Bab 9 Pembezaan

Posted on June 1, 2016 by user

9.8 Pembezaan, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 3:

Lengkung y = x³ – 6x² + 9x + 3 melalui titik P (2, 5) dan mempunyai dua titik pusingan A (3, 3) dan B.

Cari

(a) kecerunan lengkung itu pada P.

(b) persamaan normal kepada lengkung itu pada P.

Penyelesaian:

(a)

y = x³ – 6x² + 9x + 3

dy/dx = 3x² – 12x + 9

di titik P (2, 5),

dy/dx = 3(2)² – 12(2) + 9 = –3

Kecerunan lengung pada titik P = –3.

(b)

Kecerunan normal pada titik P = ⅓

persamaan normal pada P (2, 5):

y – y₁= m (x - x₁)

y – 5 = ⅓ (x– 2)

3y – 15 = x – 2

3y = x + 13

(c)

Pada titik pusingan dy/dx= 0.

3x² – 12x + 9 = 0

x² – 4x + 3 = 0

(x – 1)( x – 3) = 0

x – 1 = 0 atau x – 3 = 0

x = 1 atau x = 3 (titik A)

Pada titik B:

x = 1

y = (1)³– 6(1)² + 9(1) + 3 = 7

Maka, koordinat B = (1, 7)

$\begin{array}{l} Apabila x = 1, \\ \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 6 x - 12 \\ \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 6 (1) - 12 \\ \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = - 6 < 0 \\ \frac{d^{2} y}{d x^{2}} < 0, B ialah titik maksimum . \end{array}$

Soalan 4:

Rajah di atas menunjukkan sebuah kon dengan diameter 0.8m dan tinggi 0.6m. Air dituang ke dalam kon dengan kadar tetap 0.02m³s^-1. Cari kadar perubahan tinggi paras air pada ketika tinggi parasnya ialah 0.5m.

Penyelesaian:

$\begin{array}{l} Isipadu air, I = \frac{1}{3} π j^{2} h \\ I = \frac{1}{3} π {(\frac{2}{3} h)}^{2} h \\ I = \frac{4}{27} π h^{3} \\ \frac{d I}{d h} = (3) \frac{4}{27} π h^{2} \\ \frac{d I}{d h} = \frac{4}{9} π h^{2} \end{array}$

Kadar perubahan tinggi paras air pada ketika tinggi parasnya ialah 0.5m =

$\frac{d h}{d t} .$

$\begin{array}{l} \frac{d h}{d t} = \frac{d h}{d I} \times \frac{d I}{d t} \leftarrow Petua rantai \\ \frac{d h}{d t} = \frac{9}{4 π h^{2}} \times 0.02 \leftarrow Diberi \frac{d I}{d t} = 0.02 \\ \frac{d h}{d t} = \frac{9}{4 π {(0.5)}^{2}} \times 0.02 \\ \frac{d h}{d t} = 0.0572 m s^{- 1} \end{array}$

Katakan,

h = tinggi paras air

j = jejari permukaan air

I = isipadu air

$\begin{array}{l} \frac{j}{h} = \frac{0.4}{0.6} \leftarrow Konsep segitiga serupa \\ \frac{j}{h} = \frac{2}{3} \\ j = \frac{2}{3} h \end{array}$

Bab 9 Pembezaan

Posted on June 1, 2016 by user

9.7 Pembezaan, SPM Praktis (Kertas 1)

Soalan 1:

Bezakan ungkapan 2x (4x² + 2x - 5) terhadap x.

Penyelesaian:

2x (4x² + 2x – 5) = 8x³ + 4x²– 10x

d/dx (8x³ + 4x² – 10x)

= 24x + 8x –10

Soalan 2:

$Diberi y = \frac{x^{3} + 2 x^{2} + 1}{3 x}, cari \frac{d y}{d x} .$

Penyelesaian:

$\begin{array}{l} y = \frac{x^{3} + 2 x^{2} + 1}{3 x} \\ y = \frac{x^{3}}{3 x} + \frac{2 x^{2}}{3 x} + \frac{1}{3 x} \\ y = \frac{x^{2}}{3} + \frac{2 x}{3} + \frac{1}{3} x^{- 1} \\ \frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3} - \frac{1}{3} x^{- 2} \\ \frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3} - \frac{1}{3 x^{2}} \end{array}$

Soalan 3:

$Diberi y = \frac{3}{\sqrt{5 x + 1}}, cari \frac{d y}{d x}$

Penyelesaian:

$\begin{array}{l} y = \frac{3}{\sqrt{5 x + 1}} = 3 {(5 x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \\ \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{2} .3 {(5 x + 1)}^{- \frac{3}{2}} (5) \\ \frac{d y}{d x} = \frac{- 15}{2 {[{(5 x + 1)}^{3}]}^{\frac{1}{2}}} \\ \frac{d y}{d x} = \frac{- 15}{2 \sqrt{{(5 x + 1)}^{3}}} \end{array}$

Soalan 4:

$\begin{array}{l} Cari \frac{d s}{d t} bagi setiap fungsi yang berikut . \\ (a) s = {(t - \frac{3}{t})}^{2} \\ (b) s = \frac{(t + 1) (3 - 5 t)}{t^{2}} \end{array}$

Penyelesaian:

(a)

$\begin{array}{l} s = {(t - \frac{3}{t})}^{2} \\ s = (t - \frac{3}{t}) (t - \frac{3}{t}) \\ s = t^{2} - 6 + \frac{9}{t^{2}} \\ s = t^{2} - 6 + 9 t^{- 2} \\ \frac{d s}{d t} = 2 t - 18 t^{- 3} = 2 t - \frac{18}{t^{3}} \\ \frac{d s}{d t} = 2 t - \frac{18}{t^{3}} \end{array}$

(b)

$\begin{array}{l} s = \frac{(t + 1) (3 - 5 t)}{t^{2}} \\ s = \frac{3 t - 5 t^{2} + 3 - 5 t}{t^{2}} \\ s = \frac{- 5 t^{2} - 2 t + 3}{t^{2}} \\ s = - 5 - \frac{2}{t} + \frac{3}{t^{2}} \\ s = - 5 - 2 t^{- 1} + 3 t^{- 2} \\ \frac{d s}{d t} = 2 t^{- 2} - 6 t^{- 3} \\ \frac{d s}{d t} = \frac{2}{t^{2}} - \frac{6}{t^{3}} \end{array}$

Soalan 5:

$\begin{array}{l} Diberi y = \frac{3}{5} u^{5}, dengan keadaan u = 4 x + 1. \\ Cari \frac{d y}{d x} dalam sebutan x . \end{array}$

Penyelesaian:

$\begin{array}{l} y = \frac{3}{5} u^{5}, u = 4 x + 1 \\ y = \frac{3}{5} {(4 x + 1)}^{5} \\ \frac{d y}{d x} = 5. \frac{3}{5} {(4 x + 1)}^{4} .4 \\ \frac{d y}{d x} = 12 {(4 x + 1)}^{4} \end{array}$