Bab 2 Persamaan Kuadratik

2.2b Penyempurnaan Kuasa Dua (Contoh Soalan)

(A) Langkah-langkah untuk menyelesaikan persamaan kuadratik dengan menggunakan cara penyempurnaan kuasa dua.

pastikan pekali bagi x ialah 1.
Tulis semula persamaan ax 2 + bx + c = 0 dalam bentuk ax 2 + bx = –c  
Tambah  ( pekali bagi x 2 ) 2  pada kedua-dua belah persamaan.


Contoh:
Selesaikan setiap persamaan kuadratik berikut dengan cara penyempurnaan kuasa dua.
(a) 2x 2 5x 7 = 0
(b) x 2 +1= 10 3 x

Penyelesaian:






Bab 2 Persamaan Kuadratik

2.2b Penyempurnaan Kuasa Dua

(A) Penyempurnaan Kuasa Dua
1.      Ungkapan x 2 + 2x + 1 boleh ditulis dalam bentuk (x + 1)2 yang dikenali sebagai ‘kuasa dua sempurna’. Sebagai contoh x 2 + 2x + 1 = (x + 1)2 .

Contoh:
Selesaikan setiap persamaan kuadratik yang berikut
(a) (x + 1)2 = 25
(b) x2 8x + 16 = 49

Penyelesaian:
(a)
(x + 1)2 = 25
(x + 1)2 = ±√25
x = −1 ± 5
x = 5  atau  x = −6

(b)
x 2 8x + 16 = 49
(x 4)2 = 49
(x 4) = ±√49
x = 4 ± 7
x = 11  atau  x = −3


(B) Selesaikan Persamaan Kuadratik dengan Cara Penyempurnaan Kuasa Dua

1. Untuk menyelesaikan persamaan kuadratik, kita membuat persamaan di sebelah kiri sebagai suatu kuasa dua sempurna.
2. Untuk membentuk sebarang ungkapan kuadratik x2 + px kepada suatu kuasa dua sempurna, kita menambahkan ( p 2 ) 2   ke dalam ungkapan itu untuk menjadikan x 2 +px= x 2 +px+ ( p 2 ) 2 = ( x+ p 2 ) 2
3. Langkah-langkah berikut diambil untuk menyelesaikan persamaan kuadratik ax2 + bx = – c dengan menggunakan cara penyempurnaan kuasa dua.
 (a) Tulis semula persamaan ax 2 + bx + c = 0 dalam bentuk ax2 + bx = – c.
 (b) Jika pekali a ≠ 1, tukarkannya kepada 1 (dengan pembahagian).
 (c) Tambah ( p 2 ) 2   iaitu ( pekali bagi x 2 ) 2   pada kedua-dua belah persamaan.
 (d) Tulis ungkapan pada sebelah kiri sebagai kuasa dua sempurna.
 (e) Selesaikan persamaan itu .


Contoh:
Selesaikan persamaan kuadratik x 2 6x 3 = 0 dengan cara penyempurnaan kuasa dua.

Penyelesaian:
x 2 6x 3 = 0 ← (pekali bagi x 2 = 1)
x 2 6x = 3 ← (pekali bagi x = b = 6)
x 2 6x + [½ × (6)]2 = 3 + [½ × (6)]2 ← [tambah ( pekali bagi x 2 ) 2   iaitu (½ × (6)2, pada kedua-dua belah persamaan]
x 2 6x + (3)2 = 3 + (–3)2
(x 3)2 = 12
x 3 = ±√12
x = 3 ± √12
x = 3 + √12   atau   3 – √12 
x = 6.464      atau   –0.464   

Bab 2 Persamaan Kuadratik

2.2a Pemfaktoran
1. Secara amnya, jika
(x – p)(x – q) = 0
Maka
x – p = 0   atau  x – q = 0
      x = p   atau        x = q
p dan q  adalah punca-punca persamaan.

Perhatian:
1. Pastikan persamaan ditulis dalam bentuk amnya ax2 + bx+ c = 0 sebelum pemfaktoran.
2. Kaedah ini hanya boleh digunakan sekiranya ungkapan kuadratik itu boleh difaktorkan sepenuhnya.


Contoh 1:
Cari punca-punca persamaan kuadratik berikut:
(a) x (2x− 8) = 0 
(b) x2 −16x = 0
(c) 3x2 − 75x = 0
(d) 5x2 − 100x = 25x

Penyelesaian:
(a) 
x (2x − 8) = 0 
x = 0  atau  2x − 8 = 0
2x − 8 = 0
2x = 8
x = 4
x = 0  atau  x = 4

(b)
x2 −16x = 0
x (x − 16) = 0 
x = 0  atau x − 16 = 0
x = 0  atau  x = 16

(c) 
3x2 − 75x = 0
3x (x− 25) = 0  
3x = 0   atau x − 25 = 0
x = 0  atau  x = 25

(d)  
5x2 − 100x = 25x
5x2 − 100x − 25x = 0
5x2− 125x = 0
x (5x − 125) = 0 
x = 0  atau  5x − 125 = 0
5x = 125
x = 25
x = 0  atau x = 25


Contoh 2:
Selesaikan persamaan kuadratik yang berikut
(a) x 2 4x 5 = 0
(b) 1 5x + 2x 2 = 4


Penyelesaian:
(a) 
x 2 4x 5 = 0
(x – 5) (x + 1) = 0
x – 5 = 0  atau  x + 1 = 0
x = 5  atau  x = –1

(b)
1 5x + 2x 2 = 4
2x 2 5x + 1 – 4 = 0
2x 2 5x – 3 = 0
(2x + 1) (x – 3) = 0
2x + 1= 0  atau  x – 3 = 0
2x = –1  atau  x = 3
x = –½  atau  x = 3

Bab 2 Persamaan Kuadratik

2.2 Penyelesaian Persamaan Kuadratik
1.Menyelesaikan sesuatu persamaan kuadratik bermakna mencari punca-punca persamaan itu.

Contoh:
Cari punca-punca persamaan kuadratik berikut:
(a) x 2 = 9
(b) 2x 2 98 = 0

Penyelesaian:
(a) x 2 = 9
     x= ±√9
     x= ±3

(b) 2x 2 98 = 0
            2x 2 = 98
            x 2 = 98/2 = 49
            x= ±√49 =  ±7

2. Persamaan kuadratik boleh diselesaikan dengan salah satu kaedah berikut:
(a) pemfaktoran,
(b) penyempurnaan kuasa dua,
(c) penggunaan rumus


Bab 2 Persamaan Kuadratik

2.1.1 Persamaan Kuadratik
1.      Persamaan Kuadratik (misalnya, 2x2 + 5x + 6 = 0) adalah persamaan yang memenuhi syarat-syarat berikut:
            (a)   Ia mengandungi tatatanda kesamaan, ‘=’
            (b)   Ia melibatkan hanya satu pembolehubah x.
            (c)    Kuasa tertinggi bagi x ialah 2.

Contoh Persamaan Kuadratik
Berikut adalah contoh-contoh persamaan kuadratik
·         2x2 + 3x + 4 = 0
·         t2 = 24
·         y (6y − 3) = 5

Contoh Persamaan Bukan Kuadratik
·         2x + 1 = 0, (Sebab: Kuasa tertinggi bagi x ≠ 2.)
·         2x3 + 1 = x, (Sebab: Kuasa tertinggi bagi x ≠ 2.)
     t 2 + 5 t =3, (Sebab:  5 t =5 t 1 ) 

Bentuk Am Persamaan Kuadratik
Bentuk am persamaan kuadratik ialah
ax2 + bx + c = 0
dengan a, b, dan c ialah pemalar dan a  0.


Contoh 1 (Cari nilai bagi a, b dan c):
Tulis semula setiap persamaan kuadratik berikut dalam bentuk am. Cari nilai a, b, dan c.
(a) (3x − 5)2 = 0
(b) (x − 8) (x + 8) = 10


Penyelesaian:





Bab 2 Ungkapan dan Persamaan Kuadratik

2.2 Pemfaktoran Ungkapan Kuadratik

(A) Pemfaktoran ungkapan kuadratik yang berbentuk ax2+ bx + c, b = 0 atau c = 0
1.      Pemfaktoran ungkapan kuadratik ialah proses mencari dua ungkapan linear yang hasil darabnya sama dengan ungkapan kuadratik itu.
2.      Ungkapan-ungkapan kuadratik ax2 + c dan ax2 + bx yang mengandungi dua sebutan boleh difaktorkan dengan mencari faktor sepunya bagi kedua-dua sebutan itu.

Contoh 1:
Faktorkan setiap yang berikut:
(a)  2x2 + 6
(b)  7p2 – 3p
(c)  6x2 – 9x

Penyelesaian:
(a)  2x2 + 6 = 2(x2 + 3) ← (2 ialah faktor sepunya)
(b)  7p2 – 3p = p(7p – 3) ← (p ialah faktor sepunya)
(c)  6x2 – 9x = 3x (2x – 3) ← (3x ialah faktor sepunya)


(B) Memfaktorkan ungkapan kuadratik yang berbentuk ax2c , a dan c adalah nombor kuasa dua sempurna
Contoh 2:
(a) 9p2 – 16
(b) 25x2 – 1
(c) 1 4 1 25 x 2  

Penyelesaian:
(a)  9p2 – 16 = (3p)2 – 42 = (3p – 4) (3p + 4)
(b)  25x2 – 1 = (5x)2 – 12 = (5x – 1) (5x + 1)
(c) 
1 4 1 25 x 2 = ( 1 2 ) 2 ( 1 5 x ) 2               =( 1 2 1 5 x )( 1 2 + 1 5 x )  



(C) Memfaktorkan ungkapan kuadratik berbentuk ax2+ bx + c, di mana a ≠ 0, b ≠ 0 dan c ≠ 0
Contoh 3:
Faktorkan setiap yang berikut:
(a)  3y2 + 2y – 8
(b)  4x2 – 12x + 9

Penyelesaian:
Pemfaktoran dengan kaedah darab silang.
(a)

3y2+ 2y – 8 = (3y – 4) (y + 2)

(b)


4x2– 12x + 9 = (2x – 3) (2x – 3)

Bab 2 Ungkapan dan Persamaan Kuadratik

2.1 Ungkapan Kuadratik

(A) Mengenal pasti ungkapan kuadratik
1.      Ungkapan kuadratik ialah ungkapan yang berbentuk ax2+ bx + c, dengan a, b dan c sebagai pemalar, a ≠ 0 dan x sebagai pemboleh ubah.
     2.      Ciri-ciri ungkapan kuadratik dalam satu pemboleh ubah:
           (a)  Kuasatertinggi bagi x ialah 2.
           (b)  Hanya mengandungi satu pemboleh ubah.
           (c)  Misalnya, 5x2 – 6x + 3 ialah satu ungkapan kuadratik.

Contoh 1:
Nyatakan sama ada setiap ungkapan yang berikut adalah ungkapan kuadratik atau tidak. Berikan alasan untuk jawapan anda.
     (a)  x2 – 5x + 3
     (b)  8p2 + 10
     (c)  5x + 6
     (d)  2x2 + 4y + 14
     (e) 2p+ 1 p +6    
     (f)   y3 – 3y + 1

Penyelesaian:
     (a)  Ya, x2 – 5x + 3 satu ungkapan kuadratik yang mengandungi satu pemboleh ubah x dan kuasa tertinggi x ialah 2.

     (b)  Ya, 8p2 + 10 satu ungkapan kuadratik yang mengandungi satu pemboleh ubah p dan kuasa tertinggi pialah 2.

     (c)  Tidak, 5x + 6 bukan satu ungkapan kuadratik kerana kuasa tertinggi x bukan 2.

     (d)  Tidak2x2 + 4y + 14 bukan satu ungkapan kuadratik kerana mengandungi dua pemboleh ubah x dan y.

     (e)  Tidak,   2p+ 1 p +6 bukan satu ungkapan kuadratik kerana kuasa tertinggi p bukan 2, 1 p = p 1

     (f)   Tidak, y3 – 3y + 1 bukan satu ungkapan kuadratik kerana kuasa tertinggi y bukan 2.


3.      Suatu ungkapan kuadratik dihasilkan dengan pendaraban dua ungkapan linear.
Misalnya, (2x + 3)(x – 3) = 2x2 – 3x – 9

Contoh 2:
Darabkan pasangan ungkapan linear yang berikut.
(a)  (4x + 3)(x – 2)
(b)  (y – 6)2
(c)  2x (x– 5)

Penyelesaian:
(a)  (4x + 3)(x – 2)
= (4x)(x) + (4x)( –2) +(3)(x) + (3)( –2)
= 4x2– 8x + 3x – 6
= 4x2– 5x – 6

(b)  (y – 6)2
= (y – 6)(y – 6)
= (y)(y) + (y)( –6) + (–6)(y) + (–6)( –6)
= y2– 6y – 6y + 36
= y2– 12y + 36

(c)  2x (x– 5)
= 2x(x) + 2x(–5)
= 2 x2– 10x

Bab 21 Pelan dan Dongakan


10.2 Pelan dan Dongakan
1.  Pelan adalah imej yang terbentuk apabila pepejal itu dilihat dari bahagian atas. Unjuran ortogonnya adalah pada satah mengufuk.

2. Dongokan adalah imej yang terbentuk apabila pepejal itu dilihat dari bahagian depan atau dari bahagian sisinya. Unjuran ortogonnya adalah pada satah mencancang.

3. Semasa melukis pelan dan dongakan bagi pepejal,
(a)  Garis penuh yang tebal ( ──) digunakan untuk mewakili sisi objek yang dapat dilihat daripada arah pandangannya.
(b)  Garis putus-putus ( - - - - -) digunakan untuk mewakili sisi objek yang terlindung daripada arah pandangan.
 

Contoh:









Bab 21 Pelan dan Dongakan


10.3.1 Pelan dan Dongakan, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 1:

 
Rajah di atas menunjukkan sebuah pepejal yang terdiri daripada sebuah prisma tegak dan sebuah separuh silinder yang dicantumkan pada satah EFGH. EF ialah diameter kepada separuh silinder dan berukuran 3cm. Tapak ABCD terletak di atas satu satah mengufuk dan AB = 6cm, BC = 4cm. Satah mencancang ABFE ialah keratan rentas seragam prisma itu.

Lukis dengan skala penuh, Plan pepejal itu.

Penyelesaian:



Soalan 2:



Rajah di atas menunjukkan sebuah pepejal berbentuk prisma tegak dengan tapak segi empat tepat ABCD atas sebuah meja mengufuk. Satah mencancang ABEHIL ialah keratan rentas seragam prisma itu. Segi empat tepat LIJK, IHGJ dan HEFG adalah satah condong. Tepi AL, DK, BE dan CF adalah tegak.

Diberi BC = 4cm, AB = 6cm. EB = FC = LA = KD = 4cm, dan tinggi mencancang bagi I dan J dari tapak segi empat tepat ABCD = 3cm, manakala tinggi mencancang bagi H dan G dari tapak segi empat tepat ABCD = 5cm.

Lukis dengan skala penuh, dongakan pepejal itu pada satah mencancang yang selari dengan BC sebagaimana dilihat dari X.

Penyelesaian:




Bab 21 Pelan dan Dongakan


10.3.3 Pelan dan Dongakan, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 4:


Rajah di atas menunjukkan sebuah pepejal yang terdiri daripada sebuah prisma tegak dan sebuah separuh silinder yang dicantumkan pada satah HICB. Tapak ABCDEF terletak di atas satu satah mengufuk. Segi empat tepat LKJG ialah satah condong. Satah mencancang JDEK ialah keratan rentas seragam prisma itu. AB = CD = 2cm. BC = 4cm. CM = 12cm.

Lukis dengan skala penuh,
(a)  Plan pepejal itu,
(b) dongakan gabungan pepejal itu pada satah mencancang yang selari dengan ABCD sebagaimana dilihat dari X.
(c) dongakan gabungan pepejal itu pada satah mencancang yang selari dengan DE sebagaimana dilihat dari Y.


Penyelesaian:
(a)



(b)


(c)