Bab 9 Pembezaan


9.4 Pembezaan Peringkat Kedua, Titik Pusingan: Titik Maksimum dan Titik Minimum

(A)
Pembezaan Peringkat Kedua
1. Apabila suatu fungsi y = x3 + x2 – 3x + 6 dibezakan terhadap x, terbitannya
d y d x = 3 x 2 + 2 x 3

2. Fungsi yang kedua d y d x  boleh dibeza lagi terhadap x. Proses pembezaan dua kali berturut-turut ini dikenali sebagai pembezaan peringkat kedua dan ditulis sebagai d 2 y d x 2 .

3. Ambil perhatian bahawa d 2 y d x 2 ( d y d x ) 2 .

Misalnya,
Jika y = 4x3 – 7x2 + 5x – 1,
Terbitan pertama d y d x = 12 x 2 14 x + 5  

Terbitan kedua d 2 y d x 2 = 24 x 14  


(B) Titik Pusingan: Titik Maksimum dan Titik  Minimum


(a) Di titik pusingan A dan B,
d y d x = 0

(b) Di titik maksimum A
dy dx =0 dan  d 2 y d x 2 <0 

(c) Di titik minimum B,
dy dx =0 dan  d 2 y d x 2 >0

Bab 9 Pembezaan


9.3 Kecerunan Tangen, Persamaan Tangen dan Persamaan Normal


Jika (x1, y1) adalah titik pada garis y = f (x), kecerunan garis (untuk garis lurus) atau kecerunan tangen garis (untuk suatu lengkung) adalah nilai d y d x  apabila x = x1.


(A) Kecerunan tangent di A (x1, y1):
d y d x = kecerunan tangen  


(B) Persamaan tangen:
yy1 = mtangen (xx1)


(C) Kecerunan normal di (x1, y1):
m normal = 1 m tangen maka, 1 d y d x = kecerunan normal  


(D) Persamaan normal: 
yy1 = mnormal (xx1)


Contoh 1 (Cari persamaan tangen)
Diberi bahawa y = 4 ( 3 x 1 ) 2 . Cari persamaan tangen pada titik (1, 1).

Penyelesaian:
y = 4 ( 3 x 1 ) 2 = 4 ( 3 x 1 ) 2 d y d x = 2.4 ( 3 x 1 ) 3 .3 d y d x = 24 ( 3 x 1 ) 3 Di titik ( 1 , 1 ) , d y d x = 24 [ 3 ( 1 ) 1 ] 3 = 24 8 = 3  

Persamaan tangen di titik (1, 1) ialah,
y – 1 = – 3 (x – 1)
y – 1 = –3x + 3
y = –3x + 4


Contoh 2 (Cari persamaan normal)
Cari kecerunan lengkung y = 7 3 x + 4 di titik (1, 7). Seterusnya, cari persamaan normal lengkung di titik itu.

Penyelesaian:
y = 7 3 x + 4 = 7 ( 3 x + 4 ) 1 d y d x = 7 ( 3 x + 4 ) 2 .3 d y d x = 21 ( 3 x + 4 ) 2 Di titik ( 1 , 7 ) , d y d x = 21 [ 3 ( 1 ) + 4 ] 2 = 21 Persamaan normal = 1 21  

Persamaan normal ialah,
yy1 = m (xx1)
y7= 1 21 ( x( 1 ) )
21y – 147 = x + 1
21yx – 148 = 0


Bab 9 Pembezaan


Bab 9 Pembezaan

9.2 Terbitan Pertama untuk Fungsi Polinomial



(A) Membezakan suatu Pemalar
Jika y = a,
Dengan keadaan a ialah suatu pemalar,
maka d y d x = 0


(B) Membezakan Pembolehubah dengan Index n




(C) Membezakan suatu Fungsi Linear




(D) Membezakan suatu Fungsi Terbitan



(E) Membezakan suatu Fungsi Pecahan




(F) Membezakan Fungsi Punca Kuasa Dua


Bab 9 Pembezaan

9.2.3 Terbitan Pertama Fungsi Gubahan

(A) Membezakan fungsi gubahan dengan menggunakan Petua Rantai
Jika y = un
dengan keadaan udan v adalah fungsi dalam x
dy dx = dy du × du dx  

Contoh 1:
Bezakan y = (x2 – 1)8

Penyelesaian:
y= u 8            katakan u= x 2 1 dy du =8 u 7                   du dx =2x dy dx = dy du × du dx dy dx =8 u 7 ×2x dy dx =16x u 7 dy dx =16x ( x 2 1 ) 7



(B) Membezakan fungsi gubahan dengan menggunakan Kaedah Alternatif - Versi Mudah

Contoh:
Bezakan y = (x2 – 1)8

Penyelesaian:
y= ( x 2 1 ) 8 dy dx =8 ( x 2 1 ) 7 d dx ( x 2 1 ) dy dx =8 ( x 2 1 ) 7 ( 2x ) dy dx =16x ( x 2 1 ) 7



Contoh 2:
Diberi y= 1 3x7 , cari  dy dx

Penyelesaian
y= 1 3x7 = ( 3x7 ) 1 dy dx =1 ( 3x7 ) 2 .3 dy dx = 3 ( 3x7 ) 2



Contoh 3:
Diberi y= 2 x 2 5x+1 , cari  dy dx

Penyelesaian
y= 2 x 2 5x+1 = ( 2 x 2 5x+1 ) 1 2 dy dx = 1 2 ( 2 x 2 5x+1 ) 1 2 ( 4x5 ) dy dx = 4x5 2 2 x 2 5x+1


Bab 9 Pembezaan

9.2.2 Terbitan Pertama Hasil Bahagi Dua Polinomial

Cari hasil bahagi terbitan dengan menggunakan kaedah-kaedah yang berikut:
Kaedah 1: Petua Hasil Bahagi

Contoh 1:
y= 3x 2x1 , cari  dy dx dy dx = (2x1)(3)(3x)( 2 ) ( 2x1 ) 2      = 6x36x ( 2x1 ) 2      = 3 ( 2x1 ) 2


Kaedah2: (Pembezaan terus)

y= u ( pengangka ) v ( penyebut ) dy dx = ( salin penyebut )( bezakan pengangka )( salin pengangka )( bezakan penyebut ) ( penyebut ) 2

Contoh 2:
Diberi y= x 2 2x+1 , cari  dy dx

Penyelesaian:
y= x 2 2x+1 dy dx = (2x+1)(2x) x 2 (2) (2x+1) 2      = 4 x 2 +2x2 x 2 (2x+1) 2     = 2 x 2 +2x (2x+1) 2



Contoh 3:
Diberi bahawa y= 4 x 3 ( 5x+1 ) 3 , cari  dy dx  

Penyelesaian:
y= 4 x 3 ( 5x+1 ) 3 dy dx = (5x+1) 3 (12 x 2 )4 x 3 .3 (5x+1) 2 .5 [ ( 5x+1 ) 3 ] 2      = (5x+1) 3 (12 x 2 )60 x 3 (5x+1) 2 ( 5x+1 ) 6      = (12 x 2 ) (5x+1) 2 [ (5x+1)5x ] ( 5x+1 ) 6      = (12 x 2 ) (5x+1) 2 ( 1 ) ( 5x+1 ) 6      = 12 x 2 ( 5x+1 ) 4

Bab 9 Pembezaan


9.2.1 Terbitan Pertama Hasil Darab Dua Polinomial

Cari hasil darab terbitan dengan menggunakan kaedah-kaedah yang berikut:

Kaedah 1: Petua Hasil Darab
Jika u(x) dan v(x) adalah dua fungsi x dan y = uv maka



Contoh 1:

 
Kaedah Alternatif: (Pembezaan terus)

y = u v d y d x = ( s a l i n k i r i ) ( b e z a k a n k a n a n ) + ( s a l i n k a n a n ) ( b e z a k a n k i r i )  


Contoh 2:
Diberi bahawa y= (2x + 3)(3x3 – 2x2x), cari dy/dx.

Penyelesaian:
y = (2x + 3)(3x3 – 2x2x)
dy/dx = (2x + 3)(9x2 – 4x – 1) + (3x3 – 2xx)(2)
dy/dx = (2x + 3)(9x2 – 4x – 1) + (6x3 – 4x– 2x)


Contoh 3:
Diberi bahawa y= 4x3 (3x + 1)5, cari dy/dx.

Penyelesaian:
y = 4x3 (3x + 1)5
dy/dx
= 4x3. 5 (3x + 1)4.3 + (3x + 1)5.12x2
= 60x3 (3x + 1)4 + 12x2 (3x + 1)5
= 12x(3x + 1)4 [5x  + (3x + 1)]
= 12x(3x + 1)4 (8x  + 1)

Bab 9 Pembezaan


9.7.4 Pembezaan, SPM Praktis (Kertas 1)

Soalan 15:
Cari koordinat bagi titik pada lengkung, y = (4x – 5)2 supaya kecerunan normal lengkung itu ialah ⅛.

Penyelesaian:
y = (4x – 5)2
dy/dx = 2 (4x – 5). 4 = 32x – 40

Diberi normal ialah ⅛, maka kecerunan tangen ialah –8.
dy/dx = –8
32x – 40 = –8
32x = 32
x = 1
y = [4 (1) – 5]2= 1

Hence, the coordinates of the point on the curve, y= (4x – 5)2 is (1, 1).


Soalan 16:
Suatu lengkung mempunyai fungsi kecerunan kx2 – 7x, dengan keadaan k ialah pemalar. Tangen kepada lengkung di titik (1, 4) adalah selari dengan garis lurus y + 2x –1 = 0.
Cari nilai k.

Penyelesaian:
Diberi fungsi kecerunan kx2 – 7x selari dengan garis lurus y + 2x –1 = 0
dy/dx = kx– 7x

y
+ 2x –1 = 0, y = –2x + 1, kecerunan garis lurus = –2
Maka kx– 7x = –2

Di titik (1, 4),
k (1)2– 7(1) = –2
k – 7 = –2
k = 5


Soalan 17:


Dalam rajah di atas, garis lurus PR adalah normal kepada lengkung y = x 2 2 + 1  at Q.
Cari nilai k.

Penyelesaian:
y= x 2 2 +1 dy dx =x Di titik Q, koordinat-x=2, Kecerunan lengkung,  dy dx =2 Maka, kecerunan normal lengkung itu, PR= 1 2 30 2k = 1 2 6=2+k k=8


Soalan 18:
Garis normal kepada lengkung y = x2 + 3x pada titik P adalah selari dengan garis lurus y = –x + 12. Cari persamaan garis normal kepada lengkung itu pada titik P.

Penyelesaian:
Diberi normal kepada lengkung di titik P adalah selari kepada garis lurus y = –x + 12. Maka, kecerunan normal lengkung itu = –1.
Seterusnya, kecerunan tangen kepada lengkung = 1

y
= x2 + 3x
dydx = 2x + 3
2x + 3 = 1
2x = –2
x = –1
y = (–1)+ 3 (–1)
y = –2
Titik P = (–1, –2).

Persamaan garis normal kepada lengkung itu pada titik P ialah,
y – (–2) = –1 (x – (–1))
y + 2 = – x – 1
y = – x – 3


2.4.1 Support and Locomotion in Humans and Animals (Structured Question 1 & 2)


Question 1:
Diagram I and Diagram II show different positions of a forearm during a movement.


(a)
Complete Diagram I by drawing the triceps muscle which is involved in the movement of the forearm.

(b)
State one adaptive characteristic of tissue R shown in Diagram I which helps in the movement of the forearm.

(c)
Explain the action of the muscles which cause the movement of the forearm in Diagram II.


(d)
Diagram III shows a joint at the knee.


Explain the health problem normally faced by an old person when tissue P is impaired.

(e)
An athlete must do a warming up exercise before starting an event.
Explain why.



Answer:
(a)


(b)
Strong/ tough/ non-elastic tissue


(c)
When the biceps relaxes and the triceps contracts, the radius and ulna are pulled downwards and the forearm is straightened.

(d)
- An old person will suffer from osteoarthritis.
- The wear and tear of the cartilage is due to ageing.
- The repetitive use of the joints over the years irritates and inflames the cartilage.

- Eventually, the cartilage begins to degenerate and this causes friction between the bones, leading to pain and restriction of joint mobility.


(e)
- Warming up exercise is needed so that the heart rate increases. This enables oxygen in the blood to travel faster. The capillaries dilate and let more oxygen travel in the blood.

- Warming up exercise also increases the temperature in the muscles. It loosens up the muscles and joints. This removes lactic acid, lets the muscle fibres have greater extensibility and elasticity and increases the force and contraction of the muscles.


Bab 9 Pembezaan

9.7 Pembezaan, SPM Praktis (Kertas 1)

Soalan 11:
Diberi fungsi graf f(x)=h x 3 + k x 2  mempunyai fungsi kecerunan f'(x)=12 x 2 258 x 3  dengan hdan k ialah pemalar. Cari nilai h dan k.

Penyelesaian:
f(x)=h x 3 + k x 2 =h x 3 +k x 2 f'(x)=3h x 2 2k x 3 f'(x)=3h x 2 2k x 3  
Tetapi, diberi f'(x)=12 x 2 258 x 3
dengan perbandingan,
3h = 12     atau    2k = 258
h = 4                     k = 129


Soalan 12:
Diberi y= x 2 x+3 , tunjukkan  dy dx = x 2 +6x ( x+3 ) 2 Cari  d 2 y d x 2  dalam bentuk paling ringkas.

Penyelesaian
y= x 2 x+3 dy dx = ( x+3 )( 2x ) x 2 .1 ( x+3 ) 2 = 2 x 2 +6x x 2 ( x+3 ) 2 dy dx = x 2 +6x ( x+3 ) 2  (tertunjuk)

d 2 y d x 2 = ( x+3 ) 2 ( 2x+6 )( x 2 +6x ).2( x+3 ) ( x+3 ) 4 d 2 y d x 2 = ( x+3 )[ ( x+3 )( 2x+6 )2( x 2 +6x ) ] ( x+3 ) 4 d 2 y d x 2 = [ 2 x 2 +6x+6x+182 x 2 12x ] ( x+3 ) 3 d 2 y d x 2 = 18 ( x+3 ) 3


Soalan 13:
Jika y = x2 + 4x, tunjukkan   x 2 d 2 y d x 2 2x dy dx +2y=0.

Penyelesaian
y= x 2 +4x dy dx =2x+4 d 2 y d x 2 =2 x 2 d 2 y d x 2 2x dy dx +2y = x 2 ( 2 )2x( 2x+4 )+2( x 2 +4x ) =2 x 2 4 x 2 8x+2 x 2 +8x =0 (tertunjuk)


Soalan 14:
Diberi y = x (6 – x), ungkapkan y d 2 y d x 2 +x dy dx +18dalam sebutan x yang paling ringkas.
Seterusnya, cari nilai xyang memuaskan persamaan
y d 2 y d x 2 +x dy dx +18=0

Penyelesaian:
y=x( 6x )=6x x 2 dy dx =62x d 2 y d x 2 =2 y d 2 y d x 2 +x dy dx +18=( 6x x 2 )( 2 )+x( 62x )+18                                    =12x+2 x 2 +6x2 x 2 +18                                    =6x+18 y d 2 y d x 2 +x dy dx +18=0               6x+18=0                              x=3


Bab 9 Pembezaan

9.7 Pembezaan, SPM Praktis (Kertas 1)
Soalan 6:
Diberi f (x) = 3x2(4x2 – 1)7, cari f’(x).

Penyelesaian:
f (x) = 3x2(4x2 – 1)7
f’(x) = 3x2. 7(4x2 – 1)6. 8x + (4x2 – 1)7. 6x
f’(x) = 168x3 (4x2 – 1)6 + 6x (4x2 – 1)7
f’(x) = 6x (4x2 – 1)6[28x2+ (4x2 – 1)]
f’(x) = 6x (4x2 1)6 (32x2 1)


Soalan 7:
Diberi y = (1 + 4x)3(3x2 – 1)4, cari dy/dx.

Penyelesaian:
y = (1 + 4x)3(3x2 – 1)4
dy/dx
= (1 + 4x)3. 4(3x2 – 1)3.6x + (3x2 – 1)4. 3(1 + 4x)2.4
= 24x (1 + 4x)3(3x2 – 1)3 + 12 (3x2 – 1)4(1 + 4x)2
= 12 (1 + 4x)2(3x2 – 1)3 [2x (1 + 4x) + (3x2 – 1)]
= 12 (1 + 4x)2(3x2 – 1)3 [2x + 8x2 + 3x2 – 1]
= 12 (1 + 4x)2(3x2 – 1)3 [11x2 + 2x  – 1]


Soalan 8:
Diberi f(x)=3x 4 x 2 1  , cari f'(x). 

Penyelesaian:
f(x)=3x 4 x 2 1 =3x ( 4 x 2 1 ) 1 2 f'(x)=3x. 1 2 ( 4 x 2 1 ) 1 2 .8x+ ( 4 x 2 1 ) 1 2 .3 f'(x)=12 x 2 ( 4 x 2 1 ) 1 2 +3 ( 4 x 2 1 ) 1 2 f'(x)=3 ( 4 x 2 1 ) 1 2 [ 4 x 2 +( 4 x 2 1 ) ] f'(x)= 3( 8 x 2 1 ) ( 4 x 2 1 )


Soalan 9:
Diberi y= 15 x 4 x3 , cari  dy dx . 

Penyelesaian:
dy dx = v du dx u dv dx v 2 dy dx = ( x3 ).20 x 3 ( 15 x 4 ).1 ( x3 ) 2 dy dx = 20 x 4 +60 x 3 1+5 x 4 ( x3 ) 2 dy dx = 15 x 4 +60 x 3 1 ( x3 ) 2


Soalan 10:
Diberi f(x)= ( x 2 3 ) 5 13x , cari f'(0). 

Penyelesaian:
f(x)= ( x 2 3 ) 5 13x f'(x)= v du dx u dv dx v 2 f'(x)= ( 13x ).5 ( x 2 3 ) 4 .2x ( x 2 3 ) 5 .3 ( 13x ) 2 f'(x)= 10x( 13x ) ( x 2 3 ) 4 +3 ( x 2 3 ) 5 ( 13x ) 2 f'(x)= ( x 2 3 ) 4 [ 10x30 x 2 +3( x 2 3 ) ] ( 13x ) 2 f'(x)= ( x 2 3 ) 4 [ 27 x 2 +10x9 ] ( 13x ) 2 f'(0)= ( 0 2 3 ) 4 [ 27 ( 0 ) 2 +10( 0 )9 ] ( 13( 0 ) ) 2 f'(0)= 81×( 9 ) 1 =729