Soalan 10 (4 markah):
Satu set data terdiri daripada 2, 3, 4, 5 dan 6. Setiap nombor didarab dengan m dan ditambah dengan n, dengan keadaan m dan n adalah integer. Diberi bahawa min baharu ialah 17 dan sisihan piawai baharu ialah 4.242.
Cari nilai m dan nilai n.

Penyelesaian:

$\begin{array}{l}{\displaystyle \sum x}=2+3+4+5+6=20\\ {\displaystyle \sum x^2}=2^2+3^2+4^2+5^2+6^2=90\\ \text{Min}=\frac{20}{5}=4\\ \text{Sisihan piawai}=\frac{{\displaystyle \sum x^2}}{n}-{\left(\overline{x}\right)}^2\\ =\frac{90}{5}-4^2=2\\ \\ \text{Min baharu}=17\\ 4m+n=17\mathrm{..........}\left(1\right)\\ \\ \text{Sisihan piawai baharu}=4.242\\ m\times \sqrt{2}=4.242\\ m=\frac{4.242}{\sqrt{2}}=2.9995\approx 3\\ \\ \text{Gantikan }m=3\text{ ke dalam }\left(1\right):\\ 4\left(3\right)+n=17\\ n=5\end{array}$

Soalan 11 (4 markah):
Jadual menunjukkan taburan markah bagi 40 orang murid dalam ujian Matematik Tambahan. Bilangan murid bagi selang kelas 40 – 59 tidak dinyatakan.

Jadual

(a) Nyatakan kelas mod.
(b) Puan Zainon, guru mata pelajaran, berhasrat untuk memberi ganjaran kepada sepuluh murid terbaik. Murid-murid yang mencapai markah minimum dalam kedudukan sepuluh terbaik akan dipertimbangkan untuk menerima ganjaran tersebut. Elina memperoleh 74 markah.
Adakah Elina layak dipertimbangkan untuk menerima ganjaran itu? Beri sebab anda.

Penyelesaian:
(a)
4 + 10 + x + 8 + 7 = 40
x + 29 = 40
x = 11

Kelas mod = 40 – 59

(b)
$\begin{array}{l}\text{Kedudukan sepuluh terbaik adalah}\\ T_{31},T_{32},T_{33},\mathrm{...}{T}_{40}\\ T_{31}=59.5+\frac{5}{8}\left(79.5-59.5\right)\\ =59.5+12.5\\ =72\\ \\ \text{Murid perlu mencapai markah minimum 72}\text{.}\\ \text{Elina layak dipertimbangkan untuk menerima}\\ \text{ganjaran sebab markahnya > 72}\text{.}\end{array}$

Soalan 7:
Satu set data mengandungi dua belas nombor positif.
$\text{Diberi bahawa }\Sigma {\left(x-\overline{x}\right)}^2=600\text{ dan }\Sigma x^2=1032.$
Cari
(a) varians
(b) min

Penyelesaian:
(a)
$\begin{array}{l}\text{Varians}=\frac{\Sigma {\left(x-\overline{x}\right)}^2}{N}\\ =\frac{600}{12}\\ =50\end{array}$

(b)
$\begin{array}{l}\text{Varians}=\frac{\Sigma x^2}{N}-{\left(\overline{x}\right)}^2\\ 50=\frac{1032}{12}-{\left(\overline{x}\right)}^2\\ {\left(\overline{x}\right)}^2=86-50\\ =36\\ \overline{x}=36\end{array}$

Soalan 8 (2 markah):
Jadual menunjukkan maklumat tentang suatu set data.

Jadual

Nyatakan
(a) nilai p jika m = 20,
(b) nilai q jika p = 2.5.

Penyelesaian:
(a)
Sisihan piawai baharu = sisihan piawai asal × p
20 = 5 × p
p = 4

(b)
Median baharu = [median asal × p] + 1
q = 2p × 1
q = 2(2.5) + 1
q = 5 + 1
q = 6

Soalan 9 (3 markah):
Jadual menunjukkan taburan skor yang diperolehi sekumpulan murid dalam suatu pertandingan.

Jadual

(a) Nyatakan nilai minimum bagi x jika skor mod ialah 4.
(b) Cari min skor bagi taburan itu jika x = 1.
 
Penyelesaian:
(a)
Nilai minimum bagi x = 8

(b)
$\begin{array}{l}\text{Min}\\ =\frac{1\left(3\right)+2\left(6\right)+3\left(7\right)+4\left(1\right)+5\left(1\right)}{3+6+7+1+1}\\ =\frac{45}{18}\\ =2.5\end{array}$

Soalan 5:
Satu set data terdiri daripada 9, 2, 7, x² – 1 dan 4. Diberi min ialah 6, cari
(a) nilai positif bagi x,
(b) median dengan menggunakan nilai x di (a).

Penyelesaian:
(a)
$\begin{array}{l}\text{Min}=6\\ \frac{9+2+7+x^2-1+4}{5}=6\\ x^2+21=30\\ x^2=9\\ x=\pm 3\\ \text{Nilai positif bagi }x=3.\end{array}$

(b)
Mengatur nombor dalam susunan menaik
2, 4, 7, 8, 9
Median = 7

Soalan 6:
Suatu set mempunyai tujuh nombor dengan sisihan piawai 3 dan suatu set lain mempunyai tiga nombor dengan sisihan piawai 4. Kedua-dua set nombor itu mempunyai min yang sama.
Jika dua set nombor tersebut digabungkan, cari varians.

Penyelesaian:
$\begin{array}{l}{\overline{X}}_1=\frac{\Sigma X_1}{n_1}\\ m=\frac{\Sigma X_1}{7}\\ \Sigma X_1=7m\\ \\ m=\frac{\Sigma X_2}{3}\\ \Sigma X_2=3m\\ \\ \sigma =\sqrt{\frac{\Sigma X^2}{N}-{\left(\overline{X}\right)}^2}\\ {\sigma }^2=\frac{\Sigma X^2}{N}-{\left(\overline{X}\right)}^2\\ 9=\frac{\Sigma X_1{}^2}{7}-m^2\\ 63=\Sigma X_1{}^2-7m^2\\ \Sigma X_1{}^2=7m^2+63\end{array}$

$\begin{array}{l}16=\frac{\Sigma X_2{}^2}{3}-m^2\\ 48=\Sigma X_2{}^2-3m^2\\ \Sigma X_2{}^2=48+3m^2\\ \\ \Sigma Y^2=\Sigma X_1{}^2+\Sigma X_2{}^2\\ \Sigma Y^2=7m^2+63+3m^2+48\\ =10m^2+111\\ \\ \Sigma Y=\Sigma X_1+\Sigma X_2\\ \Sigma Y=7m+3m=10m\\ \\ \text{Varians Gabungan:}\\ {\sigma }^2=\frac{\Sigma Y^2}{N}-{\left(\frac{\Sigma Y}{N}\right)}^2\\ {\sigma }^2=\frac{10m^2+111}{10}-{\left(\frac{10m}{10}\right)}^2\\ =\frac{10m^2+111}{10}-m^2\\ =\frac{10m^2+111-10m^2}{10}\\ =\frac{111}{10}=11.1\end{array}$

$\begin{array}{l}=L_{Q_3}+\left(\frac{\frac{3N}{4}-F}{f_{{}_{Q_3}}}\right)c-L_{Q_1}+\left(\frac{\frac{N}{4}-F}{f_{{}_{Q_1}}}\right)c\\ =59.5+\left(\frac{\frac{3}{4}\left(80\right)-59}{10}\right)10-29.5+\left(\frac{\frac{1}{4}\left(80\right)-7}{18}\right)10\\ =59.5+1-\left(29.5+7.22\right)\\ =23.78\end{array}$

$\begin{array}{l}\text{Diberi }\sigma =2.4\\ {\sigma }^2={2.4}^2\\ \frac{\Sigma x^2}{n}-{\overline{X}}^2=5.76\\ \frac{\Sigma x^2}{6}-6^2=5.76\\ \frac{\Sigma x^2}{6}=41.76\\ \Sigma x^2=250.56\end{array}$

  $\boxed{\text{ Median},m=Cerapa{n}_{\frac{n+1}{2}}}$
$\begin{array}{l}\text{Median}\\ =Cerapa{n}_{\frac{n+1}{2}}=Cerapa{n}_{\frac{40+1}{2}}=Cerapa{n}_{20\frac{1}{2}}\\ =60\leftarrow (Cerapan\text{ ke-}20\frac{1}{2}\text{ ialah 60 markah)}\end{array}$

$\begin{array}{l}\text{Kelas median}\\ =Cerapa{n}_{\frac{n}{2}}=Cerapa{n}_{\frac{100}{2}}=Cerapa{n}_{50}\\ \text{Maka kelas median berada di }20-24\end{array}$
$\begin{array}{l}m=L+(\frac{\frac{N}{2}-F}{f_m})c\\ m=19.5+(\frac{\frac{100}{2}-33}{26})5\\ m=19.5+3.269=22.77\end{array}$

$\begin{array}{l}\text{Varians, }{\sigma }^2=\frac{\sum x^2}{N}-{\overline{x}}^2\\ {\sigma }^2=\frac{{15}^2+{17}^2+{21}^2+{24}^2+{31}^2}{5}\\ -{\left(\frac{15+17+21+24+31}{5}\right)}^2\\ {\sigma }^2=\frac{2492}{5}-{21.6}^2\\ {\sigma }^2=31.84\\ \\ \text{Sisihan piawai, }\sigma \text{ = }\sqrt{\text{varians}}\\ \sigma \text{ = }\sqrt{31.84}\\ \sigma \text{ = }5.642\end{array}$  

$\text{Sisihan piawai, }\sigma \text{ = }\sqrt{\text{varians}}$



$\begin{array}{l}\text{Min }\overline{x}=\frac{\sum fx}{\sum f}\\ =\frac{\left(6\right)\left(2\right)+\left(8\right)\left(3\right)+\left(5\right)\left(4\right)+\left(3\right)\left(5\right)+\left(3\right)\left(6\right)+\left(3\right)\left(7\right)+\left(2\right)\left(8\right)}{6+8+5+3+3+3+2}\\ =\frac{126}{30}=4.2\\ \\ \frac{\sum f{x}^2}{\sum f}\\ =\frac{\left(6\right){\left(2\right)}^2+\left(8\right){\left(3\right)}^2+\left(5\right){\left(4\right)}^2+\left(3\right){\left(5\right)}^2+\left(3\right){\left(6\right)}^2+\left(3\right){\left(7\right)}^2+\left(2\right){\left(8\right)}^2}{6+8+5+3+3+3+2}\\ =\frac{634}{30}=21.13\end{array}$

$\begin{array}{l}\text{Varians, }{\sigma }^2=\frac{\sum f{x}^2}{\sum f}-{\overline{x}}^2\\ {\sigma }^2=21.133-{4.2}^2\\ {\sigma }^2=3.493\\ \\ \text{Sisihan piawai, }\sigma \text{ = }\sqrt{\text{varians}}\\ \sigma \text{ = }\sqrt{3.493}\\ \sigma \text{ = 1}\text{.869}\end{array}$

Gaji harian (RM)	Bilangan pekerja, f	Nilai tengah, x	fx	fx2
10 – 14	40	12	480	5760
15 – 19	25	17	425	7225
20 – 24	15	22	330	7260
25 – 29	12	27	324	8748
30 – 34	8	32	256	8192
Total	100		1815	37185

$\begin{array}{l}\text{Varians,}{\sigma }^2=\frac{\sum f{x}^2}{\sum f}-{\overline{x}}^2\\ \text{Sisihan piawai,}\sigma \text{=}\sqrt{\text{varians}}\\ {\sigma }^2=\frac{37185}{100}-{18.15}^2\\ {\sigma }^2=42.43\\ \sigma \text{=}\sqrt{42.43}\\ \sigma \text{= 6}\text{.514}\end{array}$