Bab 10 Sudut Dongakan dan Sudut Tunduk

10.3 Sudut Dongakan dan Sudut Tunduk, SPM Praktis (Kertas 1)
Soalan 1:
Rajah di bawah menunjukkan dua batang tiang tegak yang terletak pada permukaan mengufuk. J, K, L, M dan N adalah lima titik yang terletak pada tiang-tiang itu dengan keadaan KL = MN.
Namakan sudut dongakan titik J dari titik M.

Penyelesaian:

Sudut dongakan titik J dari titik M = KMJ


Soalan 2:
Rajah di bawah menunjukkan dua batang tiang tegak, JM dan KL yang terletak pada permukaan mengufuk.
Hitung sudut dongakan puncak K dari M .

Penyelesaian:

JN= 10 tan 42o = 9.004 m
NM= 25 – 9.004 = 15.996 m
KL= NM = 15.996 m
tanKML= KL ML                    = 15.996 10                    =1.5996 KML= tan 1 1.5996              = 57 o 59 '


Soalan 3:
Rajah di bawah menunjukkan satu batang tiang tegak, KMN yang terletak pada suatu permukaan mengufuk. Sudut dongakan M dari L ialah 20o.
Hitung tinggi, dalam m, bagi tiang itu.

Penyelesaian:
tan 20 o = K M K L 0.3640 = K M 15
KM= 5.4m
Tinggi tiang = 9 + 5.4 = 14.4m

Bab 10 Sudut Dongakan dan Sudut Tunduk

10.1 Sudut Dongakan dan Sudut Tunduk
1.      Sudut dongakan ialah sudut tirus di antara garis mengufukyang melalui mata pencerap dengan garis lurus yang menyambungkan mata pencerap dengan objek yang berada di sebelah atas garis mengufuk itu.


Contoh 1:

Sudut dongakan bagi objek O dari POPA


2.      Sudut tunduk ialah sudut tirus di antara garis mengufukyang melalui mata pencerap dengan garis lurus yang menyambungkan mata pencerap dengan objek yang berada di sebelah bawah garis mengufuk itu.


Contoh 2:

Sudut tunduk bagi objek O dari P = OPA


3.      Sudut dongakan dan sudut tunduk adalah sentiasa diukur dari garisan mengufuk.

Contoh 3:
Rajah di bawah menunjukkan dua batang tiang tegak, JK dan NL yang terletak pada permukaan mengufuk. M adalah satu titik atas NLdengan keadaan JK = ML.

Sudut tunduk titik J dari titik N ialah

Penyelesaian:
Sudut tunduk titik J dari titik N ialah sudut di antara garis JN dengan garis mengufuk melalui N.
Sudut tunduk Jdari N
= sudut dongakan Ndari J
= NJM

Bab 9 Trigonometri II


9.3.2 Trigonometri II, SPM Praktis (Kertas 1)
 
Soalan 4:


Dalam rajah di atas, WZY ialah satu garis lurus. ∠XYZ = 90o, ∠XWZ = 30dan WZ = XZ = 30cm. Cari panjang XY.

Penyelesaian:
WXZ = ∠XWZ = 30o
Maka ∠XZY = 30o + 30o = 60o
sin X Z Y = X Y X Z sin 60 o = X Y 30

XY= sin 60o × 30
XY = 25.98cm


Soalan 5:
 

Dalam rajah di atas, PQS ialah satu segitiga bersudut tegak. Diberi bahawa SR = 6cm, PQ = 12 cm dan 5SR = 2PS. Cari nilai cos α dan tan β.

Penyelesaian:
5SR=2PS PS= 5 2 SR PS= 5 2 ( 6 ) PS=15 cm kosα= PQ PS kosα= 12 15 = 4 5


Dalam ∆ PQS, guna Teori Pythagoras,
QS= P S 2 P Q 2 QS= 15 2 12 2 =9 cm tanβ=tanPSQ 90 <β< 180 (dalam sukuan II),  tanβ is negatif tanβ= PQ QS tanβ= 12 9 = 4 3


Soalan 6:
 

Dalam rajah di atas, ADC ialah satu garis lurus, sin q = 3 5 dan tan p = 1 2 . Hitung jarak AC.

Penyelesaian:
Diberi sin q = B D A B = 3 5 B D 30 = 3 5 B D = 3 5 × 30 B D = 18 c m

Dalam ∆ ABD, guna Teori Pythagoras,
AD= A B 2 B D 2 AD= 30 2 18 2 =24 cm Given tan p= BD DC = 1 2 18 DC = 1 2 DC=36 cm

Oleh itu, jarak AC = 24 + 36 = 60cm

Bab 9 Trigonometri II


9.3.1 Trigonometri II, SPM Praktis (Kertas 1)
 
Soalan 1:


Dalam rajah di atas, cari nilai tan θ.

Penyelesaian:
Dalam ∆ ABC, guna Teori Pythagoras,
A C = 1 2 + 1 2 = 2 c m tan θ = C D A C tan θ = 1 2


Soalan 2:

Dalam rajah di atas, ABCE ialah satu segiempat tepat and titik  D terletak pada garis lurus EC. Diberi bahawa DC = 5 cm dan AE = 4cm, cari nilai kos θ.

Penyelesaian:
AD = DC = 5cm

Dalam ∆ AED, guna Teori Pythagoras,
ED= 5 2 4 2 =3cm kosθ=kosADE 90 <θ< 180 (sukuanII),  kosθ adalah negatif kosθ= ED AD kosθ= 3 5



Soalan 3:


Dalam rajah di atas, PMR ialah garis lurus, M ialah titik tengah bagi garis PR. Diberi bahawa QR = 12cm dan sin y = 0.6, cari nilai tan xo.

Penyelesaian:
Dalam ∆ QMR,
sin yo= 0.6
sin y = Q R Q M = 6 10  
Diberi QR = 12cm
Maka QM = 10 × 2 = 20cm
Dalam ∆ QMR, guna Teori Pythagoras,

M R = 20 2 12 2 = 16 c m P R = 16 × 2 = 32 c m Oleh itu tan x = Q R P R = 12 32 = 3 8

Bab 9 Trigonometri II


9.1.2 Nilai Sinus, Kosinus dan Tangen bagi Sesuatu Sudut (Bahagian 2)

(D) Sudut khusus 30o, 45o, 60o






(E) Mencari sudut di antara 0o dengan 360o apabila nilai sin θ, kos θ atau tan θ diberi
1.  Jika nilai sin θ, kos θ atau tan θ diberi dan 0o< θ < 360o, nilai θ dapat dicari dengan menggunakan langkah-langkah di bawah.
(a)  Cari sudut asas dalam sukuan I yang sesuai dengan  θ.
(b)  Berdasarkan nilai (positif atau negatif) bagi sin θ, kos θ atau tan θ, tentukan sukuan yang mana θ berada.
(c)  Cari nilai-nilai θ dalam sukuan yang dicari dalam (b).



Contoh:
Cari nilai θ yang memuaskan setiap persamaan di bawah.
(a)  sin θ = 0.6025 dan 90o < θ < 180o
(b)  kos θ = –0.6025 dan 180o < θ < 270o
(c)  sin θ = –0.8387 dan 0o < θ < 360o
(d)  tan θ = –1.732 dan 0o < θ < 360o

Penyelesaian:
(a)


sin θ = 0.6025
Sudut asas ∠ = 37.05o  ← (tekan SHIFT sin-1 0.6025 = 37.04975756)
Oleh itu θ = 180o – 37.05o = 142.95o  ← (90o < θ < 180o)

(b)


kos θ = –0.6025
Sudut asas ∠ = 52.95o  ← (tekan SHIFT kos-1 0.6025 = 52.9508)
Oleh itu θ = 180o + 52.95o = 232.95o  ← (180o < θ < 270o)


(c)


sin θ = –0.8387 ← (sin θ adalah negatif dalam sukuan ke III dan ke IV)
Sudut asas ∠ = 57o  ← (tekan SHIFT sin-1 0.8387 = 57.003)
θ1 = 180o + 57o = 237o  ← (180o < θ < 270o)
θ2 = 360o – 57o = 303o  ← (270o < θ < 360o)
Oleh itu θ = 237o dan 303o


(d)

tan θ = –1.732 ← (tan θ adalah negatif dalam sukuan ke II dan ke IV)
Sudut asas ∠ = 60o  ← (tekan SHIFT tan-1 1.732 = 59.9993)
θ1 = 180o – 60o = 120o  ← (90o < θ < 180o)
θ2 = 360o – 60o = 300o  ← (270o < θ < 360o)
Oleh itu θ = 120o dan 300o

Bab 9 Trigonometri II

9.1 Nilai Sinus, Kosinus dan Tangen bagi Sesuatu Sudut (Bahagian 1)

(A) Sinus, kosinus dan tangen untuk segitiga sudut tegak

    sinθ= sisi bertentangan hipotenus        cosθ= sisi bersebelahan hipotenus    tanθ= sisi bertentangan sisi bersebelahan


(B) Nilai sin θ, kos θ dan tan θ dalam sukuan pertama dalam bulatan unit



Dalam sukuan I, P adalah satu titik yang terletak pada lilitan bulatan unit yang berpusatkan asalan, 0. θ adalah sudut di antara jejari OPdengan paksi-x yang positif. Daripada rajah 

(a) sin θ= PQ OP =y (b) kos θ= OQ OP =x (c) tan θ= PQ OQ = y x Oleh itu,          sin θ=y-koordinat          kos θ=x-koordinat       tan θ= y-koordinat x-koordinat


(C) Suatu satah Cartesan dibahagikan kepada empat bahagian, disebut sukuanoleh paksi-x dan paksi-y. Sukuan-sukuan  itu dinamakan sebagai sukuan I, sukuan II, sukuan III, dan sukuan IV mengikut lawan arah jam




Contoh:
Tentukan samada setiap nilai berikut adalah positif atau negatif.
      (a)  sin 105o        (b) kos 75o        (c) tan 305o        (d) sin 50o     
      (e)  kos 160o       (f) tan 220o        (g) kos 260o       (h) kos 350o

Penyelesaian:
(a)  sin 105oadalah positif kerana 90o < 105o < 180o (sukuan II).
(b)  kos 75oadalah positif kerana 0o < 75o < 90o (sukuan I).
(c)  tan 305oadalah negatif kerana 270o < 305o < 360o (sukuan III).
(d)  sin 50oadalah positif kerana 0o < 50o < 90o (sukuan I).
(e)  kos 160oadalah negatif kerana 120o < 160o < 180o (sukuan II).
(f)   tan 220oadalah positif kerana 180o  < 220o < 270o(sukuan III).
(g)  kos 260oadalah negatif kerana 180o < 260o < 270o (sukuan III).
(h)  kos 350oadalah positif kerana 270o < 350o < 360o (sukuan IV).

Bab 9 Trigonometri II

9.3 Trigonometri II, SPM Praktis (Kertas 1)
Soalan 13:
Antara graf berikut, yang manakah mewakili graf y = tan x for 0ox ≤ 360o?


Penyelesaian:
Jawapan: A


Soalan 14:
Graf manakah yang mewakili sebahagian daripada y = tan x?


Penyelesaian:
Jawapan: C

Bab 9 Trigonometri II

9.3 Trigonometri II, SPM Praktis (Kertas 1)
Soalan 10:
Antara graf berikut, yang manakah mewakili graf y = cos 2x?


Penyelesaian:
Jawapan: C


Soalan 11:
Antara graf berikut, yang manakah mewakili graf y = cos x for 0ox ≤ 180o?


Penyelesaian:
Jawapan: D


Soalan 12:
Graf manakah yang mewakili sebahagian daripada y = cos x?


Penyelesaian:
Jawapan: B

Bab 9 Trigonometri II

9.3 Trigonometri II, SPM Praktis (Kertas 1)
Soalan 7:
Graf manakah yang mewakili y = sin x bagi 0ox ≤ 270o?


Penyelesaian:
Jawapan: B


Soalan 8:
Graf manakah yang mewakili y = sin x bagi 0ox ≤ 180o?


Penyelesaian:
Jawapan: D


Soalan 9:
Graf manakah yang mewakili sebahagian daripada y = sin x?



Penyelesaian:
Jawapan: A

Bab 9 Trigonometri II


9.2 Graf Sinus, Kosinus dan Tangen

1.   y = sin x, 0o x ≤ 360o

 

x
0o
90o
180o
270o
360o
sin x
0
1
0
-1
0

 
2.   y = kos x, 0o x ≤ 360o
 


x
0o
90o
180o
270o
360o
kos x
1
0
-1
0
1
 

3.   y = tan x, 0o x ≤ 360o




x
0o
90o
180o
270o
360o
tan x
0
0
0



4.   y = sin 2x, 0o ≤ 2x ≤ 360o



5.   y = kos 2x, 0o ≤ 2x ≤ 360o



6.   y = tan 2x, 0o ≤ 2x ≤ 360o