Bab 16 Fungsi Trigonometri

Soalan 3:
Selesaikan persamaan 6 sek2 x – 13 tan x = 0, 0 °x ≤ 360°.

Peneyelesaian:
6 sek2x – 13 tan x = 0
6 (1 + tan 2x) – 13 tan x = 0
6 tan 2x – 13 tan x + 6 = 0
(3 tan x – 2)(2 tan x – 3) = 0
tan x = atau   tan x = 3 2

tan x =
Sudut asas = 33.69o, 180o + 33.69o
x = 33.69o, 213.69o  

tanx= 3 2
Sudut asas = 56.31o, 180o + 56.31o
x = 56.31o, 236.31o

Oleh itu x= 33.69o, 56.31o, 213.69o, 236.31o   


Soalan 4:
Selesaikan persamaan 3 sin A kos A – kos A = 0 untuk 0 °x ≤ 360°.

Peneyelesaian:
3 sin A kos A – kos A = 0
kos A (3 sin A – 1) = 0
kos A = 0   atau   sin A =

kos A = 0
A = 90o, 270o

sin A =
Sudut asas = 19o28
A = 19o28, 180 – 19o28
A = 19o28, 160o 32’
Oleh itu A = 19o28, 90o, 160o 32’, 270o

Bab 16 Fungsi Trigonometri

5.6.3 Bentuk Persamaan Kuadratik dalam sin x/ kos x/ tan x/ kosek x/ sek x/ kot x

Contoh:
Cari semua sudut di antara 0° dan 360° yang boleh menyelesaikan persamaan yang berikut.
(a)    3 sin2 x – 2 sin x – 1 = 0
(b)   2 sin x = kosek x + 1
(c)    5 sin2x = 2(1 + kos x)
(d)   2 sek x = 1 + kos x
(e)    2 kot2 x + 8 = 7 kosek x

Penyelesaian:
(a)
3 sin2 x – 2 sin x – 1 = 0
(3 sin x + 1)(sin x – 1) = 0
sin x = – , sin x = 1
sin x = –
sudut asas x = 19.47o
x= 180o + 19.47o, 360o – 19.47o
x = 199.47o, 340.53o
sin x = 1, x = 90o
Oleh itu x = 90o, 199.47o, 340.53o

(b)
2 sin x = kosek x + 1
2sinx= 1 sinx +1
2 sin2 x = 1 + sin x
2 sin2 x – sin x – 1 = 0
(2 sin x + 1)(sin x – 1) = 0
sin x = –½ , sin x = 1
sin x = –½
sudut asas x = 30o
x= 180o + 30o, 360o – 30o
x = 210o, 330o
sin x = 1, x = 90o
Oleh itu x = 90o, 210o, 330o

(c)
5 sin2x= 2(1 + kos x)
5 (1 – kos2 x) = 2 + 2 kos x
5 – 5 kos2 x – 2 – 2 kos x = 0
–5 kos2 x – 2 kos x + 3 = 0
5 kos2 x + 2 kos x – 3 = 0
(5 kos x – 3)(kos x + 1) = 0
kosx= 3 5 , kosx=1 kosx= 3 5  
sudut asas x = 53.13o
x= 53.13o, 360o – 53.13o
cos x = – 1
x= 180o
Oleh itu x = 53.13o, 180o, 306.87o

(d)
2 sek x = 1 + kos x
2 kosx =1+kosx 
2 = kos x + kos2 x
kos2 x+ kos x – 2 = 0
(kos x – 1)(kos x + 2) = 0
kos x = 1
x= 0o, 360o
kos x = –2 (tidak diterima)
Oleh itu x = 0o, 360o

(e)
2 kot2 x + 8 = 7 kosek x
2 (kosek2x – 1) + 8 = 7 kosek x
2 kosek2x – 2 – 7 kosek x + 8 = 0
2 kosek2x – 7 kosek x + 6 = 0
(2 kosek x – 3)(kosek x – 2) = 0
kosek x= 3 2 ,   kosek x=2 sinx= 2 3 ,       sinx= 1 2 sinx= 2 3  
sudut asas x = 41.81o
x= 41.81o, 180o – 41.81o
sin x = ½
sudut asas x = 30o
x= 30o, 180o – 30o
Oleh itu x = 30o, 41.81o, 138.19o, 150o

Bab 16 Fungsi Trigonometri

5.6.2 Menyelesaikan Persamaan Trigonometri (Pemfaktoran)

Contoh:
Cari semua sudut untuk 0° ≤ x  ≤ 360° yang boleh selesaikan setiap persamaan trigonometri yang berikut.
(a)    kot x = –2 kos x
(b)   3 sek x = 4 kos x
(c)    16 tan x = kot x

Penyelesaian:
(a)
kot x = –2 kos x
cosx sinx =2cosx 
kos x = –2 kos x sin x
kos x + 2 sin x kos x = 0
kos x (1 + 2 sin x ) = 0
kos x = 0
x= 90o, 270o
1 + 2 sin x= 0
sin x = –½
asas x = 30o
x = (180o + 30o), (360o – 30o)
x= 210o, 330o
Oleh itu, x= 90o, 210o, 270o, 330o

(b)
3sekx=4kosx 3 kosx =4kosx 3=4ko s 2 x ko s 2 x= 3 4 kosx=± 3 2  asas= 30 x= 30 ,( 180 30 ),( 180 + 30 ),( 360 30 ) x= 30 , 150 , 210 , 330

(c)
16tanx=kotx 16tanx= 1 tanx tan 2 x= 1 16 tanx=± 1 4  asas= 14.04 x= 14.04 ,( 180 14.04 ),      ( 180 + 14.04 ),( 360 14.04 ) x= 14.04 , 165.96 , 194.04 , 345.96

Bab 16 Fungsi Trigonometri

5.6 Menyelesaikan  Persamaan Trigonometri
5.6.1 Persamaan asas dalam sin x/ kos x/ tan x/ kosek x/ sek x/ kot x

Langkah-langkah untuk menyelesaikan persamaan trigonometri:


(1) Tentukan julat bagi nilai-nilai sudut yang berkenaan.
(2)   Cari sudut asas dengan menggunakan kalkulator.
(3)   Tentukan kedudukan sukuan bagi sudut-sudut.
(4)   Tentukan nilai bagi sudut yang berada dalam sukuan itu.




Contoh:
Cari nilai-nilai quntuk 0° < q   < 360° yang memuaskan setiap persamaan trigonometri yang berikut.
(a)    sin θ = 0.6137
(b)   cos q = 0.2377
(c)    tan q  = 2.7825
(d)   sin q  = –0.8537
(e)    sin 2q = 0.5293

Penyelesaian:
(a)
sin q= 0.6137
asas= sin-1 0.6137 = 37.86o
q  = 37.86° 180°-37.86°
q  = 37.86°, 142.14°

(b)
kos q = 0.2377
asas = cos-1 0.2377 = 76.25°
q  = 76.25°, 360° – 76.25°
q  = 76.25°, 283.75°

(c)
tan q = 2.7825
asas = tan-1 2.7825 = 70.23°
q = 70.23°, 180° + 70.23°
q  = 70.23°, 250.23°

(d)
sin q = –0.8537
asas = sin-1 0.8537 = 58.62°
q = 180° + 58.62°, 360° – 58.62°
q  = 238.62°, 301.38°

(e)
sin 2q  = 0.5293
asas = 31.96°
0° < q  < 360°
0° < 2q  < 720°
2q  = 31.96°, 180° – 31.96°, 360° + 31.96°, 360° + 180° – 31.96°
2q  = 31.96°, 148.04°, 360° + 391.96°, 508.04°
q  = 15.98°, 74.02°, 195.98°, 254.02°

Bab 16 Fungsi Trigonometri


5.5.1 Rumus bagi sin (A ± B), kos (A ± B), tan (A ± B), sin 2A, kos 2A, tan 2A
(Contoh Soalan)

Contoh 2:
Buktikan setiap identity trigonometri yang berikut.
(a) 1 + k o s 2 x sin 2 x = k o t x (b) k o t A sek 2 A = k o t A + tan 2 A (c) s i n x 1 k o s x = k o t x 2

Penyelesaian:
(a)
Sebelah kiri = 1+kos2x sin2x = 1+( 2ko s 2 x1 ) 2sinxkosx = 2 ko s 2 x 2 sinx kosx = kosx sinx =kotx=Sebelah kanan
 

(b)
Sebelah kanan =kotA+tan2A = kosA sinA + sin2A kos2A = kosAkos2A+sinAsin2A sinAkos2A = kosA( ko s 2 A sin 2 A )+sinA( 2sinAkosA ) sinAkos2A
= ko s 3 AkosA sin 2 A+2 sin 2 AkosA sinAkos2A = ko s 3 A+kosA sin 2 A sinAkos2A = kosA( ko s 2 A+ sin 2 A ) sinAkos2A = kosA sinAkos2A sin 2 A+ko s 2 A=1 =( kosA sinA )( 1 kos2A ) =kotAsek2A =Sebelah kiri


(c)
Sebelah kiri = sinx 1kosx = 2sin x 2 kos x 2 1( 12si n 2 x 2 ) sinx=2sin x 2 kos x 2 , kosx=12 sin 2 x 2 = 2 sin x 2 kos x 2 2 si n 2 x 2 = kos x 2 sin x 2 =kot x 2 =Sebelah kanan


Contoh 3:
(a) Diberi bahawa sinP= 3 5  dan sinQ= 5 13 ,  dengan keadaan P ialah satu sudut tirus dan Q ialah satu sudut cakah, tanpa menggunakan sifir atau kalkulator, cari nilai kos (P + Q).

(b) Diberi bahawa sinA= 3 5  dan sinB= 12 13 ,  dengan keadaan A dan B adalah sudut-sudut dalam sukuan III dan sukuan IV masing-masing, tanpa menggunakan sifir atau kalkulator, cari nilai sin (AB).

Penyelesaian:
(a)


 
sin P = 3 5 , k o s P = 4 5 sin Q = 5 13 , k o s Q = 12 13 k o s ( P + Q ) = k o s A k o s B sin A sin B = ( 4 5 ) ( 12 13 ) ( 3 5 ) ( 5 13 ) = 48 65 15 65 = 63 65
 

(b)



sin A = 3 5 , k o s A = 4 5 sin B = 5 13 , k o s B = 12 13 s i n ( A B ) = s i n A k o s B k o s A sin B = ( 3 5 ) ( 12 13 ) ( 4 5 ) ( 5 13 ) = 36 65 20 65 = 56 65


Bab 16 Fungsi Trigonometri

5.5 Rumus bagi sin (A ± B), kos (A ± B), tan (A ± B), sin 2A, kos 2A, tan 2A

Rumus penambahan

   sinA=2sin A 2 kos A 2       kosA= sin 2 A 2 ko s 2 A 2          kosA=2ko s 2 A 2 1       kosA=12ko s 2 A 2    tanA= 2tan A 2 1 tan 2 A 2


5.5.1 Pembuktian Identiti Trigonometri yang Melibatkan Sudut Majmuk dan Sudut Berganda

Contoh 1:
Buktikan setiap identity trigonometri yang berikut.
(a)  sin( A+B )sin( AB ) kosAkosB =2tanB (b)  kos( A+B ) sinAkosB =kotAtanB (c) tan( A+ 45 o )= sinA+kosA kosAsinA  

penyelesaian:
(a)
(Sebelah Kiri) = sin( A+B )sin( AB ) kosAkosB = ( sinAkosB+kosAsinB )( sinAkosBkosAsinB ) kosAkosB = 2 kosA sinB kosA kosB = 2sinB kosB =2tanB=(Sebelah Kanan)

(b)
(Sebelah Kiri) = kos( A+B ) sinAkosB = kosAkosBsinAsinB sinAkosB = kosA kosB sinA kosB sinA sinB sinA kosB = kosA sinA sinB kosB =kotAtanB =(Sebelah Kanan)

(c)
(Sebelah Kiri) =tan( A+ 45 o ) = tanA+tan 45 o 1tanAtan 45 o = tanA+1 1tanA tan 45 o =1 = sinA kosA +1 1 sinA kosA = sinA+kosA kosA × kosA kosAsinA = sinA+kosA kosAsinA =(Sebelah Kanan)


Bab 16 Fungsi Trigonometri


5.4 Identiti Asas

sin2 x + kos2 x = 1
sek2 x = 1 + tan2 x
kosek2 x = 1 + kot2 x


Contoh 1 (Pembuktian Identiti Trigonometri dengan Menggunakan Identiti Asas)
Buktikan setiap identity trigonometri yang berikut.
(a) sin2 x – kos2 x = 1 – 2 kos2 x
(b) (1 – kosek2 x) (1– sek2 x) = 1
(c) kot2 x – kot2 x kos2x = kos2 x

Penyelesaian:
(a)
sin2 x– kos2 x = 1 – 2 kos2x
Sebelah kiri: sin2 x– kos2 x
= 1 – kos2 x – kos2 x
= 1 – 2 kos2 x (Sebelah kanan)

(b)
(1 – kosek2 x) (1– sek2 x) = 1
Sebelah kiri: (1 – kosek2 x) (1– sek2 x)
= (–kot2 x) (–tan2 x)
= (kot2 x) (tan2 x)
= ( 1 tan 2 x ) tan 2 x = 1 (Sebelah kanan)

(c)
kot2 – kot2 x kos2 x = kos2 x
Sebelah kiri: kot2 x– kot2 x kos2 x
= kot2x (1 – kos2x)
= kot2x (sin2x)
= k o s 2 x s i n 2 x ( s i n 2 x ) = k o s 2 x (Sebelah kanan)


Contoh 2 (Menyelesaikan Persamaan Trigonometri dengan Identiti Asas)
Selesaikan setiap persamaan trigonometri yang berikut untuk 0o≤ 360o.
(a) sin2 x kos x + 1 = kos x
(b) 2 kosek2 x – 5 kot x = 0

Penyelesaian:
(a)
sin2kos x + 1 = kos x
(1 – kos2 x) kos x + 1 = kos x
kos x – kos3 x + 1 = kos x
kos3 x = 1
kos x = 1
x = 0o, 360o

(b)
2 kosek2 x – 5 kot x = 0
2 (1 + kot2 x) – 5 kot x = 0
2 + 2 kot2 x – 5 kot x = 0
2 kot2 x – 5 kot x + 2 = 0
(2 kot x – 1) (kot x – 2) = 0
kot = ½   atau   kot x = 2
kot = ½ atau kot x = 2
tan x = 2,   tan x = ½
x =63.43o, 243.43ox = 26.57o, 206.57o
(Perhatian: tangen adalah positif dalam sukuan I dan III)

Oleh itu, x = 26.57o, 63.43o, 206.57o, 243.43o

Bab 16 Fungsi Trigonometri


5.3.2c Melakar Graf Fungsi Trigonometri (Bahagian 3)

Contoh 2:
(a) Lakar graf bagi y = –½ kos x untuk 0 ≤ x ≤ 2π.
(b) Seterusnya, dengan menggunakan paksi yang sama, lakar satu graf yang sesuai untuk mencari bilangan penyelesaian bagi persamaan π 2 x + k o s x = 0  untuk 0 ≤ x ≤ 2π.
Nyatakan bilangan penyelesaian itu.

Penyelesaian:
(a)



(b)



π 2 x + k o s x = 0 π 2 x = k o s x π 4 x = 1 2 k o s x darab kedua-dua belah dengan 1 2 y = π 4 x y = 1 2 k o s x


Graf yang sesuai ialah y = π 4 x .  

x
π 2  
π
y = π 4 x
½
¼

Daripada graf, terdapat 2 titik persilangan untuk 0 ≤ x ≤ 2π.
Maka, terdapat 2 penyelesaian bagi persamaan π 2 x + k o s x = 0.

Bab 16 Fungsi Trigonometri

5.3.2a Melakar Graf Fungsi Trigonometri (Bahagian 1)

Contoh:
Lakarkan graf bagi setiap fungsi trigonometri yang berikut untuk 0 ≤ x ≤ 2π.
(a) y = 3 sin x
(b) y = 2 kos x
(c) y = sin x + 1
(d) y = kos x –1  
(e) y = sin 2x  
(f) y = kos 2x


Penyelesaian:
(a)  y = 3 sin x




(b)  y = 2 kos x




(c) y = sin x + 1



(d) y = kos x –1 




(e) y = sin 2x





(f) y = kos 2x




Bab 16 Fungsi Trigonometri


5.3.1 Graf fungsi Sinus, Kosinus, dan Tangen

(a) 
Graf y = sin x, 0ox ≤ 360o


 
x
0o
90o
180o
270o
360o
sin
0
1
0
-1
0
  

(b)  Graf y = kos x, 0ox ≤ 360o



x
0o
90o
180o
270o
360o
kos x
1
0
-1
0
1
  

(c)  Graf y = tan x, 0ox ≤ 360o



x
0o
90o
180o
270o
360o
tan x
0
0
0