Bab 6 Statistik III


6.8.3 Statistik, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 5:
Jadual 3 menunjukkan taburan kekerapan masa yang dicatatkan oleh 50 orang perenang dalam suatu latihan di dalam kolam renang.

Jadual 3
(a)  Nyatakan kelas mod.

(b)  Hitung min anggaran masa yang dicatatkan oleh seorang perenang.

(c)  Berdasarkan Jadual 3, lengkapkan Jadual 4 pada ruang jawapan dengan menulis nilai-nilai sempadan atas dan kekerapan longgokan.
 
Jadual 4

Untuk ceraian soalan ini, gunakan kertas graf . Anda boleh menggunakan pembaris fleksibel.
(d) Dengan menggunakan skala 2cm kepada 5 saat pada paksi mengufuk dan 2cm kepada 5 orang perenang pada paksi mencancang, lukiskan satu ogif bagi data tersebut.


Penyelesaian:
(a)  Kelas mod = Saat 50 – 54 (kekerapan tertinggi).
 
(b)   
Min anggaran = 37 × 5 + 42 × 8 + 47 × 9 + 52 × 15 + 57 × 11 + 62 × 2 50 = 2475 50 = 49.5

(c)
 

(d)






Soalan 6:
Jadual di bawah menunjukkan taburan kekerapan umur, dalam tahun, bagi 100 orang pengakap pada suatu tempat berkhemah.


(a) Berdasarkan Jadual di atas, lengkapkan Jadual di ruang jawapan.

(b)
 Hitung min anggaran umur, dalam tahun, bagi seorang pengakap di tempat berkhemah.

(c) 
Untuk ceraian soalan ini, gunakan kertas graf . Anda boleh menggunakan pembaris fleksibel.
Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 5 tahun pada paksi mengufuk dan 2 cm kepada 10 orang pengakap pada paksi mencancang, lukiskan satu ogif bagi data tersebut.

(d)
 Umur pengakap yang melebihi 18 tahun adalah pengakap senior.
Berdasarkan ogif yang dilukis di bahagian (c), cari peratus pengakap senior dalam tempat berkhemah.

Jawapan:



Penyelesaian:
(a)


(b)
Min anggaran umur 0×2+12×7+18×12+26×17+25×22+13×27+6×32 100 1835 100 =18.35 tahun


(c)



(d)
Jumlah pengakap senior =10049 =51 Peratus pengakap senior = 51 100 ×100% =51%

Bab 6 Statistik III


6.1 Selang Kelas
1.   Data yang terdiri daripada ukuran sesuatu kuantiti boleh dikumpulkan dalam beberapa kelas dan julat setiap kelas itu dinamakan selang kelas.


(A)   Had dan Sempadan Kelas
Had Bawah dan Had Atas
2.  Bagi selang kelas, misalnya 30 – 39, nilai yang terkecil (30) dnamakan had bawah manakala nilai yang terbesar (39) dikenali sebagai had atas.

Sempadan Bawah dan Sempadan Atas
3.  Sempadan bawah bagi suatu kelas ialah nilai tengah di antara had bawah selang kelas itu dengan had atas bagi kelas yang sebelumnya.
4.  Sempadan atas bagi suatu kelas ialah nilai tengah di antara had atas selang kelas itu dengan had bawah bagi kelas yang berikutnya.

Contoh:
20 – 29
30 – 39
40 – 49
Sempadan bawah bagi kelas 3039 = 29+30 2 =29.5 Sempadan atas bagi kelas 3039 = 39+40 2 =39.5



(B) Saiz Selang Kelas
5.  Saiz selang kelas adalah perbezaan antara sempadan atas dan sempadan bawah kelas.

Misalnya:
Saiz selang kelas 30 – 39
= Sempadan atas – Sempadan bawah
= 39.5 – 29.5
= 10

Bab 6 Statistik III


6.8.2 Statistik, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 3:
Data dalam rajah di bawah menunjukkan jisim, dalam kg, bagi 50 orang murid.


(a)  Berdasarkan data dalam rajah, lengkapkan Jadual 2 di ruang jawapan.

Jadual 2

(b)  Berdasarkan Jadual 2,
(i) nyatakan saiz selang kelas yang digunakan dalam jadual 2.
(ii) hitung min anggaran jisim bagi murid itu.

Untuk ceraian soalan ini, gunakan kertas graf.
(c)  Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 5 kg pada paksi mengufuk dan 1 cm kepada 1 murid pada paksi mencancang, lukiskan satu poligon kekerapan bagi data tersebut.



Penyelesaian:
(a)

Jisim (kg)
Titik tengah
Kekerapan
40 – 44
42
4
45 – 49
47
9
50 – 54
52
7
55 – 59
57
9
60 – 64
62
18
65 – 69
67
3
(b)(i)
saiz selang kelas
= Sempadan atas – sempadan bawah
= 44.5 – 39.5
= 5

(b)(ii)
Min anggaran jisim = 42 × 4 + 47 × 9 + 52 × 7 + 57 × 9 + 62 × 18 + 67 × 3 50 = 2785 50 = 55.7

(c)





























Soalan 4:
Rajah di bawah menunjukkan markah yang diperoleh sekumpulan 30 orang murid dalam suatu ujian Sains.

(a) Berdasarkan data pada Rajah di atas, lengkapkan Jadual di ruang jawapan.   

(b)
Berdasarkan Jadual lengkap di bahagian (a), hitung min anggaran markah bagi seorang murid.

Untuk ceraian soalan ini, gunakan kertas graf.

(c) Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 10 markah pada paksi mengufuk dan 2 cm kepada 1 murid pada paksi mencancang, lukiskan satu poligon kekerapan bagi data tersebut.

(d)
Markah lulus ujian itu ialah 44. Menggunakan poligon kekerapan di bahagian (c), nyatakan bilangan murid yang lulus di dalam ujian itu.  

Jawapan:




Penyelesaian:
(a)


(b)


Min anggaran markah =  1255 30  = 41.83

(c)



(d)
Number of students who passed the test
= 9 + 5 + 3
= 17

Bab 6 Statistik III



6.8.1 Statistik, SPM Praktis (Kertas 2)
 
Soalan 1:
Data dalam rajah 1 menunjukkan umur, dalam tahun, bagi 25 orang pelancong yang melawat satu tempat pelancongan.

Rajah 1
 
(a)  Berdasarkan data dalam rajah 1, lengkapkan jadual 1 pada ruang jawapan.

Jadual 1

 (b)  Berdasarkan Jadual 1,
(i) Nyatakan kelas mod.
(ii) Hitung min anggaran umur bagi seorang pelancong.


(c)  Untuk ceraian soalan ini, gunakan kertas graf.
Dengan menggunakan skala 2cm kepada 5 tahun pada paksi mengufuk dan 2cm kepada 1 pelancong pada paksi mencancang, lukiskan satu histogram bagi data itu.



Penyelesaian:
(a)
Umur (tahun)
Kekerapan
Titik tengah
1 – 5
2
3
6 – 10
5
8
11 – 15
3
13
16 – 20
8
18
21 – 25
3
23
25 – 30
4
28
Pengiraan titik tengah bagi (umur 6 – 10) = 6 + 10 2 = 8

(b)(i) 
Kelas mod = umur 16 – 20 (kekerapan tertinggi)

(b)(ii)
Min umur = 3 × 2 + 8 × 5 + 13 × 3 + 18 × 8 + 23 × 3 + 28 × 4 25 = 16.4

(c) 






Soalan 2:
Rajah di bawah menunjukkan markah yang diperoleh sekumpulan 24 orang murid dalam suatu kuiz matematik.

(a) Berdasarkan data di rajah di atas, lengkapkan Jadual di ruang jawapan.

(b) Nyatakan kelas mod.

(c) Hitung min anggaran bagi markah yang diperoleh seorang murid.

(d) Untuk ceraian soalan ini, gunakan kertas graf.
Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 5 markah pada paksi mengufuk dan 2 cm kepada 1 murid pada paksi mencancang, lukiskan satu histogram bagi data itu.

(e) Berdasarkan histogram yang dilukis di (d), nyatakan bilangan murid yang mendapat kurang daripada 32 markah dalam kuiz itu.

Jawapan:




Penyelesaian
:
(a)


(b) Kelas mod = 27 – 31 (kekerapan tertinggi)

(c)  Min anggaran  4×24+7×29+6×34+4×39+2×44+1×49 24 796 24 =33.17 markah

(d)


(e)
Bilangan murid yang mendapat kurang daripada 32 markah
= 4 + 7
= 11

Bab 6 Statistik III


6.3 Histogram
 
(A) Melukis histogram daripada jadual kekerapan bagi data terkumpul
1.   Histogram terdiri daripada segi empat tepat mencancang yang lebarnya sama dan tingginya berkadaran dengan kekerapan.
2.  Langkah-langkah melukis suatu histogram:
 (a)  Tentukan sempadan bawah dan sempadan atas bagi setiap selang kelas.
 (b)  Pilih skala yang sesuai pada paksi mengufuk (paksi-x) untuk mewakili selang kelas dan pada paksi mencancang (paksi-y) untuk mewakili kekerapan.


Soalan:
Jadual kekerapan berikut menunjukkan jejari, dalam cm, pokok berlainan jenis dalam suatu taman.

Radii (cm)
Frequency
2.0 – 2.4
7
2.5 – 2.9
5
3.0 – 3.4
10
3.5 – 3.9
2
4.0 – 4.4
6
4.5 – 4.9
4
Berdasarkan jadual kekerapan di atas, lukis satu histogram.
 
Penyelesaian:
 
Jejari (cm)
Kekerapan
Sempadan bawah
Sempadan atas
2.0 – 2.4
7
1.95
2.45
2.5 – 2.9
5
2.45
2.95
3.0 – 3.4
10
2.95
3.45
3.5 – 3.9
2
3.45
3.95
4.0 – 4.4
6
3.95
4.45
4.5 – 4.9
4
4.45
4.95





Bab 6 Statistik III


6.2 Mod dan Min bagi Data Terkumpul
 
(A) Kelas Mod
Kelas mod bagi data terkumpul ialah selang kelas yang mempunyai kekerapan tertinggi.


(B) Kelas Titik Tengah
Nilai titik tengah kelas = Had bawah + Had atas 2


(C) Menghitungkan Min bagi Data Terkumpul

Langkah-langkah untuk menghitung min bagi data terkumpul adalah seperti berikut:
Langkah 1: Hitung nilai titik tengah bagi setiap kelas.
Langkah 2: Hitung nilai (kekerapan × nilai titik tengah) bagi setiap kelass.
Langkah 3: Hitung jumlah nilai (kekerapan × nilai titik tengah) bagi semua kelas.
Langkah 4: Hitung jumlah kekerapan bagi semua kelas.
Langkah 5: Hitung nilai min dengan rumus berikut.

Min data terkumpul, x ¯ = Jumlah (kekerapan × titik tengah) Jumlah kekerapan = f x f

Dengan keadaan Ʃ ialah tanda mewakili jumlah, 
ialah titik tengah dan k ialah kekerapannya.



Contoh:
Jadual kekerapan yang berikut menunjukkan bilangan majalah yang telah dijual di satu kedai buku bagi tempoh 30 hari pada bulan April 2013.
 
Bilangan majalah
Kekerapan
220 – 229
3
230 – 239
5
240 – 249
11
250 – 259
6
260 – 269
5

Berdasarkan data yang diberi,
(a)  hitung kelas saiz,
(b)  nyatakan kelas mod,
(c)  hitung min bilangan majalah yang dijual.
 


Penyelesaian:
(a)  Kelas saiz
= had atas – had bawah
= 229.5 – 219.5
= 10

(b)  Kelas Mod = 240 – 249 (Kekerapan tertinggi)

(c)   
Bilangan majalah
Kekerapan (k)
Titik tengah kelas (x)
220 – 229
3
224.5
230 – 239
5
234.5
240 – 249
11
244.5
250 – 259
6
254.5
260 – 269
5
264.5

Titik tengah = 220 + 229 2 = 224.5 min, x ¯ = k x k = 3 × 224.5 + 5 × 234.5 + 11 × 244.5 + 6 × 254.5 + 5 × 264.5 30 = 7385 30 = 246.2

Bab 9 Pembezaan

9.8 Pembezaan, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 1:
Diberi y=15x+ 24 x 3    
(a) Cari nilai dy/dx apabila x = 2,
(b) Ungkapkan dalam sebutan k, perubahan kecil bagi y apabila x berubah daripada 2 kepada 2 + k, dengan keadaan k ialah satu nilai kecil.

Penyelesaian:
(a)
y=15x+ 24 x 3 y=15x+24 x 3 dy dx =1572 x 4 dy dx =15 72 x 4 Apabila x=2 dy dx =15 72 2 4 =10.5

(b)
Perubahan kecil bagi ykepada x dalam sebutan k,
δy δx dy dx δy= dy dx ×δx  
δy = 10.5 × (2 + k – 2)
δy = 10.5k


Soalan 2:
Diberi y =3t + 5t2dan x = 5t -1.
(a) Cari dy dx  dalam sebutan x,
(b) Jika x menokok daripada 5 kepada 5.01, cari perubahan kecil dalam t.

Penyelesaian:
y = 3t + 5t2
dy dt =3+10t x=5t1 dx dt =5

(a)
dy dx = dy dt × dt dx dy dx =( 3+10t )× 1 5 dy dx = 3+10( x+1 5 ) 5 x=5t1 t= x+1 5 dy dx = 3+2x+2 5 dy dx = 5+2x 5  

(b)
Perubahan kecil dalam t,
δt= dt dx ×δx δt= 1 5 ×( 5.015 ) δt=0.002  

Bab 9 Pembezaan

9.7 Pembezaan, SPM Praktis (Kertas 1)

Soalan 19:
Diberi y= 3 4 x 2 , cari perubahan kecil dalam x yang akan menyebabkan ymenyusut daripada 48 kepada 47.7.

Penyelesaian:
y= 3 4 x 2 dy dx =( 2 ) 3 4 x= 3 2 x δy=47.748=0.3 perubahan kecil dalam x kepada y δx δy dx dy δx= dx dy ×δy δx= 2 3x ×( 0.3 ) δx= 2 3( 8 ) ×( 0.3 ) y=48 3 4 x 2 =48 x 2 =64 x=8 δx=0.025


Soalan 20:
Isipada air, Icm3, dalam satu bekas diberi oleh I= 1 5 h 3 +7h , dengan keadaan h cm ialah tinggi air dalam bekas itu. Air dituang ke dalam bekas itu dengan kadar 15cm3s-1. Cari kadar perubahan tinggi air, dalam cms-1, pada ketika tingginya ialah 3cm.

Penyelesaian:
I= 1 5 h 3 +7h dI dh = 3 5 h 2 +7     = 3 h 2 +35 5  

Diberi  dI dt =15h=3 Kadar perubahan tinggi air= dh dt dh dt = dh dI × dI dt Petua rantai dh dt = 5 3 h 2 +35 ×15 dh dt = 75 62  cms 1



Soalan 21:
Jika jejari bagi suatu bulatan menokok daripada 4cm kepada 4.01cm, cari perubahan kecil dalam luas.

Penyelesaian:
Luas bulatan, L= πj2
dA dr =2πr Perubahan kecil dalam luas kepada jejari, δA δr dA dr δA= dA dr ×δr
δA = (2πj) × (4.01 – 4)
δA = [2π (4)] × (0.01)
δA = 0.08π cm2


Bab 9 Pembezaan

9.6 Perubahan Kecil dan Penghampiran


      δy = perubahan kecil dalam y   
      δx = perubahan kecil dalam x   


1. Jika δx sangat kecil, δy δx  adalah penghampiran kepada dy dx .

δy δx dy dx δy dy dx ×δx

Simbol ‘≈’ bermakna ‘hampir kepada’.

2. δx dan δy ialah dua kuantiti yang berasingan manakala dy dx  ialah satu kuantiti sahaja.


Contoh:
Diber bahawa y = 3x2 + 2x – 4. Guna pembezaan untuk mencari perubahan kecil dalam y apabila x menokok daripada 2 kepada 2.02.

Penyelesaian:
y=3 x 2 +2x4 dy dx =6x+2  

Perubahan kecil dalam yditandakan dengan δy manakala perubahan kecil dalam kuantiti kedua  x ditandakan dengan δx.

δy δx dy dx δy= dy dx ×δx  
δy = (6x +2) × (2.02 – 2)
                        ↑
                     (δx = x baru – x asal)
     = (6(2) +2) × 0.02
            ↑
       (gantikan x dengan nilai asal x, iaitu 2)
δy = 0.28

Bab 9 Pembezaan


9.5 Kadar Perubahan yang Terhubung

(A) Kadar Perubahan yang Terhubung
Jika dua pembolehubah dan y dihubungkan dengan persamaan y = f(x)

Kadar perubahan y= dy dt Kadar perubahan x= dx dt dy dt = dy dx × dx dt  

Perhatian:
1. Jika x berubah dengan kadar 5 cms -1 d x d t = 5
2. Menyusut/ membocor/ mengurang ⇒  nilai NEGATIF!!!


Contoh 1 (Kadar perubahan y dan x)
Dua pembolehubah, dan y dihubungkan oleh persamaan y = 4 x + 3 x .   Diberi bahawa y betambah dengan kadar malar 2 unit sesaat, cari kadar perubahan x apabila x = 3.

Penyelesaian:
y=4x+ 3 x =4x+3 x -1 dy dx =43 x -2 =4 3 x 2 dy dt = dy dx × dx dt 2=( 4 3 x 2 )× dx dt apabila x=3 2=( 4 3 3 2 )× dx dt 2= 11 3 × dx dt dx dt = 6 11  unit  s 1



(B) Kadar Perubahan isipada, luas, jejari, tinggi dan panjang