Bab 13 Hukum Linear

2.7 Hukum Linear, SPM Praktis (Kertas 2)
Soalan 2:
Gunakan kertas graf untuk menjawap soalan ini.
Jadual di bawah menunjukkan nilai-nilai bagi dua pemboleh ubah x dan y, yang diperoleh daripada satu eksperimen.  Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan a y = b x +1 , dengan keadaan k dan p ialah pemalar.

x
1.5
2
3
4
5
6
y
5.004
1.540
0.930
0.770
0.705
0.656

(a)    Berdasarkan jadual di atas, bina satu jadual bagi nilai-nilai 1 x  dan  1 y . 
(b)   plot 1 y  melawan  1 x ,  dengan menggunakan skala 2 cm kepada 0.1 unit pada paksi 1 x   dan skala 2 cm kepada 0.2 unit pada paksi 1 y  ,
Seterusnya, lukis garis lurus penyuaian terbaik.
(c)    Gunakan graf di (b) untuk mencari nilai
            (i)     a,
            (ii)   b,

Penyelesaian:
(a)

(b)


(c)(i)(ii)




Bab 13 Hukum Linear

2.7 Hukum Linear, SPM Praktis (Kertas 2)
Soalan 1:

Gunakan kertas graf untuk menjawap soalan ini.
Jadual di bawah menunjukkan nilai-nilai bagi dua pemboleh ubah x dan y, yang dihubungkan oleh persamaan y=5h x 2 + k h x , dengan keadaan h dan k ialah pemalar.

x
2
3
4
5
6
7
y
7.0
11.3
16.0
21.2
27.1
33.2

(a)    Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada paksi-x dan skala 2 cm kepada 0.2 unit pada paksi y x  , plot graf y x  melawan x.
Seterusnya, lukis garis lurus penyuaian terbaik.
(b)   Gunakan graf di (a) untuk mencari nilai
            (i)     h,
            (ii)   k,
            (iii)  yapabila x = 6.

Penyelesaian:
(a)
Sediakan satu jadual yang memberikan nilai X (x) dan nilai Y  ( y x ). 


(b)

Cari kecerunan garis lurus penyuaian terbaik, m, dan pintasan-Y daripada graf.
(b)(i)(ii)
~ Tukar fungsi tak linear kepada bentuk linear melalui persamaan Y = mX + c.
~ Bandingkan dengan nilai-nilai m dan c di graf, cari nilai h dan nilai k


(b)(iii)
Nilai yapabila x = 6


Bab 13 Hukum Linear

2.5 Memperoleh Maklumat daripada Graf Garis Lurus Penyuaian Terbaik
Contoh 1:

Gunakan kertas graf untuk menjawap soalan ini.
Jadual di bawah menunjukkan nilai-nilai bagi dua pemboleh ubah x dan y, yang dihubungkan oleh persamaan y = pk√x dengan keadaan p dan k ialah pemalar.

x
1
4
9
16
25
36
y
1.80
2.70
4.05
6.08
9.11
13.67

(a)    Plotkan log10 y melawan √x. Seterusnya, lukiskan garis lurus penyuaian terbaik.
(b)   Gunakan graf anda dari (a) untuk mencari nilai pdan nilai k.

Penyelesaian:
(a)
Langkah 1: Sediakan suatu jadual yang memberikan nilai X (√x) dan nilai Y (log10 y).



Langkah 2: Dengan menggunakan skala yang sesuai, lukis garis lurus penyuaian terbaik dengan memplot graf Y (log10 y) melawan X (√x).



(b)
Langkah 3: Cari kecerunan garis lurus penyuaian terbaik, m, dan pintasan-Y daripada graf.



Langkah 4: Tukar fungsi tak linear kepada bentuk linear melalui persamaan Y = mX + c.



Langkah 5: Bandingkan dengan nilai-nilai m dan c di langkah 3, cari nilai p dan nilai k.  



Bab 13 Hukum Linear

2.6 Hukum Linear, SPM Praktis (Kertas 1)
Soalan 6:
Dua pembolehubah, x dan y, dihubungkan oleh persamaan y2 = pxq. Apabila graf lgy melawan lgx diplotkan, graf garis lurus yang diperoleh mempunyai kecerunan –2 dan pintasan tegak ialah 0.5.  Cari nilai p dan nilai q.

Penyelesaian:






Soalan 7:
Dua pembolehubah, x dan y, dihubungkan oleh persamaan y= c dx .  Apabila graf y melawan xy diplotkan, graf garis lurus yang diperoleh mempunyai kecerunan 2.5 dan pintasan paksi-y ialah 1.25.  Cari nilai cdan nilai d.

Penyelesaian:



Bab 13 Hukum Linear

2.6 Hukum Linear, SPM Praktis (Kertas 1)
Soalan 4:
Dua pembolehubah, x dan y, dihubung oleh rumus y = px3, dengan pialah pemalar. Cari nilai p dan nilai n.


Penyelesaian:




Soalan 5:
Rajah A menunjukkkan sebahagian daripada lengkung y = ax2 + bx. Rajah B menunjukkkan sebahagian daripada garis lurus yang diperoleh apabila y= ax2 + bx ditukar kepada bentuk linear. Cari
(a)    nilai a dan nilai b,
(b)   nilai p dan nilai q.

Rajah A

Rajah B

Penyelesaian:




Bab 13 Hukum Linear

2.6 Hukum Linear, SPM Praktis (Kertas 1)
Soalan 1:
Rajah di bawah menunjukkkan sebahagian daripada graf garis lurus diperoleh apabila y melawan x2.


Ungkapkan ydalam sebutan x.

Penyelesaian:




Soalan 2:
Rajah di bawah menunjukkkan sebahagian daripada graf garis lurus diperoleh apabila y x  melawan  x .  

Diberi persamaan tak linear yang asal ialah y=px+q x 3 2 , hitungkan nilai p dan nilai q.

Penyelesaian:




Soalan 3:
Rajah di bawah menunjukkkan graf garis lurus yang dihubungkan oleh persamaan x y = 2 x +3x. 


Cari nilai pdan nilai k.

Penyelesaian:



Bab 13 Hukum Linear

2.4 Menentukan Nilai Pemalar Bagi Persamaan Tak Linear

Contoh 1:
Tukarkan hubungan tak linear y = pxn-1, dengan keadaan k dan n adalah pemalar kepada persamaan linear. Nyatakan kecerunan dan pintasan pada paksi-y.

Penyelesaian:




Contoh 2:
Rajah di bawah menunjukkan graf garis lurus yang diperoleh dengan memplot y2melawan √x.


(a)    Cari persamaan garis lurus penyuaian terbaik.
(b)   Tentukan nilai bagi
            (i)     x apabila y = 4
            (ii)   y apabila x = 25.

Penyelesaian:





Contoh 3:
Pembolehubah x dan y dihubungkan oleh persamaan y= P 3 x   dengan ksebagai pemalar.
Rajah di bawah menunjukkan garis lurus yang diperoleh dengan memplotkan log10y melawan x.


(a)    Ungkapkan persamaan y= P 3 x  dalam bentuk linear yang digunakan untuk memperoleh garis lurus di atas.
(b)   Cari nilai p.

Penyelesaian:



Bab 13 Hukum Linear


2.2 Penggunaan Hukum Linear Kepada Fungsi Tak Linear

Menukar persamaan Tak Linear kepada Bentuk Linear
1.   Suatu fungsi tak linear yang melibatkan pembolehubah x dan y boleh ditukarkan kepada bentuk linear melalui persamaan = mX + c, dengan X dan Y ialah fungsi x dan y masing-masing atau kedua-duanya.
 

2.   Bagi hubungan tak linear, graf yang diperoleh apabila y diplotkan melawan x merupakan satu lengkung.

3.   Untuk mendapatkan satu graf garis lurus, langkah-langkah yang berikut boleh diambil.

(i)
Tukar persamaan tak linear kepada bentuk linear = mX + c.
Misalnya:
Persamaan tak linear;
y = a x + b x , a, b pemalar, ditukar kepada bentuk linear:
xy = a (x2) + b
dengan Y = xy , m =a, X = x2 dan c = b

(ii)
   Dengan menggunakan skala yang sesuai, plot graf (xy) melawan X (x2), maka satu graf garis lurus diperoleh.


4.   Pemalar-pemalar a dan b boleh ditentukan daripada kecerunan dan pintasan-Y graf garis lurus yang diperoleh. Bagi contoh di atas;
= kecerunan garis lurus
b = pintasan-Y

Bab 13 Hukum Linear


2.1.1 Melukis Garis Lurus Penyuaian Terbaik

Langkah-langkah untuk Melukis Garis Lurus Penyuaian Terbaik
(i) Memilih skala yang sesuai bagi paksi-x dan paksi-y, pastikan titik-titik diplot dengan tepat dan graf yang dihasilkan adalah cukup besar pada sehelai kertas graf.

(ii) Menanda titik-titik dengan betul.

(iii) Guna sebuah pembaris panjang dan telus untuk melukis garis lurus penyuaian terbaik.

Langkah 1:
Memilih skala yang sesuai bagi paksi-x dan paksi-y
(graf yang dihasilkan adalah melebihi 50% sehelai kertas graf)

 

Langkah 2:
Menanda titik-titik dengan betul

 

Langkah 3:
Melukis garis lurus penyuaian terbaik



Perhatian:
-   Garis lurus itu menyambungkan 4 titik
-   Satu titik berada di atas garis lurus
-   Satu titik berada di bawah garis lurus


Bab 13 Hukum Linear


2.3.3 Penggunaan Hukum Linear Kepada Fungsi Tak Linear (Contoh)

Contoh 3:
Tukarkan setiap hubungan tak linear yang berikut kepada bentuk linear Y = mX + c.
Nyatakan kecerunan graf dan pintasan-dalam bentuk a dan b.
(a) y = abx
(b) y = axb
(c) y = abx + 1
 
Penyelesaian: