Bab 2 Persamaan Kuadratik

Posted on July 1, 2016 by user

2.2b Penyempurnaan Kuasa Dua

(A) Penyempurnaan Kuasa Dua

1. Ungkapan x ² + 2x + 1 boleh ditulis dalam bentuk (x + 1)² yang dikenali sebagai ‘kuasa dua sempurna’. Sebagai contoh x ² + 2x + 1 = (x + 1)² .

Contoh:
Selesaikan setiap persamaan kuadratik yang berikut

(a) (x + 1)² = 25

(b) x² − 8x + 16 = 49

Penyelesaian:

(a)

(x + 1)² = 25

(x + 1)² = ±√25

x = −1 ± 5

x = 5 atau x = −6

(b)

x ² − 8x + 16 = 49

(x − 4)² = 49

(x − 4) = ±√49

x = 4 ± 7

x = 11 atau x = −3

(B) Selesaikan Persamaan Kuadratik dengan Cara Penyempurnaan Kuasa Dua

1. Untuk menyelesaikan persamaan kuadratik, kita membuat persamaan di sebelah kiri sebagai suatu kuasa dua sempurna.

2. Untuk membentuk sebarang ungkapan kuadratik x² + px kepada suatu kuasa dua sempurna, kita menambahkan

{(\frac{p}{2})}^{2}

ke dalam ungkapan itu untuk menjadikan

x^{2} + p x = x^{2} + p x + {(\frac{p}{2})}^{2} = {(x + \frac{p}{2})}^{2}

3. Langkah-langkah berikut diambil untuk menyelesaikan persamaan kuadratik ax² + bx = – c dengan menggunakan cara penyempurnaan kuasa dua.

(a) Tulis semula persamaan ax ² + bx + c = 0 dalam bentuk ax² + bx = – c.

(b) Jika pekali a ≠ 1, tukarkannya kepada 1 (dengan pembahagian).

(c) Tambah

{(\frac{p}{2})}^{2}

iaitu

{(\frac{pekali bagi x}{2})}^{2}

pada kedua-dua belah persamaan.

(d) Tulis ungkapan pada sebelah kiri sebagai kuasa dua sempurna.

(e) Selesaikan persamaan itu .

Contoh:

Selesaikan persamaan kuadratik x ² – 6x – 3 = 0 dengan cara penyempurnaan kuasa dua.

Penyelesaian:

x ² – 6x – 3 = 0 ← (pekali bagi x ² = 1)

x ² – 6x = 3 ← (pekali bagi x = b = –6)

x ² – 6x + [½ × (–6)]² = 3 + [½ × (–6)]² ← [tambah

{(\frac{pekali bagi x}{2})}^{2}

iaitu (½ × (–6)², pada kedua-dua belah persamaan]

x ² – 6x + (–3)² = 3 + (–3)²

(x – 3)² = 12

x – 3 = ±√12

x = 3 ± √12

x = 3 + √12 atau 3 – √12

x = 6.464 atau –0.464

Bab 2 Persamaan Kuadratik

Posted on June 30, 2016 by user

2.2a Pemfaktoran

1. Secara amnya, jika

(x – p)(x – q) = 0

Maka

x – p = 0 atau x – q = 0

x = p atau x = q

p dan q adalah punca-punca persamaan.

Perhatian:
1. Pastikan persamaan ditulis dalam bentuk amnya ax² + bx+ c = 0 sebelum pemfaktoran.

2. Kaedah ini hanya boleh digunakan sekiranya ungkapan kuadratik itu boleh difaktorkan sepenuhnya.

Contoh 1:
Cari punca-punca persamaan kuadratik berikut:
(a) x (2x− 8) = 0
(b) x² −16x = 0
(c) 3x² − 75x = 0
(d) 5x² − 100x = 25x

Penyelesaian:

(a)

x (2x − 8) = 0

x = 0 atau 2x − 8 = 0

2x − 8 = 0

2x = 8

x = 4

x = 0 atau x = 4

(b)

x² −16x = 0

x (x − 16) = 0

x = 0 atau x − 16 = 0

x = 0 atau x = 16

(c)

3x² − 75x = 0

3x (x− 25) = 0

3x = 0 atau x − 25 = 0

x = 0 atau x = 25

(d)

5x² − 100x = 25x

5x² − 100x − 25x = 0
5x²− 125x = 0

x (5x − 125) = 0

x = 0 atau 5x − 125 = 0

5x = 125

x = 25

x = 0 atau x = 25

Contoh 2:

Selesaikan persamaan kuadratik yang berikut
(a) x ² − 4x – 5 = 0
(b) 1 − 5x + 2x ² = 4

Penyelesaian:

(a)

x ² − 4x – 5 = 0
(x – 5) (x + 1) = 0

x – 5 = 0 atau x + 1 = 0

x = 5 atau x = –1

(b)

1 − 5x + 2x ² = 4

2x ² − 5x + 1 – 4 = 0

2x ² − 5x – 3 = 0

(2x + 1) (x – 3) = 0

2x + 1= 0 atau x – 3 = 0

2x = –1 atau x = 3

x = –½ atau x = 3

Bab 2 Persamaan Kuadratik

Posted on June 30, 2016 by user

2.2 Penyelesaian Persamaan Kuadratik

1.Menyelesaikan sesuatu persamaan kuadratik bermakna mencari punca-punca persamaan itu.

Contoh:
Cari punca-punca persamaan kuadratik berikut:
(a) x ² = 9
(b) 2x ² – 98 = 0

Penyelesaian:

(a) x ² = 9

x= ±√9

x= ±3

(b) 2x ² – 98 = 0

2x ² = 98

x ² = 98/2 = 49

x= ±√49 = ±7

2. Persamaan kuadratik boleh diselesaikan dengan salah satu kaedah berikut:
(a) pemfaktoran,

(b) penyempurnaan kuasa dua,

(c) penggunaan rumus

Bab 2 Persamaan Kuadratik

Posted on June 30, 2016 by user

2.1.1 Persamaan Kuadratik

1. Persamaan Kuadratik (misalnya, 2x² + 5x + 6 = 0) adalah persamaan yang memenuhi syarat-syarat berikut:

(a) Ia mengandungi tatatanda kesamaan, ‘=’

(b) Ia melibatkan hanya satu pembolehubah x.

(c) Kuasa tertinggi bagi x ialah 2.

Contoh Persamaan Kuadratik

Berikut adalah contoh-contoh persamaan kuadratik

· 2x² + 3x + 4 = 0

· t² = 24

· y (6y − 3) = 5

Contoh Persamaan Bukan Kuadratik

· 2x + 1 = 0, (Sebab: Kuasa tertinggi bagi x ≠ 2.)

· 2x³ + 1 = x, (Sebab: Kuasa tertinggi bagi x ≠ 2.)

• t^{2} + \frac{5}{t} = 3, (Sebab: \frac{5}{t} = 5 t^{- 1})

Bentuk Am Persamaan Kuadratik
Bentuk am persamaan kuadratik ialah

ax² + bx + c = 0

dengan a, b, dan c ialah pemalar dan a ≠ 0.

Contoh 1 (Cari nilai bagi a, b dan c):
Tulis semula setiap persamaan kuadratik berikut dalam bentuk am. Cari nilai a, b, dan c.
(a) (3x − 5)² = 0
(b) (x − 8) (x + 8) = 10

Penyelesaian:

Bab 2 Persamaan Kuadratik

Posted on May 18, 2016 by user

2.4 Syarat untuk Jenis Punca Persamaan Kuadratik

2.4.1 Jenis-jenis Punca Persamaan Kuadratik

Jenis-jenis punca persamaan kuadratik ditentukan oleh nilai ungkapan b² – 4 ac .

b² – 4ac > 0 ↔ dua punca nyata yang berbeza

b² – 4ac = 0 ↔ dua punca nyata yang sama

b² – 4ac < 0 ↔ tiada punca nyata

b² – 4ac ≥ 0 ↔ punca nyata

Contoh:

Tentukan jenis punca bagi setiap persamaan kuadratik yang berikut.

(a) 5x ² – 7x + 3 = 0

(b) x ² – 4x + 4 = 0

Penyelesaian:

Bab 2 Persamaan Kuadratik

Posted on May 18, 2016 by user

2.3c Cari Hasil Tambah Punca (HTP) dan Cari Hasil Darab Punca (HDP) bagi suatu Persamaan Kuadratik (Contoh)

Contoh:

Punca-punca bagi 2x ² + 3x – 1 = 0 adalah αdan β. Cari nilai-nilai berikut:

\begin{array}{l} (a) (α + 1) (β + 1) \\ (b) \frac{1}{α} + \frac{1}{β} \\ (c) α^{2} β + α β^{2} \\ (d) \frac{α}{β} + \frac{β}{α} \\ [P e t u n j u k : α^{2} + β^{2} = {(α + β)}^{2} - 2 α β] \end{array}

Penyelesaian:

Bab 2 Persamaan Kuadratik

Posted on May 18, 2016 by user

2.3b Cari Hasil Tambah Punca (HTP) dan Cari Hasil Darab Punca (HDP) bagi suatu Persamaan Kuadratik

Contoh:

Cari hasil tambah punca dan hasil darab punca bagi persamaan yang berikut:

(a) x ² + 7x – 3 = 0

(b) x (x – 1) = 5 (1 – x)

Penyelesaian:

(a) x ² + 7x – 3 = 0

a = 1, b = 7, c = –3,

\begin{array}{l} Hasil Tambah Punca (HTP) \\ α + β = - \frac{b}{a} = - \frac{7}{1} = - 7 \\ Hasil Darab Punca (HDP) \\ α β = \frac{c}{a} = - \frac{3}{1} = - 3 \end{array}

(b)

x (x – 1) = 5 (1 – x)

x ² – x = 5 – 5x

x ² – x – 5 + 5x = 0

x ² + 4x – 5 = 0

a = 1, b = 4, c = –5,

\begin{array}{l} Hasil Tambah Punca (HTP) \\ α + β = - \frac{b}{a} = - \frac{4}{1} = - 4 \\ Hasil Darab Punca (HDP) \\ α β = \frac{c}{a} = - \frac{5}{1} = - 5 \end{array}

Bab 2 Persamaan Kuadratik

Posted on May 18, 2016 by user

2.2c Penyelesaian Persamaan Kuadratik – Rumus Kuadratik

(A) Rumus Kuadratik

Persamaan kuadratik ax ² + bx + c = 0 boleh diselesaikan dengan menggunakan rumus kuadratik.

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

Contoh:

Selesaikan setiap persamaan yang berikut dengan menggunakan rumus.
(a) x ² + 5x – 24 = 0
(b) x (x + 4 ) = 10

Penyelesaian:

(a) Bagi persamaan x ² + 5x – 24 = 0

a = 1, b = 5, c = –24,

\begin{array}{l} Dari x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \\ x = \frac{- (5) \pm \sqrt{{(5)}^{2} - 4 (1) (- 24)}}{2 (1)} \\ x = \frac{- 5 \pm \sqrt{121}}{2} \\ x = - 8 or x = 3 \end{array}

(b) Bagi persamaan, x (x + 4 ) = 10

x² + 4x – 10 = 0

a = 1, b= 4, c = –10,

\begin{array}{l} Dari x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \\ x = \frac{- (4) \pm \sqrt{{(4)}^{2} - 4 (1) (- 10)}}{2 (1)} \\ x = \frac{- 4 \pm \sqrt{56}}{2} \\ x = 1.742 or x = - 5.742 \end{array}

Bab 2 Persamaan Kuadratik

Posted on May 18, 2016 by user

2.3a Pembentukan Persamaan Kuadratik daripada Punca

Apabila diberi α dan β ialah punca-punca bagi persamaan ax ² + bx + c = 0, maka

x = α atau x = β

x – α = 0 atau x – β = 0

(x – α) (x – β) = 0

x ² – ( α + β ) x + αβ = 0

Kesimpulan:

x ² – (hasil tambah punca ) x + (hasil darab punca) = 0

Contoh:

Bentukkan persamaan kuadratik apabila punca-puncanya adalah seperti berikut:
(a) 3, −1

(b) −2, ¼

Penyelesaian:

Bab 2 Persamaan Kuadratik

Posted on May 15, 2016 by user

2.5 Persamaan Kuadratik, SPM Praktis (Soalan Pendek)

Soalan 3:

Diberi bahawa 3 dan s + 4 ialah punca-punca bagi persamaan kuadratik

x ² + (t – 1)x + 6 = 0, dengan keadaan sdan t ialah pemalar.

Cari nilai s dan nilai t.

Penyelesaian:

x ² + (t – 1)x + 6 = 0

x ² – (1 – t)x+ 6 = 0

a = 1, b = (1 – t), dan c = 6

3 dan s + 4 ialah punca-punca bagi persamaan.

Guna Hasil darab punca untuk mencari nilai s.

3 \times (s + 4) = \frac{c}{a}

3 (s + 4) = 6

s + 4 = 2

s = –2

Guna Hasil tambah punca untuk mencari nilai t.

3 + (s + 4) = - \frac{b}{a}

3 + s + 4 = 1 – t

3 + (–2) + 4 – 1= – t

4 = – t

t = –4

Soalan 4:

Diberi satu daripada punca persamaan kuadratik x²– 9x + m = 0 ialah setengah kali punca yang satu lagi. Cari nilai bagi m.

Penyelesaian:

Katakan α dan β ialah dua punca bagi x² – 9x + m = 0.

Bandingkan x² – 9x + m = 0 dengan persamaan kuadratik ax² + bx + c = 0.

a = 1, b = –9, dan c = m.

Hasil tambah dua punca,

α + β = - \frac{b}{a} = - (\frac{- 9}{1}) = 9

\begin{array}{l} Katakan, \\ β = \frac{α}{2} \to \begin{array}{l} punca kedua ialah setengah \\ daripada punca pertama \end{array} \\ Dari α + β = 9 \\ α + \frac{α}{2} = 9 \\ \frac{3 α}{2} = 9 \\ α = 6 \end{array}

Hasil darab dua punca,

\begin{array}{l} α β = \frac{c}{a} \\ α (\frac{α}{2}) = m \\ m = \frac{α^{2}}{2} = \frac{6^{2}}{2} = 18 \end{array}