Bab 6 Statistik III


6.6 Sukatan Serakan (Bhg 1)
 
(A) Menentukan julat bagi satu set data
1.   Bagi suatu data tak terkumpul,
Julat = nilai tertinggi – nilai terendah.
2.  Bagi suatu data terkumpul,
Julat = nilai titik tengah bagi kelas terakhir – nilai titik tengah bagi kelas pertama.

Contoh 1:
Tentukan julat bagi set data yang berikut.
(a)  720, 840, 610, 980, 900
(b) 
 
Masa (minit)
1 – 6
7 – 12
13 – 18
19 – 24
25 – 30
Kekerapan
3
5
9
4
4

Penyelesaian:
(a)
Nilai tertinggi data = 86
Nilai terendah data = 39
Julat = 86 – 39 = 47

(b)
Titik tengah bagi kelas terakhir
= ½ (25 + 30) minit
= 27.5 minit

Titik tengah bagi kelas pertama
= ½ (1 + 6) minit
= 3.5 minit 

Julat = (27.5 – 3.5) minit = 24 minit

Bab 12 Asas Nombor

1.2 Asas Nombor, SPM Praktis (Kertas 1)
Soalan 1:
Ungkapkan 2058 sebagai nombor dalam asas lima.

Penyelesaian:
2058 = 2 × 8 2 + 0 × 81+ 5 × 8 0 = 13310




Soalan 2:
Nyatakan nilai digit 6 bagi nombor 16238, dalam asas sepuluh.

Penyelesaian:


1
6
2
3
Nilai tempat
83
82
81
80

Nilai digit 6
= 6 × 82
= 384


Soalan 3:
Diberi 3 × 53 + 4 × 52 + 5p = 34205, cari nilai p.

Penyelesaian:
34205 = 3 × 53 + 4 × 52+ 2 × 51 + 0 × 50
34205 = 3 × 53 + 4 × 52+ 5p+ 0

5p = 2 × 51
5p = 10
p = 2


Soalan 4:
Tukarkan 4 × 84 + 2 × 82 + 4 kepada satu nombor dalam asas lapan.

Penyelesaian:

84
83
82
81
80
4
0
2
0
48

Jawapan = 402048


Soalan 5:
Apakah nilai digit 3, dalam asas sepuluh, bagi nombor 43155?

Penyelesaian:
Mengenal pasti nilai tempat bagi setiap digit dalam nombor terdahulu.


4
3
1
5
Nilai tempat
53
52
51
50

Nilai digit 3
= 3 × 52
= 75


Soalan 6:
Ungkapkan 5(52 + 2) sebagai nombor dalam asas lima.

Penyelesaian:
Langkah 1: kembangkan 5(52 + 2) terdahulu.
Langkah 2: tulis 5(52 + 2) dalam bentuk pendaraban dalam asas lima.
5(52 + 2)
= 53 + 2 × 5
= 1 × 53 + 0 × 52 + 2 × 51+ 0 × 50
= 10205

53
52
51
50
1
0
2
05


Soalan 7:
1101102 – 111012 =

Penyelesaian:


Secara alternatif, mendapatkan jawapan terus daripada kalkulator saintifik.

Bab 12 Asas Nombor

1.1      Asas Nombor (Bahagian 4)

(F) Membuat pengiraaan melibatkan operasi tambah atau tolak bagi dua nombor dalam asas dua
1.      Dalam operasi penambahan dua nombor dalam asas dua, peraturan-peraturan berikut terpakai:


  02 + 02 = 02
  02 + 12 = 12
  12 + 02 = 12
  12 + 12 = 102
  12 + 12 + 12 = 102 + 12 = 112


2.      Dalam operasi penolakan dua nombor dalam asas dua, peraturan-peraturan berikut terpakai:


  02 02 = 02
  12 02 = 12
  12 12 = 02
  102 12 = 12
  



Contoh 1:
Cari nilai bagi setiap yang berikut:
(a)  11012+ 1102
(b)  110012+ 111002
(c)  110112– 11012
(d)  10002– 1012

Penyelesaian:
(a)


(b)


(c)


(d)



Pengiraan Kalkulator

Anda boleh mendapatkan jawapan terus daripada kalkulator saintifik dengan menekan:
    [MODE]   [MODE]   [3 (BASE)]

Masukkan yang berikut:
(a)
[ BIN ] 1101 [ + ] 110 [ = ]  
Paparan skrin ialah: [ 10011 ]

(b)
[ BIN ] 11001 [ + ] 11100 [ = ]  
Paparan skrin ialah: [ 110101 ]

(c)
[ BIN ] 11011 [ ] 1101 [ = ]  
Paparan skrin ialah: [ 1110 ]

(d)
[ BIN ] 1000 [ ] 101 [ = ]  
Paparan skrin ialah: [ 11 ]


Bab 12 Asas Nombor

1.1   Asas Nombor (Bahagian 3)

(E) Menukar nombor dalam sesuatu asas kepada asas yang lain
1.      Langkah-langkah untuk menukar nombor dalam sesuatu asas kepada asas yang lain.
           (a)  Tukar nombor itu kepada nombor dalam asas 10 dengan menggunakan bentuk 
                 pendaraban.
           (b)  Melakukan pembahagian berturut-turut untuk menukarkan nombor dalam asas 
                10 kepada asas-asas baru.


Contoh 1:
Tukarkan
(a)  1101012kepada nombor dalam asas lima
(b)  435kepada nombor dalam asas dua
(c)  3138kepada nombor dalam asas lima
(d)  4225kepada nombor dalam asas lapan
(e)  1001112kepada nombor dalam asas lapan
(f)   1578kepada nombor dalam asas dua

Penyelesaian:
(a)
1101012
= 1 × 25 + 1 × 24 + 0 × 23+ 1 × 22 + 0 × 21 + 1 × 20
= 5310 ← (tukar daripada asas 2 kepada asas 10)


(b)
435
= 4 × 51 + 3 × 50
= 2310← (tukar daripada asas 5 kepada asas 10)


(c)
3138
= 3 × 82 + 1 × 81 + 3 × 80
= 20310← (tukar daripada asas 8 kepada asas 10)


(d)
4225
= 4 × 52 + 2 × 51 + 2 × 50
= 11210← (tukar daripada asas 5 kepada asas 10)


(e)
1001112
= 1 × 25 + 0 × 24 + 0 × 23+ 1 × 22 + 1 × 21 + 1 × 20
= 3910 ← (tukar daripada asas 2 kepada asas 10)


(f)
1578
= 1 × 82 + 5 × 81 + 7 × 80
= 11110← (tukar daripada asas 8 kepada asas 10)



Pengiraan Kalkulator

1. Menetapkan kalkulator kepada mod ‘ASAS’ dengan menekan:
    [MODE]   [MODE]   [3 (BASE)]

2. Menetapkan kalkulator kepada asas nombor yang dikehendaki dengan menekan:
[BIN] → untuk asas 2
[DEC] → untuk asas 10
[OCT] → untuk asas 8

Masukkan yang berikut:
(e)
[ BIN ] 100111 [ = ]  [ OCT ]
Paparan skrin ialah: [478]
Oleh itu 1001112 = 478

(f)
[ OCT ] 157 [ = ]  [ BIN ]
Paparan skrin ialah: [1101111]
Oleh itu 1578 = 11011112



Bab 12 Asas Nombor

1.1   Asas Nombor (Bahagian 2)

(D) Menukar nombor dalam asas dua, asas lapan dan asas lima kepada nombor dalam asas sepuluh dan sebaliknya.
1.      Langkah-langkah untuk menukar nombor dalam asas 2, 8 dan 5 kepada nombor dalam  asas 10 adalah seperti berikut:
          (a)  Tulis nombor itu dalam bentuk pendaraban.
          (b)  Permudahkan bentuk pendaraban kepada satu nombor tunggal.

      Contoh 1:
Tukarkan setiap nombor yang berikut kepada nombor dalam asas 10.
      (a)  101012                       (b) 14238                               (c) 3245

Penyelesaian:
(a)  101012= 1 × 24 + 0 × 23 + 1 × 22 + 0 × 21+ 1 × 20 = 2110

(b)  14238 = 1 × 83 + 4 × 82 + 2 × 81 + 3 × 80= 78710

(c)  3245 = 3 × 52 + 2 × 51 + 4 × 50 = 8910


Gunakan Kalkulator
1. Menetapkan kalkulator kepada mod ‘ASAS’ dengan menekan:
    [MODE]   [MODE]   [3 (BASE)]

2. Menetapkan kalkulator kepada asas nombor yang dikehendaki dengan menekan:
[BIN] → untuk asas 2
[DEC] → untuk asas 10
[OCT] → untuk asas 8

Masukkan yang berikut:
(a)
[BIN] 10101 [=]  [ DEC ]
Paparan skrin ialah: [21]
Oleh itu 101012 = 2110

(b)
[OCT] 1423 [=]  [ DEC ]
Paparan skrin ialah: [787]
Oleh itu 14238 = 78710

    


2.      Langkah-langkah untuk menukar nombor dalam asas 10 kepada nombor dalam asas 2, 8 dan 5 adalah seperti berikut:
           (a)  Membahagikan nombor itu secara berturut-turut sehingga hasil bahaginya adalah
           sifar.
           (b)  Tulis nombor dalam asas baru dengan merujuk kepada baki nombor itu dari 
            bawah  ke atas .

Contoh 2:
Tukar 6110 kepada satu nombor dalam
     (a)  asas dua                     (b) asas lapan                        (c) asas lima

Penyelesaian:
(a)


(b)


(c)



Gunakan Kalkulator

1. Menetapkan kalkulator kepada mod ‘ASAS’ dengan menekan:
    [MODE]   [MODE]   [3 (BASE)]

2. Menetapkan kalkulator kepada asas nombor yang dikehendaki dengan menekan:
[BIN] → untuk asas 2
[DEC] → untuk asas 10
[OCT] → untuk asas 8

Masukkan yang berikut:
 (a)
[DEC] 61 [=]  [ BIN ]
Paparan skrin ialah: [1111012]
Oleh itu 6110 = 1111012

(b)
[DEC] 61 [=]  [ OCT ]
Paparan skrin ialah: [75]
Oleh itu 6110 = 758



Bab 12 Asas Nombor

1.1   Asas Nombor (Bahagian 1)

(A) Nombor dalam Asas Dua, Asas Lapan dan Asas Lima
1.      Nombor-nombor yang kita gunakan setiap hari adalah dalam asas sepuluh. Sepuluh digit yang digunakan dalam asas sepuluh ialah 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 dan 9.
2.      Nombor dalam asas dua dinyatakan dengan menggunakan hanya dua digit sahaja iaitu 0 dan 1. Misalnya: 1011012.
3.      Nombor dalam asas lapan dinyatakan dengan menggunakan hanya lapan digit sahaja iaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 dan 7. Misalnya: 6758.
4.      Nombor dalam asas lima dinyatakan dengan menggunakan hanya lima digit sahaja iaitu 0, 1, 2, 3 dan 4. Misalnya: 1345.


(B) Nilai Sesuatu Digit bagi suatu Nombor dalam Asas 2, 8 dan 5

1.      Jadual yang di bawah menunjukkan nilai tempat bagi setiap digit dalam suatu nombor.

(a)  Dalam asas 2

Nilai tempat
26 = 64
25 = 32
24 = 16
23 = 8
22 = 4
21 = 2
20 = 1

(b)  Dalam asas 8

Nilai tempat
84 = 4096
83 = 512
82 = 64
81 = 8
80 = 1

(c)  Dalam asas 5

Nilai tempat
54 = 625
53 = 125
52 = 25
51 = 5
50 = 1

2.

 Nilai suatu digit = Digit itu × Nilai tempat digit itu


Contoh 1:
Nyatakan nilai bagi digit yang bergaris dalam setiap nombor yang berikut.
(a)  10111012                   (b) 36518                   (c) 32415

Penyelesaian:
(a)
Nilai tempat
26 = 64
25 = 32
24 = 16
23 = 8
22 = 4
21 = 2
20 = 1
Nombor
1
0
1
1
1
0
1

Nilai bagi digit 1 yang bergaris
= 1 × 26
= 1 × 64
= 64

(b)
Nilai tempat
83 = 512
82 = 64
81 = 8
80 = 1
Nombor
3
6
5
1

Nilai bagi digit 6 yang bergaris
= 6 × 82
= 6 × 64
= 384

(c)
Nilai tempat
53 = 125
52 = 25
51 = 5
50 = 1
Nombor
3
2
4
1

Nilai bagi digit 3 yang bergaris
= 3 × 53
= 3 × 125
= 375


(C) Tulis suatu nombor dalam asas dua, asas lapan dan asas lima dalam bentuk pendaraban
1.      Suatu nombor ditulis dalam bentuk pendaraban merujukkan kepada hasil tambah nilai bagi digit-digit yang membentuk nombor itu.

Contoh 2:
Tulis setiap yang berikut dalam bentuk pendaraban.
(a)  1110112                     (b) 4758                      (c) 24135

Penyelesaian:
(a)
Nilai empat
25 = 32
24 = 16
23 = 8
22 = 4
21 = 2
20 = 1
Nombor
1
1
1
0
1
1

1110112 = 1 × 25 + 1 × 24 + 1 × 23 + 0 × 22 + 1 × 21 + 1 × 20

(b) 
Nilai tempat
82 = 64
81 = 8
80 = 1
Nombor
4
7
5

4758= 4 × 82 + 7 × 81 + 5 × 80

(c)
Nilai tempat
53 = 125
52 = 25
51 = 5
50 = 1
Nombor
2
4
1
3

24135 = 2 × 53 + 4 × 52 + 1 × 51 + 3 × 50


Bab 6 Statistik III


6.5 Kekerapan Longgokan
Kekerapan longgokan bagi suatu data atau selang kelas dalam jadual kekerapan adalah diperoleh dengan menentukan hasil tambah kekerapannya dengan jumlah kekerapan semua data atau selang kelas sebelumnya.
 
(A) Ogif
Ogif ialah graf kekerapan longgokan yang diperoleh dengan memplotkan kekerapan longgokan bertentangan dengan sempadan atas setiap kelas. 


Contoh:
Data di bawah menunjukkan bilangan buku yang dibaca oleh sekumpulan 60 orang murid dalam setahun.

Buku
Kekerapan
6-10
3
11-15
7
16-20
11
21-25
16
26-30
11
31-35
8
36-40
4
(a)  Bina satu jadual kekerapan longgokan bagi data di atas.
(b)  Dengan menggunakan skala 2cm kepada 5 buku pada paksi mengufuk dan 2cm kepada 10 orang murid pada paksi mencancang, lukiskan satu ogif bagi data tersebut.


Penyelesaian:
(a)
  ·    Tambah satu kelas dengan kekerapan sifar sebelum kelas pertama.
  ·    Cari sempadan atas bagi setiap selang kelas.

Buku
Kekerapan
Kekerapan longgokan
Sempadan atas
1-5
0
0
5.5
6-10
3
0 + 3 = 3
10.5
11-15
7
3 + 7 = 10
15.5
16-20
11
10 + 11 = 21
20.5
21-25
16
21 + 16 = 37
25.5
26-30
11
37 + 11 = 48
30.5
31-35
8
48 + 8 = 56
35.5
36-40
4
56 + 4 = 60
40.5
(b)




Bab 6 Statistik III


6.4 Poligon Kekerapan
1.   Poligon kekerapan ialah graf yang menyambungkan titik tengah selang kelas pada hujung setiap segi empat tepat dalam sebuah histogram.
2.  Poligon kekerapan boleh dilukis daripada
(a)  Histogram,
(b)  Jadual kekerapan
3.  Langkah-langkah melukis poligon kekerapan:
Step 1: Menambah satu kelas dengan kekerapan sifar sebelum kelas pertama dan selepas kelas terakhir.
Step 2: Tentukan titik tengah bagi setiap kelas.
Step 3Sambungkan titik-titik itu dengan garis lurus.


Contoh:
Jadual kekerapan yang berikut menunjukkan jarak yang dilalui oleh 38 orang remaja yang
bermotosikal dalam satu hari.

Jarak (km)
Kekerapan
55 – 59
4
60 – 64
4
65 – 69
7
70 – 74
8
75 – 79
9
80 – 84
6
Lukis poligon kekerapan berdasarkan jadual kekerapan di atas.



Penyelesaian:

Jarak (km)
Kekerapan
Titik tengah
50 – 54
0
52
55 – 59
4
57
60 – 64
4
62
65 – 69
7
67
70 – 74
8
72
75 – 79
9
74
80 – 84
6
82
85 – 89
0
87



Bab 10 Sudut Dongakan dan Sudut Tunduk

10.2 Menyelesaikan Masalah yang Melibatkan Sudut Dongakan dan sudut Tunduk
Contoh:
Sudut tunduk bagi seorang kanak-kanak yang berbasikal dari suatu bukit dengan ketinggian 10.9m ialah 52o. Apabila kanak-kanak itu mengayuh basikal di sepanjang lereng bukit dan berhenti sebentar, sudut tunduk menjadi 25.3o. Apakah jarak yang dilalui oleh kanak-kanak itu?

Penyelesaian:
Langkah 1: Lukis sebuah gambar rajah untuk mewakili situasi yang diterangkan dalam masalah itu.
Langkah 2: Merangka satu pelan .
Cari jarak QSdan QR. Lepas itu, QS QR= jarak yang dilalui oleh kanak-kanak itu.

tan 52 o = 10.9 QR QR= 10.9 tan 52 o QR=8.5m

tan 25.3 o = 10.9 QS QS= 10.9 tan 25.3 o QS=23.1m

QS – QR = (23.1 – 8.5) m = 14.6 m
Oleh itu, jarak yang dilalui oleh kanak-kanak itu ialah 14.6 meter .

Bab 10 Sudut Dongakan dan Sudut Tunduk

10.3 Sudut Dongakan dan Sudut Tunduk, SPM Praktis (Kertas 1)
Soalan 4:
Rajah di bawah menunjukkan tiga batang tiang tegak, JP, KNdan LM yang terletak pada suatu permukaan mengufuk.

Sudut dongakan bagi N dari P ialah 15o.
Sudut tunduk bagi M dari N ialah 35o.
Hitung jarak, dalam m, dari K ke L.

Penyelesaian:
tanAPN= AN PA tan 15 o = AN 4  
AN= 4 × 0.268
AN= 1.072 m
Panjang BN = 2 + 1.072 = 3.072 m

tanBMN= BN BM tan 35 o = 3.072 BM BM= 3.072 0.700 =4.389 Jarak KL=4.389m


Soalan 5:
Rajah di bawah menunjukkan dua batang tiang tegak, JM dan LN yang terletak pada permukaan mengufuk.
Sudut dongakan Mdari K ialah 70o dan sudut tunduk K dari N ialah 40 o.
Cari jarak perbezaan, dalam m, antara JK dan KL.

Penyelesaian:
tanJKM= 14 JK JK= 14 tan 70 o JK=5.096m tanLKN= 8 KL KL= 8 tan 40 o KL=9.534m
Jarak perbezaan antara JK dan KL
= 9.534 – 5.096
= 4.438m