5.8.3 Fungsi Trigonometri, SPM Praktis (Kertas 2)


Soalan 4 (10 markah):
(a) Buktikan bahawa 2 tan x kos2 x = sin 2x.
(b) Seterusnya, selesaikan persamaan 4 tan x kos2 x = 1 untuk 0 ≤ x ≤ 2π.
(c)(i) Lakar graf y = sin 2x untuk 0 ≤ x ≤ 2π.
(c)(ii) Seterusnya, menggunakan paksi yang sama, lakar satu garis lurus yang sesuai untuk mencari bilangan penyelesaian bagi persamaan 4π tan x kos2 x = x – 2π untuk 0 ≤ x ≤ 2π.
Nyatakan bilangan penyelesaian.

Penyelesaian: 
(a)

2tanxkos2x=sin2xSebelah kiri=2tanxkos2x=2×sinxkosx×kos2x=2sinxkosx=sin2x= Sebelah kanan (Terbukti)

(b)
4tanxkos2x=1, 0x2π2(2tanxkos2x)=12sin2x=1sin2x=12Sudut asas=π62x=π6,(ππ6),(2π+π6),(3ππ6)2x=π6,5π6,13π6,17π6x=π12,5π12,13π12,17π12



(c)(i)
y = sin 2x, 0 ≤ x ≤ 2π.




(c)(ii)
4πtanxkos2x=x2π2π(2tanxkos2x)=x2π2πsin2x=x2πsin2x=x2π2π2πsin2x=x2π1y=x2π1


Bilangan penyelesaian = 4

5.8.2 Fungsi Trigonometri, SPM Praktis (Kertas 2)


Soalan 3 (10 markah):
(a) Buktikan sin(3x+π6)sin(3xπ6)=kos3x(b) Seterusnya,(i) selesaikan persamaan sin(3x2+π6)sin(3x2π6)=12 untuk 0x2π dan beri jawapan anda dalam bentuk pencahan termudah dalam sebutan π radian,(ii) lakar graf bagi y=sin(3x+π6)sin(3xπ6)12 untuk 0xπ.

Penyelesaian:
(a) Sebelah kiri,sin(3x+π6)sin(3xπ6)=[sin3xkosπ6+kos3xsinπ6][sin3xkosπ6kos3xsinπ6]=2[kos3xsinπ6]=2[kos3x(12)]=kos3x(sebelah kanan)



(b)(i)sin(3x2+π6)sin(3x2π6)=12,0x2πkos3x2=123x2=π3,(2ππ3),(2π+π3)3x2=π3,5π3,7π3x=2π9,10π9,14π9


(b)(ii) y=sin(3x+π6)sin(3xπ6)12 untuk 0xπ.y=kos3x12




8.5.10 Sukatan Membulat, SPM Praktis (Kertas 2)


Soalan 10 (8 markah):
Rajah menunjukkan bulatan dan sektor sebuah bulatan dengan pusat sepunya O. Jejari bulatan ialah r cm.

Diberi bahawa panjang lengkok PQ dan lengkok RS masing-masing ialah 2 cm dan 7 cm. QR = 10 cm.
[Guna θ = 3.142]
Cari
(a) nilai r dan nilai θ,
(b) luas, dalam cm2, kawasan yang berlorek.



Penyelesaian:

(a)
Panjang lengkok PQ=2 cmrθ=2 ................. (1)Panjang lengkok RS=7 cm(r+10)θ=7rθ+10θ=7 ................. (2)Gantikan (1) ke dalam (2):2+10θ=710θ=5θ=510θ=0.5 radDaripada(1):Apabila θ=0.5 rad,r×0.5=2r=4

(b)
OS=OR=4+10=14 cmLuas kawasan yang berlorek=luas ΔORS  luas OPQ=(12×142×sin0.5 rad)(12×42×0.5)=42.981 cm2


8.5.9 Sukatan Membulat, SPM Praktis (Kertas 2)


Soalan 9 (7 markah):
Persatuan matematik SMK Mulia menganjurkan satu pertandingan mencipta logo untuk persatuan itu.


Rajah 3 menunjukkan logo berbentuk bulatan yang dicipta oleh Adrian. Ketiga-tiga kawasan berwarna biru adalah kongruen. Diberi bahawa perimeter bagi kawasan berwarna biru ialah 20π cm.
[Guna π = 3.142]
Cari
(a) jejari, dalam cm, bagi logo itu kepada integer terhampir,
(b) luas, dalam cm2, bagi kawasan yang berwarna kuning.


Penyelesaian:
(a)
6 lengkok =20π6jθ=20π6j[60o×π180o3]=20π2πj=20πj=10 cm

(b)

Luas kawasan berwarna kuning=3[luas segi tiga OAB]6[luas tembereng]=3[12absinC]6[12j2(θsinθ)]=3[12(10)(10)sin120o]6[12(10)2(θsinθ)]=3(43.3013)6[50(1.0473sin1.0473)]tukar kepada mod radθ=60o×3.142180o=1.0473 rad=129.90396(9.0612)=129.903954.3672=75.54 cm2


6.8.10 Geometri Koordinat, SPM Praktis (Kertas 2)


Soalan 10 (7 markah):
Penyelesaian secara lukisan berskala tidak diterima.
Rajah 3 menunjukkan kedudukan bagi bandar M dan bandar N yang dilukis pada suatu satah Cartes.

PQ
ialah jalan raya lurus dengan keadaan jarak dari bandar M dan bandar N ke mana-mana titik pada jalan raya adalah sentiasa sama.
(a) Cari persamaan bagi PQ.

(b) Satu lagi jalan raya lurus, ST dengan persamaan y = 2x + 7 akan dibina.
(i) Lampu isyarat akan dipasang di persimpangan kedua-dua jalan raya itu.
Cari koordinat bagi lampu isyarat itu.
(ii) Antara dua jalan raya itu, yang manakah melalui bandar L (43,1)?  


Penyelesaian: 
(a)

T(x,y) adalah satu titik pada PQ.TM=TN[x(4)2]+[y(1)]2=(x2)2+(y1)2(x+4)2+(y+1)2=(x2)2+(y1)2(x+4)2+(y+1)2=(x2)2+(y1)2x2+8x+16+y2+2y+1=x24x+4+y22y+18x+2y+17+4x+2y5=012x+4y+12=03x+y+3=0Persamaan PQ:3x+y+3=0


(b)(i)
y=2x+7  ............ (1)3x+y+3=0 ............ (2)Gantikan (1) ke dalam (2):3x+2x+7+3=05x=10x=2Apabila x=2,Dari (1),y=2(2)+7=3Koordinat bagi lampu isyarat=(2,3).


(b)(ii)
L(43,1):x=43,y=1Persamaan ST:y=2x+7Sebelah kiri: y=1Sebelah kanan: 2(43)+7=413Oleh itu, jalan raya y=2x+7 tidak melalui L.Persamaan PQ:3x+y+3=0Sebelah kiri: 3x+y+3=3(43)+1+3   =4+4=0Sebelah kanan=0Sebelah kiri=Sebelah kananOleh itu, jalan raya 3x+y+3=0melalui L.


6.8.9 Geometri Koordinat, SPM Praktis (Kertas 2)


Soalan 9 (6 markah):
Penyelesaian secara lukisan berskala tidak diterima.
Rajah 1 menunjukkan segi tiga OCD.
Rajah 1

(a) Diberi luas segi tiga OCD ialah 30 unit2, cari nilai h.
(b) Titik Q (2, 4) terletak pada garis lurus CD.
(i) Cari CQ : QD.
(ii) Titik P bergerak dengan keadaan PD = 2 PQ.
  Cari persamaan lokus P.


Penyelesaian:
(a)
Diberi luas  OCD = 3012 |0  h6 0  2   8  00|=30|(0)(2)+(h)(8)+(6)(0)(0)(h)(2)(6)(8)(0)|=60|0+8h+00+120|=60|8h+12|=608h+12=608h=48h=6atau 8h+12=608h=72h=9(abaikan)



(b)(i)

[6(m)+(6)(n)m+n, 2(m)+(8)(n)m+n]=(2, 4)6m6nm+n=26m6n=2m+2n4m=8nmn=84mn=212m+8nm+n=42m+8n=4m+4n2m=4nmn=42mn=21Oleh itu, CQ=QD=2:1


(b)(ii)
PD=2PQ(x6)2+(y2)2=2(x2)2+(y4)2(x6)2+(y2)2=4[(x2)2+(y4)2]x212x+36+y24y+4=4[x24x+4+y28y+16]x212x+36+y24y+4=4x216x+16+4y232y+64Persamaan lokus P:3x2+3y24x28y+40=0


9.8.5 Pembezaan, SPM Praktis (Kertas 2)


Soalan 9 (6 markah):
Rajah 4 menunjukkan pandangan hadapan sebahagian daripada laluan ‘roller coaster’ di sebuah taman replika.

Bahagian lengkung laluan ‘roller coaster’ itu diwakili oleh persamaan y=164x3316x2 , dengan titik A sebagai asalan.
Cari jarak tegak terpendek, dalam m, dari laluan itu ke aras tanah.


Penyelesaian:
y=164x3316x2 ............... (1)dydx=3(164)x22(316)x1    =364x238xPada titik pusingan, dydx=0364x238x=0x(364x38)=0x=0  atau364x38=0364x=38x=38×643x=8Gantikan nilai-nilai x ke dalam (1):Apabila x=0,y=164(0)3316(0)2y=0Apabila x=8,y=164(8)3316(8)2y=4Oleh itu, titik-titik pusingan : (0, 0) dan (8,4)

dydx=364x238xd2ydx2=2(364)x38      =332x38Apabila x=0,d2ydx2=332(0)38      =38(<0)(0, 0) ialah titik maksimum.Apabila x=8,d2ydx2=332(8)38      =38(>0)(8,4) ialah titik minimum.Jarak tegak terpendek dari laluan ke aras tanahadalah pada titik minimum.Jarak tegak terpendek=54=1 m


4.2.6 SPM Praktis, Persamaan Serentak


Soalan 10 (5 markah):
Selesaikan persamaan serentak berikut:
x – 3y = 1,
x2 + 3xy + 9y2 = 7


Penyelesaian:
x3y=1...................(1)x2+3xy+9y2=7...................(2)Daripada (1):x=3y+1...................(3)Gantikan (3) ke dalam (2):(3y+1)2+3(3y+1)y+9y2=79y2+6y+1+9y2+3y+9y27=027y2+9y6=09y2+3y2=0(3y1)(3y+2)=0y=13 atau 23Gantikan y ke dalam (3):Apabila y=13x=3(13)+1=2Apabila y=23x=3(23)+1=1Maka, penyelesaian ialah x=2,y=13 atau x=1,y=23.


4.2.5 SPM Praktis, Persamaan Serentak


Soalan 9 (7 markah):
Rajah menunjukkan plan bagi sebuah taman berbentuk segi empat tepat ABCD. Taman itu terdiri daripada sebuah kolam berbentuk semi bulatan ATD dan kawasan berumput ABCDT.
Diberi bahawa DC = 6y meter dan BC = 7x meter, xy. Luas taman berbentuk segi empat tepat ABCD ialah 168 meter2 dan perimeter kawasan berumput ialah 60 meter. Kolam dengan kedalaman seragam mengandungi 15.4 meter3 air.
Dengan menggunakan  π=227 , cari kedalaman, dalam meter, air dalam kolam itu.


Penyelesaian:
Luas ABCD=168(6y)(7x)=16842xy=168xy=4...................(1)Perimeter kawasan berumput=606y+6y+7x+(12×2×22117×7x2)=6012y+18x=602y+3x=10...................(2)Daripada (1):xy=4x=4y...................(3)Gantikan (3) ke dalam (2):2y+3(4y)=102y2+12=10yy25y+6=0(y2)(y3)=0y2=0  y=2   Atau    y3=0y=3Gantikan nilai-nilai bagi y ke dalam (3):Apabila y=2x=42=2 (abaikan, xy)Apabila y=3x=43Diberi isi padu air=15.412(227)(7x2)2d=15.412(227)[7(43)2]2d=15.4117(143)2d=15.43089d=15.4d=0.45 mOleh itu, kedalaman air dalam kolam ialah 0.45 m.


1.6.4 Fungsi, SPM Praktis (Soalan Kertas 2)


Soalan 7 (8 markah):
Diberi bahawa g : x → 2x – 3 dan h : x → 1 – 3x.
(a) Cari
(i) h (5)
(ii) nilai k jika g(k+2)=17h(5),
(iii) hg(x).
(b) Seterusnya, lakarkan graf y = | hg(x) | untuk –1 ≤ x ≤ 3.
Nyatakan julat bagi y.

Penyelesaian:
(a)(i)
h(x)=13xh(5)=13(5)   =14

(a)(ii)
g(x)=2x3g(k+2)=17h(5)2(k+2)3=17(14)2k+43=22k=3k=32


(a)(iii)
g(x)=2x3, h(x)=13xhg(x)=h(2x3) =13(2x3) =16x+9 =106x

(b)
y = |hg(x)|,
y = |10 – 6x|
Julat bagi y : 0 ≤ y ≤ 16