\ I_{x} = π {[\frac{9 x^{3}}{3} - 48 x + \frac{64 x^{- 1}}{- 1}]}_{2}^{4} \\ I_{x} = π {[3 x^{3} - 48 x - \frac{64}{x}]}_{2}^{4} \\ I_{x} = π [(3 {(4)}^{3} - 48 (4) - \frac{64}{4}) - (3 {(2)}^{3} - 48 (2) - \frac{64}{2})] \\ I_{x} = π (- 16 + 104) \\ I_{x} = 88 π u n i t^{3} \end{array}

Contoh 2:

Hitung isi padu pepejal yang dijanakan apabila rantau berlorek di bawah dikisarkan melalui 360° pada paksi-y.

Penyelesaian:

Isi padu yang dijanakan, I_y

\begin{array}{l} I_{y} = π \int_{a}^{b} x^{2} d y \\ I_{y} = π \int_{1}^{2} {(\frac{2}{y})}^{2} d y \\ I_{y} = π \int_{1}^{2} (\frac{4}{y^{2}}) d y \\ I_{y} = π \int_{1}^{2} 4 y^{- 2} d y \\ I_{y} = π {[\frac{4 y^{- 1}}{- 1}]}_{1}^{2} = π {[- \frac{4}{y}]}_{1}^{2} \\ I_{y} = π [(- \frac{4}{2}) - (- \frac{4}{1})] \\ I_{y} = 2 π u n i t^{3} \end{array}

Bab 14 Pengamiran

Posted on May 22, 2016 by user

3.5 Pengamiran Sebagai Penghasiltambahan Luas

(A) Luas di bawah suatu lengkung dengan paksi-x

\begin{array}{l} Luas rantau berlorek, \\ L = \int_{a}^{b} y d x \end{array}

(B) Luas di bawah suatu lengkung dengan paksi-y

\begin{array}{l} Luas rantau berlorek, \\ L = \int_{a}^{b} x d y \end{array}

(C) Luas di bawah suatu lengkung dengan suatu garis lurus

\begin{array}{l} Luas rantau berlorek, \\ L = \int_{a}^{b} f (x) d x - \int_{a}^{b} g (x) d x \end{array}

Bab 14 Pengamiran

Posted on May 22, 2016 by user

3.4b Mencari Nilai Kamiran Tentu

Contoh:

Diberi

\int_{3}^{7} f (x) d x = 5

, cari nialai bagi setiap yang berikut:

\begin{array}{l} (a) \int_{3}^{7} 6 f (x) d x \\ (b) \int_{3}^{7} [3 - f (x)] d x \\ (c) \int_{7}^{3} 2 f (x) d x \\ (d) \int_{3}^{4} f (x) d x + \int_{4}^{5} f (x) d x + \int_{3}^{7} f (x) d x \\ (e) \int_{3}^{7} \frac{f (x) + 7}{2} d x \end{array}

Penyelesaian:

\begin{array}{l} (a) \int_{3}^{7} 6 f (x) d x = 6 \int_{3}^{7} f (x) d x \\ = 6 (5) = 30 \end{array}

\begin{array}{l} (b) \int_{3}^{7} [3 - f (x)] d x = \int_{3}^{7} 3 d x - \int_{3}^{7} f (x) d x \\ = {[3 x]}_{3}^{7} - 5 \\ = [3 (7) - 3 (3)] - 5 \\ = 7 \end{array}

\begin{array}{l} (c) \int_{7}^{3} 2 f (x) d x = - \int_{3}^{7} 2 f (x) d x \\ = - 2 \int_{3}^{7} f (x) d x \\ = - 2 (5) \\ = - 10 \end{array}

\begin{array}{l} (d) \int_{3}^{4} f (x) d x + \int_{4}^{5} f (x) d x + \int_{3}^{7} f (x) d x \\ = \int_{3}^{7} f (x) d x \\ = 5 \end{array}

\begin{array}{l} (e) \int_{3}^{7} \frac{f (x) + 7}{2} d x = \int_{3}^{7} [\frac{1}{2} f (x) + \frac{7}{2}] d x \\ = \int_{3}^{7} \frac{1}{2} f (x) d x + \int_{3}^{7} \frac{7}{2} d x \\ = \frac{1}{2} \int_{3}^{7} f (x) d x + {[\frac{7 x}{2}]}_{3}^{7} \\ = \frac{1}{2} (5) + [\frac{7 (7)}{2} - \frac{7 (3)}{2}] \\ = \frac{5}{2} + 14 \\ = 16 \frac{1}{2} \end{array}

Bab 14 Pengamiran

Posted on May 21, 2016 by user

3.4 Kamiran Tentu (Bahagian 1)

\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)

Contoh:

Nilaikan yang berikut.

\begin{array}{l} (a) \int_{- 1}^{0} (3 x^{2} - 2 x + 5) d x \\ (b) \int_{0}^{2} {(2 x + 1)}^{3} d x \end{array}

Penyelesaian:

\begin{array}{l} (a) \int_{- 1}^{0} (3 x^{2} - 2 x + 5) d x \\ = {[\frac{3 x^{3}}{3} - \frac{2 x^{2}}{2} + 5 x]}_{- 1}^{0} \\ = {[x^{3} - x^{2} + 5 x]}_{- 1}^{0} \\ = 0 - [{(- 1)}^{3} - {(- 1)}^{2} + 5 (- 1)] \\ = 0 - (- 1 - 1 - 5) \\ = 7 \end{array}

\begin{array}{l} (b) \int_{0}^{2} {(2 x + 1)}^{3} d x \\ = {[\frac{{(2 x + 1)}^{4}}{4 (2)}]}_{0}^{2} \\ = {[\frac{{(2 x + 1)}^{4}}{8}]}_{0}^{2} \\ = [\frac{{(2 (2) + 1)}^{4}}{8}] - [\frac{{(2 (0) + 1)}^{4}}{8}] \\ = \frac{625}{8} - \frac{1}{8} \\ = 78 \end{array}

Bab 14 Pengamiran

Posted on May 21, 2016 by user

3.3 Menentukan Persamaan Lengkung daripada Fungsi Kecerunan

1. Kita dapat mencari persamaan lengkung jika diberi fungsi kecerunan,

\frac{d y}{d x} .

\begin{array}{l} Jika \frac{d y}{d x} = g (x), maka persamaan lengkung ialah \\ y = \int g (x) d x \end{array}

Soalan 1:

Cari persamaan lengkung yang mempunyai fungsi kecerunan

\frac{d y}{d x} = 2 x + 8

dan melalui titik (2, 3).

Penyelesaian:

\begin{array}{l} y = \int (2 x + 8) \\ y = \frac{2 x^{2}}{2} + 8 x + c \end{array}

y= x² + 8x + c

3 = 2² +8(2) + c (2, 3)

c= –17

Maka, persamaan lengkung ialah: y = x² + 8x – 17

Soalan 2:

Fungsi kecerunan suatu lengkung ialah 2x – 4 dan lengkung itu mempunyai nilai minimum 3. Cari persamaan lengkung.

Penyelesaian:

Pada titik minimum,

\frac{d y}{d x} = 0

2x – 4 = 0

x = 2

Maka, titik minimum = (2, 3)

\begin{array}{l} \frac{d y}{d x} = 2 x - 4 \\ y = \int (2 x - 4) d x \\ y = \frac{2 x^{2}}{2} - 4 x + c \\ y = x^{2} - 4 x + c \end{array}

Apabila x= 2, y = 3.

3 = 2² – 4(2) + c

c= 7

Maka, persamaan lengkung ialah: y = x² – 4x + 7

Bab 14 Pengamiran

Posted on May 21, 2016 by user

3.2 Pengamiran Melalui Penggantian

1. Diberi bahawa

{\int (a x + b)}^{n} d x, n \neq - 1.

(A) Kaedah Penggantian,

\begin{array}{l} Katakan u = a x + b \\ Oleh itu, \frac{d u}{d x} = a \\ ∴ d x = \frac{d u}{a} \end{array}

Soalan 1:

Cari {\int (3 x + 5)}^{3} d x .

Penyelesaian:

\begin{array}{l} Katakan u = 3 x + 5 \\ \frac{d u}{d x} = 3 \\ d x = \frac{d u}{3} \\ {\int (3 x + 5)}^{3} d x \\ = \int u^{3} \frac{d u}{3} \leftarrow \begin{array}{l} gantikan 3 x + 5 = u \\ dan d x = \frac{d u}{3} \end{array} \\ = \frac{1}{3} \int u^{3} d u \\ = \frac{1}{3} (\frac{u^{4}}{4}) + c \\ = \frac{1}{3} (\frac{{(3 x + 5)}^{4}}{4}) + c \leftarrow \begin{array}{l} ganti balik \\ u = 3 x + 5 \end{array} \\ = \frac{{(3 x + 5)}^{4}}{12} + c \end{array}

(B) Kaedah Rumus

\begin{array}{l} \int {(a x + b)}^{n} = \frac{{(a x + b)}^{n + 1}}{(n + 1) a} + c \\ Oleh itu, \\ \int {(3 x + 5)}^{3} d x = \frac{{(3 x + 5)}^{4}}{4 (3)} + c \\ = \frac{{(3 x + 5)}^{4}}{12} + c \end{array}

Soalan 2:

Cari,

\begin{array}{l} (a) \int \frac{2}{7} {(5 - x)}^{- 4} d x \\ (b) \int \frac{2}{3 {(9 x - 2)}^{5}} d x \end{array}

Penyelesaian:

\begin{array}{l} (a) \int \frac{2}{7} {(5 - x)}^{- 4} d x = \frac{2 {(5 - x)}^{- 3}}{7 (- 3) (- 1)} + c \\ = \frac{2}{21 {(5 - x)}^{3}} + c \end{array}

\begin{array}{l} (b) \int \frac{2}{3 {(9 x - 2)}^{5}} d x = \int \frac{2 {(9 x - 2)}^{- 5}}{3} d x \\ = \frac{2 {(9 x - 2)}^{- 4}}{3 (- 4) (9)} + c \\ = - \frac{2}{108 {(9 x - 2)}^{4}} + c \\ = - \frac{1}{54 {(9 x - 2)}^{4}} + c \end{array}